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Full text of "L'Enseignement mathématique"

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L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 



L'Enseignement mathém.. l'i" annoe ; 191".'. 



^^ 



L'ENSEIGNEMENT 



M 



1 





METHODOLO(;iE ET OliCAXlSATION DE L E\SE1(;N EMENT 

PHILOSOPHIE ET IIISTOIHE DES MATHEMATIQUES 

CHRONIQUE SCIENTIFIQUE — MELANGES B I 15 L I O (; Il A P H I E , 

REVUE INTERNATIONALE 

PARAISSANT TOUS LES DEUX MOIS 

DIEIGÉE PAR 



C.-A. LAISANT 

Docteur es sciences, 

Examinateur d'admission à l'Ecole 

polytechnique de Paris. 



H. FEHR 

Docteur es sciences, 

Professeur à rUuiversitp 

de Genève. 



AVEC LA COLLABORATION DE 

A. BUHL 

Docteur es sciences 
Professeur à la Facullé des Sciences de Toulouse. 

C05UTÉ DE PATRONAGE 

P. APPELL (Paris).— Mgr. CANTOR ( Heidelberg). - E. CZUBEE (Vienne). - W-P. ERMAKOF (Kiel) 

J. FRANEL (Zurich I. — Z.-G. de GALDEANO (Saragosse). - A.-G. GREENHILL (Londres). 

F.KLEINlGôttingo-n).— G.LORIA (Gènes). - P.MANSION (Gand). - MITTAG-LEFFLER(Stockholm). 

E. PICARD (Paris). — H. POINCARÉ i Parisi. - P.-H. SCHOUTE iGroningue). 

Dav.-Eug. SMITH (New-York). - C. STEPHANOS (Athènes). - F. Gomes TEIXEIRA (Porto). 

A. VASSILIEF (Kasan). - A. ZIWET lAnn Arbor, Michigan, U. S. A.). 



Organe officiel de la Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 



QUATORZIEME ANNEE 
1912 



GENÈVE 
GEOUG & C'^ ÉDITEURS 







PARIS 
GAUTHIER-VILLARS, ÉDITEUR 



LEIPZIG ET BERLIN 
R. G. TEUBNER, ÉDITEUR 



19J2 



// 
fzG6 



GENEVE 
IMPRIMERIE ALBERT KUNDIG 



LE CALCUL FONCTIONNEL 
Par M. Jacques Hadamard. 

Professeur au Collège de France. 



L'invention du Calcul infinitésimal n'a pas seulement cons- 
titué un perfectionnement des Mathématiques : elle a mar(|ué 
un changement radical dans leur orientation. 

Pour la Science grecque, tout problème se ramenait à la 
recherche d'un ou plusieurs nombres, déterminés d'une 
manière complète, quoique implicite, par les données de la 
question. Manifeste en ce qui concerne les problèmes 
d'Arithmétique, cela n'était pas moins certain dans le domaine 
géométrique, puisque les figures considérées par les An- 
ciens (points, droites, plans, cercles, etc.) dépendaient cha- 
cune d'un nombre fini et même peu élevé de paramètres. 

Etudier les relations entre certains nombres, laissés inva- 
riables dans tout le cours du raisonnement, ainsi que la ma- 
nière d'utiliser ces relations pour calculer quelques-uns 
d'entre-eux, les autres étant supposés donnés : voilà ce que 
se proposèrent jusqu'au XVU'"" siècle aussi bien « TAlgèbre 
des Modernes » — pour employer le langage de Descartes 
— que « l'Analyse des Anciens ». 

L'exemple même de ceux qui furent dans l'antiquité, les 
précurseurs du Calcul infinitésimal, Eudoxe, Archimède, ne 
réagit pas, à cet égard, sur leurs successeurs directs. 

Le cadrede la Géométrie antique nefut vraimentdépassé et 
une arme nouvelle ne fut donnée à la Science que lorsque, 



1 Nous sommes heureux de pouvoir offrir à nos lecteurs cette intéressante Etude de M. 
J. Hadamarii sur le développeuient du Calcul tonctionnel. Elle est extr.iite du beau volume 
Hommage à Louis Olivier que la Revue générale des t^ciences a consacré à la mémoire de son 
regretté fondateur et directeur. Nous la reproduisons avec l'autorisation de l'auteur et de la 
Revue générale des Sciences. La Réoaction. 



6 J. IIADAMAIin 

s'inspirant de cet exemple, les Cavalieri, les Fermât, les 
Roberval, les Pascal ronsidérèrent à leur tour la i'arialion 
continue de certains éléments numériques (ou ce qui revient 
au même, de certains éléments géométriques) liés les uns 
aux autres et jetèrent les bases de l'édifice que devaient ache- 
ver Newton et Leibniz. 

Entre leurs mains, il est vrai, l'introduction de ces varia- 
tions simultanées donnait lieu à des problèmes analogues, 
quant à la forme, èi ceux qui avaient été traités jusque-là, je 
veux dire à la détermination de certaines constantes arith- 
métiques ou géométriques : maxima et minima, aires, etc. 

Mais ce stade devait bientôt être dépassé; il constituait le 
début d'une évolution qui n'a cessé par la suite de se pour- 
suivre dans le même sens : nous verrons plus loin comment 
elle se continue encore à l'heure actuelle. 

Si les auteurs dont nous venons de citer les noms 
s'étaient attaqués à des variations simultanées ou, comme 
nous disons en langage modei'ne, à des fonctions, celles-ci 
n'étaient pas nouvelles : elles tiraient directement leur défi- 
nition des problèmes et des figures mêmes qu'avaient étu- 
diés les Anciens, ou de problèmes peu différents. En tout 
cas, cette définition était connue a priori. 

11 en fut autrement lorsque les notions nouvelles déduites 
de celle de fonction eurent fait la preuve de leur extrême 
généralité, lorsqu'elles se furent montrées identiques à 
elles-mêmes pour toutes les fonctions connues à propos 
desquelles on les introduisit : on aperçut dès lors la possi- 
bilité et bientôt la nécessité de les appliquer à des circons- 
tances toutes différentes, à des lois inconnues de variation 
simultanée. 

La Géométrie analytique imposait, à elle seule, cette atti- 
tude. Qu'une ligne ou une surface eût une existence propre, 
qu'elle put être elle-même inconnue, et non plus nécessaire- 
ment donnée, d'un problème, il n'y avait rien de surprenant 
à cela. Or, « ligne » ou « surface », pour la Géométrie ana- 
lytique, est synonyme de « variation simultanée ». 

Mais les applications physiques ne montrèrent pas seule- 
ment la légitimité de ce nouveau point de vue, que le Calcul 



LE CALCUL FONCTIONNEL 1 

infinitésimal permettait, pour la première fois, traborder : 
elles ne permirent pas à la Science de le laisser de côté. Dès 
que Ton commença à s'attac|uer au mouvement et à mettre ses 
lois à la base de la Physique, il apparut que, dans l'étude de 
la Nature, on ne pouvait continuer à considérer comme 
seule individualité, comme seul objet de recherches, le 
nombre déterminé ou ses équivalents géométriques (point, 
di'oite, cercle...). 

L'être malhémati(jue, en un mot, ne fut plus le nombre : 
ce lïit la loi de variation, la fonction. 

La Mathématique n'était pas seulement enrichie de nou- 
velles méthodes : elle était transformée dans son objet. 



La transformation ne fut pas totale du premier coup. 
Nous avons, tout à l'heure, employé le langage de l'Analyse 
moderne, et considéré le mot « fonction » comme traduisant 
ceux de « variation simultanée ». Ce n'est pas précisément 
sous cette forme, on le sait, que la nouvelle notion se j)ré- 
senta à ses premiers introducteurs. On connaissait plu- 
sieurs modes de calcul applicables aux nombres et per- 
mettant de les déduire les uns des autres : les opérations 
classiques de l'Arithmétique, l'exponentielle et le logarithme, 
le passage d'un arc à ses lignes trigonométriques, etc. 
Pour Jean Bernoulli, par exemple, et même pour Euler, une 
fonction était une combinaison, quelconque, d'ailleurs, de 
certaines de ces opérations appliquées à un ou plusieurs 
nombres arbitraires. 

Celte conce[)tion dissimulait, en somme, à l'Analyse le 
saut qu'elle allait être obligée de faire et lui permettait de 
garder, en quelque sorte, un pied sur la rive qu'elle devait 
quitter. Les opérations appelées à définir la fonction inconnue 
pouvaient différer, d'une part, par leur nombre et leur 
ordre, de l'autre, par les coefficients constants qu'elles 
introduisaient. Trouver une fonction de nature donnée, 
c'était donc déterminer un certain nombre de constantes. 
Entre une question ainsi posée et celle de déterminer les 



8 /. H A DAM A ni) 

trois paramètres qui servent à définir un j)lan, |)ar exemple, 
ou un cercle dans un plan donné, rassimilation était pos- 
sible. La seule difliculté d'un genre nouveau consistait à 
choisir, dans l'arsenal des opérations connues, celles que 
l'on pouvait se proposer de combiner. 

Il en fut autrement lorsque, avec Fourier, Dirichlet, 
Cauchy, Riemann, la notion de fonction prit son sens mo- 
derne. Une fonction y = f[x) ne s'obtient plus nécessaire- 
ment par un certain nombre d'opérations prises dans une 
liste déterminée quelle qu'elle soit : c'est une correspon- 
dance quelconque établie entre chaque valeur que l'on peut 
attribuer à la quantité variable x et une valeur î/, supposée 
seulement déterminée dès que la première est donnée, mais 
sans qu'on s'astreigne à employer, pour cela, tels ou tels 
modes de détermination plutôt que d'autres. 

Cette fois, la nouvelle tendance de la Science ne pouvait 
manque-r de prendre pleine conscience d'elle-même. Délinir 
une fonction arbitraire, c'est définir sa valeur pour chaque 
valeur de.r; si cette fonction est supposée représentée par une 
ligne, cette ligne est, elle aussi, quelconque et n'est déter- 
minée que lorsqu'on en connaît chaque point. La connais- 
sance de la fonction ou delà courbe équivaut donc non plus 
à celle de certains nombres, mais à celle d'une infinité de 
nombres; et c'est encore sous cette forme que se posaient 
les nouveaux problèmes. 

Tout au plus une transition existait-elle entre l'ancienne 
conception de fonction et la nouvelle, transition grâce à 
laquelle on put se rapprocher des conditions où l'on s'était 
placé jusque-là. Le nombre des opérations considérées par 
Euler, et celui des constantes qui y figurent, peuvent être 
pris indéfiniment grands. Or, si l'on use de cette faculté, les 
deux notions, sans jamais avoir (on le sait aujourd'hui) le 
même degré de généralité, sont pratiquement équivalentes. 
Deux expressions, entre autres, s'offraient, qui permettent 
de représenter sous forme semblable les fonctions les j)lus 
diverses. L'une est la série de Taylor, l'autre la série de 
Fourier. La première est la plus particulière des deux, et, à 
ce titre, se montre insuffisante dans nombre de cas; la classe 



I.E CALCUL FONCTIONNEL 9 

des fonctions analytiques, qu'elle est capable d'atteindre, 
comprend cependant, non seulement toutes les combinai- 
sons que les premiers analystes pouvaient songer à imaginer, 
mais les solutions de tous les problèmes qui s'étaient posés 
à eux. Quant aux séries trigonométriques, auxquelles le nom 
de Fourier reste attaché, on peut dire qu'elles sont aptes à 
délinir, non, si Ton veut, toutes les fonctions possibles, mais 
du moins toutes celles (|u'on peut avoir à iiilrotluire prati- 
quement. 

On était donc à nouveau ramené à déterminer les expres- 
sions d'un type connu à l'avance, dont la recherche se rédui- 
sait à celle des coefficients indéterminés qui y figurent. 
Seulement, ces coefficients étaient, cette fois, en nombre 
infini. Mais une telle infinité n'était plus continue, comme 
celles qui constituent toutes les valeurs d'une fonction ou 
tous les points d'une courbe. C'était ce que nous appelons 
aujourd'hui une infinité dénombrable : les coefficients 
inconnus étaient numérotés ; ils correspondaient aux valeurs 
d'un indice qui parcourait la série des nombres entiers; 
leur calcul successif était, dans ces conditions, aussi ana- 
logue que possible à celui d'un nombre fini de quantités. 



Il suffit de résumer les étapes de l'évolution que nous 
venons de retracer pour en prévoir la suite logicpie. 

Les nombres, d'abord considérés comme connus et fixes, 
sont soumis aux diverses opérations du calcul algébrique; 
on apprend ensuite à les considérer comme inconnus et à 
les choisir de manière que ces mêmes opérations, eff'ectuées 
sur eux, donnent des résultats indiqués à l'avance. 

Enfin, on les considère comme variables d'une manière 
continue et on aboutit à la notion de fonction. 

A son tour, la fonction est soumise, non seulement aux 
opérations du Calcul algébrique, mais aux opérations fonda- 
mentales du Calcul infinitésimal. C'est, nous l'avons dit, 
l'existence de ces deux opérations importantes, applicables 



10 ./. IIADAMARD 

aux Ibnctions les plus diverses, qui conduit à traiter la fonc- 
tion comme on a traité le nombre lui-même. 

A ce point de vue, les équations différentielles et aux 
dérivées partielles sont bien les analogues des équations 
algébriques ordinaires par lesquelles on détermine les nom- 
bres. La fonction inconnue est soumise aux ojiérations de la 
différeiitiation et c'est le résultat de ces opérations, efl'ec- 
tuées dans un certain ordre, qui doit avoir une valeur 
donnée à l'avance. 

Mais jusqu'ici, on raisonne encore sur une fonction bien 
déterminée, même lorsqu'elle est inconnue. De plus, on lui 
fait subir des opérations d'un t^'pe bien déterminé, celles 
du Calcul algébrique ordinaire et celles du Calcul infinité- 
simal — jusqu'à ces dernières années, celles du -Calcul dif- 
iérenliel seulement lorsqu'elles devaient porter sur des 
fonctions inconnues. 

Si l'on veut continuer à suivre, en ce qui regarde les 
fonctions la voie même qui a été parcourue en partant des 
nombres, il restera : 

1° A regarder la fonction elle-même, non plus comme choisie 
une fois pour toutes, mais comme continûment variable ; 

2" A lui l'aire subir, non plus seulement deux ou trois opé- 
rations déterminées, mais des opérations plus ou moins 
arbitraires. 

La branche des Mathématiques dont l'objet est ainsi défini 
est ce que l'on nomme aujourd'hui le Calcul fonctionnel. 

Il résulte des considérations précédentes qu'on doit y voir 
la suite et la conséquence naturelle du Calcul infinitésimal 
lui-même et du courant d'idées qu'il a fait naître. 



Nous n'aurions toutefois justifié ainsi que d'une i'açon 
insuffisante l'utilité d'une nouvelle théorie et l'opportunité 
des efforts qu'on lui consacre ^ 



' Itien n'empêcherait, di-s aujourd'hui, de généraliser le Calcul fonctionnel comme celui-ci 
généralise l'Analyse classique. Nul nialhcmalicien n'y songe, aucun problème posé jusqu'ici 
ne donnant lieu à pareille recherche. 



I.E CALCUL FONCTIONNEL 11 

11 ne siifïît pas pour cola, en effet, d'une de ces analogies 
que Ton décore troj) souvent dw nom de logique. Les consi- 
dérations de cette nature peuvent suggérer les idées : elles 
ne permettent pas à elles seules, d'en alïîrmer Timportance 
et la fécondité. Il faut que des problèmes venus d'ailleurs, 
posés par les applications, viennent montrer comme néces- 
saire la marche dont on peut seulement dire, sans cela, 
qu'elle se présente comme naturelle à l'esprit. C'est souvent 
à sa naissance même qu'une théorie trouve la meilleure 
occasion de faire ses preuves. 

C'est ce qui s'est passé pour celle qui nous occupe. Dès la 
fin du XVII""' siècle, une série de questions introduites 
surtout par la Mécanique — quoique la première d'entre 
elles, celle du plus court chemin entre deux points, fût 
vieille comme la Géométrie elle-même — conduisait à cons- 
tituer un premier chapitre du Calcul foni.'tionnel, le Calcul 
des Variations. 

Peu d'années après, celui-ci arrivait à englober, non seule- 
ment certaines questions spéciales de Mécanique, mais la 
Mécanique analytique (et plus tard l'Energétique) tout 
entière. 

La recherche de l'équilibre et, bientôt après, grâce au 
principe de d'Alembert, celle du mouvement, furent, en effet, 
ramenées à des questions de maximum ou de minimum. 
Nombre de ces problèmes (ceux de Statique relatifs aux 
milieux déformables et tous ceux de la Dynamique) renfer- 
maient, d'autre part, comme inconnues, des fonctions ou 
des lignes; or, les maxima ou minima de quantités dépen- 
dant de fonctions arbitraii-es font l'objet du Calcul des 
Variations. 

Le problème était ainsi transformé dans le sens môme de 
l'évolution que nous avons indi([uée plus haut. Au lieu de 
considérer un système déterminé de fonctions inconnues et 
de le soumettre directement à la différentiation, on n'obte- 
nait les équations différentielles auxquelles il devait satis- 
faire {|u'en regardant tout d'abord ces fonctions inconnues 
comme arbitrairement variables. 

Cela pouvait sembler une augmentation de la didiculté : 



12 /. HADAMARD 

cependant, il est acquis aujoiircriuii que, dans toutes les 
recherches relatives aux équations diiTérentielles en ques- 
tion, soit (ju'il s'agisse de leur intégration, soit (comme dans 
les travaux connus de M. Poincaré) de l'étude qualitative 
des courbes intégrales, soit encore que, dépassant le cadre 
de l'ancienne Mécanique, on cherche à la transformer pour 
l'adopter aux nouveaux besoins de la Physique, c'est le prin- 
cipe de la moindre action qui doit servir de guide. 

Grâce à ces découvertes, le Calcul des Variations et, avec 
lui le Calcul fonctionnel ont pris place définitivement dans 
la Science. 



Les problèmes de l'Electricité et de la Chaleur ne sont pas 
moins étroitement liés à des considérations de Calcul fonc- 
tionnel. 

Par exemple, l'un des principaux d'entre eux, le problème 
de Dirichlet, consiste à déterminer une solution de l'équation 
classique de Laplace, lorsqu'on suppose connue la distribu- 
tion de ces valeurs sur la frontière du domaine ou on le 
considère. 

Les données introduisent donc : 

1" La forme d'une ligne ou d'une surface limitant une 
portion de place ou d'espace ; 

2° Un ensemble de valeurs numériques (celles de la 
fonction cherchée) attachées à un point de cette ligne ou 
d'une surface. 

On peut dire que la solution sera obtenue par certaines 
opérations fonctionnelles exécutées sur ces données : on 
désigne sous ce nom, en effet, tout calcul dont les résultats 
dé[)endent de la forme de certaines fonctions. 

Dans le cas actuel, les données de la seconde sorte 
(valeurs de la fonction inconnue) interviennent d'une façon 
simple : on peut même, par un artifice classique (l'emploi 
de la « fonction de Green «j, les ramènera ne plus être arbi- 
traires, mais à dépendre seulement de deux ou trois cons- 
tantes (suivant qu'on opère dans le plan ou dans l'espace). 

Il n'en est pas de même pour la forme de la frontière : 



LE CALCUL FONCTIONNEL V> 

elle influe sur le calcul d'une manière profonde et complexe. 
Si (comme on le peut, grâce à la fonction de Green) on 
considère Topéralion fonctionnelle comme portant sur cette 
seule partie des données, cette opération est très com- 
pliquée : sa nature est restée mal connue jusque dans ces 
derniers tem[)s. 

Si Neumann et M.Fredholm ont triomphé de cette dilUculté 
et ont pu, non seulement démontrer l'existence de la solu- 
tion, mais mettre en évidence la manière dont elle dépend 
des données, c'est précisément en suivant, au fond, la voie 
indiquée dans ce qui précède qu'ils y sont parvenus, il a 
l'allu tout d'abord, pour cela ne pas craindre d'introduire 
une équation où l'inconnue fut soumise à des opérations 
déjà usuelles, il est vrai, en iVnalyse, mais autres cepen- 
dant que celles qui figurent dans les équations (équations 
difl'érentielles ou aux dérivées partielles) traitées jusque-là. 
L'inconnue y figure sous un signe d'intégration. 

D'autre part, pour résoudre une telle équation intégrale, 
M. Fredholm se place au point de vue même du Calcul fonc- 
tionnel : il substitue à l'équation donnée un système d'équa- 
tions du premier degré, telles que les considère l'Algèbre 
élémentaire, mais à une infinité d'inconnues, qui sont les 
valeurs successives de la fonction cherchée. 

Il est remarquable, d'ailleurs, que, ainsi considérées, les 
équations intégrales de F'redholm apparaissent comme plus 
simples, au fond, que les équations différentielles auxquelles 
se bornait, jusque-là, l'Analyse. U s'y présente cette circons- 
tance importante que la classe des opérations auxquelles on 
soumet la fonction inconnue forme ungroupe ; on peut com- 
biner arbitrairement deux (ou plusieurs) opérations de cette 
espèce, pour en former une troisième, de même nature (|ue 
les premières (ce qui n'a pas lieu pour les premiers membres 
des équations différentielles, tant (|u'on en limite l'ordre). 

Grâce à ce fait, la solution de l'équation est réduite à la 
formation d'une opération, laquelle appartient également à la 



> On sait qu'on est conduit à cette question lorsqu'on cherche la distribution «-lectrique a la 
surface d'un conducteur de forme donnée placé dans un champ électrique donné, lequel 
intervient par les valeurs de son potentiel sur cette surface. 



14 J. H A DAM Ali D 

catégorie considérée, et (jiii est Vinverse de celle c|iii ligure 
au premier membre de l'équation. 

Ajoutons que, même avant la Physique mathématique, la 
Tiiéoriedes Fonctions avait provoqué l'application du Calcul 
fonctionnel. Elle devait, elle aussi, y être fatalement conduite. 
On ne pouvait poursuivre des recherches aussi approfondies 
que celles auxc]ueiles notre siècle s'est livré sur les pro- 
j)riétés des fonctions analyticpies et affronter les obstacles 
quoifre une pareille étude si l'on ne cherchait, par des 
transformations fonctionnelles convenablement choisies, à 
passer du simple au compliqué, du connu à l'inconnu. 
Aussi, un certain nombre des résultats les plus importants 
n'ont-ils pu être établis que par cette voie. 



Si essentiel, nous espérons l'avoir montré, que soit le 
Calcul fonctionnel aux progrès futurs de la Science, les dif- 
ficultés qu'il soulève, et qui sont extrêmes, n'ont été éluci- 
cidées jusqu'à ce jour que sur un très petit nombre de 
points, malgré les travaux de géomètres parmi lesquels nous 
citerons MM. Yollerra, Pincherle, Bourlet, Fréchet, Moore, 
etc. 

Les résultats obtenus concernent pour une grande part les 
opérations linéaires. Ce cas n'a pas été seulement abordé de 
préférence parce qu'il est plus simple que le cas général, 
mais aussi parce qu'il a avec lui d'importantes relations, 
celles mêmes que le Calcul différentiel a appris à reconnaître 
pour les fonctions telles qu'on les considère habituellement 
en Analyse. 

Pour celles-ci si compliquées qu'elles se montrent lors- 
qu'on les étudie dans un domaine fini, la variation infinité- 
simale, la différentielle, est une quantité linéaire par rapport 
aux différentielles des variables. 

Le Calcul des Variations est, pour les opérations fon('tion- 
nelles, ce que le Calcul différentiel est pour les fonctions. 
Il fournit, de même, pour la variation des quantités définies 
par les opérations fonctionnelles les plus simples et qui se 



LE CALCUL FONCTIONNE I. 15 

sont présentées les [)rcniièi-es, des exj)ressions linéaires 
par rapport aux vaiiations des Ibnctions soumises à ces opé- 
rations : expressions que Ton a appris de M. Yoltei-ra à 
étendre à des opérations beaucoup plus générales. 

Seulement, le mot « linéaire » n'a plus ici le sens simple 
cpiil reçoit forcément lorsqu'on l'applique aux fonctions 
d'un nombre fini d'arbitraires. Dire qu'une opération fonc- 
tionnelle est linéaire signifie uniquement que, appliquée à 
une somme /î -\- fl àe deux fonctions, elle donne nécessai- 
rement un résultat égal à la somme de ceux auxquels on arri- 
verait en l'applifjuant successivement aux deux termes 
f, et /j. 

Si nous y avions remplacé les mots « opération fonction- 
nelle » par celui de « fonction » et celui de « fonction » par 
« nombre », la condition précédente suffirait à exprimer 
qu'une fonction, supposée continue, d'un nombre déterminé 
de variables est, par rapport à celles-ci, un polynôme homo- 
gène du premier degré de l'Algèbre élémentaire. 

Dans le domaine fonctionnel, les choses ne se passent 
plus aussi simplement. Une opération linéaire, au sens qui 
vient d'être indiqué, peut revêtir des formes assez variées. 
L'une des plus simples consiste à considérer la valeur de la 
fonction arbitraire ou encore une de ses dérivées pour une 
valeur déterminée de l'argument qui figure dans cette 
fonction. La quantité f{ci)^ où a est une constante donnée, 
dépend linéairement de la forme de la fonction/! Mais on a 
encore une quantité satisfaisant à la même condition en 
prenant l'intégrale définie 



/ 



b 

f[x)K{x)dx , 



quelles que soient la fonction K [x) et les constantes a, b. 

C'est par des combinaisons de symboles des deux formes 
précédentes que s'expriment les opérations fonctionnelles 
linéaires auxquelles on est conduit, ainsi que nous l'avons 
indiqué plus haut, en Calcul des Variations, du moins dans 
les exemples que l'on a eu à examiner jus(ju'ici. Mais il est. 



16 /. HADAMARD 

par contre, connu aujourcrhui qu'on n'a même pas ainsi | 

tontes les fonctionnelles linéaires, à moins qu'on n'utilise la 
notion d'intégrale définie dans des conditions un peu pKis | 

générales et un peu plus compliquées (|ue celles où on la i 

considère usuellement. ' 

Dans ces recherches de Calcul fonctionnel comme dans 
les phases antérieures de l'étude des fonctions, les deux atti- 
tudes que nous avons mentionnées précédemment sont pos- \ 
sibles, et chacune d'elles a été adoptée. j 

On peut considérer la fonction sur laquelle on opère j 

comme définie par l'ensemble des coefficients de son déve- » j 

loppement, soit en série de Tavlor, soit en série trigonomé- i 

trique. Cette manière d'opérer a été particulièrement 
employée par M. Pincherle et ses successeurs, "dans les- ' 

applications aux fonctions analytiques, auxquelles le pre- 
mier développement (avec une origine et dans un domaine ■ 
convenable) est toujours applicable. 

Dans bien des cas, au contraire, on opère directement sur 
les valeurs mêmes de la fonction. C'est ce qui se passe en | 

Calcul des Variations. Non seulement on n'a pas besoin de 
l'intermédiaire d'un développement quelconque pour obtenir 
la variation des expressions envisagées, mais, une fois 
celle-ci écrite, c'est en faisant varier individuellement cer- 
taines valeurs de la fonction inconnue, à l'exclusion des 
autres, qu'Euler et Lagrange en déduisent les conditions 
nécessaires de maximum ou minimum. 

C'est d'un point de vue tout semblable que partent, nous j 

l'avons dit, les calculs par lesquels M. Fredholm résoud son 
équation intégrale. 



Mais on a été conduit récemment à se demander si, préa- 
lablement aux recherches dont nous venons de parler, une 
première étude de nature toute différente n'était pas indis- 
pensable. 

Pour en montrer la nécessité, nous recourrons encore à 
notre comparaison avec les fonctions ordinaires. 



LE CALCUL FONCTIONNEL 17 

Supposons, par exemple, (|iril s'agisse d'une fonction 
seule variable .r : celte variable sera supposée arbitraire, au 
moins clans un certain intervalle. Si la fonction est à deux 
variables, celles-ci pourront être considérées comme les coor- 
données d'un point IcMpiel sera, par exemple, variable dans 
une certaine aire plane; le j)oint sera variable dans un cer- 
tain volume de l'espace, s'il y a trois variables, etc. En un 
mot, une Ibnction est une quantité liée à la position d'un 
point, lequel décrit un contenu linéaire, superficiel ou s[)atial. 

Si les notions (dassiques relatives aux fonctions ont pu 
être constituées sans trop de peine, c'est ([ue les propriétés 
des continus en question nous étaient familières et nous 
apparaissaient comme évidentes, même celles qui, on le 
sait aujourd'hui, donnent lieu à d'insurmontables difficultés 
lorsqu'on essaie de les démontrer j)ar le raisonnement. 

Dans ces dernières années seulement, la théorie des 
ensembles de M. Cantor nous a montré, dans le continu 
linéaire lui-même, une foule de propriétés et de circons- 
tances dont nous n'avions auparavant aucune idée. 

Ces circonstances singulières se rencontrent d'ailleurs 
effectivement dans certains chapitres de la Théorie des 
Fonctions. On n'a pas eu, toutefois, à les considérer dans les 
débuts de celle-ci et cest (^e f|ui lui a permis de se déve- 
lopper. 

Nous pouvons maintenant comprendre quelle dilTiculté 
grave se présente pour le Calcul fonctionnel. 

Ce dernier se trouve dans les conditions oii serait la 
théorie des Fonctions si les propriétés du continu nous 
étaient totalement inconnues. 

Le conlinu fonctionnel — c'est-à-dire la multiplicité 
obtenue en faisant varier continûment une fonction de toutes 
les manières possibles — n'offre, en effet, à notre esprit, 
aucune image simple. L'intuition géométrique ne nous 
apprend rien, à priori, sur son compte. 

Nous sommes forcés de remédier à cette ignorance, et 
nous ne pouvons le faire qu'analyliquement, en créant à 
l'usage du continu fonctionnel, un chaj)itre de Théorie des 
ensembles. 

L'Knselj'ncment mallu-m., î'i° année 1912. - 



18 ./. HAnAMAED 

C'est ce (|iriin jeune géomètre, M. Fréehet, a déjà entre- 
pris. Les résultats auxquels il est parvenu pour le nouveau 
continu, montrent, avec ceux auxquels nous sommes habitués 
dans l'espace ordinaire, de notables dilTérences. C'est ainsi, 
pour ne donner qu'un exemple, que la notion de limite peut 
être caractérisée par plusieurs sortes de propriétés qui, équi- 
valentes entre elles dans ce dernier cas, ne le sont plus dans 
le précédent '. 

Ces travaux devront être continués. La tâche la moins déli- 
cate ne sera peut-être pas de savoir quelles sont les circons- 
tances qui n'interviendront que dans des cas compliqués, 
comme le font, dans la Théorie des Fonctions, les ensembles 
parfaits non continus — et celles qui, au contraire, se pré- 
senteront à chaque instant. 

Rien n'est peut-être plus propre que les recherches que 
nous venonsde mentionner en dernier lieu à nous faire sen- 
tir toutes les obscurités que doit offrir pour nous le Calcul 
fonctionnel. Mais, si grandes qu'elles puissent être, son im- 
portance pour l'avenir de l'Analyse est trop vitale pour que 
nous puissions nous refuser à les envisager. 



' Les récentes publications de M. Moore viennent jeter un pont entre les recherches de 
M. Kréchet et celles dont nous avons parle auparavant. Parlant, comme M. Fréehet. du con- 
tinu fonctionnel ou même de continus plus généraux encore. M. Moore imoyennant les hypo- 
thèses nécessaires! leur applique non plus seulement la théorie des ensembles, mais les 
principales opérations du calcul, telles que la formation de séries convergentes. 

D'autre part, le Calcul fonctionnel vient de recevoir de très importants perfectionnements 
dans la Thèse qu'a soutenue, devant l'Université de Paris. M. Paul Lévy. Mais, dans ce travail, 
la direction adoptée n'est pas celle que nous venons de mentionner; elle relève du point de 
vue de M. Volterra et des considérations i)résentées p. 12-13. — (Note ajoutée à la réimpres- 
sion. J. H.) 



LES SOMMES DE p""""" PUISSANCES DISTINCTES 
DE NOMBRES POLYGONAUX DE n COTÉS 

ÉGALES A UNE /y'"'" PUISSANCE 
D'UN NOMBRE POLYGONAL DE n COTÉS 



Soit iijc le .r''^""" nombre polygonal de n côtés, en sorte c|iie 



■-x[{n — 2)x + i- n] 



et par suite 2j; = .r; si S;,,x représente la somme des p"""^' 
puissances des ,r premiers nombres polygonaux de n côtés 
et Sp.x la somme des p'^"'"^ puissances des x premiers nombres 
entiers, on trouve' 

s'"' n -s [in — 2|S„ -f- (4 — «1]^ . 

égalité dans laquelle S^,x est du (2p + 1)'*"'" degré en .c. Nous 
passons du signe Si au signe = , après développement, 
en convenant d'ajouter les exposants de So,a: à son pre- 
mier indice et en admettant que S^ 3. X S,, j. = Sr.^ 3. . 
Supposons mainlenant qu'une somme de ^;'^'"" puissances 
distinctes des nombres polygonaux de n côtés puisse être 
une />'*""' puissance d'un nombre polygonal de n côtés, et 
consitlérons Pidenlité 

n +11 +.. + /( -\- ti ^ n ^ 1 



• Les sommes de p'*^""'" puissances distinctes égales à une p' "" puissance. E. IJahiiktik, 
page 148. Editeur: Gaulhier-Villars, Paris; prix: Fr. 12,50. 



20 E. BARBETTE 

dans laquelle les p'"""'" puissances sont écrites par ordre de 
grandeur, en sorte que 

•r- 1 ^ a, > a, > ... > a,,, ^ 1 . 

Ajoutons aux deux membres de Tégalité (l) les lacunes 
laissées par les parties du premier membre dans la suite 
des p'^"""^ puissances des x premiers nombres polygonaux 
de n côtés «^, /?^, ... , n^ \ nous obtenons 

1 ' 2 ' ' X ^ 

c(") P , P \ P I \ P 

p,X x+a x—\ ' x—2 ' a; — a j + l 



+ "^ , + n'' ,+ ... + n'' 



+ 1 






égalité qui entraîne la condition Sp^x ^ "x+a • 

Par suite, si l'inégalité Sp^x <1 ".r+i n est satisfaite que pour 
x ^ (j., il n'existera aucune somme de /?'*""'" puissances dis- 
tinctes de nombres polygonaux de n côtés, dont la plus 
grande est ii^, ou «3, ou «^ , ... , ou /?^, qui soit égale à 
une p'*™" puissance d'un nombre polygonal de n côtés. 

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'éga- 
lité (1) existe se déterminent, en ce qui concerne les nombres 
polygonaux de ii côtés pour n ^ 2, ainsi que nous l'avons 
l'ait dans l'hypothèse ji = 2 dans notre ouvrage sur les 
sommes de p'^"^"^ puissances. 

Des relations 

S''^^= l-ri.r-\- l)l2.r+ 1) 

S;''^= J^(.^ + l),4x-l) 

nous déduisons, ainsi que nous l'avons l'ait pour les nombres 
carrés ('pages 77 et 105), que pour c|u'une somme de nombres 



.X M li R E S POl.Y C. O N A U X 2 1 

polygonaux de n côtés soit un nombre polygonal de n côtés, 
il faut et il sufïît que l'on ait trois conditions distinctes; il 
s'ensuit que ï égalité 

«^_a + "x = "x+a (2) 

peut exister: en effet, le nombre x étant donné, deux des 
trois conditions précitées permettront de déterminer les 
couples de valeurs correspondantes de a, et a ; le nombre 
de solutions sera limité, « devant satisfaire à l'inégalité 
Si,x ^ lix+QL • Et si l'un de ces couples transforme la troi- 
sième condition en identité, il existera une relation de la 
forme (2). Nous avons montré, dans notre étude sur les />'^""^ 
puissances (page 153) que de telles sommes existent. 

Observai ion. — Quoique les problèmes qui vont suivre 
s'appliquent aux ^j'*™"=' puissances pour toute valeur de /j, 
nous n'examinerons dans nos exemples que l'hvpothèse 

Problème I. — Quelles sont toutes les sommes de p'''"""' puis- 
sances distinctes de nombres polygonaux de n côtés, dont la 
plus grande est n^ , égales à une p''""" puissance d'un nomb/e 
polygonal de n côtés ? 

Solution. — Soit 

x-\-h p.x ^ j-+/i + l 

L'égalité Sp,x= /'x+a ^ si elle existe, fournit une première 
solution 

Posons 



< + < + <+... + <--^ 



x+h 



p,x x+cz ' '■ f>,x x+ot' ' ' 

a variant de 1 à h, puis transformons le crochet par dilTé- 
rences successives en une somme de p'^"'"^ puissances dis- 
tinctes de nombres polygonaux de n côtés, si possible, dont 
la plus grande ne dépasse pas /«^_, , mais peut être moindre : 
en supprimant de part et d'autre de l'égalité (3) ainsi trans- 
formée, les parties communes, nous obtiendrons autant de 
solutions qu'il existera de sommes de p''"""^ puissances dis- 
tinctes égales à ce crochet; il n'y en aura pas tl'autre. 



22 E. B AU BETTE 

Sommes de nombres triangulaires distincts, dont le plus 
grand est Sg ou 21, égales à un nombre triangulaire : 

lo 1 _^ 3 ^ 6 + 10 + 15 + 21 = 56 = 28 + 15 + 10 + 3 

d'où 1 -(- 6 + 21 ^ 2S DU '.il -\- '.h -\- OG = o7 ; 

2o 1-^3 + 6+10 + 15 + 21 = 56 = lU) + J U -j- 6 + 3 + 1 

d'où 15 -|- 21 =z 36 ou 35 -}- 36 =: 38 ; 

30 1 _j_ 3 _|_ 6 _)_ 10 + 15 + 21 = 56 = 'i5 + 10 + 1 

d'où 3 -|- 6 + 15 -f 21 = 45 ou 32 + 3s + 3ô + Se =: 39 ; 

40 1 + 3 + 6+10 + 15 + 21 = 56 = 55+1 

d où 3 + 6 + 10+15 + 21 = 55 ou 32 + 3s + 34 + 35 + 36 =: 3io . 

Sommes de nombres carrés distincts, dont le plus grand est 
43 ou 64, égales à un nombre carré: 

SS!s = 204 . 

lo 1 _j_ i _|_ 9 _^ 1 6 -^ 25 + 36 + 49 + 64 

= 204 = 81 + 49 + 36 + 25 + 9 + 4 

d'où 1 + 16 + 64 = 81 ou 4i + 42 + ^s = 43 ; 

2" 1 _|_ 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 

= 204 = 100 + 49+25 + 16 + 9 + 4 + 1 

d'où 36 + 64 zrz 100 ou 46 + 48 :^ 'no ; 

30 1 _|. 4 _|_ 9 ^ 16 + 25 + 36 + 49 + 64 

= 204 = 121 + 49 + 25 + 9 

d'où 1 + 4 + 16 + 36 + 64 = 121 ou 4i + 'n + 'n + 46 + 48 = 4u ; 

40 1 _|_ 4 + 9 4- 16 + 25 -J- 36 + 49 + 64 

= 204 = 169 + 25 + 9 + 1 

doù 4 + 16 + 36 + 49 + 64 = 169 ou 42 + 44 + 4o + 4? + 48 = 4is . 

Sommes de nombres pentagonaux distincts, dont Le plus 
grand est 5^ ou 117, égales à un nombre pentagonal : 

S^'^ = 405 . 



A' (> M j{ n K s i> o L y a o n a u x 2 j 

ju 1 ^ :, 4. 12 -I- 22 + :}5 + 51 + :u + 92 + 1 1: 

rr 'i05 = 1 'i5 -I- 92 -(- 70 + ") 1 + \^:^ 

+ 12 

d'où 1 + 5 + 22 -|- I I 7 == I 'i5 ou 5i -|- 02 + 04 + ôg = Sio : 

2" 1 -f 5 + 12 + 22 -(- :j5 + 51 + 70 + 92 + 1 17 

= 'f05 = 210 + 92 + 51 -f- :J5 + 1 2 

+ •'> 
d'où 1 4- 22 + 70 +117 = 210 ou 5i + 54 + St + 5 9 = 5i2 ; 

;{.. 1 + 5 + 12 + 22 + 85 + 5 1 + 70 + 92+117 

= 405 = 210 + 70 + 51 +:j5 + 22 

+ 12 + 5 

d'où 1 + 92 + 11 7 -- 2 1 ou 5i + 58 + 59 = 012 ; 

40 I 4 5 _^ 12 + 22 + H5 + 5 1 + 70 + 92 + 117 

= 405 = 287 + 70 + :J5 + 12 + 1 

d'où 5 + 12 + 51 + 92 + 117 = 287 ou 52 + 5, + 56+58 + 59 

50 14-54.12 + 22 + 35 + 51 + 70 + 92+117 

= 405 = 330 + 70 + 5 

d'où 1 + 12 + 22 + 35 + 5 1 + 92 + 1 17 = 330 ou 5i + Ss + 54 + 55 + ôb + 58 

+ 59 = 5i5 ; 
r,o i +5_(_i2 + 22 + 35 + 51 + 70 + 92 + 117 

= 405 = 330 + 35 + 22 + 1 2 + 5 + 1 

d'où 51 + 70 + 92 + 117 := 330 ou Se -j-- 5? + 08 + 09 = 5u . 

Sommes de nombres hexagonaux distincts, dont le plus 
grand est 6» ou 120, égales à un nombre hexagonal : 

S''' = 372 . 

1,8 

Le problème n'admet que la solution donnée par l'identité 

1 + 6 + 1 5 + 28 + 45 + r,(> + 91 + 120 = 372 r= 231 + 91 + 28 + 15 + (i + 1 
d'où 45 + 66+120 = 231 ou 65 + 66 + 68 = 611 . 

Problème II. — Quelles sont toutes les sommes de p'*"'"* 
puissances distinctes de nombres polygonaux de n côtés, 
égales (I une p'*"" puissance donnée n[j d'un nombre poly- 
gonal de n côtés? 



24 E . BAR BETTE 

Sol /if ion. — Soit 

S "' < // ^ s"" 

Calculons successivement 



s"" : S"' .. ; S 



.(«) 



p.x ' /^-r+l ' P-x+2 ' ■■■ ' p,q-^ ' 

puis transloinions chacun des résultats obtenus en sommes 
de p'''""'" puissances distinctes de noml^res polygonaux de 
/i côtés dont la plus grande est n^ et dont toutes les autres 
sont moindres respectivement que 

p p I' p 

X X-\-\ .T+- Ç — 1 

En supprimant des deux membres des égalités ainsi trans- 
formées, les termes communs, nous formerons toutes les 
sommes de p'^"""^ puissances distinctes égales à la /?''"'" puis- 
sance donnée ii'' . 

Sommes de nombres triangulaires distincts égales au nombre 
triangulaire 'i^^^ ou 55 : 

35 < 55 < 56 ou ^^^ < 3^„ < S^^^ ; ■ 
S^'^ =r 56 : ^^l = 84 ; Sf„^ =120 ; S;'^ = 165 . 

lo Sfl ou 1 + 3 + 6+10+15 + 21 

= 56 = 55+1 

d'où 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 55 ou 3-2 + 33 + 3* + Ss + 36 = 3io ; 

2" SfJ ou 1 + 3 + 6+10+15 + 21 + 28 

= 84 = 55 + 15 + 10 + 3 + 1 

d'où 6 + 21 + 28 = 55 ou 3s + 36 + 3, = 3io : 

3û Sfl ou 1 + 3 + 6 + 10 + 1 5 + 21 + 28 + 36 

= 120 = 55 + 28 + 21 + 15 + 1 

d'où 3 + 6+10 + 36 = 55 ou 32 + 3s + 3* + 03 = 3io ; 

s;'; ou 1 + 3 + 6 + 10+15 + 21 + 28 + 36 

= 1 20 = 55 + 28 + 21 + 10 + 6 

d'où 1 + 3 + 15 + 36 z= 55 ou 3i + 02 + 35 + 38 = 3io ; 



TV () M II i: E s p () L Y G O NA UX 25 

4" Sj^^ ou l + :J + <i + '10+15 + 21 + 28 + ;J6 + 'i5 

= 165 = 55 + 3(i + 2H + 21 + 15 + 10 

d'où 1 + o + 6 + 45 ■=z 55 ou iii + Wi + IJs + 09 = IJio ; 

S<^J ou 1 + :{ + G + 10 + 15 + 2 1 + 28 + 36 + 'i5 

z=z 165 =: 55 + 36 + 28 + 21 + 15 + 6 + 3 

d'où 10 + '.5r=55 ou 3» + ^9 = 3io . +1 

Sommes de nombres carrés distincts égales au nombre 
carré ^^^ ou 121 : 

91<121<1'.0 ou S^,;^ 4^, < S;;,^ 

s;;; = i4o , sî;> = 204 ; s« = 285 ; s;% = 385 . 

1° s ne lournit aucune solulion ; 

2o S^^^ on 1 + ', + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 

= 204 = 121 + 49 + 25 + 9 

d'où 1 + 4+16 + 36 + 64 = 121 ou 4i + 42 + 4* + 46 + 48 = 4ii ; 

3" Sf^ ou 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 8 1 

1=285=121 + 64 + 49 + 25+16 + 9 

d'où 4 + 36 + 81 = 121 ou 42 + 46 + 49 = 4ii ; +1 

4o Sj^J^ ou 1 + 4 + 9+16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 

= 385 = 121 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 

+ 9 
d'où 1 + ',+ 16+ 100= 121 ou 4i + 42 + 44 + 4io = 4ii . 

Sommes de nombres pentagonaux distincts égales au 
nombre pentagonal 5^ ou 92 : 

75 < 92 < 126 ou Sj^^^ < 5^ < ^% ; 

SfJ = 126 : SfJ =196 . 

1° Sf^ ou 1 + 5+ 12 + 22 + 35 + 51 =126 = 92 + 22+ 12 

d'où 1 + 5 + 35 + 51 = 92 ou 5i + 52 + Ss + Se = ôg ; 

2" Sf J ou 1 + 5 + 1 2 + 22 + 35 + 51 + 70 

= 196 = 92 + 51+35 + 12 + 5 + 1 

d'où 22 + 70 = 92 ou 5^ + ôt = 58 . 



26 



E. BARBETTE 



Sommes de nombres liexagoïKiitx distincts égales au nombre 
hexagonal 6,3 ou 325 : 

252 < 325 < 372 ou S^^J < 6,._, < S^^^ ; 
Sf^ = 372 ; S^"^ = 525 ; S^'J^ = 715 ; S,";, = 946 ; Sf;., = 1222 . 



1" Sj' ne fournit pas de solution 



:(6) 



2o S^g ou 1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 + 91 + 120 + 153 

= 525 = 325 + 120 + 'i5 + 28 + 6 + 1 
doù 15 + 66 + 91 + 153 = 325 ou 63 + (is + 6; + 69 = 613 ; 



:(8) 



Sj 9 ou 1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 + 91 + 1 20 + 153 

= 525 = 325 + 91+ 66 + 28 + 15 

d'où 1 + 6 + 45 + 120 + 153 = 325 ou 61 + 62 + 65 + 63 + 69 = 613 



3° Sj^J^ ou 1 + 6 + 15 + 28+45 + 66 + 91 + 120+153+190 

= 715 = 325+153 + 120 + 66 + 45 + 6 

d'où 1 + 15 + 28 + 91 + 190 = 325 ou 61 + 63 + 64 + 67 + 610 = 613 ; 

^Mo °" 1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 + 91 + 120 + 153 + 190 

= 715 = 325 + 153 + 91 + 66+45 + 28 

+ 6 + 1 
d'où 15+120 + 190 = 325 ou 63 + 68 + 610 = 613 ; 

40 S^j^j\ ou 1 + 6+15 + 28 + 45 + 66 + 91 + 120 + 153 + 190 + 231 

= 946 = 325 + 190 + 153+120 + 91 

+ 66+1 

d'où 6 + 15 + 28 + 45 + 231 = 325 ou 62 + 63 + 64 + 65 + 611 = 613 ; 

Sj^Jj ou 1 + 6+1 5 + 28 + 45 + 66 + 9 1 + 1 20 + 1 53 + 190 + 231 

. =946 = 325 + 190 + 153+120 + 91 

_|-45_|_15-|_6+1 

d'où 28 + 66 + 231 =: 325 ou 64 + 66 + 611 =z 613 ; 

50 Sf J2 ou 1 + 6+15 + 28 + 45 + 66 + 91+120 + 153 + 190 + 231 + 276 

= 1 222 = 325 + 231 + 190 + 153 + 120 

+ 91 + 66 + 45 + 1 

d'où 6 + 15 + 28 + 276 = 325 ou 62 + 63 + 64 + 612 = 6,3 . 



.V O M li U E S V 1. Y G O N A U X 2 7 

Problème III. — Quelles sont les sommes de p'"'"" puissances 
consécutives de nombres polygonaux de n côtés égales à une 
p'""' puissance d'un nombre polygonal de n côtés? 

Solution. — Considérons un damier dun nombre illimité 
de cases et écrivons en diaoonale, de haut en bas et de 
gauche à droite, la suite 



Ajoutons au nombre n^ de cette diagonale, le nombre «^_j 
qui le précède; au résultat /'^ + "^_, ^ ajoutons le nombre 
n^_.^ qui précède 7/^_, ; au résultat n^ + n^^_^ + ''^_o i ajou- 
tons le nombre n^_^ (jui précède "^_., ; et ainsi de suite. 

Ecrivons les sommes obtenues successivement dans les 
cases qui suivent la verticale passant par «^ , de bas en haut : 
dans la x'^'"" case, c'est-à-dire dans la case qui appartient à la 
première bande horizontale du damier, se trouvera le nombre 
représenté par la somme 



nP + n'' , +,/ , + ... +< = S 
X ' x—l ' X — 2 ' 1 



p, X 



Tout nombre X de ce tableau appartient à l'intersection 
d'une bande horizontale c[ui, considérée de gauche à droite, 
commence par /?^ et d'une bande verticale qui, considérée 
de bas en haut, commence par «^ ; à ce nombre correspond 
l'égalité 

"^ , + "''o. . + - + «'' = ^' • 

Lorsque X sera une/?'*"'^ puissance d'un nombre polygonal 
de n côtés, l'égalité qui précède donnera une solution du 
problème. 

Observons, en passant, que tout nombre X du damier est 
éffal à la différence S " — S" . 

o p.x p. y 



28 



E. BARBETTE 



Sommes de nombres triangulaires consécutifs égales à un 



nombre t/ianmilai/'e : 



+ 32 + 



3, + 35 + 3, 

8, -h 35 + 36 + 

35 + 36 + 3? 4- 



3l + 32 + 33 = ?4 

35 4" 36 ^08 

32 + 3s + 34 + 35 + 36 = 3io 

+ 34 + 35 + 36 + 37 + 38 = 3,5 

38 + 3j + 3io = 3i6 

+ + 3io = 320 

+ 3ii =: 023 

+ 3lS = 329 



03 + 3* + 35 + + 3i9 = 351 

3l3 + 3u + 3l5 + + 320 = 348 

3i + 32 + 38 + + 32f) ^ 355 

3i2 + 3i8 + 3i4 + + 321 ^ 354 

32 + 33 + 3, + + 321 = 359 

3n + 3i2 + 3i3 + + 328 = 364 

3i4 + 3i5 + 3i6 + + 324 =: Ses 

38 + Sg + 3lo -f + 327 ^ 084 

321 + 322 + 323 + + 031 rr: 388 

34 + 35 + 36 + + 330 ^= 399 



So?nmes de nombres carrés consécutifs égales à un nombre 
carré : 

4s + 44 =: 45 

420 + 421 = 429 

4i + 'i2 + 4» + + 424 =: 470 

4l8 + 4i9 + 420 + + 428 = 477 

47+48+49 + + 429 = 492 

40 + 4io + 4ii + +^32:= 'iio6 

4l7 + 'mS + 4l9 + + '139 ^ 'll88 

47 + 48 + 49 + + 439 m 4l4S 

420 + '121 + 422 + . . . • . . . .+^43= il58 

438 + 439 + 'l4o + + 448 ^ 4l43 



Sommes de nombres pentagonaux consécutifs égales à un 
nombre pentagonal : 



.V O M n n E s POl.YGONA ux 



29 



52 + 5s + 04 -f- ^5 + 5o -f- 57 

5o 4- 5? + 5g 

54 +55 +06 + 

Se + 5? + 58 -j- 

5g +58 + 5io + 

53 +54 +55 + 

5s + 09 + 5io + 



5i2 + 5is + 5i4 + 
oio + 5ii + 5i2 + 



+ 08 

+ 5e 
+ 5,0 
+ 5u 

+ 5l8 

+ 52. 

+ 022 

+ 520 

+ 526 

+ 527 



Ot4 
5l5 

5l9 
521 
544 
5»7 
060 
536 
5-5 
081 



Sommes de fiombres hexagonau.v consécutifs égales à un 
iiombfe hexagonal : 



6i + r,2 + 6s 4 
63 + r,4 + (iô + 

615 -I- C16 + (n? + 



. + 6u =^ 622 ; 

. + 61.S = 628 ; 

6is + 614 = 'îi9 : 

, . + 624 = fJeo ; 



Observation. — En ce qui concerne les nombres triangu- 
laires, la forme 



,.(3) 



60 



xix + !)(.«• + 21 (3a-* + 6.r + 1) 



fait prévoit' qu'une somme de carrés de deux nombres trian- 
o-ulaires ne peut être le carré d'un triangulaire '; et puisque, 
d'après le théorème de Fermât, une somme de deux p""'"'" 
puissances ne peut être une /y^'"" puissance lorsque p est 
supérieur à 2, il en résulterait le théorème suivant: 

Une som/ne de deux p'""" puissances de nombres triangu- 
laires ne peut être une p'""" puissance d'un nombre triangu- 
laire lorscjue p est supérieur à l'unité. 



» A consulter : l.c dernier théor'cmc de Fermât par E. BAnmCTTF, (Editeur : Gautliier-Villars, 
Paris ; prix : Vr. 1,50.1 

Une somme de deux carrés de nombres triangulaires peut cependant être un carré, mais 
non le carré d'un triangulaire : 

21"+ 2S^ = :i .'' on ■/ -\- ■/ z= Xj^ ; 15 + .If. = 39' ou 3+3 = 39 : 

3 ï 2 % -i 2 2 2 i Ï22 

28 + 'i5 = 5:t OU 3. + .-{ = 5:{ : :!(i +1115 =111 ou :!^ + :'^^=!U ; ... 



30 E. BARBETTE 

En d'autres termes, réqualion 



[- 



ai', \x — Xi + 



IH'' I r<i.^- + i ']p _ [m; 



+ ail.r + a -I- Il 



est impossible en nombres entiers lorsque p est plus grand 
que 1. 
La forme 

s''" = .r(.r + l)(.r + 2)Q 

dans laquelle, lors(|ue/> est plus grand que i, Qx représente 
un polynôme entier du (2/? — 2;'^""' degré en .r, conduit direc- 
tement a la même conclusion. 
La relation 

S^,"*^ = ;^.rU- + lH2.r + 1| |3.r2 + 3.r — 1| , 
2. a: oO 

fait aussi prévoir iycCune somme de carrés de deux nombres 
carrés ne peut être un carré de carré. Mais des formules 



>(5) 



-x{x -\- 1) (27.rS + 18x2 — 13.r 
60 



et 



Sf = -'. .r(.r + Il |24,r8 + 6.r-' - 16.r + 1) , 



nous ne pouvons conclure qu'une somme de deux carrés de 
nombres pentagonaux ou hexagonaux ne peut être respec- 
tivement le carré d'un nombre pentagonal ou hexagonal ; il 
est bon d'observer cependant que nous n'affirmons pas pour 
cela qu'une telle égalité existe. 

E. Barbette (Liège). 



EXTRACTION D UNE RACINE QL'ELCONgL'E 
D'UN NOMBRE RÉEL A' 



I. — A est une puissance n'^"'" parfaite. 
Posons 

A = a" . 

1. — Considérons une valeur approchée par excès de a et re- 
présentons-la par a -\- a . 

On a : 

A a" 



" ' ' "-j— *^' "+- r~^2 a^a"--' + .. + a" 



(« + ai" a'-' -{- '^^ oir,"-- + ^ —^ L_2„«-3 , , .„_l 



R 

= a — in — 1 1 a + 



a + a)" ' 



en posant 



H (« — Il 2 n-2 , 2«(" — -lu» — 2l 3 „„3 



^ 1 . 2 . 3 ... 1/ + Il ^ ^ 

Dans le calcul littéral, la division s'arrête ici; mais dans le cal- 

cul numérique la division — pourra donner encore quel- 

(a + a)" 
ques unités. 

Si Ion écrit 
H 



-4- ■ /• <r a + ai > 



ici + ai" la + a. 

on a en résumé 

A ,.. ,,..,., '■ i ,. / . , .,"-1 I 



,"— 1 



rt — (« — 1 1 a + £ -| ) ;• < .rt -f ai 



a + ai"~' (rt + ai 



* Communication présentée à ï^oleure, le l" août 1911, à la Section mathématique de la 
94» réunion de la Société helvétique des Sciences naturelles. 



32 L. BAATARD 

En additionnant le quotient incomplet a — [n — i]a -\- f avec 
[n — 1 [a -\- a, et divisant le tout par n, on obtient 

a — \n — \\j. -\- i -\- ui — \)\a -\- :/.] , £ 

= " H — • 

Il II 

Le quotient incomplot de cette division est la racine cherchée a 
ou, si f > n, une valeur approchée par excès de cette racine. 

Applications. 



1. — yi 889 568 

rt + X = 20 ; 20* = 160000 ; 1889568 : 160U00 z=i 11 quoi. inc. 

i-i I 4 9n * 

- — '^^ • - = 18 q.iot. iiu-. = /1889568 



2. — V'9507 

a + a m 50 79507 : 50- = 31 quoi. inc. 

31 + 2 . 50 , ^ . ^. ._ 
— = ^3 quot. nie. = l//9oU/ 

En prenant comme valeur approchée GO, au lieu de 50, on obtient 

22 -|- 2 . 60 

79507 : 60- = 22 quot. inc. ; — -^ ^ 47 quot. inc. ; 

3 

le calcul donne une valeur approchée par excès de la racine. 



3. — V917764 

« + a = 1000 ; i ' = 958 quot, lue. = ^/9T7764 



2. — Considérons maintenant une valeur approchée /?«/• 6^é/a?<^ 
de a et représentons-la par a — a. 
On a: 



a 



' ' a — art -| j a a 

= fl + l/i — lia H 



EXTRACTION D UNE lî A C I N E QUELCONQUE :53 

en posant 

— 1 . 2. 3 ... 1/ + Il ^ ■" 

R' esl-il positif? 
On peut écrire 

R' = rt" — [a + (« — l)a] (« — a)"-' 

= [(« — a) + a]" — [k/ — a)" + //a(rt — a)"-'] . 

Or 

[,fl _ a) + a]" = i« - a/' + '^ a(« - al"-' + "'"~ ^' a-(« - al"-"^ 

II" 
+ ... + X . 

Donc 

R' = ^L^Z_li .^« _ .,«-^ + -'^"7^;^^--' .3(« _ ,,"-3 + ... + a« ; 



R' es^ toujours positif. 



n—\ 



Comme on peut avoir R' ]> (a — a] , posons 

R' , . '■' f , ^ . ,i-\ ] 



|(l Jll (rt X) 

En opérant comme avec la valeur approchée par excès, on ob- 
tient 

a -\- \n — 1 1 a + i' -\- \n — 1 M« — al 



« + r 



et Ion aboutit à la même conclusion. 

Applications. 



1. — ViUi iU2 97G 

« — a = 20 ; 191 102 970 : 20^ = 59 quoi. inc. 

59 + 5 . 20 o,- . ■ 

■ = 26 quoi. inc. 

6 ' 

20'* = 11 881 376 : 26 est plus giaiid (|uc la racine cherchée. 

L'Enseignement m.Tthém.. l'i« année; 1912. 



34 /. BA.4T.IHD 

Répétant lOpéiatioii avec 20, on ol)tient : 

191 102 976 : 11 881 376 -- If, ,,uol. iuc. 

16+5.26 ,, . ^ ■ 

-!-^ = 2'j quoi. inc. = /l91 102 976 



V131 079 ()0i 
rt — a = 100 ; 131 079 601 : 100^ = 131 quot. inc. 

131+3.100 , . *, 

—, = 107 quot. inc. = /l31 079 601 . 



3. ^ V4 613 904 

a — oi= 2000 ; 4 613 904 : 2000 = 2306 quot. inc. 

2306 + 2000 ,,.^ 
—^ = 21o3 . 

Il faut répéter lopération : 

4 613 904 : 2153 = 2143 quot. iuc. 
""|"^^ = 21i8 = t/46mO-ï-. 

Formule w). Représentons par a ± ce nne valeur approchée par 

n 

excès ou par défaut de y'A et par p le quotient incomplet de la 
division de A par (a ±a "~ . 

Il résulte de ce qui précède que le nombre i\, donné parla for- 
mule COj 

p -\- in — 1 1 ( a ih « ) 

v'i ^ ' quot. me. , 

n 

n n 

est OU VA OU une valeur approchée par excès de VA . 

n 

Si l'on n'obtient pas tout de suite \'A, on opère sur p, comme 
sur rt H- « et ainsi de suite. 



II. — VA 6st un nombre irrationnel. 

Si l'on représente par x et .r + 1 les deux nombres consécutifs 
entre les /i**™"' puissances desquels se trouve A, la formule (w) 
donne x ou une valeur approchée par excès de a\ 



EXTRACTION DUNE BACINE QUELCONQUE 35 

Pour seu rendre eoinpte. il siilTit de poser 

A = .r" + h 

et de remplacer n par .r dans les calculs précédents; /i s'ajoute à 
R ou R' et la conclusion jtour a subsiste pour .r. 



Kx. : ^/12 UUO 



,., ,_ 45 + 2.40 ,, 
: jll- =z iO ; ^ 41 quoi, inc 



a — a = 40 ; 72 000: 4( . 

4P = 08 921 < 72 000 
423 _ 74 088 > 72 000 . 



. " - . 1 . 

Pour obtenir VA à moins de — près, par défaut, on a la relation 



II 

on calcule, comme ci-dessus, \/r." . A à moins d'une unité près, 
par défaut, et on divise le résultat par z. 

'■' — . 1 

Ex. : Soit à calculer yiO à moins de — - près. 

3 I 3 

|/TÔ = — j/JOOOOOOO 

rt — a = 200 : 10 000 000 : 200^ — 250 ; "^^ "'".^^ '"^^^ = 216 quot. inc. 

21fi2 — 46 656 

214 4-2 216 
10 000 000 : 46 656 = 214 (|ii., t. iuc. ; 1^— = 215 quoi. inc. 

2,15 = j/lO , à uioius de ~— près, par défaut. 

Utilisation des quotients, complets : /o/7«///e (&)'). En prenant 
les quotients complets p' et y, des divisions qui donnent p et ç^ , 

n 

on obtient un nombre fiactionnairc qui exprime la valeur de VA 
avec une erreur par excès; l'application du même calcul à y, don- 

II 
nera un nouveau nombre fractionnaire //^ > V -^ mais <Zl/\' "" 

II 
obtiendra de même /y., > yA mais <; y.,, et ainsi de suite. 



36 L. HA A TAJiD 

Ce calcul se représente par la formule («') 

// + (// — 1| \a ± a) 

^■^ = TT- • 

L'erreur diminue assez fortement quand on passe de l'un de 
ces résultats au suivant. 

3 

A titre d'exemple, reprenons ViU . 

^2.2 
a-a=2; J = ô ' 3 _-_2,lb66... 



360 2.13 

.^ . rsy 360 169+ "6 3277 ,,^_ 

10 : - =7TZ. ■■ T-, = 7^, = -'-'540 ... 

IbVt o lo21 



3 

On sait que ViU = 2,1544 .... 



Racine carrée. L'application des formules (w) et iw') à la racine 
carrée donne lieu à diverses remarques que je laisse de côté dans 
cet article. 

Je me bornerai à démontrer, à l'aide de quelques exemples, la 
supériorité de ^co'j — comme simplicité et rapidité — sur le calcul 
au moyen du développement de VA en fraction continue. 

j/ 2" = 1 + 1 



2+ 1 



+ etc. 



Réduites 


: 










1 3* 


7 17** 41 


99 


239 577*** 


1393 


3363 


1 2 ' 


5 ' 12 • 29 


' 70 ' 


169 ' 408 


' 985 ' 


2378 


8119 


19601 47321 


Il'i2'i3 


275807 


665857*** 
470832 




5741 ■ 


13860 ' 33^61 


80782 


■ 195025 ' 






3 17 


577 


665857 






(0/) 


2 ' 12 


' 408 ' 

1 +_ 


470832 ' ■■■ 







1 + etc. 



EXTRACTION I) LN E RACINE QUELCONQUE 
Réduites : 



1 


2* 


5 


7** 19 26 


71 97**' 265 


362 


989 


T ■ 


T ' 


3 ' 
1351 


3691 5042 


41 ■ 56 ' 153 ' 
13775 18817**** 


2Ô9 • 


571 






780 


' 2131 • 2911 ■ 

2 7 97 


7953 ' 10864 
18817 






(w') 






1 ' 4 ' 56 


' 10864 ' ■■■ 







/Il = 3+1 



3+ 1 



6 + 1 



3 -f- etc. 



Réduites : 


















3 10* 


63 


199** 




1257 




3970 


25077 


79201*** 


1 ' 3 ■ 


19 ' 


60 
10 




379 
199 




1197 ■ 
79201 


7561 ' 


23880 






3 ' 
j/Î5 = 


3 


60 ' 

+ 1 
1 


+ 


23880 ' 

1 

6+ !_ 







1 + etc. 



Réduites : 

3 4 27 3r* 

T ' T ' T ' ~8~ 

(w') a — a =: 3 



Dans ces exemples, (w'j fournit les réduites de rang 2'". 
Ce n'est cependant pas toujours le cas. 

Lucien Baataud Genève) 



213 
55 


244 
63 ' 


1677 
433 • 


1921*** 
496 


4 


31 


1921 




1 ' 


8 ' 


496 ' 




31 


1921 






8 


• 496 







MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Uue démonstration vectorielle du théorème de Dupin^ 

Trois surfaces S, , S.^, S3 respectivement définies par 

// = const. , f = const. , n' zn const. , 

se rencontrent orthogonalcnient en un point P. Soient 11 ^ , z?, , n.^ 
trois vecteurs parallèles aux normales en P aux trois surfaces et 
par conséquent parallèles aux tangentes aux courbes d'intersec- 
tion de ces mêmes surfaces. Ces vecteurs sont donc parallèles à 

λP ^P r»P r 1- • 1, 1 1- . 

— , — . — . LiCS conditions d orthouonalite nous donnent 
^P ôP r>P ôP dP e^P 

r-Xr- = T-Xr- = N-x — = <^- 

^^' ôi«' i>n' (>« isu ^v 

En dérivant la première par rapport à //, etc., on déduit aussi 
^•P ;>P _ .)-P oP _ ^'P ^P _ 

Supposons que l'on ait fait 

L^P , ôP ;>P , oP 

>h =1 — A — ; «a ^ — ^ A — • 

ùv ' ^ d«' OU' ' ^ du 

et que le point P se déplace sur la courbe intersection des deux 
surfaces Sj , S^ sur laquelle seulement iv est variable; c'est-à-dire 
supposons que dP soit parallèle à n^ /\ /?._, . Alors on déduira aisé- 
ment que 

o-P ^ 0P\ /ùP ^ 0P\ 

OP ^ O^pX /;)p ,^pN 



et, par conséquent. 
On a aussi donc 

c'est-à-dire^ 



("1 A "2! X ("1 A (^'h) = , 
dP X "1 A ^/"i = . 



Donc /rt courbe considérée est une ligne de courbure pour la sur- 
face S^ . 

Naples, mai 1911. R. Marcolongo. 



• Voir aussi Fkhr, Application de la méthode vectorielle de Grassmann à la Géométrie inli- 
nitésimale, p. 74-76. 

* Eléments de Calcul vectoriel -p^^r C Buhai.i-Forti et R. Mahcoi.ongo, Paris, Hermann, 1910; 
p. 96. 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 
I. — RiiuMoN ui: (>amhiud(;k (août 1912). 

La Commission se réunira à Cambridire en même temps que le 
-me Congrès international des malhématiciens, qni siégera dans 
cette ville du 22 au 28 août 1912. Le Comité central a arrêté le 
programme général, dans ses grandes lignes, de la manière sui- 
vante : 

Dans la première séance générale du Congrès, M. le prof. F. 
Klein, président de la Commission, fera un exposé d'ensemble 
des travaux. L'assemblée sera appelée à se prononcer sur la pro- 
longation du mandat de la Commission jusqu'au Congrès suivant, 

La Commission tiendra ensuite trois séances en commun avec 
la section d'enseignement du Congrès. Elles seront organisées 
sur le plan général de celles de Milan. 

1'"" sÉAXCE : Présentation des travaux des sous-commissions na- 
tionales. Pour chaque pays, le délégué déposera un court rapport 
écrit, destiné à faire ressortir les points caractéristiques des tra- 
vaux de sa sous-commission. L'exposé oral sera un résumé de ce 
rapport. 

2""' SÉANCE : L'intuition et l'expérience dans l'enseignement ma- 
thématique des Ecoles moyennes. — Discussion du rapport de la 
sous-commission A. 

3'"" SÉANCE : Les matJiématiqucs en phi/sicjite. Connaissances ma- 
thématiques utiles aux physiciens et réclamées par ceux-ci. — 
Discussion du rapport de la sous-commission B. 

Le Comité central à constitué deux sous-commissions A et B, 
avec la mission d'élaborer un rapport préparatoire sur chacune 
de ces questions. Ces rapports, ou tout au moins les points les 
plus importants, seront pnJ)liés dans V Enseignement mathéma- 
tique et distribués aux membres de la Commission dans le cou- 
rant du printemps. IL Kkiiu. 

IL SoCS-COMMISSIONS NATION AI-ES. 

Allciliag-iie. — Ahliandlungcn iiber den niathematischen l'n- 
terricht in Detitschland. Deux nouveaux fascicules viennent de 



40 CHRONIQUE 

paraître, ce qui porte à 18 le nombre des rapports pul)lîés au 10 
janvier 1912. Le !api)ort de MM. Sciiillix<; et H. Mkldau traite de 
renseignement mathématique dans les écoles allemandes de na- 
vigation ; l'autre, de M.W. Liktzmann, examine renseignement du 
calcul arithmétique dans l'enseignement élémentaire. 

Band lY, Ileft '». Der mathematisclie Unterrichl an den deulschen Naviga- 
tionsschulen, von D"" C. Schilling (Bremen) et D"" H. Meldau (Bremen) 
(vi-82 p.; 2 M.; B. G. Teubner, Leipzig). 

Band Y, Heft 2. StofT und Méthode des Reclienuntérrichts in Deulscliland, 
ein Literaturbericht von D"" \Y. Lietzmann. Mit einem Einfûhiuiigsworl zu 
Band A' von V . Klein (vii-125 p. ; 3 M. ). 

Autriche. — Le fascicule 10 des Berichte iiber den mathema- 
tischen Luterricht in Oesterreich est consacré à l'enseignement 
mathématique dans les écoles supérieures spéciales, telles que les 
écoles des mines, les écoles militaires, etc. 

Heft. 10. Der mathematische Unterricht an der Hochschule t'iir Boden- 
kultur, den Monlanislischen Hochschuleu, den Militar-Erziehungs- und Bil- 
dungsanslallen und am technologischen Gevverheniuseum, von D'' Oskar 
SiMONY, o. o Professer an der Hochschule fur Bodenknllur ; D'' Engelbert 
KoBALD, o. ci. Professer an der mont. Hochschule in Leoben ; Alfred Mikuta, 
k. und k. Obersleutnant des Arlilleriestabes ; dipl. Chem. Karl Reich, Pro- 
fessor am k. k. technologischen Gewerbemuseum in Wien (39 p. ; Hôlder, 
Yienne). 

Etats-Unis. — Les rapports sont publiés sous les auspices 
et par les soins du United States Bureau of Education à Washing- 
ton. Leur préparation a été répartie entre quinze comités ; cinq 
d'entre eux viennent de terminer leur travail. 

Comité Y. — Training of Teachers of elementary and secondary Mathe- 
matics (23 p. ). 

Comité YII. — Examinations in Mathematics other thau those set by ihe 
Teach(;r for his own Classes (72 p.). 

Comité IX. — Mathematics in the Technological Schools of Collégiale 
Grade in the United States (44 p.). 

Comité X. — Undergraduate Work in Mathematics in Collèges of libéral 
Arts and Universities (30 p.). 

Comité XII. — Graduate Work in Mathematics in Universities and in 
other Institutions of Like Grade in the United States (63 p.). 

Iles Britannicfues. — Nous avons reçu trois nouveaux fas- 
cicules, soit au total onze jus({u'à ce jour. Ils sont publiés, comme 
on sait, sous le titre général : The Teaching of Mathematics in the 
United Kingdoni, et édités par la maison Wyman and Sons à Lon- 
dres. 

N» 9. The Organisation of the Teaching of Mathematics in Public Secon- 
dary Schools for Giris. By Miss Louisa Story (17 p.). Price lya d. 



CHRONIQUE VI 

X° 10. Examiuations froin llic School point of View. By Mr. Cecil Hawkins 
(104 p.). Price 9 pente. 

N° 11. The Teachint^ of Matliematics to Young Cliildren. By Miss Irène 
Stephens (19 p.). Price 1 '/a ^• 

Suisse. — Deux nouveiiux fascicules (N°* 3 et 5), comprenant 
un ensemble de quatre rapports, viennent de paraître: 

Fasc. 3. — Der mathematische Unlerricht an den hùheren Madchenschulen 
der Schtreiz, von E. Gubler, Zurich. 

Der mathematische i'nterricht an den l.ehrer- itnd Lehreriiinenseminarien 
der Schiieiz. von F. R. Scherrer. Kùsnachl. 

Organisation und Methodik des matheniatischen Unterrichts in den Land- 
erziehungsheinien, von K. Matter. Frauenfeld. — (109 p.|. Fr. 2.25. 

Fasc. 5. — Les mathématiques dans renseignement technique moyen en 
Suisse, par L. Crelier, Bienne. — (112 p.). Fr. 2,25. — Georg &. C°, 
Genève-Bàle. 



111. — Dépôt central de vente des publications concernant 
l.a co.m.mission internationale. 

Nous rappelons cpie, conformément au vœu qui a été exprimé au 
Congrès de Milan, le Comité central a fait les démarches néces- 
saires en vue de la création dun dépôt cent/ai de vente des publi- 
cations concernant la Commission. 

La maison Geor(; & C'^, à Genève (Corraterie, 10 , s'est chargée 
de ce dépôt. On y trouvera toutes les publications des sous-com- 
missions nationales. 



Œuvres complètes d'Euler. 

Deux ans nous séparent à peine de la séance mémorable du 6 
septembre 1909, dans laquelle la Société helvétique des Sciences 
naturelles décida d'entreprendre la pulîlication des œuvres com- 
plètes d'Euler. Grâce aux travaux préparatoires très complets et 
fort bien documentés de la Commission Euler, le travail effectif a 
pu être commencé presque immédiatement, et au mois de novem- 
bre 1911 deux volumes ont déjà été distribués aux souscripteurs. 
Nous les signalerons ici par l^ur titre complet : 

EuLERi, LÊONH.A.RDI, OpcTU omnitt. Sub aiispiciis societalis scientiarum natu- 
raliura helveticaî edenda curaveruiit Ferd. IUdio, Ad. Krazer, Paul Sr.ic- 

KEL. 

Séries I. Opéra mathemalica. Vol. I. Vollstàndige Anleitung zur Algebrn 
mit den Zusâtzen \'on J. L. Lagrange. Herausgegeben von H. Weber. Mit 
einem Bilde von Euler, einem Vorwort zur Eulcrausgabe und der Lobrede 
von Xicol. Fuss. — B. G. Teubner, Leipzig, 1911. M. 28.50. 



42 CHRONIQUE 

Séries III : Opéra physica, Miscellanea, Epislolae. Vol. 3 : Dioptrica. 
Edidil Einil Ciierbui.iez. Voluineu prius. [4°, VIII et 510 p.] — B. G. Teub- 
uer, Leipzig, 1911. Mk. 24. 

Ainsi que nous lavions annoncé, le Comité de Rédaction est 
composé de M. F. Kudio (Zurich), Rédacteur en chef, et de MM. 
A. Krazer (Carlsruhe) et P. Stackel (Carlsruhe). 11 s'est assuré le 
concours de nombreux mathématiciens qui se chargeront de la 
publication des différents volumes. 

Les œuvres d'Euler comprendront '/.l volumes in-4°, répartis en 
3 séries ' ; 

Série 1, Mathématiques pures, 18 volumes. 

Série II, Mécanique et astronomie, l(j volumes. 

Série III, Physique. Travaux divers. Correspondance, 11 volu- 
mes. 

Ces volumes renfermeront non seulement les nombreuses pu- 
blications fort dispersées et dont la liste a été étaWie par M. .G. 
ExESTR(')M (Stockholm), dans son Verzeichnis der Schriften Leonhard 
Enler^, mais encore divers travaux restés en manuscrits. 

La partie financière de la publication est assurée, comme on 
sait, d'une part par un fonds de près de 135,000 fr. réunis par la 
Société helvétique des Sciences naturelles, et, d'autre part, par 
plus de 350 souscripteurs aux œuvres complètes. 

Cette publication constituera le plus beau monument qu'on ait 
pu élever à la mémoire de l'illustre mathématicien de Bàle, l'un 
des plus grands savants de tous les temps. II. F. 



Académie des Sciences ; prix décernés (Suite et fin). 

Prit- Montyon (Statistique), 1000 francs. — M. René Risser, 
actuaire du Ministère du travail, pour son ouvrage intitulé : Méca- 
nisme historique actuariel et financier de la loi des retraites ou- 
vrières et paysannes. 

Prix Binoux (Histoire des Sciences), 3000 francs. — Le prix est 
partagé entre M. Antonio Favaro, professeur à l'Université de 
Padoue, pour la publication des œuvres de Galilée, et M. Edmond 
Bonnet, assistant au Muséum d'histoire naturelle de Paris. 

Prix Bordin 13000 francs). — M, A. Demoulin, professeur à 
l'Université de Gand. 

Prix Saintour (3000 francs). — M. Jules Drach, professeur à 
l'Université de Toulouse, pour ses études sur les « groupes de 
rationalité des équations différentielles ». 



' On trouvei-a le plan gi-néral, élaboré par M. SrAr.Kiîi., clans le Jahresb. d. deutschen Ma- 
thcinatiker-Vcrcinigiing, 1910, p. KKi-llO et p. Vl'.\-\'ii.. 
s 1. Lieferung, 208 p., B. G. Teubner, Leipzig, 1010. 



CHRONIQUE 43 



Etats-Unis. Thèses de doctorat. 

Pendant l'année universitaire 1910-1911, les Universités des 
Etats-L iiis ont délivré 437 grades de docteurs, dont 239 !17<S en 
1909-10) pour les sciences. Les thèses de mathématiques, au 
nombre de 26 (231, sont les suivantes (le nom de l'Université est 
indiijué entre parenthèses : 

li.-L. Agard (Yale : The extension of some theorems in the 
theory of sets of points in A-dimensional space. — T.-B. Ash- 
CRAFT (Johns Hopkinsi : Quadratic involutions on the plane ratio- 
nal quartic. — jNliss C.-L. Bacox (Johns liopkinsj : The Cartesian 
oval and the elliptic functions. — R.-P. Baker (Chicago) : The 
problem of the angle bisectors. — Miss I. Barxey (Yale; : Line and 
surface intégrais. — \V.-H. Bâtes Chicago) : An application of 
symbolic methods to the tieatmcnt of mean curvature in hyper- 
space. — F.-W. Beal iPrinceton : Associated normal congruences. 

— Miss A.-D. BiDDLE (Californiaj : Constructive theory of the uni- 
cursal plane quartic by synthetic methods. — P. -P. Boyd (Cor- 
nell) : On the perspective Jonquières involutions associated with 
the (2, 1 ternary correspondence. — D. Buchaxax Chicago) : A 
class of periodic solutions of the problem of three bodies, two ot 
equal mass, the third nioving on a straight line. — B.-H. Camp 
(Yale : The convergence of singular intégrais. — R.-D. Car- 
MicHAEL (Princeton) : Unear différence équations and their ana- 
lytic solutions. — J.-L. Joxes Yalel : Number concept. — S. Lee- 
scHETz Clark : On the existence of loci with given singularities. 

— L. LixDSAY Syracuse : The minors of a compound détermi- 
nant. — W.-R. Marriott iPennsylvania) : The détermination of 
the order ofthe groups of isomorphisms of the groups of order /*'*, 
where /^ is a prime. — W.-O. Mexdexhall (Michigan) : On the 
characteristic properties of sum formulas in the theory of diver- 
gent séries. — W'.-J. Moxtcomery (Clark) : Singularities of twisted 
quinted curves. — L. 0'Shau(;hxessy (Pennsylvania; : The inte- 
grability of the differential équation representing the sum of a 
family of séries. — A.-D. Pitcher (Chicago) : The interrelations 
of eight fundamental properties of classes of functions. — II. -\\. 
Reddick (Columbia : Systems of tautochrones in a gênerai field 
of force. — E.-B. Stolffer Illinois) : Invariants of linear dilfe- 
rential équations with applications to projective difl'erential geo- 
metry. — S.-E. Urxer (Harvardj : Certain singularities of point 
transformations in space of three dimensions. — Miss W.-P. 
Webber (Cincinnati : On the construction of doublyperiodic 
functions which hâve singular points polar and essential) in the 
period parallelogram. — Miss M.-B. White ^Chicago) : The de- 



44 CHRONIQUE 

pendence of tho focal point on curvatiire in space problems of 
the calculus of variations. — ^V.-A. Wilson (Yale) : Theory of 
point aggregates applied to Lebesgue intégrais. 



Société suisse des professeurs de mathématiques. 

Réunion de Zurich, 12 octobre 1911. 

La Société suisse des professeurs de matliématiques s'est réunie 
à Zurich, le 12 octobre 1911, sous la présidence de M. le Prof. D"" 
C. Bhandenbeuger (Zurich), à l'occasion des cours de vacances or- 
ganisés pour les professeurs de l'enseignement moyen. En raison 
des conférences et des séances de discussion inscrites au pro- 
gramme de ces cours, et dont on trouvera plus loin un compte 
rendu de la partie mathématique, la réunion a été presque entiè- 
rement limitée à une séance administrative. 

M. le D' K. Matter, professeur au Gymnase de Frauenfeld, a 
été nommé trésorier en remplacement de M. le Prof. D'' Arn. Emch, 
appelé à ITJniversité d'Urbana (111.), aux Etats-Unis. 

M. le Prof. F. Schehheiî (Kiisnacht) attire l'attention de l'assem- 
blée sur une résolution adoptée par la Société suisse des profes- 
seurs de géographie et demandant que l'enseignement de la géo- 
graphie physique et mathématique dans les écoles moyennes soit 
confié au maître de géographie. La question mérite d'être exami- 
née avec soin dans les milieux intéressés. M. Scherrer en pré- 
sente lui-même un exposé d'un grand intérêt en fournissant aussi 
des renseignements sur ce cjui se fait dans d autres pays. 11 con- 
clut en estimant que renseignement de la géographie mathéma- 
tique dans les écoles moijennes doit être confié à un maître possé- 
dant les connaissances nécessaires en géométrie descriptive, en 
astronomie et en mécanique. Ces conclusions sont adoptées à 
l'unanimité. 

M. le Prof. IL Fehr (Genève) signale les récentes publications 
dues à l'initiative de la Commission internationale de l'enseigne- 
ment mathématique et rend brièvement compte du Congrès que la 
Commission a tenu à Milan (septembre 1911). 

M. le Prof. Ch. .Iaccottet (Lausanne) émet le vœu que les idées 
principales développées dans les rapports de la sous-commission 
suisse soient discutées dans les séances de la Société. 

M. le Prof. L. Crelieu (Bienne) annonce les Cours de vacances 
qui seront organisés, en 1912, à Bienne par le Technicum, pour les 
maîtres et les maîtresses des écoles secondaires et des écoles pro- 
fessionnelles. L'une des principales questions mise à l'étude est 
celle de l'adaptation de l'enseignement du dessin technique et des 
mathématiques aux exigences modernes. 



ClIIiOy IQl'E 



Les mathématiques aux cours de vacances de Zurich. 

Du ;• au 15 octobre 1911. il a été donué à Zurich ilcs rmiis de 
vacances pour les maîtres de toutes les branches de leuseigue- 
juent moyen. I/or«j^anisation en a été laite par les soins du Co- 
mité de la Société suisse des professeurs de gymnases: la tâche 
ne diU pas être facile, car 48 cours ou séances de discussion ré- 
partis sur 11 sections étaient oflerts aux 520 participants. 

Les lignes ci-dessous ont pour but de donner une idée générale 
des matières traitées dans les diflerents cours de mathéiualiques. 
Leur auteur s'excuse d'avance pour les omissions ou les lacunes 
involontaires qui pourraient s'y trouver. Sollicité de faire un 
compte rendu, il l'a entrepris avec la persuasion que tout autre 
participant aurait été mieux qualifié pour le faire. 

11 s'empresse de saisir l'occasion qui lui est oflerte de remercier 
les organisateurs du cours et les distingués conférenciers et pro- 
fesseurs pour les jouissances élevées (ju'ils ont procurées à leurs 
auditeurs. 

Dans ce qui suit, les cours sont groupés suivant l'ordre du pro- 
gramme et nous indiquons, en tète de chacun des paragraphes 
qui les concernent, le nombre des heures qui y ont été consacrées. 

On ne saurait s'attendre à ce que les matières enseignées soient, 
dans un temps si court. • traitées complètement : il importait 
davantage de fournir aux auditeurs les moyens de continuer et 
d'approfondir ces études. C'est pourquoi les indications biblio- 
graphitiues n ont pas été négligées et nous avons cru bon den 
faire figurer aussi quelques-unes dans ce compte rendu. 

Introduction à la théorie des groupes lî heures . par M. Fieter. 
piiitV'>>our a 11 iiivtMsite île Bàle. 

i"^'" leçon. Consacrée à l'examen de l'objet de cette théorie et à 
celui de quelques opérations qui serviront d'exemples types pour 
les applications de la s.uite du cours : jiermutations. rotations d un 
polygone et d'un polyèdre régulier, racines de l'unité, classes de 
cougruences. mouvements. Quelques mots d'historique, de Gauss 
et Galois à Klein et à Lie. et de bibliographie .Weiikr. Algèbre, 
1. II: Picard. Truite d'anûbjse, III: Netio. dans la Collecti(Hi 
Schubert: Birnside. Theori/ of Croups . 

■?'■ leçon. Définition du groupe d'opérations. Examen des quatre 
conditions nécessaires: uniformité des opérations, leur propriété 
spéciale que l'application successive de deux opérations constitue 
une autre opération du même groupe, existence de la loi d'asso- 
ciation et d une opération inverse. 

Comme conséquences immédiates, on dèiluit l'existence dans 



46 CHROMQUE 

chaque oioupe d'une opération unité ou opération identique et le 
fait de la réciprocité des opérations inverses. 

3^ leçon. Définition de l'ordre d'un groupe: groupes finis et 
groupes infinis; définition de la puissance dune opération et 
existence dune puissance telle que l'opération qu'elle représente 
est l'opération unité. Démonstration du théorème : le plus petit des 
exposants pour lesquels cette propriété existe est un diviseur de 
l'ordre. 

Arrangement des opéi-ations suivant le procédé de Lagrange. 

Comme application, démonstration du théorème de Fermât. 

If leçoti. Isomorphisme de deux groupes ; définition et applica- 
tion aux groupes des permutations de 4 éléments et des rotations 
d'un octaèdre régulier. Théorème : Chaque groupe est isomorphe 
avec un groupe déterminé de permutations. 

Définition du sous-groupe et du groupe cyclique ; l'ordre d'un 
sous-groupe est un diviseur de l'ordre du groupe. 

Définition des opérations et des sous-groupes conjugués; grou- 
pes abéliens.- 

5* leçon. Etude du groupe des permutations. Permutations 
cycliques ou cycles ; toute permutation peut être remplacée par 
une suite finie de cycles. Transposition. Chaque cycle peut être 
décomposé en un nombre fini de transpositions. 11 en est donc de 
même pour une permutation. Si ce nombre est pair, la permuta- 
tion est de l'*^ espèce, en cas contraire de 2*^ espèce. 

Application aux restes cpiadratiques. 

Ci^ leçon. Représentation graphique des opérations et des grou- 
pes par les procédés de Dyck et de Cayley. 

Applications à un groupe cyclique de 5" ordre et à un groupe 
quelconque d'ordre 10. 

Application de la théorie des groupes à la résolution de l'équa- 
tion générale du 3*^ degré, suivant le schéma que voici : 

i. Représentation graphique et calcul par une méthode d'ap- 
proximation quelconque d'une des racines. 

2. Etude des fonctions symétriques des racines, relations entre 
les racines et les coefficients de l'équation. 

.3. Formation du disci'iminant. 

4. Détermination des 2 autres racines; discussion. 

Observations astronomiques et détermination d'un lieu par des pro- 
cédés simples (3 h.), par M. Maudeuli, prof, à l'Ecole cantonale 
de Soleurc et priv.-doc. pour l'astronomie à l'Université de Berne. 

i'" leçon. M. Mauderli donne quelques renseignements sur l'en- 
seignement de l'astronomie à l'Ecole cantonale de Soleure; il 
présente des travaux d'élèves comme exemples de Vemploi des 
êphénièrides ; c'est ainsi C[u'il a fait construire les courbes repré- 
sentant diverses quantités : longueui- tlu jour sous une latitude 



C II RO N IQ U !■: 'i7 

cloiiiice, équation du temps, position dune i>lancte, etc. Il emploie 
aussi les cartes du ciel et pour inciter les élèves aux observations, 
il leur distribue ces cartes en leur demandant d'y noter la trajec- 
toire et l'époque des étoiles {liantes (juils observent; en reportant 
ces observations sur une carte unique, on obtient le point radiant 
de ces astéroïdes. 

Ephèmèrides : Nautisches .lahrbucb, Nautical Almanac, (Con- 
naissance des temps.. 

Caries du ciel de Many, Weinecks, Eckhards et Mollinger. 

2'" leçon. — Consacrée à la description des instruments présen- 
tés, dont quelques-uns exiocnt déjà des observateurs expérimen- 
tés et surtout une mise de fonds assez importante. 

Les appareils de mesure du temps à recommander sont les 
chronomètres, soit ceux de poche, soit ceux de marine (Nardin au 
I.oele . 

Pour la mesure des hauteurs, les instruments les plus simples 
sont le quart de cercle à niveau de Butenschon Bahrenfeld près 
Hambourg), d'un prix très abordable 80-120 Ir. 1, et le sextant 
employé avec un horizon artificiel. 

Un instrument de passaf^e, construit par la maison Ileyde à 
Dresde, peut donner une idée de la lunette méiidienne et coûte 
environ 250 francs. 

L'instrument universel de la même maison ou le théodolite sont 
plus compliqués et plus chers, mais donnent à la fois les deux 
coordonnées d'un astre. 

Pour appliquer la méthode des hauteurs égales, on se servira 
avec avantages du chronodéik, simple, d'un maniement facile et 
donnant des résultats sulfisamment précis. 

j\I. Mauderli rappelle que la simple observation, à l'œil nu, du 
passage dune étoile dans un plan ve/tical peut être utilisée pour 
calculer la correction d'un chronomètre. Ce plan peut être fixé et 
déterminé par un fil tendu suivant un triangle, maintenu dans un 
plan vertical par un poids ; on amortit les oscillations de ce der- 
nier en le plongeant dans un lécipient plein deau Harzer'sches 
Fadengestellj. 

Enfin mentionnons encore deux belles lunettes destinées à l'ob- 
servation physique des astres. 

.3* leçon. Elle est employée à l'examen et k la discussion de pro- 
blèmes résolus cà Soleure sous la direction de M. Mauderli par ses 
«lèves; des feuilles autographiées, mises obligeamment à la dis- 
position des auditeurs, facilitent ces opérations. 

Le conférencier insiste sur le fait que toute observation doit 
être suivie du calcul complet; le but de l'enseignement dans une 
école secondaire ne doit pas être une détermination poussée aux 
dernières limites de l'exactitude, mais les calculs seront effec- 
tués comme pour des observations tie précision. 



48 CHRONIQUE 

Il serait imprudent d'aborder avec les commençants l'examen 
de toutes les causes d'inexactitudes dans les observations ; cela 
pourrait les rebuter et leur faire croire que les calculs astronomi- 
ques se réduisent au calcul des erreurs et des corrections instru- 
mentales. 

En terminant, I\l. Maudci-li fait un chaleureux appel à la bonne 
volonté de ses collègues, pour qu'un enseignement de l'astrono- 
mie, fùt-il même facultatif, soit donné dans les gymnases suisses. 
Les instruments les plus rudimentaires suffisent pour commencer 
et une fois 1 intérêt général éveillé, peut-être se trouvera-t-il quel- 
que peisonne bienveillante qui fera un utile emj)loi de son argent 
en dotant lécole d'un instrument nouveau et plus puissant. On 
peut trouver ces généreux donateurs sans aller jusqu'en Améri- 
que et c'est en souhaitant à chacun d'en faire un jour la décou- 
verte que M. Mauderli termine son intéressant exposé. 

Les fondements de la géométrie 5 heures), par M. Schir, profes- 
seur à rUjiiversité de Strasbourg. 

Le cours a porté sur deux sujets également intéressants : les 
axiomes fondamentaux et les quantités incommensurables dans 
l'enseignement élémentaire. 

Axiomes foxdamextaux. ' 

Après quelques mots d'historique sur les auteurs de recherches 
critiques sur laxiome des parallèles, dans lesquels il rappelle les 
grands noms de Bolyai, Riemann, Helmholtz et Lobatschewsky, 
le conférencier indique la direction des recherches actuelles, qui 
ont pour but d'établir un système d'axiomes complets, indépen- 
dants et non contradictoires. 

Elles ont été inaugurées par Pasch qui a publié ses travaux en 
1882. Depuis lors divers savants s'en sont occupés; les différents 
systèmes proposés sont exposés dans un traité dEnriques « Fragen 
der Elementargeometrie ». M. Schur lui-même a établi un pareil 
système de postulats qu'il examine et commente en esquissant 
quelquefois la démonstration de leur indépendance. 

Voici ces propositions : 

A. Postulats projectifs. 

i. 11 existe une infinité d'éléments que nous nommerons/?o//i;s. 

2. Deux points difTérents quelconques déterminent d'une façon 
unique un ensemble de points en nombre infini auquel ils appar- 
tiennent et (|ui est appelé segment. Si C est un point du segment 
AB, chacjue point d'un des segments AC et BC appartient à AB et 
réciprotpicment, cest-à-dire qu'un quatrième point quelconque 
du segment AB appartient à A(^ ou à BC ; toutefois il ne peut ap- 
partenir aux deux à la fois. 



r II H () N i(j r I-: '.o 

3. Si c'est iiii poinl dill'cieiil de !> du scn-mcnl AB cl B un point 
du sooniont (",D, C, cl par suite aussi |}. appailiciit au scoincnt A I). 

4. Si (lest un point des scoments Ali et Al), B seiasur Al) ou i) 
sur AB. 

i"' définilion. L'cusenibie des points D qui déterminent avec A 
des sei>tncnts tels que le point B appartient an segment AD s'ap- 
pelle le pi'olonj^emcnt du segment AB dans la diiection de B : ou 

le désigne par AB. 

l?'' définition. Une droite AB est formée par les points du seg- 
ment AB et par ceux de ses deux prolongements. 

5. En dehors dune droite quelconque, il existe des |)oints. 

(). Si A, B, (1, sont .'î points non situés sur la même droite. D un 
point du segment Bd et K un jioint du segment AD, il existe un 
point F, appartenant au segment AB. tel ([ue K est sur le seg- 
ment CF. 

.3** définition. L'ensemble des segments, respectivement des 
droites, qui joignent lun quelconque de .3 points non en ligne 
dioite avec les points du segment déterminé par les deux autres, 
s'appelle tiiangle, respectivement />/c//?. 

7. En dehors dun plan quelconque, il existe des points. 

'i^ définition. L'ensemble des points des droites qui joignent 
1" l'un quelconque des 4 points, non situés dans une même plan ; 
avec les points du triangle déterminé par les trois autres et 2" les 
points de l'un quelconque des segments déterminé par deux de 
ces points avec les points du segment déterminé par les deux 
autres s'appelle un espace. 

8. Hors d'un espace, il n'existe pas de points. 

B. Les postulats du inom'cnient. 

9. Il existe une correspondance de deux figures telle qu'à cha- 
(pie segment de l'une des figures et à chaque point de ce segment 
correspond sans ambiguïté dans l'autre figure un segment et un 
point de ce segment et réciproquement. 

Cette correspondance ainsi que sa réciproque sont appelées 
nioin'enient. 

10. Deux mouvements consécutifs peuvent être remplacés par 
un seul mouvement. 

;> définition. —Les points C dune droite AB tels que C soit sur 
AB ou B sur AC, appartiennent au même côté de la droite ou à la 
même demi-droite. 

t]" définition. Un poinl I) d'un plan ABC est sur le même côté 
du plan que C. ou sur le même demi-plan (AByC, si le segment 
CD ne renferme aucun point de la droite AB. 

11. Si l'on donne 2 plans, a et «', deux droites, l'une <^/ dans le 
plan «, l'autre d' dans le plan a', et deux points, A sur d et A' sur 

L'Ensei(;n»!nient m.ithém. , l'i» année ; 19I"J. 4 



50 CHRONIQUE 

d' , il existe un mouvement, et il n'y en a qu'un seul, (|ui transporte 
A en A', un côté déterminé de d sur un côté indique' d'avanee 
de d' et un demi-plan déterminé de « sur un demi-plan fixé 
d'avance de a' . 

12. Le mouvement, dans lequel un jxiiiit A est fixe, qui trans- 
porte la demi-droite AB sur la demi-droite AC et le demi-plan 
(AB C sur le demi-plan iA(' B, transporte aussi AC en AB Piéver- 
sibilité de l'angle). 

13. Le mouvement qui transporte un point A en un point B et 
le prolongement de AB dans le sens de A sur le prolongement de 
AB dans le sens de B et qui laisse fixe un des côtés d'un plan a 
contenant AB, transporte aussi B en A {Réversibilité du segment). 

C. Axiome des parallèles. 

1'». Dans un plan, on peut mener par un point A, non situé sur 
une droite C, une droite, et une seule, qui ne coupe pas C. Elle 
s'appelle la parallèle à C par le point A. 

D. Postulat archimèdique. 

15. Si, dans un mouvement le long de la droite AA,, le point A 
vient en A,, celui-ci en A.^, ce dernier en A3, etc., tout point de la 
demi-droite (A)Aj appartient à l'un des segments A„ A„-|-i. 

2'' partie. — Quantités ixcom.mexsurables. 

Une des dilHcultés de l'enseignement des longueurs proportion- 
nelles est l'explication du cas où il n'est pas possible de trouver 
une commune mesure de ces quantités. M. Schur expose un pro- 
cédé dans lequel ce point délicat est évité; il dit, par définition, 
que l'on a la proportion 

OA : OB = OA' : OB' 

si, lorsqu'on leporte ces segments sur 2 axes perpendiculaires, à 
partir du point d'intersection comme origine, les droites AA' et 
BB' sont parallèles. 

Pour déduire de cette définition les propriétés connues des pro- 
portions et, en particulier, l'interchangeabilité des moyens, il 
suffit de faire usage du fait que les .'i hauteurs d'un triangle ont 
un point commun. 

Une dinîcullé analogue, due aussi à des grandeui's incommen- 
surables, se retrouve dans la recherche des aires et dans celle des 
volumes. C'est ainsi, par exemple, que le volume d'un tétraèdre 
ne peut être déterminé cjue par un procédé d'exhaustion. 

Pent-on obtenir directement le volume d'un corps connaissant 
celui d'autres corps .' 

M. Schur escjuisse les recherches faites pour résoudre ce pro- 



r // 1{ () N I Q r !•: 5 1 

l)l('m(' et iiilicKliiil la nolioii de li<^iu('s ([(U'oinposahles (mi éléments 
éii:aiix et celle des figures complémentaires. 

[1 termine en rappelant (pie Dehn, en 1900, a montré qu'en gé- 
néral un prisme et un tétraèdre ne j)euvent pas être décomposés 
en éléments égaux; Hill, en ISiXi, avait ti-ouvé cette décom|>osilion 
possible pour certains tétraèdres déterminés. 

On pourra consulter sur ces questions l'ouvrage de M. Scnuit, 
Grundlagen der Géométrie (F.eipzig, 1903) et celui d'KMiioriis et 
Amaldi intitulé : Kleinenti di geoinetria ad iiso scolare secondari'o 
(Bologne, 1903). 

Analyse vectorielle 4 heures), par M. Veillox, professeur à l'Uni- 
versité de Bàle. 

i''' leçon. Le but de l'analyse vectorielle est la suppression de 
tout système de coordonnées. Cette analyse a de nombi-euses ap- 
plications dans tous les domaines des mathématiques appliquées. 
Délinition des grandeuis scalaires et des vecteurs. Flxemples. No- 
tations. 

Kgalité de 2 vecteurs. Vecteur zéro. Définition de la somme 
dtin point et d'un vecteur, de là somme de 2 vecteurs. 

Multiplication d'un vecteur par une grandeur scalaire : elle suit 
les lois de la multiplication ordinaire. 

Vecteurs unités : parallélisme de 2 ou de 3 vecteurs. 

Représentation d'un point sur une droite, dans un plan ou dans 
l'espace, au moyen de vecteurs. 

2* leçon. Applications à la rechei-che des équations d'une droite, 
donnée par 2 points, à celle de l'équation d'un plan dont on con- 
naît 3 points. 

Produits de deux vecteurs : produit intérieur ou scalaire et pro- 
duit extérieur ou vectoriel. Le premier jouit des propriétés com- 
nuilatives et associatives des produits ordinaires, tandis que le 
second ne les possède pas. 

Applications à la recherche du théorème du cosinus en trigono- 
métrie plane et à l'expression de l'angle de 2 droites dans l'espace. 

3'" leçon. Diirérentielle dun vecteur quelconque et d'un vecteur 
unité. 

Applications à la lecherche de la courbure dune courbe, à celle 
des lois de Kepler. 

k" leçon. Application à la recheiche de l'équation de Poisson 
pour les gaz. 

Notions sur le gradient d'un nombre, le rotationnel et la diver- 
gence d'un vecteur. 

PnvsiguK. 

Les cours de la section de Physicpie étaient au nombre de trois; 
nous di'vons nous borner à en dotiiicr la liste. 



52 CHROXIQVE 

M. Einstein, professeur à IT'niversitt' de Praone, a étudié quel- 
(|ues-uns des progrès réalisés dans le domaine de la Physique 
théorique O h.). 

M. Gkeinacher Zurich a parlé de la radioactivité, des ions et 
des électrons (i h. . 

M. le Prof. IIahn Berlin a examiné la métliodique dans les 
travaux praticpies de physique. Ces conférences ont été suivies 
d'une séance cle discussion ayant pour objet les travaux pratiques 
des élèves. 

A l'occasion de ces cours, il avait été organisé une exposition 
d'appareils nouveaux pour les démonstrations et manipulations 
en Physique. 

Séances de Discussion. 
I. — La notion de fonction dans C enseignement secondaire. 

M. BiîANDENBEncER. profcsscur à l'Ecole cantonale de Zurich, 
introduit la question. Il montre comment il fait intervenir les con- 
sidérations sur les fonctions et les infiniment petits dans les dif- 
férentes parties de son enseignement. 

Il introduit la notion de fonction dès l'âge de 14 ans: il l'ap- 
profondit constamment et la développe dans les classes supé- 
rieures jusque et y compris les éléments du calcul infinitésimal. 

Les raisons cjui, à son point de vue, justifient sa manière de 
faire sont : i" L'importance générale de cette notion pour les ma- 
thématiques pures ou appliquées; 2° La possibilité de donner à 
l'enseignement mathématicpie une concentration absolue ; 3" La 
facilité que donne la notion de dérivée de remplacer par une mé- 
thode simple et unique les différents procédés de l'analyse algé- 
brique. 

11 partage l'étude des fonctions en 2 parties : dans un premier 
degré, destiné aux élèves de 14 à 17 ans, les exemples jouent un 
rùle prépondérant. Ces exemples, tii'és de larithmétique. de l'al- 
ijèbre et de la géométiie, font ressortir les notions de variable, de 
constante et de fonctions; on introduit les représentations gra- 
phiques et les élèves s'habituent peu à peu à examiner la dépen- 
dance de 2 quantités variables. 

Dans le 2' degré, les élèves ont de 17 à 19 ans; leur maturité 
d'esprit leur permet de récapituler les connaissances acquises 
dans les .3 années précédentes et d'en faire le point de départ d'un 
développement nouveau : les éléments du calcul différentiel. 

En terminant, ^L Brandenberger indique que, pour lui, la tâche 
de l'école secondaire n'est pas d'aller aussi loin que possible, 
mais de donner aux élèves une idée absolument claire des notions 
qu'ils reçoivent. 



CHRONIQUE 'y.', 

Les idées exposées par M. le lapporleur ont obleiiu lasseiiti- 
inent unanime de l'assemblée et dans l'échange des vues qui a 
suivi son exposé, aucune pi()posili()n contraire n'a été faite. 

M. le !)' Khiîat. professeur au i^ynuiase de W iiiterthoui' a, depuis, 
fait savoir (|ue, pour lui, rintroduction de la notion de fom-tion 
ne doit pas être faite aussi tôt. Il préfère exercer de honnc heure, 
déjà dans les classes inférieures, ce qu'il appelle les « composan- 
tes » de cette notion. Il attire l'attention sur la variabilité de 
certaines grandeurs, montre comment les termes d'une suite de 
nombres dépendent de ceux d'une autre suite, etc. 

La communication de M. Khrat a été soumise à M. Brandenber- 
ger qui maintient son point de vue et qui renvoie son contradic-. 
leur aux raisons et aux développements exposés dans son rapport'. 

IL — De la concordance entre le dessin technique 
et la géométrie descriptii'e. 

M. le D"" Braxde\bi-:iî(;eh, qui préside l'assemblée, montre que 
dans aucun autre domaine, comme en géométrie descriptive et en 
dessin technique, les divergences des programmes des écoles 
suisses ne sont aussi accentuées et qu'en aucun cas les limites 
fixées par le programme d'admission à l'Ecole polytechnique ne 
sont aussi largement dépassées. L'exposition des dessins le prouve 
surabondamment. 

Extrait du rapport de M . le professeur Schmid, ingénieur à St- 
Gall. — L'examen des plans d'études des écoles réaies supérieures 
suisses et étrangères, fait voir que les intéressés ont des opinions 
très diverses sur ces rapports. Il en résulte que des méthodes 
d'enseignement très variées sont utilisées, méthodes qui ne satis- 
font pas toutes aux exigences des praticiens. Ces derniers sont 
absolument convaincus de la liaison intime de ces deux branches 
d'enseignement. Xous ne devons par conséquent pas priver nos 
élèves de cette dépendance naturelle, mais plutôt la développer 
scientifiquement, afin de convaincre les ingénieurs de l'utilité de 
la géométrie descriptive. 

Les professions techniques auxcpielles se destinent la plupart 
de nos élèves, demandent des dessinateurs habiles, connaissant 
les différents modes de projection et les relations entre les figures 
dans les limites utilisées dans la pratique, ainsi qu'une vision 
dans l'espace très développée. 

Une bonne partie de ces exigences est du domaine de la géo- 
métiie descriptive. Je ne dois cependant pas cacher (jue la tech- 
nique exige beaucoup moins de théorie quon n'est j^orté à le croire 



1 Utr matlicm. Cnterricht an den schweiz. Gymnasicn u. HeaUchulen. Fasc. 'i des rapports 
de la sous-coniinission suisse. Georg & C'", Genève. 



54 C H no NIQUE 

dans les milieux mathématiques, mais par contre clic demande 
d'autant plus d'exercices pratiques. 

Il est hors de doute que nous devons former en tout premier 
lieu des dessinateurs ayant du goût et travaillant rapidement. Les 
travaux seront exécutés à l'encre et au crayon ; on donnera un 
soin particulier k l'étude des diverses sortes de traits et à leur 
emploi dans la technique, car l'utilisation du dessin en dépend. 
Le choix du dessin est au gré du maître, mais il peut notablement 
élever la valeur du travail et développer l'intérêt des élèves en 
prenant ses sujets dans les objets techni({ues. 11 est vrai que les 
jeunes élèves ne sont pas encore capables d'utiliser les modèles ; 
pour eux le maître dessinera des esquisses au tableau noir ; les 
•élèves transcriront celles-ci dans un cahier et exécuteront d'après 
elles leur dessin au net. 

L'enseignement de la géométrie descriptive doit commencer par 
la projection orthogonale cotée. Le passage aux au'tres modes de 
représentation, nécessaires pour les besoins de nos élèves, se fera 
très simplement. La théorie et spécialement les relations géomé- 
triques seront fixées dans la mémoire par de nombreux exercices 
très simples. Un dessin propre, exécuté au crayon suffît parfaite- 
ment pour ces travaux; on peut même le préférer à une exécution 
à l'encre, car on gagne du temps et on oblige l'élève à une étude 
préliminaire plus approfondie. 

L'école réale ne doit pas s'arrêter <à des recherches purement 
théoriques ; elle à aussi pour tâche de faire connaître à ses élèves 
les procédés pratiques. Le dessin d'après des modèles est parti- 
culièrement approprié à ce but. Chaque objet fournit un certain 
nombre de problèmes géométriques qui doivent être isolés et 
résolus par les élèves. Cela fera disparaître les dispositions mal- 
heureuses, impossibles en pratique et condamnées avec raison 
par les constructeurs. Dans le dessin on rencontre fréquemment 
de nouveaux problèmes qui donneront lieu à de nouvelles recher- 
ches théoricjues. Chacun des cours est donc un facteur de déve- 
loppement pour l'autre. 

Cette manière de procéder nous permet de faire connaître aux 
élèves les divers domaines de la technique, de leur apprendre à 
dessiner proprement et correctement et de rendre leur travail 
aussi intéi-essant qu'utile. N'oublions pas que l'habitude du des- 
sin est le nieilleui' moyen de faciliter aux élèves qui embrasseront 
une carrière technique de bonnes études à l'Université ou à l'Ecole 
polytechnique. 

M. BnA\DEXBEiu;Efi iZuricli). — Le but de l'école secondaire doit 
être le développement de la vision des corps dans l'espace. Il est 
absolument nécessaire que l'élève soit exercé dans l'exécution 
exacte, nette et soignée d'un dessin. L'étude des divers procédés 
techniques ne peut pas faire partie du programme d'une école 



CiriiO NIQUE 55 

moyenne dont la caraetéiisticjue est l'édiicalion «générale. Ce sont 
des corps géométriques et non des objets techniques qui doivent 
servi!' à développer la vision de l'espace et l'Iiahilelé dans le des- 
sin. Pour éveiller et maintenir linlérèt, pour approfondir et apj)li- 
(pier les notions tirées de renseignement tlieori(pie, il faut faire 
connaître à l'élève les applications tirées de domaines aussi divers 
que possible, mais ne rien dessiner qui n'ait été parfaitement 
compris. Il est aussi très important d'utiliser ces cours pour le 
développement linguistique des élèves. 

M. Fi.ATT, recteur de l'Ecole réale supérieure de Bàle, expose 
que son point de vue est intermédiaire entre ceux qui viennent 
d'être développés. Pour lui, le dessin technique doit faire cons- 
tamment usage des notions théoriques étudiées non seulement 
dans le cours de géométiie descriptive, mais dans le cours de 
géométrie et même dans d'autres cours de mathématiques 'trigo- 
nométrie). Par contre, les exemples d'application seront toujours 
pris dans le domaine technicpie, afin que les élèves soient tou- 
jours ramenés à l'examen de cas concrets et ne soient pas tentés 
de ne voir, dans les déductions de la théorie, que des exercices 
sans utilité pratique. 

Ce procédé exige, il est vrai, un choix judicieux des modèles à 
faire dessiner, mais le nombre de ceux que l'on peut utiliser est 
est assez grand. 

M. le D'" Grossmann, professeur de géométrie descriptive à 
l'Kcole polytechnique fédérale, expose son point de vue comme 
suit : 

L'enseignement de la géométrie descriptive h l'Ecole polytech- 
nique fédérale doit être adapté aux besoins des futurs techniciens 
et ne doit par conséquent pas se bornera leur donner des notions 
théoriques, il doit au contraire leur donner l'occasion d'appliquer 
ces notions à des exemples pratiques. 

Le rapporteur esquisse les sujets qui font l'objet de ses leçons ^ 
et s'étend davantage sur les applications faites dans les exercices 
pratiques. 

En considération du grand nombre d'étrangers et d'élèves 
venant de gymnases littéraires, on n'exige, comme connaissances 
préliminaires, que les éléments de la géométrie descriptive, dans 
les limites du règlement d'admission. Il serait très désirable que 
les étudiants reçoivent à l'école secondaire des notions sur l'alTi- 
nité et l'homologie. H est absolument nécessaire qu'ils connais- 
sent les constructions fondamentales de la méthode des trois pro- 
jections orthogonales. 



' Voir son rapport Der math. Uiiterrkht an der Eidg. techn. Hoihschitlc, '' iasciculc du 
rapport (le la sous-commission suisse de renseignement mathémati<iiie. Cicnèvc. 1911 (Geors 
et G"). 



56 CIIROXIOUE 

Il faut attacher aussi une grande inipoilaiice à l'exactitude du 
dessin, développer chez l'élève le sentiment de la précision dans 
l'exécution, sans négliger le c(^té artistique dans la présentation 
de son travail. 

Le rapporteur met en garde contre une insullisance de prépa- 
ration dans ces directions, qu'il ne faut pas sacrifier à une trop 
grande extension des matières traitées. 

Au reste, son intention n'est pas de se prononcer pour lunedes 
trois méthodes qui viennent d'être exposées; les élèves de Zurich, 
Bàle ou St-Gall, comme ceux de la plupart des gymnases suisses, 
sont également bien préparés pour poursuivre leurs études à 
l'Ecole fédérale. Par contre, il ne faut pas se dissimuler que dans 
nombre de gymnases, la dépendance delà géométrie descriptive 
et du dessin technique n'est pas encore comprise et il serait très 
désirable que ces établissements veuillent bien étudier les résul- 
tats de la discussion d'aujourd'hui et en tirer les conséquences. 



III. — Sur l'opportunité de certains problèmes de pht/sique comme 
applications dans l'enseignement des mathématiques. 

M. le D'" lluBER, professeur au gymnase libre de Berne, intro- 
duit cette question. 

Les notions acquises dans l'enseignement théorique ainsi que 
les formules qui y ont été obtenues ne sont parfaitement com- 
prises et assimilées que lorsqu elles sont appliquées à des pro- 
blèmes. 11 va sans dire que ces problèmes seront choisis de telle 
sorte cju'ils puissent être utilisés pour le développement de la 
méthode et de la matière traitées. 

C est pour cette raison que la commission d'organisation des 
cours a décidé de discuter la question qui nous occupe. 

On peut considérer de diverses façons le sens du mot opportun. 

Eii premier lieu, on peut l'appliquer aux problèmes tirés des 
leçons sur l'électricité, c'est-à-dire d'un domaine actuellement au 
premier rang. 

En second lieu, nous pouvons donner des problèmes tirés des 
divers chapitres de la physique, en particulier, les problèmes 
classiques de la mécanique et de l'optique, et considérer comme 
opportune leur résolution, en faisant ressortir la dépendance d'une 
variable et des autres quantités qui entrent dans la question 
(notion de fonction). 

Troisièmement, nous pouriions considérer comme opportunes 
les questions qui se présenteraient au joui* le jour, dans la pratique 
du laboratoire ou de la vie ordinaire, et dont les constantes seraient 
ainsi fournies par les élèves. 

Enfin, nous pouvons admettre qu'un problème est opportun 



C II l{ ON IQ LK 57 

I(>is(iiril montre, d'une manière paih'culièiemcnl claire et frap- 
pante, la relation mathématitjue fiu'il s'ai>it crillustrer, peu im- 
porte ([ue ce problème soit ancien ou moderne. 

Aussi longtemps (|ue les programmes des diverses écoles pr<'- 
senteront des divergences accentuées, il ne sera pas possible d'in- 
diquer d'une façon générale le moment où l'on doit traiter, dans 
les leçons de mathématiques, tel problème de physique. Cela ne 
serait pas même désirable, mais chaque maître de mathématiques 
se fera un devoir de s'informer des questions traitées en physique 
et, inversement, le maître de physi({ue cherchera à faire usage des 
notions développées en mathématiques. 

Mais d'une façon générale, il serait désirable que l'ensemble 
des j)rogrammes des deux branches, du moins dans leurs parties 
principales, soit vu assez à temps, pour que l'on puisse, avant 
l'examen de maturité, faire de nombreuses applications de l'une 
des branches dans l'autre. Ce n'est, en effet, qu'à la fin des études 
du gymnase que l'enseignement mathématique peut faire un large 
emploi des connaissances physiques des élèves. 

Après cette introduction générale, le rapporteur examine quel- 
ques exemples de chacune des catégories ci-dessus. Comme les 
problèmes relatifs à l'électricité se prêtent mal à l'enseignement 
mathématique, il montre comment ici, inversement, le maître 
de physique pourra faire plus de mathématiques que ce n'est gé- 
néralement le cas. Dans cette voie, l'enseignement mathématique 
pourrait aussi acquérir de nouvelles relations. 

S. May, 

Directeur du Gymnase scientifique, 

de Lausanne. 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allcuiag'iie. — M. G. Faber, professeur à l'Ecole technique 
supérieure de Stuttgard, est nommé professeur ordinaire de ma- 
thématiques à l'Université de Konigsberg i. Pr. 

M. D. IliLBERT, professeur à l'Université de Gœttingue, est 
nommé membre honoraire de l'Académie des Sciences de Vienne. 

M. le Prof. Study Bonn) est nommé membre de la Société des 
Sciences de Gœttingue. 

M. WiEGHARDT, profcsseur à l'Ecole technique supérieure de 
Hanovre, est nommé à la chaire de Mécanique de l'Ecole tech- 
nique supérieure de Vienne, en remplacement de M. le prof. 

FlXCKR. 

Pn\>at-docents. — Ont été admis en qualitc' de privat-docents : 
M. R. Baldus, à l'Université dlùlangen. — M. K. Kxopp, à l'Uni- 
versité de Berlin. — M. K. Kommerell, à l'Ecole lechni(|ue supé- 



58 CHRONIQUE 

rieme de Stuttgaid. — M. F'ritz Nœther, à l'Ecole technique su- 
périeure de Carlsiuhc. — M. A. Ti.mpe. à l'Université de Munster 
i. AV. 

Angleterre. — La « Royal Society » de Londres a décerné : 
T' la Médaille roi/<ile au jjrof'csseur G. C.hiustai. pour ses travaux 
de matliéniatiques et de jîhysique, en particulier pour ses re- 
chei'ohes sur les seiches et les oscillations libres des lacs d"Ec»)sse. 

2" Médaille Copley, à Sir C.-ll. DAinviN, pour ses recherches 
dans le domaine de l'évolution astronomique. 

— M. E.-W. HoBsoN, professeur à l'Université de Cambridge, 
est nommé membre de l'Académie des Sciences de Halle. 

Sii- ,l.-.l. Thomson, professeur à l'IIniversité de Cambridge, est 
nommé associé étranger de lAcadémie royale des Sciences de 
Naples. 

Autrielie-Hongrie. — M. ¥j. Kruppa a été admis en qualité 
de privat-docent à l'Université de Czeinowitz. 

M. Fr. NusL", professeur extraordinaire, est nommé professeur 
ordinaire à l'Ecole technicjue supérieure bohème de Prague. 

Belg-ique. — La Classe des Sciences de l'Académie royale de 
Belgique a élu comme membre titulaire M. A. Demoulin (Gand) 
et comme correspondant M. G. Lecointe de l'Observatoire d'Uccle 
(Bruxelles). 

Elle a couronné un mémoire d'analyse de M. S. Bernstein 
(Kharkof) et décerné le Prix F. Deriiyts pour la Géométrie à M. 
J. Fairon (Liège). 

Etats-Unis. — M. H.-E. Buchanan est nommé professeur à 
l'Université de Tennesee. 

M. H.-L. RiETz est nommé professeur extraordinaire à l'Uni- 
versité de rillinois. 

France. — Jubilé Gaston Darhoux. Le jubilé scientific[ue de 
M. G. Darboux, secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, 
sera célébré le 21 janvier 1912, à la Sorbonne. On fêtera à la fois 
le 70" anniversaire de l'éminent géomètre, ses noces d'or univer- 
sitaii'es et le cinquantenaire de son entrée à l'Ecole normale supé- 
rieure. 

Faenlté des Sciences de Paris. Sur l'invitation du Conseil de 
l'Université de Paris, M. Volterua, professeur à l'Université de 
Rome, fera deux conférences générales et une série de leçons sur 
<( l'extension delà théorie des fonctions, sur les équations du type 
intégrodifférentiel et intégral et sur leurs applications ». La pre- 
mière conférence aura lieu le 22 janvier 1012. 

Ecole normale d'enseignement technicjue. Dans sa séance du 
novembre 1911, le Conseil supéricui' de l'enseignement tech- 



r II noN I ou E â<) 

nique a cniis un vœu {)()ui' la création d'une Kcoio normale de 
l'enseignement technique. 

' Société niathéinatique de France. M. P. Andoyi-u a éXé nommé 
président de la Société pour 1912. 

Grôce. — M. le professeur X. IIatzidakis (Athènes) est nommé 
membre correspondant de l'Académie des Sciences de Vienne. 

Italie. — M. P. Bi'iuJATTi, professeur extraordinaire de méca- 
nique rationnelle à l'L'niversité de Bologne, y a été nommé pro- 
fesseur ordinaire. 

M. F. ExRiQLEs, de l'Université de Bologne, a été nommé doc- 
teur honoraire de droit (L. L. D.) de l'Université de St-Andrew^s. 

M. Z. GiAMBELLi, privat-docent, a été nommé professeur extra- 
ordinaire d'analyse algébrique à l'Université de Cagliari. 

M. G. Lauricei.la, ancien professeur de l'Université de Catane, 
([ui avait été appelé à la chaire d Analyse supérieure de l'Univer- 
sité de Rome, revient, sur sa demande, à Catane, pour des raisons 
de famille. 

Indes anglaises. — Une somme de 20,000 roupies a été 
mise à la disposition de l'Université de Calcutta pour la publica- 
tion, accompagnée d'une traduction anglaise, d'anciens manus- 
crits mathématiques hindous. 

Suède. — M. H. Hemuques, professeur extraordinaire, est 
nommé professeur ordinaire de Géométrie descriptive à l'Ecole 
technique supérieure de Stockholm. 

Suisse. — La Société mathèfriatique a tenu une séance extra- 
ordinaire à Berne, le 10 décembre 1911, sous la présidence de M. 
R. FuETER Bàle). La séance était consacrée à une conférence de 
j\L Plaxcherel Fribourg) sur les principaux problèmes de la 
théorie des équations intégrales. 

— M. H. Strohle a été admis en qualité de privat-docent à 
l'Université de Neuchàtel. 

Nécrologie. 

M. G. Chrystal, professeur à l'Université d'Edimbourg, est dé- 
cédé à l'âge de .60 ans. 

M. G.-W. Jones, professeur émérite à la Cornell University à 
Ithaca (N. Y.), est décédé le 29 octobre 1911, à l'âge de 74 ans. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

Compte rendu des travaux des suus-commissions nationales '. 
(5e article.) 

ALLEMAGNE 

Les problèmes commerciaux et l'enseignement des mathématiques 
dans les écoles secondaires. 

Die kaufmdnnischen Aufgahen iin matheniniischen IJnterricht der hûheren 
Schulen-, vou D'" H. E. Ïimerding, o. Professer an der tecknischen Hoch- 
schule iu Braiinscliweig. — Une série d'études ayant pour objet les rapports 
des mathématiques avec tous les domaines du savoir humain, ne peut laisser 
de côté l'arithmétique politique, car, dans les mains d un bon maître, cette 
branche peut, mieux que toute autre, servir d introduction à notre vie éco- 
nomique. La comiiétence de M. Timerding et ses goûts l'auraient porté à 
exposer l'histoire de laiithmétique politique ; il ne l'a pas fait de peur de 
donner une trop grande place à ses idées personnelles. Sa brochure est ainsi 
mieux adaptée aux nécessités de notre époque ; elle nous fait pourtant pro- 
fiter des études histoi'iques de l'auteur puisque c'est sans doute à elles qu'il 
doit en grande partie son sens de la réalité et de la mesure. 

On voit dès l'abord que M. Timerding n'est pas de ces professeurs qui 
voudraient tout sacrifier à leur spécialité ; les programmes ne 1 inquiètent 
guère, car il sait que les exigences de l'euseignemenl ne sont pas toujours 
les mêmes ; il considère l'aritlimétique politique en elle-même, s'efforce de 
lui donner sa place, de montrer les liens qui la rattachent à la vie et d en 
prouver l'utilité ; l'application de ces idées dépendra donc des cironstances. 
M. Timerding s'adresse ainsi à tous les professeurs de tous les pays. 

Tout l'enseignement dépend du but que l'on assigne à l'école. Les uns 
veulent que, par une gymnastique intellectuelle intense, elle habitue l'esprit 
à bien penser et craignent toutes les questions pratiques que compliquent 
trop les contingences de la vie pour qu'elles soient un bon aliment de la 
pensée pure. Les autres, se défiant des esprits trop logiques, désirent, au 
contraire, que l'école inculque des connaissances précises à ses élèves et les 
mette en contact avec la complexité des choses. 

M. Timerding ne songe pas à trancher le différend ; il remarque seule- 
ment que l'arithmétique politique offre les éléments d'un compromis. Par 
son côté mathématique, elle développe la logique formelle et le raisonne- 



' Voir l'Elis, math. 13" aniiT^e l'.Ul, n"» 1 à '». 

* Abhandltingeii liber den inatheni. Unterricht in lientschland. Band III. Heft 5. ■^ l fasc. 
de 45 p. ; 1 M. 60 ; B. G. Teubner, Leipzig. — Késumé par M. S. Du.mas (Berne). 



.V O TE S K T I) () (• U M E NT S 61 

ni.enl abstrait ; elle traite d'aiitie part de ([uestions dont les hommes d'af- 
f'aiies s'occupent chaque jour et que l'on n'ignore que sous peine d'être 
étranger à la vie. 

L'auteur divise en trois grou[)es les problèmes d'ar-ilhinétique politique. 
Dans le premier, il met ceux qui ont leur source dans le commerce des 
marchandises ; les principaux en sont la déleiniination des prix de revient 
et do vente. Les opérations les plus simples sulliscnt à les résoudre, mais 
il l'aut tenir compte de tant de commissions, provisions et (rais divers que 
ieui" place est surtout dans les écoles de commerce. 

Les problèmes se rapportant à l'argent forment le second groupe ; ils ont 
une beaucoup plus grande importance mathématique que les précédents et 
contribuent bien davantage à la culture générale. C'est ici qu'on apprendra ce 
qu'est la monnaie, quel est son titre, quels sont les principaux systèmes 
monétaires et comment l'on passe de l'un à l'autre. Puis viendront les calculs 
d intérêts simples et composés, d'échéance moyenne, etc. Poussant plus loin, 
ou montre comment on est conduit aux logarithmes naturels en suppposaiit 
dans les calculs d'intérêts composés, que la période de capitalisation devient 
inlîniment courte. C'est une excellente occasion de rendre les élèves attentifs 
au fait que les notions mathématiques ne sont pas arbitraires, mais qu'on y 
a été amené par la force des choses. 

C est dans le même groupe que 1 on ferait figurer les opérations de 
bourse, le change et les arbitrages. M. Timerding n'en parle pas, sans doute 
de crainte d'empiéter sur l'enseignement professionnel ; mais a-t-il assez 
considéré qu'il est bon de mettre les jeunes gens en garde contre la spécu- 
lation et qu un bon moyen de les en détourner est de leur montrer que le 
jeu n'est pas équitable mais qu il n'est avantageux qu'aux financiers assez 
forts pour faire la bourse. 

Les problèmes du troisième groupe, ceux que l'on rencontre dans la sta- 
tistique et l'assurance sur la vie, sont sensiblement plus didîciles et l'on peut 
se demander, avec M. Timerding, s'il ne le sont pas trop pour l'enseigne- 
ment secondaire. Il faut les faire précéder par un peu de calcul des proba- 
bilités ; les éléments en sont faciles, à moins que Ion ne veuille dépasser 
les exercices qui ressortissent à l'analyse combinatoire ; dans ce cas, on est 
vite arrêté par les difficultés des notions pourtant fondamentales de disper- 
sion et de loi des erreurs. 

Que doit dire le maître de lespérance morale .' Comme tous les sujets 
dans lesquels la vérité et l'erreur sont étroitement unis, son élude peut 
devenir des plus instructives; elle permet de faire aisément comprendre 
pourquoi le jeu, qui a pour but le gain, n'est jamais avantageux, tandis que 
les assurances, qui doivent nous préserver d'une perle, le sont. Ces avan- 
tages compensent mal, aux yeux de M. Timerding, les défauts de l'espérance 
morale, aussi estime-t-il que le maître ne devra introdtiire cette notion 
qu'avec prudence Nous irions plus loin ; la notion d'espérance morale a deux 
gros défauts : premièrement elle est beaucoup trop précise; la satisfaction 
de posséder croît plus lentement que la fortune, mais rien ne prouve qu'elle 
varie comme un logarithme plutôt que suivant tout autre loi. Nf)us sommes 
eu présence d'une erreur très répandue : on s imagine démontrer quel(|ue 
chose en mettant une loi compliquée et mal connue sous une forme analy- 
tique simple et l'on néglige de vérifier si les faits s'accordent avec la formule 
inventée. Le second défaut est que l'on peut tout prouver par des hypollièses 
de cette nature ; les mathématiques risquent donc d'y perdre un peu de la 



62 NOTES ET D O C VM E X T S 

conlîancc qu'elles inspirent à chacun, car seuls les esprits avisés verront 
labus. Nous croyons donc qu'il ne faut parler d'espérance morale dans les 
écoles secondaires, qu'à la condition d'avoir la possibilité de la soumettre 
à une critique très serrée et la certitude que cette critique sera comprise. 

La statistique est un domaine très difiicile. parce qu'elle exige une grande 
culture générale : mais juslement parce qu elle touche à tous les sujets, elle 
se pi-éle àde nombreux développements. Les exemples simples n'y manquent 
pas; ils permettraient de montrer aux jeunes gens en quoi consiste une de 
nos principales méthodes de recherche et de démonstration. La plupart des 
hommes cultivés n'en ont pas la moindre idée ; ils tirent des statistiques 
les conséquences les plus absurdes faute de savoir qu'un nombre ne contient 
que ce qu'on y a mis. Pour eux, la statistique n'est qu'un objet de moquerie; 
ils en font pourtant chaque jour. 

L assurance sur la vie est en conlact intime avec la réalité; elle illustre les 
bienfaits de l'association : la comparaison des diverses combinaisons attire 
l'attention Jes jeunes gens sur les éléments dont il faut tenir compte pour 
juger une affaire. Elle ne présente pas de difficultés trop grandes pour de 
bons élèves ; le calcul des réserves demauJe de l'attention et de la sagacité, 
mais, outre qu il doit comprendre la vraie nature de l'assurance, il donne un 
bon exemple d'une fonction de plusieurs variables. Si ces matières avaient 
été il y a une cinquantaine d années déjà dans nos programmes, nous ne 
verrions pas tant de gens qui, consacrant à 1 assurance la totalité de leurs 
économies, payent les yeux fermés, par incapacité d'estimer, même approxi- 
mativement, la valeur vénale d'une police. Nous ne verrions pas non plus 
tant de sociétés de secours mutuels faire faillite. 

Pour indiquer ce qu'est l'enseignement de l'arithmétique politique, 
M. Timerding fait l'analyse des principaux manuels de langue allemande. 
Il sait bien que l'important n'est pas le livre, mais l'usage qu'on en fait ; 
pourtant, sa méthode lui permet de reconnaître les tendances de l'ensei- 
gnement. 

11 divise les exei'cices en deux classes : les problèmes réels et les problè- 
mes fantaisistes. Autrefois, on aimait surtout les derniers, tandis que main- 
tenant on préfère les premiers. C'est un progrès, mais il ne faut rien exa- 
gérer. A cause de leur complexité, les problèmes réels sont souvent au-dessus 
de la ]>ortée des élèves secondaires; il faut les simplifier; mais il importe 
d'en conserver les éléments essentiels car on doit bien se garder de montrer 
aux jeunes gens une image déformée de la vie; il importe aussi que l'élève 
reconnaisse toujoui's la classe du problème à résoudre. 

T^es problèmes fantaisistes ont une auti-e raison d'être : pour certaines 
questions, ils éclairent un côté mathématique que la pratique laisse dans 
l'ombre; ils n'ont pas d'inconvénients si le résultat en est possible; malheu- 
reusement, bien des personnes ont tendance à bannir le bon sens de l'étude 
des mathématiques; c'est un grand tort, car la première vérification 
d'un calcul est de voir si le résultat est celui qu un homme raisonnable 
devait attendre. 

A un autre point de vue encore, rarilhméti((ue politique est utile; c'est 
peut être la partie de l'arithmétique qui fournil les meilleurs exemples de 
calcul numérique ; elle se prête ainsi à 1 étude des divers procédés et appa- 
reils à l'usage des calculateurs : règles à calcul, tables numériques, méthodes 
graphiques, etc. Les méthodes graphiques, en particulier, n ont pas dans 
renseignement la place qu'elles méritent lue courbe [)nrle mieux à l'enleii- 



^v () r /■: s F. T I) o r u m e n r s 63 

demenl qu'une formule, surtout pour les jeunes gens dont la pensée est 
généralement concrète. D'autre part, un abacjuo réunit sur une feuille de 
papier des résultats que jamais iino table numérique ne présenterait aussi 
clairement. 

L'enseigiienienf de l'arithmétique politique doit éviter deux écueils : il ne 
doit pas entrer ti-op dans les détails, car l'école secondaire ne préparc pas 
uniquement au commerce, mais à une foule d'autres professions; il no doit 
pas non plus être trop abstrait; l'arithmélique politique est une partie des 
nialliématiques appliquées et 1 on en perd le sens si 1 on ne sert pas de près 
la réalité. Le maître qui s'inspirera de la brochure de M. l'imeiding trouvera 
le juste milieu, surtout s'il sait se pénétrer de la méthode cjui en fait le 
charme et la valeur. .M. Timerding, en effet, ne s'égare pas dans de vagues 
spéculations; il appuie chacune de ses remarques par des exemples dont le 
choix est si judicieux qu ils nous amènent tout naturellement à des considé- 
rations très générales. 

M. Timerding ne cache pas la difl'iculté d'un enseignement tel (|u il le 
conçoit : la préparation des maîtres. C'est à l'Université de bien organiser 
les études et les examens dans ce but; un bon cours d'économie politique, 
par exemple, habituerait les futurs maîtres à ne pas voir du point exclusi- 
vement mathématique, les questions que nous avons touchées. U leur aiderait 
à rester plus tard en contact avec la vie économique et leur montrerait dans 
quel sens ils doivent se perfectionner, car un bon maître, désireux de donner 
un enseignement fructueux, ne ménagera pas sa peine pour connaître tou- 
jours mieux un domaine qui, comme l'arithmétique politique, montre à quoi 
peuvent servir les abstractions malhémathiques. S. Du.mas (Berne). 

Le dessin linéaire et la géométrie descriptive dans les écoles réaies. 

Der Unterrichl iui Linear-Zeichnen und in der darslellenden Géométrie 
an den deutschen Realanstalten ^, von D. P. Zuhlke, Oberlehrei' am Real- 
gymnasium in Griinewald. 

L auteur a visité une trentaine d'écoles en Allemagne et quatre en Autri- 
che. Son travail objectif contient de nombreux renseignements relatifs aux 
méthodes et aux manuels employés, à la matière traitée, aux instruments et 
«ux salles de dessin. 

L enseignement de la Géométr ie descriptive est plus développé dans l'Al- 
lemagne du Sud qu'en Prusse. Presque tous les maîtres estiment qu'une 
méthode générale doit être expliquée d'abord sur un corps abstrait et appli- 
quée ensuite à quelques exemples pratiques. Il est plus important pour 
l'élève d'avoir bien compris les notions fondamentales et de savoir les utiliser 
avec assurance que de dessiner des machines trop compliquées. L'emploi 
de modèles n'est recommandé que pour l'enseignement préparatoire. 

Dans les Gymnases, on illustre létude de la stéréométrie par des pro- 
jections orthogonales, en plan et en élévation, ou par des perspectives 
cavalières. 

La fusion de la théorie et du flessin est réalisée d'une façon tiès heureuse 
dans les ('coles réaies bavaroises remaniées '.'u 1907; elle est prévue aussi 



1 Abliandlungen ùl)er dem matlicm. Unlerricht in Di'irtsctiliind, Uiind III, Hcll 3. — I Chsc. 
•de 92 p. ; 2 M. (.(• ; B. G. Teubner, Leipzig.— lU-simio piir M. lo Prof. L. Kdi.i.uds (Zurich). 



64 y or ES ET DOCUMENTS 

dans le Wurtcinborg' par un décret de 190G ; en Prusse, on ne consacre au 
dessin teclinii|ne qniine henre facultative par semaine. 

M. Ziililke forme le vœu que les maîtres de dessin approfondissent davan- 
tage les mathématiques et que, d autre part, les maîtres de géométrie se 
perfectionnent dans le dessin ; il désire que le but de lécole moyenne con- 
tinue à être une bonne culture générale plntùl (jn une préparation spéciale 
de futurs teciiniciens. 

L. KoLi.Kos (Zurich). 



AUTRICHE 

La Géométrie descriptive à l'Ecole réale et à l'Ecole technique 
supérieure'. 

Der Unterricht in der dnrstellenden Géométrie an den Realschulen und 
Realgyinnasien von A. Adler. — Der Unterricht in der dorstellenden Géo- 
métrie an den iechnischen Hochschulen OEsterreichs, von E. Mullek. — 
En général, on consacre plus de temps à la culture de l'intuition de l'espace 
en Autriche qu en Allemagne. Les « Instructions » accompagnant les plans 
d'études de 1879, 1898 et 1909 ont eu une heureuse influence sur l'orga- 
nisation de renseignement moyen. Les problèmes fondamentaux de la géo- 
métrie descriptive sont étudiés d'une manière approfondie dans la !•'<' classe 
de l'école réale supérieure. Les autres questions usuelles sont traitées 
comme exercices et — autant que possible — en classe. La leçon de dessin 
est réservée aux applications pratiques. Les répétitions en vue des examens 
de maturité se font de la manière la plus rationnelle, c est-à-dire par l'étude 
soigneuse et complète de quelques problèmes inslnicfifs heureusement 
combinés. 

Dans les « Realgymnasien » de 8 classes, 2 heures hebdomadaires sont 
destinées, en 5""^ et 6"i«, aux éléments de la Géométrie descriptive et du 
Dessin. Ces branches sont facultatives dans les Gymnases (Beform-Real- 
gymnasium et Gymnasium). 

Le rapport de M. le D'" E. Mullek, professeur à l'école technique supé- 
rieure de Vienne, intéressera les maîtres de géométrie descriptive de tous 
les pays ; il ne renferme pas seulement des détails historiques et statistiques 
sur les écoles polytechniques autrichiennes (Vienne, Prague, Graz. Brùnn, 
Lemberg), mais encore une foule de renseignements précieux sur les cours 
généraux et spéciaux, sur les exercices et les répétitions, les travaux de 
séminaire et <le diplôme, les examens et la préparation des maîtres. 

Personne ne songera à reprocher à 1 auteur le caractère subjectif de son 
rapport ; on lui saura gré, au contraire, d'avoir bien voulu communiquer, à 
tous, les résultats de ses expériences pédagogiques et les nombreux sujets 
d étude qu'il propose à ses élèves depuis une dizaine d années. 

r>. KoLLuos (Zurich). 



' Ces 2 rapports sont r.iinis on 1 fascicule de 124 p., (2 M. 40) Heft 'J des BcrUhtc iiber deit 
math. L'iiterrUht in Œsterreicli. Ail. HoldM!, \Vien. 



jVO te s E T l) C LMENTS 65 

FRANCE 

Enseignement des jeunes filles. 

Enseignement d en jeunes filles\ publié sous la diicclion fli- M'i*^ AMiiax. 
prof, au Lycée Victor-Huu^o, Paris. — Le V"'* volume des rapports de la Sous- 
commission f'raiH'aise traite de l'enseignement matliématique des jeunes 
lilles en France et comprend l'enseignement primaire, l'enseignement pro- 
l'essionnel et l'enseignement secondaire. L'enseignement supérieur des 
jeunes (llics, élatit conimnii avec celui des jeunes gens, est exposé dans le 
volume m. 

Les trois premiers rapports du volume V sont relatifs à l'enseignement 
secondaire, donné par les lycées et collèges et à l'école normale. Le cours 
des études des lycées et collèges est de 5 ans, il est divisé en deux cycles. 
Dans le I"^"" |3 années d'étude, âge moyen d'entrée en U^ année 12 ans) l'en- 
seignemenl mathématique est obligatoire ; dans le 2"i<^ il est facultatif. 

M"« A.MiEux indique, dans le l*'" rapport, la place qu'occupent les mathé- 
matiques dans le plan d'études des ler et 2™e cycles et, les raisons qui eu 
1880, lors de la création de ces écoles, ont contribué à faire cette place très 
modeste. Elle fait remarquer que dans le 2™^ cycle, malgré leur caractère 
facultatif, les cours mathématiques sont très fréquentés ; elle estime du reste 
que « laptitude des jeunes filles à profiter d'un enseignement mathématique 
élémentaire, mais sérieux, est désormais un fait d'expérience. » Une 6"» 
année a dû être créée dans un certain nombre de lycées, pour préparer au 
baccalauréat les jeunes lilles en nombre toujours croissant, qui veulent faire 
des éludes supérieures. D autre part, les lycées ont également jugé néces- 
saire de s'annexer des classes préparatoires pour enfants de 5 à 12 ans. 
L enseignement mathématique est donc divisé en enseignement obligatoire, 
donné dans les classes préparatoires et les 3 classes secondaires du l^f cycle 
et en enseignement facultatif, donné dans les 2 classes du 2'ne cycle et dans 
les classes de 6'"'= année. 

M"^ A.MIEUX expose ensuite 1 organisation générale pour les 2 cycles. 
Celle des classes préparatoires et de la Sm* année varie d'un lycée à l'autre. 

La S""* partie du rapport s occupe plus particulièrement de l'enseigne- 
ment obligatoire. Le programme de chaque année d étude est accompagné 
de considérations sur le bilt de l'enseignement et la manièic dont le pro- 
gramme est interprété. 

En géométrie, pendant les deux premières années l'enseignement doit 
« initier les élèves aux constructions et à la connaissance des formes géomé- 
triques et leur permettre de mieux appliquer le système métrique ». La 
3™« année a pour but d'n initier les élèves à la culture logique de l'intelli- 
gence, exercer leur faculté de raisonnement, les habituer à la rigueur de 
la pensée, à la précision et à la clarté d expression ». 

La question de la valeur respective des trois méthodes d'Euclide, de 
Méray et de la méthode mixte est encore très controversée, aussi toute 
liberté est laissée au corps enseignant. M"'' A.miklx termine son rapport 



* 1 vol. dn 'ih p.igos: .'! fr..">ii; Librairie tiachette, Paris. 
T.'F.nseiuncment mathcni., I4"ann«-e; 1912 



66 NO TE S ET DO C UME NT S 

pai- un c'xposi' de reuseigncituMit gôoinûli-iiiuc de o""' annéo au lycée Virtor 
Hugo à Paris. 

L'enseignement des malliéniatiques dans le 2"^" cycle, soit les 4"'c et 5""^ 
années de renseignement secondaire, fait l'objet du second rapport lequel 
est dû à M"^eH. Baudeuf, prof.au lycée de Bordeaux. Cet enseignement pré- 
pare aux baccalauréats et aux divers concours de l'enseignement secondaire 
féminin, il est facultatif en ce qui concerne les mathématiques, tandis que la 
physique et la cosmographie ainsi que les autres branches d'étude sont 
obligatoires. M"'<^ Baudeuf regrette ce cai-aclère d'exception donné aux 
matliématiques. Il a pour résultat naturel de faire, trop souvent, négliger 
les mathématiques vers la (in de la S™'^ année, à l'approche des examens du 
diplôme de fin d'études. Contrairement aux idées reçues au moment de 
l'élaboration des programmes des lycées de jeunes filles, l'expérience des 
28 dernières années a prouvé que les jeunes filles sont plus fréquemment 
attirées vers l'étude des mathématiques que vers celle des sciences naturelles. 

Quant au programme notons que l'arithmétique est une cevision du champ 
déjà parcouru, mais avec des tendances plus théoriques, systèmes de numé- 
ration, divisibilité, etc. Le programme d'algèbre comporte les équations 
du second degré-. La géométrie plane est traitée en 4"ie année, la géométrie 
dans l'espace en 5'""= année. Les cours mathématiques sont de 2 heures par 
semaine. En 4™^ année le cours de cosmographie est obligatoire, 1 heur-e 
par semaine pendant 1 semestre, tandis qu'en 5"'<= année il est facultatif et 
fait partie du cours de mathématiques pures auquel sont consacrées 2 heures 
par semaine. 

L'enseignement qui suit le diplôme de fin d'études, soit en 6'"<' année, est 
en réalité réparti sur 1 ou 2 ans et comporte 3 sections. La !■''= prépare les 
élèves à la l'''= partie du baccalauréat es sciences (latin-Sciences ou Science- 
langues vivantes) avec 5 heures de mathématiques par semaine. La 2'"»= 
section est destinée aux élèves qui ont passé la !''« partie et se préparent à 
la 2"'<' partie du baccalauréat, 8 h. par semaine sont attribuées aux mathé- 
matiques. 

Le programme est celui de la classe correspondante des lycées de garçons 
^classe de mathématiques élémentaires), avec adjonction d'un cours élé- 
mentaire de géométrie analytique à cause des candidates au certificat d'ap- 
titude à l'enseignement des sciences dans les collèges de jeunes filles. Celles- 
ci, après avoir obtenu le baccalauréat, complètent et approfondissent leurs 
connaissances en suivant une seconde fois le même cours. 

Kniin la S'"*^ section prépare au concours d'admission à l'école normale 
supérieure de Sèvres avec 5 heures de mathématiques par semaine. J.,e 
programme, plus élémentaire que pour le baccalauréat, doit être possédé 
parfaitement. 

M. 1'. .\r'i'ELL, doyen de la Faculté des Sciences de Paris et professeur à 
l'Ecole <1(! Sèvres, rappoi'le sur l'enseigneineul mathématique à l Ecole nor- 
male supérieure de Sèvres. Cette école a pour but de préparer les profes- 
seurs femmes des lycées et collèges de jeunes filles. De même que l'école 
normale des jeuaes gens, elle a une section littéraire et une section scienti- 
fique. Elle est un internat, les études et la |)ension sont gratuites. !.. admis- 
sion des élèves, environ 15 annuellement se fait à la suite d'un concours 
dont le programme mathématique contient de larithmétique, de l'algèbre 
Jusqu'aux progressions, de la géométrie plane et dans l'espace et des élé- 
ments de trigonométrie. 



v o /■ !■: s E T I) o r u m e y r s 67 

Les éludes ;i l'Ecole sont in'parlics sur trois auuées, dont la troisième a 
pour but principal la piéparalion an concours du certificat d'aptitude à 1 en- 
soiguenient dans les lycées et collèges. M. Appell estime que pour les élèves 
de Sèvres le programme de ce concours est trop voisin de celui d'entrée à 
Sèvres. Notons que le programme mentionne la notion de dérivée, la varia- 
tion des fonctions, des notions de géométrie analytique. 

La troisième année prépare au concours de l'agrégation des jeunes filles, 
qui, pour les sciences, est divisé en section des sciences matlKiinatiques et 
section des sciences physiques el naturelles. Les concours, soit de l'agré- 
gation, soit du certificat d'aptitude ne sont pas exclusivement réservés aux 
élèves de 1 Ecole. 

En troisième année, outre la revision du programme, les élèves appren- 
nent à faire elles-mêmes des leçons dans des cours de conférences. Dans le 
courant de Tannée cliacune d'entre elles passe une quinzaine de jours à faire 
de véritables leçons dans les lycées de Paris et de Versailles. 

h'enseigneinent professionnel des jeunes filles fait l'objet d'un rapport pai- 
M">e Pivot, professeur à l'école professionnelle Emile Dubois, à Paris, 
el par .\I"« Kredon, professeur à 1 Ecole pratique du Havre. Ces écoles, 
appelées écoles pratiques de commerce et d'industrie en province et écoles 
professionnelles et ménagères à Paris, peuvent se diviser en section com- 
merciale et section industrielle. Elles sont encore dans une période d'orga- 
nisation, c'est pourquoi ce rapport indique plutôt les tendances de leur en- 
seignement. Leur but est de « former des employées de commerce et des 
ouvrières aptes à être immédiatement utilisées an comptoir et à l'atelier ». 

Le cycle des études est de trois ans. L'admission se fait entre 12 et 15 ans 
par voie de concours. Malgré le caractère essentiellement pratique de l'en- 
seignement, la culture générale n est pas négligée. Le temps consacré au.\ 
mathématiques est relativement restreint, il varie entre 1 '/s et 3 heures par 
s;emaine, suivant les années et les sections, contre 10-18 heures de classe et 
32-24 heures de travaux pratiques. 

Par les cours d'arithmétique on cherche à mettre l'élève à même de résou- 
dre tous les calculs qui peuvent se pi'ésenter dans la vie domestique ou 
professionnelle. Dans la section commerciale quelques leçons sont affectées 
au calcul algébrique. La géométrie est enseignée surlt)ul en vue du dessin 
et de la coupe. 

Les professeurs des écoles professionnelles se recrutent en général parnù 
les élèves des sections normales annexées à l'Ecole pratique du Havre, sec- 
tions qui vont être transférées à Paris. Le rapport se termine par un projet 
de programme pour les écoles professionnelles de la ville de Paris. 

La troisième partie du volume V présente un aperçu sommaire de 1 ensei- 
gnement primaire féminin, enseignement qui est sensiblement analogue à 
celui des écoles primaires de garçons déjà étudié dans le volume I. Les 
écoles primaires de filles sont divisées en écoles primaires élémentaires, de 
5 a 13 ans, et écoles primaires supérieures. Elles piéparent respectivement 
au certificat d'études primaires élémentaires el au certificat d'études pii- 
maires supérieures ; les dernièi-es conduisent également, dans certains cas, 
au brevet simple et au brevet supérieur. 

Le personnel enseignant se recrute, pour les écoles élémenlaircs, dans les 
écoles normales piiinaires d institut rices ; pour les écoles primaires supé- 
rieures et pour les écoles normales j)rimaires, surtout à l'école normale 
supérieure de Foiitenay-aux-Hoses. 



68 N OTES ET DOC UMEN TS 

Dans sa « Noie sur renseignement des malhémaliques dans les écoles 
piimaiies élémentaires », M"*' Amieux se borne à rappeler les programmes 
olUcicls et à renvoyer le lectenr an rapport correspondant sur les écoles de 
garçons par M. Lhfebvre. 

M. TALLE^T, professeur à Técole Turgot, à Paris, passe en revue, dans le 
second rapport, l'enseignement des mathématiques dans les écoles primaires 
supérieures de jeunes (illes. L'enseignement général en est sensiblement 
semblable à celui des écoles de garçons. 

A partir de la deuxième année, renseignement se répartit sur trois sec- 
tions, une section d'enseignement général conduisant à l'Ecole normale ou à 
l'administration des postes, télégraphes et téléphones, une section commer- 
ciale et une section ménagère. 

M. Tallent indique le programme maliiématique correspondant aux diffé- 
rentes sections. L'algèbre n'en t'ait pas partie. 

Le cycle des études est généralement de trois ans, exceptionnellement de 
quatre, par exemple à Paris dans les écoles Edgar QuineJ; et Sophie Ger- 
main. 

Pour l'enseignement des mathématiques dans les écoles normales d'insti- 
tutrices primair-es, le rapporteur, M. Yareil, professeur à l'Ecole normale 
de Meluii. renvoie au rapport des écoles de garçons correspondantes. 

Le volume se termine par deux rapports sur l'enseignement des ma- 
thématiques à l'Ecole normale supérieure d'institutrices de Fontenay-aux- 
Roses. L'un par M. Fontené, inspecteur à l'Académie de Paris, sur l'arith- 
métique et l'algèbre, l'autre sur la géométrie, par M. G: Kœnigs, professeur 
à la Sorbonne. Le cycle des éludes est de trois ans, l'arithmétique fait 1 ob- 
jet de la première année, la géométrie de la seconde. Dans la troisième année 
les élèves font elles-mêmes des leçons sur l'une et l'autre des deux branches 
alternativement. 

Renée Masson (Genève). 

ILES BRITANNIQUES ' 

iSoTE PRÉPAKATOiRE. — Lcs rapports sur l'enseignement mathématique 
dans les Iles Britanniques sont publiés avec le concours du Board of Edu- 
cation, en une série de fascicules, mis en vente séparément. Ils sont inti- 
tulés Spécial Reports on Ediicational suhjects. The Teaching of Mathenia- 
tics in the United Kingdom. (Wyman &. Sons, éditeurs, Londres). 

En tète de chaque fascicule une Note préparatoire rappelle l'origine de 
ces travaux et la composition de la délégation et de la sous-commission 
anglaises : Sir G. Gkeenhill, Prof. E. VV. Hobson, Mr. C. Godfkky, délé- 
gués, et -Mr. C.-E. Ashiord. Sir George H. Darwin, Mr. G. -H. Hardy, 
.Mr. C. S. Jacksox, Sii" Joseph Lahmor, Prof. A. E. H. Love, et Prof. 

GiBSO.N. 

Cette commission a été chargée d'organiser les travaux, mais, quoique les 
rapports soient dirigés par le Board sur la proposition de la commission, 
il est bien entendu que ni celle-ci, ni le Board n'acceptent aucune respon- 
sabilité concernant les renseignements ou les opinions qu'ils renferment. 



* Ces rapports ont été résuinés par M. J.-P. DCMLiit (Genève) 



NOTI-: s E T D O C U M E N T S 69 



N" 1. — Les mathématiques supérieures dans la sixième classe classique 

Iliglicr Matlicnuilics fur tlie Classical Si.rtli Eoiin ', l)y Mr.W. Nkwboi.d, 
Assislaiil Miislcr à Toiulbrige School. — L'auleur d<'-plore loat d abord le 
fnit que les élèves des sixièmes classes des Public Scliools qui préparent 
leur entrée à l'université soient plus ou moins obligés d'abandonner les 
matliémaliques. du moins pendant le ou les Iriineslres précédant immédia- 
tement l'examen. Il eu résulte que nomI)re de jeunes gens intelligents 
quittent la Public Scbool en ne possédant qu'une connaissance très minime 
des mathématiques, ils n ont pas la moindre envie de les continuer et les 
laissent complètement de côté durant le reste de leur vie. Les mathéma- 
tiques supérieures représentent à leurs yeux un domaine inaccessible qu il 
ne faut même pas songer à aborder. Des tentatives devraient être faites 
pour modifier si possible cet état de choses, sans toutefois nuire au côté 
oIassi([ue de léducation. 

Dans tous les pays et aux diverses périodes de l'enseignement, deux 
branches surtout occupent une place toute spéciale dans les programmes. 
(>e sont la langue maternelle et les mathématiques. En ce qui concerne la 
première de ces branches, l'élève de la sixième classe classique possède 
nue préparation relativement satisfaisante, car, abstraction faite du travail 
scolaire proprement dit, il lui est possible d'acquérir indirectement l'habi- 
leté et la facilité requises dans ce domaine, par l'usage continu de sa langue 
maternelle, par ses lectures littéraires, etc. 

Pour les mathématiques, il en est tout autrement ; s'il les abandonne à son 
entrée à l'université il y a bien peu de chances qu'il s'y intéresse à nouveau 
une fois ou l'autre. C'est pourquoi une large proportion des meilleurs élèves 
des Public Schools ne sont équipés pour le reste de leur vie que de maigres 
rudiments d'arithmétique, d'algèbre et de géométrie et parfois dune teinture 
de trigonométrie. Ceci est d'autant plus regrettable que ces jeunes gens sont 
précisément arrivés à un degré de développement mental et de culture géné- 
rale qui se prêterait favorablement à quelques incursions dans certains do- 
maines des mathématiques supérieures. 

Lorsque, il y a trois ans, Mr. G. St. L. Carson fut chargé du département 
des mathématiques à Tonbridge School, il réorganisa leur enseignement pour 
toute l'école. En septembre 1909, on décida de réserver quatre heures de 
mathf'matiques par semaine pour les élèves de la sixième supérieure (Upper 
Sixthl qui, pour une année n'avaient pas d'examen d entrée à l'université en 
perspective immédiate. Ces jeunes gens, au nombre de six formèrent ce 
qu'on appela le groupe spécial (Spécial Set) et l'auteur du présent rapport 
fut chargé de leur enseignement. Les conditions au début étaient très peu 
favorables. Les élèves, âgés de 17 ans en moyenne, n'avaient fait, à part 
lun deux, que des mathématiques très élémentaires, et la plupart n'en 
avaient plus fait depuis une année environ. Le travail se lit sans programme 
bien arrêté ; le but à poursuivre consistait surtout à développer de nouvelles 
idées concernant la signification des problèmes et la façon de les aborder, 
spécialement les questions de statistique cjue l'on rencontre journellement 
dans le commerce, la politique ou les sciences. Sans entrer dans les détails. 



* Price one Penny, Wvman aiid Sons, Londres. 



70 NOTES E T 1)0 C U M E N T S 

citons simjjlemeiit les sujets principaux qui furent abordés durant l'année. 
Il fallut tout d'abord dérouiller pour ainsi dire les élèves, leur faire ac- 
quérir une certaine souplesse dans le maniement des cliilfres et des lettres 
el développer le côté plutôt mécanique du travail. Un certain temps fut con- 
sacré ensuite à l'extension des éléments de statistique (naissances, popula- 
tion, etc.) avec emploi des méthodes graphiques, et à l'acquisition, jusqu à 
un certain degré, des notions de fonction et de limite et des éléments du 
calcul différentiel. En même temps, certaines questions d'algèbre, de géo- 
métrie et de trigonométrie furent traitées incidemment, lorsque l'occasion 
s'en présentait ; par exemple les polyèdres réguliers, les aires et volumes 
de la pyramide et de la sphère par la méthode infinitésimale. Ces questions 
conduisirent naturellement à quelques dévelojipements sur les progressions 
et les séries el aux notions fondamentales de convergence, de valeur appro- 
chée et de valeur limite. 

Suivent les quêtions qui furent proposées aux examens d'été 1910, à la fin 
de l'année scolaire et qui donnent une idée précise du travail accompli. Les 
résultats furent d'une façon générale satisfaisants et justifient pleinement 
cette tentative. 

L auteur fait remarquer limportance du choix des problèmes. L'élève doit 
être à même d'eu comprendre toute la portée, le sujet traité doit lui être 
familier. Bien des erreurs pourraient être évitées si ces conditions étaient 
satisfaites. En outre, un ou deux élèves du groupe seulement connaissaient 
un peu la mécanique élémentaire, de sorte que toute une catégorie de ques- 
tions ne pouvaient être abordées. Cet inconvénient n'aura plus lieu dans 
l'avenir, car la mécanique élémentaire figure actuellement au programme de 
Toubridge School. En ce qui concerne le côté abstrait de renseignement, 
l'auteur estime qu'il ne faut pas l'éviter complètement; mais il faut bien 
persuader l'élève qu'une exactitude rigoureuse n a pas plus d importance 
pour les besoins de la pratique qu une approximation poussée jusqu à un 
degré suffisant. 

M. W. ^\ewbold nous a exposé ces résultats pour nous montrer, ce que 
les élèves de la sixième classe étaient capables de faire et pour nous con- 
vaincre de l'utilité d introduire dans cette classe quelques aperçus de mathé- 
matiques plus avancées. Le bénéfice que les élèves en retireront ne concer- 
nera pas seulement leurs connaissances purement mathématiques, mais aura 
encore sa répercussion dans leur vie politique, commerciale ou scientifique, 
sans parler du côté esthétique de la question qui doit également entrer en 
ligne de compte. 

Depuis une cinquantaine d'années, les méthodes scientifiques se sont 
extraordinairement développées, et il est urgent que les élèves de la sixième 
classe classique qui représentent les éléments les plus cultivés des Public 
Schools reçoivent un enseignement ad hoc. De toutes façons une réforme 
s'impose et il faut espérer qu'elle .se réalisera au plus vite. 

N° 2. — Les relatious entre les mathématiques et la physique. 

The Relations of Mathemalics and Physics '. by I)"" L. N. G. P'ilo>-, F. R. S., 
Professeur assistant de mathématiques à University Collège, Londres. — 

* Price one pennv. 



NOTi: s K T DOC IJ M E N TS 71 

Le sii'ck' (leniicM" a été cai-actcrist', au poinl de viio sciciitilKiiic, par une 
i-éuniou toujours plus étroite des inatliéiuati(|ues et de la physi(|uc. La 
llieruiodynamique. l'électroma^uétisnie et la théorie éloclrouiat;'iiéli([ue de la 
lumière sont parmi les plus grands triomphes de cette alliance des méthodes 
expérimentales et analytiques. L'esprit qui animait les grands savants de 
cette époijue est rendu manilesle par cette phrase de Fourier' : 

« L étude approfondie de la nature est la source la plus ieconde des dé- 
couvertes mathématiques. 

« Non seulement celte étude, ou olIVaut aux l'ccherches un but déterminé, 
a l'avantage d exclure les questions vagues et les calculs sans issue ; elle 
est encore un moyen assuré de former 1 Analyse elle-même, et d'en décou- 
viùr les éléments qu'il nous importe le plus do connaître et ([ue celte science 
doit toujours conserver. 

« Ces éléments l'ondamcnlaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les 
elTels naturels. » 

Actuellement, il faut le constater, celle féconde hai-mouie de la physique 
et des mathématiques s'affaiblit graduellement. La tendance se lait sentir 
de plus en plus de séparer les mathématiques autant que possible de leur 
substance physique, de faire une part moins large à 1 intuition et à l'expé- 
rience et de s'attacher davantage à leur côté abstrait. Cette tendance n'est 
peut-être pas eu elle-même une mauvaise chose; elle a rendu de grands 
services dans certains domaines (revision des bases des mathématiques élé- 
mentaires, théorie des groupes de transformation, théorie des variables 
complexes, théorie des équations intégrales). 

Malheureusement, tandis que ces nouvelles branches des mathématiques 
pures se développent rapidement, il n'en est pas de même des recherches 
de physique mathématique qui semblent se relâcher considérablement ; on 
n'assiste plus à 1 apparition de ces méthodes nouvelles et fécondes, notre 
génération n'a rien fourni qui puisse se comparer aux théorèmes de Fourier, 
Green ou Stokes. 

D'autre pari la physique expérimentale de son côté, grâce au développe- 
ment de nouvelles branches (radioactivité, météorologie, physique technique) 
s'accroît de faits nouveaux et de méthodes nouvelles. Eu fait, cette science a 
atteint un degré de spécialisation tel qu'il est dillîcile pour le mathémati- 
cien pur de s'en rendre maître également. 

Or il n'est pas douteux que les grandes victoires de la physique durant le 
siècle dernier sont dues à la réunion chez un même individu de la puissance 
d'investigation expérimentale et de l'esprit d'analyse. Cherchons donc les 
causes qui, à Pheure qu'il est, contribuent à éloigner le mathématicien du 
domaine expérimental. 

Nous avons déjà mentionné cette tendance qu'ont les mathématiques de 
devenir métaphysique. Les mathétnatiques modernes sont en elfet caracté- 
risées par une revision complète de résultats qui reposent sur des méthodes 
infinitésimales (théorie des nombres irrationnels, théorie des groupes, fon- 
dements du calcul différentiel et intégral, séries et produits infinis, frac- 
lions continues, théorie moderne des séries divergentes, nombres translinis) 
et par la rediscussion des axiomes de la géométrie amenée par la découverte 
de la géométrie non-euclidienne. Un champ nouveau d'investigation est ainsi 



' Thcoric analytique de la Chaleur. (iKuvrcs, ('(lilion Uaruoux, vol. I. p. .\.\II. 



72 yOTES ET DOCUMENTS 

offert au mathématicien et k- (l('tournc plus ou moins des problèmes d'inté- 
rêt plus directement pratique. Il eu résulte aussi que la jireuve de la possi- 
bilité d nu problème est aussi importante, si ce n est plus importante, pour 
le matliématirien, que sa résolution ed'eclive. Or c'est précisément cette ré- 
solution effective qui prend de limportauce pour le physicien dont la tâche 
est d'exprimer sous forme analytique les phé-nomènes naturels. On com- 
prend dès lors facilement qu'une certaine réaction se soit produite et que 
les physiciens commencèrent à douter sinon des mathématiques, au moins 
des mathématiciens, et à s effrayer de leurs méthodes rigoureuses. 

Une autre tendance dont l'efficacité est certainement douteuse est celle qui 
consiste à accumuler les faits sans en donner en même temps l'interpréta- 
tion théorique (tables météorologiques, mesures spectroscopiqnesl. Ou peut 
se demander en pareil cas si l'exactitude prématurée ou la uuilliplicalion 
des observations ne décourage pas plutôt que ne stimule. 

Une autre cause qui détourne actuellement le mathématicien des pro- 
blèmes de physique, c est les progrès de l'électrodyuaniicj^ue en opposition 
à la dynamique mécanique. De même l'interprétation théorique de bien des 
faits physiques ne peut plus se faire maintenant avec la même simplicité 
qu autrefois. 

Tout ceci n'est pas fait pour donner confiance au mathématicien qui pré- 
fère manifester son activité dans un domaine qui lui est plus familier. Il 
faut constater encore la décadence progressive des mathématiques appliquées 
dans la plupart des universités. Cette décadence est due en grande partie 
au fait qu'un temps disproportionné est consacré à la. résolution de pro- 
blèmes qui ne se présentent jamais en pratique, basés sur des hypothèses 
irréalisables et conduisant parfois à des résultats en complet désaccord 
avec le sens commun. L enseignement de cette branche, en outre reste 
stationnaire, il ne satisfait plus aux exigences modernes. Ainsi l'électricité 
est en train de i-évolulionner complètement la mécanique, et pourtant, elle 
ne figure pas au programme ; les phénomènes électriques sont exclus de la 
théorie du potentiel ; on n'aborde même pas la théorie cinétique des gaz 
et la ther-modyiiamique. 

Il semble qu'actuellement la physi(|ue soit parvenue à une période où de 
nouveaux faits et des observations plus précises rendent les anciennes lois 
insuffisantes. De nouveaux problèmes surgissent, et de nouvelles méthodes 
mathématiques s'imposent. C'est pourquoi un certain temps sera nécessaire 
pour la réorganisation et le développement de ces méthodes, temps pen- 
dant lequel on ne doit pas s'attendre à une coopération active des mathé- 
maticiens et physiciens. 

Les diverses causes de divergences qui viennent d'être passées en revue 
peuvent être classées en deux catégoi'ies. Les unes constituent une phase 
nécessaire de l'histoire de la science et doivent être acceptées comme telles. 
Ce sont : 

1° Le besoin de nouvelles méthodes mathématiques répondant aux nou- 
veaux faits de la physique. 

2° L'incertitude et la nouveauté des théories électriques modernes. 

3" L'intérêt développé jjar- l'apparition de ncju veaux domaines des mathé- 
mali([ues pures. 

Les autres représentent des tendances susceptibles d'être améliorées 
jusqu'à un certain point. Ce sont : 

1" Le malentendu réciproque provenant d'une spécialisation à outrance. 



iV O TE S K T I) () (• U M E .\ T S 73 

2° L'arcnmulad'on de mati-riol non iiilerpi'i'h'' en [)liysi([iio et de concopl.s 
abslrails en matliémali(|ues. 

3" Le iléclin des malliématiques ap|jli([iiées. 

On rcmédieia d'une façon sensible aux deux premiers points par l'édu- 
cation appropriée des maîtres, examinateurs et chercheurs des deux 
branches; mais c'est surtout par une revision complète du programme des 
niatiiématiques appliquées qu'une amélioration décisive s'opérera. 11 faut 
que ce programme renferme des questions d ordre réellement pratique et 
ne soit pas réduit à une pure gymnastique cérébrale ; ce qui ne veut pas 
dire toutefois que le cours, de mathématiques appliquées soit transformé en 
un cours de physi([tie expérimentaUî. 

Un j)rogramme bien compris, qui initicrail les auditeurs aux méthodes 
fondamentales de la physique et leur fournirait en même temps des résul- 
tats de nature mathématique en évitant cependant de trop grandes difficultés 
analytiques, constituerait une excellente base d action commune pour le 
mathématicien et le physicien. J.-P. Dumlr (Genève). 



Cours universitaires. 

RUSSIE 

Cours annoncés pour Vannée uni\'ersitaire 1911-191Q ^■ 

Dorpat (Jurjew); Uni\'evsité. — Alexf.iew : Applications du Calcul dilf. 
à la Géométrie, 4 (1. s.). Calcul intégral, 2.(1. s.). Géométrie descriptive, 4 
(1. s.). — Gravé : Introduction à l'Analyse, 4 (1. s.]. Géométrie analyt. du 
plan, 4 (1. s.), avec exercices, 1 (1. s.]. Théorie des fonctions d'une va- 
riable complexe, 4 (1. x.|. — Kolossoff : Mécanique analyt., I : Cinéma- 
tique, 4 (1. s.). II : Dynamique des systèmes de points et des solides, 3 
(1. s.) ; Calcul des variations, 2 (1. 5.). — Pokrowsky : Mécanique (pour les 
étudiants-chimistes), 3 (1. s.). Mathématiques élémentaires, 2 (1. s.). Cours 
général d'astronomie, 4 (1. s.). Connaissance du ciel, 1 (1. .9.1. Astronomie 
théorique, 2 (1. s.). — Orloff : Géodésie sup., 2 (1. s.). Calcul des pertur- 
bations spéciales des planètes et des comètes, 6 |1. s.). 

Kazan ; Université. — Kotelxikoff : Géométrie analyt., 3 (1. et 2.) ; Tra- 
vaux pral., 1 (1. et 2.). Algèbre sup., 3 (1. s.)\ Ti-avaux prat., l (2. s.). — 
Porphyrieff : Calcul dilf., 3 (1. s.). Exerc. 1 (2. s.). Applications analyt. et 
géomét. du Calcul diff., 3 (2. s.\ ; Trigonométrie sphérique. 1 (1. s.\ ; Equa- 
tions aux dérivées partielles, 2(1. s.); Travaux pratiques d'intégration des 
équations dilf., 2 (2. s.]. — Parwiextieff : Calcul intégral (intégrales indé- 
finies), 3 (1. s.\; Travaux pratiques d'application du Calcul intégral à la 
Géométrie, 2 (1. s.]. Intégration des équations diff., 2 (1, et 2.). Théorie 
des intégrales définies. 4 (2. s.). — Sloucuinoff : Théorie des nombres, 2 
(1.5.). Applications du Calcul diff. à la Géométrie, 2 (2.5.). — Blagéevsky : 
Histoire des Mathématiques, 2 (1. et 2.). Cinématique, 2 (1. et 2.). — 
Zeiliguer : Cinétique, 6 (1. s.], 3 (2. s.). Aviation, 2 (1. s.). Géométrie com- 



1 Explications des abréviations : (1..?.) : preini(>r .semestre (septembre à décembre 1011); 
. s. : deuxième semestre (janvier n mai l',tl2) ; 1. et '2. : pendant deux semestres. 



74 yOTES ET DOCUMENTS 

plexo de la droite, 2 (1. s.\. Ciuoniatiquo, 3 (2. s.\. Cours ilératif de Mé- 
canique, 4 |2 s.). — DouBiAGO : Astronomie sphérique cl gêuérale, 3 (1. et 2 ). 
Astronomie théorique, 2 (1. 5.); Travaux pratiques d'Astronomie pratique 
(1. et 2.). Mécanique céleste, 2 (2. s.)\ Travaux pratiques d'Astronomie 
sphérique, 1 (2. 5.). 

KharkOV ; Uni\'ersiU'. — Si.NTZOFF : Géométrie analyt. du plan 3 1 1 . a. I r 
Applications du Calcul diff. à la Géométrie, 3 (1. s.]. Intégration des équa- 
tions difl"., 3 (1. s); Travaux pratiques, 1 |l. s.\. Géométrie analyt. de l'es- 
pace, 3 |2. s.); Travaux pratiques, 1 (2. s.]. Introduction à la Géométrie, 2 
(2. 6'.). — RoLSSiAN : Théorie d'intégration des fonctions, 3 (1. s.) ; Travaux 
pratiipies, 2 (1. s.). Théorie des intégrales définies (p. Il), 2 (1. s.). (-alcuI 
diff"., 4 (2. s.); Travaux pratiques, 2 (2. s.). Théorie des intégrales définies 
(p. I), 3 (2. s.). Intégration des équations aux dérivées partielles du pre- 
mier ordre, 3 (2. s.). — Pscheborsky : Introduction à l'Analyse et éléments 
de théorie des nombres. 4 (1. s.). Théorie des fonctions d'une variable com- 
plexe, 3 11. s.). Calcul des variations, 2 (1. s.). Analyse algébrique, 4 (2. s.). 
Théorie des fonctions ellipt., 3 (2. s.). — Zagoutinsky : Mathématiques supé- 
rieures (pour les étudiants naturalistes), 4 (1. et 2.). Travaux pratiques de 
Géométrie analyt., 1 (1. et 2.). Travaux pratiques d'application du Calcul 
diff. à la Géomélrie, 1 (1. s.]. Géométrie projeclivc, 2 (2. 5). — Zatychf.ff : 
Géométrie descriptive, 2 (2. s.) ; Travaux pratiques, 1 (2. s.). — Berinstein : 
Calcul des probabilités, 2 (1. s.). Intégration des équations de la Physique 
mathém., 3 il s.). Calcul des différences finies, 2 (2. s.). Théorie analyt. 
des équations diff., 3 |2. s.). — Saltykoff : Mécanique théorique (Statique 
et Cinématique), 4 (1. s.); Travaux pratiques, 2 (1. et 2.). Si-minaire de Mé- 
canique théorique, 2 (1. et 2). Mécanique théorique (dynamique), 4 (2. s.) — 
Strouvé : Astronomie générale, 3 (1. et 2.). Détermination des orbites, 3 
(1. s.), 2 (2. s.). Travaux pratiques à l'Observatoire (observations astrono- 
miques), 3 (1. et 2.). — Eudoklmoff : Trigonométrie sphér., 1 (1. s,). Astro- 
nomie sphér., 3 (2. s.) ; Travaux prat.. d Astronomie sphér., 2 (2. .v.). 

Kiew ; Université. — Khandrikoff : Cours fondamental des Mathéma- 
tiques (pour les étudiants naturalistes) : Géométrie analyt. et Calcul diff., 4 
(i. s.). Calcul intégral, 4 (2. s.). — Boukreieff : Introduction aux JMathéma- 
tiques supérieures, 4 (1. s). Intégration de fonctions, 2 (1. s.). Applications 
du Calcul diff. à la Géométrie, 4 (1. s.]. Calcul diff. (théorie et applications 
analyt.), 4 (2. s.). Intégrales définies et intégrales multiples, 4 (2. s.). — 
Gravé : Géométrie analyt., 4 (1. s.], 3 (2. s.); Travaux pratiques, 2 (1. et 2.). 
Analyse algébrique, 3 (1. et 2.). Théorie des nombres, 1 (1. et 2.). Théorie 
de division du cercle, 2 (1. et 2.). — Pfeiffer : Intégration des équations 
difF., 3 (1. A-.); Exerc, 1 (2. s.). Intégration des équations aux dérivées par- 
tielles, 2 (1. et 2.); Travaux pratiques sur les applications du Calcul difl., 
2 (1. s.). Calcul des différences finies, 2 (1. .s.). Calcul des probabilités, 1 
(2. s.]. Travaux pratiques de Calcul diff., J (2. s.). Travaux pratiques de 
Calcul intégral, 2 (2. s.) — Sousslow : Cinématique d'un système invariable, 
2 (1. s.). Dynamique des solides, 2 (1, s.). Statique et théorie du potentiel, 
2(1. s.). Dynamique d'un système, 4 (2. s.). Giration d'un solide, 2 (2. s.). — 
WoRO.NETZ : Cinématique du point, 2 ( 1. a.), 3 (2. s.]. Calcul des variations, 3 
(1. s.). Equilibre des corps flottants, 2 |1. s.]. Intégration des équations de 
la dynamique, 3 (2. s.). — Bilimowitsch : Théorie de l'élasticité, 2 (1. s.]. 
Travaux pratiques de mécanique, 2 (1. et 2.). Travaux pratiques de théorie 



.V O T E S E T 1) U C U M E N TS 75 

de l'élaslicilé, 1 il. et 2.). Oscillations petites, 2 (2. s.). — Rekaschf.w : 
Géomotrie descripl., 3 (1. s.]. Slaticpie grapliiquc, 3 (2. s.\. — Vogki. : 
Astronomie descripl., 2 (1. et 2.). . Astronomie sphér.. 2 (1. et 2.). Travaux 
pratiques d'Astronomie, 3 (1. et 2 ). Tht'orie des instruments astronomiques, 
2(2. s.\. — KoRDisr.H : Thermodynamique, 3 (1.5.|. Electrostatique. 3 (2. s.). 

Moscou; rtiUersilé. — Axdreeff : Géométrie analyt. du plau, '* (1. s.). 
Algèbre sup.. 6 (l. s.), 3 (2. s.\. Géométrie, analyt. de l'espace, 3 (2 .s.). 
Trigonométrie spliérique, 1 (2. s.]. — Lakhtin : Introduction à l'analyse, 4 
(1. s.). Calcul intégral, 4 1 1. s. ), 3 |2. s.). Calcul des probabilités, 2(1. et 2.). 
Calcul diff., 4 (2. .s.|. Calcul des différences finies, 2 (2. s.\. — Egokoff : 
Géométrie inliuitésimalc, 4 (t. s.). Intégration des équations diff., 2 (1. s.], 
3 (2. s.\. Théorie arithmétique des régions algébriques, 2 (1. s.\. Calcul des 
variations, 2 j2. s.). Séminaire mathématique, 2 |2. 5.). — Bobyxin : Théorie 
des nombres,! (1. 5.), 2 (2. s.). Histoire des connaissances mathématiques 
antérieures à la science, 1 (1. et 2.) (pour les étudiants mathématiciens et les 
étudiants pliilologues). Histoire des mathématiques dans la Grèce antique, 
2 (1. et 2.) (pour les mêmes) ; Histoire des mathématiques au moyen âge, 

1 il. et 2.) (pour les mémes|. Histoire des mathématiques modernes 1 
il. et 2.|. — BoGOiAWLExsKY : Algèbre sup. (Résolution des équations par 
radicauxl, 2 (1. s.]. — D.mitrowsky : Courbes planes des ordres supé- 
rieurs, 2 il. et 2.1. Travaux pratiques de géométrie analytique du plan, 

2 (1. 5.1. Travaux pratiques de géométrie analytique de l'espace, 2 (2. s.i. 

— Blschglens : Travaux pratiques de géométrie infinit., 2 (1. s.). Travaux 
pratiques d'intégration des équations diff., 2 (l. s.]. 4 (2. s.\. Théorie des 
congruences rectilignes, 2 (2. s.). — Joukowsky : Cinématique et Sta- 
tique, 3 (1. 5.). Travaux pratiques de cinématique et Statique, 2 (1. 5.). 
Dynamique des solides (cours spécial), 2 (1. s.). Aérodynamique avec des 
applications à l'aéronautique, 1 (1. s.\. 2 (2. s.). Dynamique du point et 
théorie de l'attraction, 3 (2. s.). Travaux pratiques de Dynamique du point, 
2 |2. s.i. — Mertzaloff : Géométrie descripl., 2 (1. s.). Dessin linéaire, 
2 il. et 2.1. Mécanique appliquée (Théorie des mécanismes), 2 (1. s). 
Travaux pratiques de Géométrie descriptive, 2 (2. 5.|. Mécanique appli- 
quée (Théorie générale des machines), 2 (2. s.]. — Kowalexsky : Résis- 
tance des matériaux, 4 (1. s.). Hydraulique, 4 (2. s.). — Bolotoff : Théorie 
du choc, 2 (1. s.). Théorie de l'élasticité, 2 (2. s.). — Sta.nkiewitsch : Hy- 
drodynamique, 2 (1. et 2.). Equations intégrales, 3 (2. 5.) Théorie des 
ondes et des marées, 3 (2. s.). — Appelroth : Sur la rotation du gyros- 
cope de S. W. Kowalewsky, 1 (1. et 2.). — Sternberg : Géodésie supé- 
rieure, 2 (1. et 2.). Travaux pratiques, 2 (1. et 2.). Astronomie sphérique, 
2 (1. et 2.). Travaux pratiques, 2 (1. s.). Astronomie descript., 2 (2. s.). 

— Kazakoff : Astronomie théorique, 2 (1. et 2.). Travaux pratiques de 
calcul des orbites, 2 (1. et 2.). — Blaschko : Astronomie pratique et tra- 
vaux pratiques à 1 Observatoire, 3 (2. s.). — Iwero.noff : Géodésie, 2 (2. s.). 

Saint-Pétersbourg; Uni^-ersité. — Sokhotskv: Algèbre sup., 3 (1. et 2.). 
Théoiie di s intégrales définies, 2 (1. et 2.1. — Markoff : Calcul des pro- 
babilités, 3 (2. .V.). — Ptaschitsky : Géométrie analyt., 4 (1. et 2.). Fonc- 
tions ellipt., 3(1. s.). Applications du Calcul intégral à la géométrie, 3 
(2. s.). — Stekloff : Intégration des équations diff., 3 (1. et 2.|. Intégration 
des équations aux dérivées partielles, 3 (1. et 2.). Iwa>off : Applications du 
Calcul diff. à la Géométrie, 4 (1. s.]. Théorie des nombres, 4 (2 s.). — 



76 BIBLIOGRAPHIE 

BoRissoFF : Eléments de iiiathéiniiliqucs supérieures (p. II), 3 (1. cl 2). 
Travaux pratiques, 1 (1. et 2.). — Saavitsch : Géométrie descript., 1 (1. s.) 
et 2 (2. s.). — GiJNTHER : Introduction à lAnalyse, 4 (1. s.). — Calcul des 
diflcrences finies, 2 (1. s.\. — Wassilieff : Eléments de mathématiques 
supérieures, (p. I), 3 (1. el 2.). Introduction à la chimie mathématique, 1 
{1. et 2.). — Adamoff : Intégration des fonctions, 3 (1. .s.). Travaux pra- 
tiques d'application du Calcul diff. à la Géométrie, 2 (1. s.). Travaux pra- 
tiques d'application du Calcul intégral à la géométrie, 2 (2. s.|. — Somoff : 
Analyse vectorielle, 2 (1. s.). — Bobyleff : Cinématique, 2 (1. s.) Mécanique 
d'un système de points matériels et d'un "corps solide, 4 (1. .s.). Théorie de 
1 élasticité, 1 (1. s.\. Mécanique du point matériel, 3 (2. s.\. Hydrostatique, 
Hydrodynamique et théorie de 1 attraction, 3 (2. s). — Metschersky : Mé- 
thodes pour la résolution des problèmes de Mécanique du point matériel 
(1 (1. s.)) et d'un système de points matériels (1 (2. .9.)). — Frisendorf : 
Eléments de Mécanique, 2 (1. et 2.). Statique, 2 (2. s.). — Glasenap : Astro- 
nomie descript., 3 (1. et 2.). Astronomie pratique, 2 (1. ,v.). Cours général 
d Astronomie. 2 (2. ,s.) — Iwanoff : Astronomie sphériqu'e, 3 (1. 5.). Tra- 
vaux pratiques, 2 (1. s.]. Astronomie théorique, 3 (1. s.]. Géodésie, 3 (2. s.]. 
Mécanique céleste, 3 (2. s.). Physique du soleil, 2 (2. s.). — ■ Séraphtmoff : 
Trigonométrie sphérique, 1 [V. s ] Théorie de la ligure de la Terre, 2 |1. 
et 2.). — Tatschaloff : Travaux pratiques à l'Observatoire, 2 (2. s.). — 
BoRGMANN : Optique supérieure |cours théorique), 2 (1. et 2.). — Boulgakofi : 
Thermodynamique, 2 (1. et 2.). 

V. Bobvmiv- (Moscou). 



bibliographie: 



H. Andoyer. — Nouvelles tables trigonométriques fondamentales. — 1 vol., 

in-4o, de XXXII-604 p. ; .JO fr. ; Hermann & (ils, Paris. 

Nous avons déjà signalé en détails cet important travail en résumant* le 
rapport du Prix Jérôme Ponti qui avait été attribué à l'auteur par l'Académie 
des Sciences. Ces tables, qui sont l'œuvre propre de M. Andoyer, contiennent 
les logarithmes des lignes trigonométriques de centième en centième du 
quadrant avec dix-sept décimales, de neuf en neuf minutes avec quinze dé- 
cimales, et de dix en dix secondes avec quatorze décimales. 

Il y avait un grand intérêt scientifique à établir des tables trigonomé- 
triques d'un degré de perfection supérieur à celui des tables en usage jusqu'à 
ce jour. Ces nouvelles tables, qui ont été calculées et imprimées avec le plus 
grand soin, serviront sans doute de base à toutes les publications ultérieures 
du même genre, mais moins étendues. 

Cet ouvrage a été publié à laide d'une subvention accordée par l'Univer- 
sité de Paris sur les arrérages de la fondation Commercy. Il sera hautement 
apprécié de tous ceux qui auront à s'en servir. 



' Elis, math., .Janvier 11111, p. .tI-52. 



H l n LlO(. H A l> Il I K 77 

Annuaire du Bureau des Longitudes pour l'année 1912. — 1 vol. in-ir, ,|(. 
750 p.; 1 tV. 50. t'rMiico I IV. H5 : (iautliier-Villars, Paris. 

L Aiiniiaiie du Biiieau des Loiit^iiudes pour l'année 1912 vient de paraître. 
Ot excellent Recueil reuferme celte année, après les documents astronomi- 
ques, des Tal)leaux relatifs à la IMiysitpie et à la (lliimie, au.\ l'itoiles 
variables. 

Cet Ouvrage ne se trouvera pas seulement sur la table du technicien, du 
pliysicien. du mathématicien; chacun voudra le consulter pour avoir .sous les 
yeux la liste des constantes usuelles, et aussi pour lire les intéressantes 
Notices de celte année : celle de M. Bigourdan sur la Température moyenne 
en France et de M. P. Hatt, Notions sur la Méthode des moindres carrés. 

H. Gii.MARAiis. — Les Mathématiques en Portugal. Appendice 11. — 1 vol. 

in-8., 107 p. ; Imprimerie de 1 L'nivei'sité, Coïmbre 1911. 

Ce fascicule contient des titres de plusieurs écrits omis dans le premier 
voluuje (42 p.). Il contient ensuite l'index des noms d'auteurs, une table 
générale des matières et un important errata (3 p.). Ce fascicule est un com- 
plément indispensable de l'utile ouvrage que nous avons analysé (E. M. n" de 
mars 1910) et qui a été d'ailleurs très favorablement apprécié et accueilli. 
Nous adressons de nouveau nos félicitations à Fauteur. Er. Lebon. 

Alf Gl'ldbkkg und Georg Walle.nbekg. — Theorle der llnearen Differenzen- 
gleichungen. — 1 vol gr. in-8 de XlV-288 pages; 10 M.; B. G. Teubner, 
Leipzig. 1911. 

Ce volume est une exposition merveilleusement esthétique et claii-e de la 
théorie des équations aux différences finies. Les traités sur le sujet, tel 
celui de .Markoff, n abondent pas et bien des recherches deBoole, Bortolotti, 
Casorati, Guichard. Heymann. Horn, Jensen, Lerch, Mellin, Xielsen, 
Norlund, Pelersen, Pincherle, Poincaré, Seliwanoff, Spilzer, Torelli, etc., 
restaient jusqu ici isolées. 

Dans le présent ouvrage les auteurs ont cherché à faire une théorie d'en- 
semble construite, autant que possible, sur le modèle de celles des équa- 
tions différentielles linéaires. Le grand Traité de Schlesinger les a même 
visiblemeut inspirés. Les différences considérées sont toujours relatives à 
une variation d'une unité de la variable x. El comme ces différences A 
sexprinieut immédialemeiil -i'i l'aide des valeurs 

y , r , .... y 

tle la fonction inconnue, léqualiori linéaire générale pourr-a loujours s'écrire 

(1) P|V)=v +P'"v +...-|-//"'v = l> 

■ X ■ x+n ^x ■ x+ii—\ ' ' ' X • X ' X 

les p étant des fonctions données, rationnelles de prélérence. 

Avec beaucoup de sagacité, les autours n ont pas cherché à débuter par 
des généralités. Ils prennent au contraire des é(|uatinns simples, telles 

(2) V ^ --.r =0 



78 BIBLIOGRAPHIE 

et font remarquer qu'elles défînisscnl des fonctions déjà très générales, ce 
qui donne immédiatement l'envie de considérer des équations plus com- 
plexes dans l'espoir, non déçu, d'apercevoir sans peine des fonctions plus 
générales encore. 

Ainsi r2) définit toutes les fonctions périodiques oj, la période pouvant 
toujours être représentée par un, et comme la fonction o) reste constante 
pour une infinité de valeurs x toutes distantes de 1 unilé, on conçoit déjà que, 
dans le nouveau calcul, les fonctions périodiques joueront un rôle analogue 
à celui joué par les véritables constantes dans la théorie des éi|ualions 
difTérentiellcs oïdinaires. 

Viennent ensuite les équations équivalentes |si on jirend les logarithmes 
dans la première! : 

V zr: n r ou r — v = » , 

■ x-\-\ Vr ■ X ■ x-\- 1 ' X ' X 

déjà étudiées par ^I. Guichard à l'aide du calcul des résitius, ce qui peut 
conduire aux célèbres formules sommatoires de Plana-Abel et d'Euler. 
L'équation particulièrement simple y^.j z= xy définit la fonction F dont 
toute la théorie fient en quelques pages. Et alors il est encore impossible 
de ne pas remarquer que des équations plus générales du type il) doivent 
définir des fonctions qu'on peut aussi considérer comme des généralisations 

de r. 

Quant aux généralités présentées pai- le premier membre de (1), il y a 
d abord des propriétés qui rappellent celles de simples polynômes. Les 
expressions aux différences sont susceptibles d'une représentation symbo- 
lique qui fait, par exemple, qu'on peut les décomposer en facteurs Parallè- 
lement à la théorie des équations différentielles linéaires on peut abaisser 
l'ordre d'une équation (1) quand on en connaît une solution particulière. De 
même, du cas où le second membre p est nul, on passe à léquation com- 
plète par des méthodes qui rappellent point par point la méthode de la 
variation des constantes, due à Lagrange. Enfin les équations aux différences 
possèdent des groupes qui permettent de prévoir et de classer leurs pro- 
cédés d'intégration. 

Ne pouvant m'étendre davantage sur ces généralités, je dédommagerai le 
lecteur en lui signalant de fort jolies propriétés des équations qui s'intè- 
grent par des expressions analytiques élémentaires, telles les équations à 
coefficients constants. De telles équations lient, par exemple, les termes des 
séries récurrentes. Ainsi la suite de Fibonacci 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 
correspond à I équation 



qui intégrée donne 



x-\-2 ' x-\-\ - X 



<\ + [/ôy _ /i — \/^>Y 



__ 1 

Citons encoi-e le problème de Hoolo : // rayons de polygone l'égulicr 
tournent aiiloni- du centre ce qui définit, ])onr une courbe fixe, n rayons 



h 1 /.' A / () ('. U A f> Il I K 79 

vecteurs : trouver uue courbe telle (|uc la soinnie de ces rayons reste cons- 
tante. Pour « r= 2 on trouve une conchoïdc de cercle. 

Les équations à coedicients linéaires peuvent s'intégrer par des intégrales 
dé'linies tout comme dans le cas d équations diirércnlielles et enfin d'autres 
s'intégrent par des séries, ce qui fournit nolainnient l'occasion de considérer 
des équations aux différences du type hypergéomélrique. Certaines solutions 
divergent toujours mais possèdent la convergence asymplotique au sens de 
M. Poincaré. 

Je regrette la brièveté d'un résumé qui, faute de place, laisse de côté bien 
des choses des plus simples et des plus élégantes. Le livre en est rempli. 
Espérons que de nombreux lecteurs sauront s'en apercevoir. 

A. BuiiL (Toulouse). 

Sir Thomas L. Heath. — DiophantUS of Alexandria. A Study iu ihe llistory 
of Greek Algebra. Second Edition. — 1 vol. 8°, 887 p.; Uuiversity Press, 
Cambridge. 

La première édition de cet ouvi-age fut publiée en 1885; elle s'épuisa en 
<juelques années. D importants travaux ayant été consacrés à Diophante de- 
puis une vingtaine d'années, il y avait un réel intérêt pour tous les histo- 
riens des mathématiques à posséder une nouvelle édition de cette intéres- 
sante étude. 

L'Ouvrage comprend trois parties. La première débute par une étude sur 
Uiophante et ses travaux: elle donne la liste des manuscrits et des écrits 
relatifs au savant grec, les notations et définitions qu'il a introduites, ses 
méthodes de résolutions pour les opérations, les porismes et propositions 
■Aq son arithmétique. 

La seconde partie est presque entièrement consacrée à V Arithmétique de 
Diophante : problèmes du l""" degré, du 2""= degré et de degrés supérieurs 
avec les applications. 

La troisième partie contient des Notes sur les solutions données par 
Fermât et Euler aux problèmes difficiles posés par Diophante. On y trou- 
vera des comparaisons d'un grand intérêt entre les méthodes des anciens et 
celles des algébiùstes depuis Fermât et Euler à nos jours. 

Ern. Lebon. — Gabriel Lippmann. Biographie, Bibliographie analytique des 

écrits. (Collections des Savants ilu .Iniir). — 1 vol. in-8, de \Tll-;Op.: 

avec un porirail; 7 fr. : Gnutliier-Villars, Paris. 

En présentant à 1 Académie des Sciences, dans la séauce du 17 juillet 
1911, la Notice sur G.vbbiel Lippmann. dont M. Ernest Lebon vient d'enrichir 
sa Collection bien connue des Sa^-ants du Jour, M. Gaston Darboux. Secré- 
taire Perpétuel, s'est exprimé en ces termes: 

(( Cette Notice nouvelle est composée avec le même soin, avec le même 
« souci de l'exactitude et selon la même méthode que les Notices précédem- 
« me'nt parues. Nous y signalerons plus parliculièrement les détails si inté- 
« ressauts et si curieux que donne M. E. Lebon sur la jeunesse et les pre- 
« mières études de notre illustre Confrère, sur les séjours qu'il a faits dans 
« les Universités étrangères, sur l'accueil qu'il y reçut des savants les plus 
« éminents ; Kirchhoff et Ilelmluiltz en particulier... 

« M. Ernest Lebon ne néglige pas de nous faii-c connaître la genèse des 
« plus belles découvertes de Gahkiki. Lipp.mann. il nous liorinc une longui' 



80 BIBLIOGRAPHIE 

« liste des travaux i|u il a inspirés et qui ont élé accomplis dans son labo- 
« iMtoire de la Sorbonne. 

« Nous n'Iiésilons pas à prédire à celte nouvelle rs'otice, le succès et la 
« faveur qui ont accueilli les précédentes. » 

D'- Haus Otti. — Hauptfragen und Hauptmethoden der Kartenentwurfs- 

lehre mit besouderer Rucksichlnaliuie aul die Abbil(lunt>; der Scliwciz. Bei- 

lage zum Jaliresberiehl der Aargauischen Kantonsscliule. — 1 vol. de 

50 p. et 7 tables, 3 t'r. 60. Sauerlander & C'^, Aarau. 

Bien qu'on ne manque pas d'ouvrages sur les projections cartographiques, 
le présent volume répond à nn besoin. En efTet, la plupart des traités sont 
trop développés pour une première introduction ou exigent de la part du 
lecteur beaucoup de connaissances mathématiques, ou encore, s'ils sont élé- 
mentaires, ne vont pas assez loin. Il n y a que peu d'exposés qui abordent, 
avec des moyens élémentaires, mais d'une manière un peu complète, les prin- 
cipaux problèmes des cartes géographiques. Le présent yolume fait partie 
de cette dernière catégorie. L'auteur est parvenu à examiner d'une manière 
élémentaire, sans le secours de l'analyse, les problèmes les plus importants 
de la théoi-ie des cartes géographiques en choisissant les exemples types 
les plus fréquents. Le texte est accompagné de nombreuses ligures établies 
par lauleur. Nous ne saurions recommander d'ouvrage qui convienne mieux 
à une introduction à la construction des cartes géographiques que l'exposé si 
vivant et si clair de M. Otti. Nous le signalons aux professeurs de l'ensei- 
gnement secondaire comme une mine très riche d'applications fort intéres- 
santes de la Planimétrie, de la Trigonométrie, de la Géométrie descriptive 
et de la Géométrie analytique. G. Brandexbekger (Zurich). 

Jean Re.xard. — La Pédagogie à l'Université. Formation des professeurs 

d Athénées et spécialement des professoiirs de mathématiques. — 1 vol. 

in-S", 102 p. : Dessain, Liège. 

Chacun sait que la préparation professionnelle du corps enseignant des 
écoles moyennes est fort négligée, sinon nulle, dans beaucoup de pays. Elle 
préoccupe à juste titre tous ceux qui s'intéressent aux progrès de l'ensei- 
gnement. Pour ce qui concerne tout particulièrement les mathématiques, 
elle fera l'objet d'une étude approfondie de la Commission internationale 
de l'enseignement mathématique, qui l'inscrira à l'ordre du jour de 1 un des 
prochains congrès. 

Le présent ouvrage est une intéressante contribution à celte étude. Il 
prouve qu'en Belgique aussi il se dessine un mouvement de réloi'me, bien 
que les Universités belges possèdent déjà un cours de méthodologie mathé- 
matique, ce qui n'existe guère ailleurs. Mais l'auteur estime que cela ne 
suffit pas, et il montre que le manque de préparation présente de sérieux 
inconvénients quant aux méthodes actuellement employées. M. Renard, qui 
est bien au courant des tendances actuelles, indique dans quelle mesure on 
pourrait développer la formation didactique et met en évidence les points 
essentiels que devrait comporter la préparation professionnelle. 

G. ScuF.FFEKs. — Lehrbuch der Mathematik. Deuxième édition. — 1 vol. 

de VIII - 732 p. et 413 lig. 18 M.; Veit & Comp.. Leipzig, 1911. 

Ce traité de Mathématiques, dont la deuxième édition suffit à prouver le 
succès, est écrit pour l'étudiant qui désire s'initier de lui-même aux éléments 



li I n i.Kx, n.i i> H I E 8i 

niallu'matiijiios nécessaires ;i l'i'liiilo des sciences tecliiii(|iies et expérimen- 
tales. C'est ce qu eu français on appellerait un Traité de Matliéiuatiques 
générales. I. Enseignemenl ntatlicmatic/iie a déjà uiouiré tout l'intérêt qu'il 
poitait aux tentatives de ce genre tant par les analyses détaillées des traités 
dus à MM. Appell, Vogl, Fabry. lîouasse, etc., (|u<; par la publication toute 
récente (1911, p. 481) des travaux du ("ongrès de .Milan oTi loule la troisième 
séance a élé consacrée au sujet en question. 

Ce qui distingue le nouvel ouvrage, ce n'est pas le souci d'être général ou 
complet. Bien des choses importantes, les écjnalious diHérentielles par 
exemple, n y figurent pas. C est au coutiaire le souci de ne prendre ([ue des 
sujets simples, faciles à limiter, et de les dévclopjier avor un luxe d'expli- 
cations et d'exemples qui est teilenient graml ([n un peut se demander s il 
n est pas exagéré. Cependant je ne le ci'iliqnerai pas davantage car on n est 
pas tenu de tout lire d une maniéie continue. Chacun prendra les exemples 
lui plaisant le mieux et c'est sans doute ce choix possible qui a fait et qui 
fera encore le succès d'un livre qui peut s adresseï- ainsi aux esprits les 
plus divers. 

Ainsi, avant de tracer des courbes, l'auteur passe en revue tous les procédés 
graphiques imaginés par les statisticiens, les populations des différents 
pays étant, par exemple, aussi bien représentées par des aires de carrés, 
que par des segments. 

Pour la dérivée et pour 1 intégrale il insiste longuemenl sur les polynômes, 
fonctions aussi faciles à intégrer qu à dériver, toujours avec l'appui d'élé- 
gants tracés. 

La fonction logarithmique est présentée comme une aire attachée à l'hyper- 
bole équilatère. Les applications son intéressantes, telles la loi de Fech- 
ner, d'après laquelle la sensation est le logarithme de l'excitation. 

Pour la fonction exponentielle l'intérêt est plus grand encore. C'est la 
fonction dont la variation est proportionnelle à la fonction même. Elle 
donne la loi d'accroissement des sociétés vivantes, sociétés de cellules ou 
sociétés d'êtres supérieurs Elle représente le refroidissement d'un corps 
dans un milieu qui ne s'échauffe pas. la décharge d'un conducteur dans une 
grande capacité, etc., etc. 

La théorie des dérivées d'ordre supérieur au premier est interprétée élé- 
gamment dans les questions de courbure. La possibilité de dériver une tonc- 
tion conduit à la série de Taylor. la possibilité de l'intégrer à la série c!e 
Fourier. 

Dans ses grandes lignes, l'ouvrage ne fait appel qu à un très petit nombre 
de notions et avec cela l'auteur a eu le talent de traiter d'innombrables pro- 
blèmes qui semblent appartenir à toutes les branches de la science. En 
résumé, les succès obtenus et à obtenir encore sont, à coup sur, bien mérités. 

A. Biiii. (Toulouse |. 



I)"- Toti.oi.sE. ~ Henri Poincaré. — 1 vol. in-12. 204 p. ; 3 fr. 50; Flam- 
marion, Paris. 

Les personnes auxquelles les recherches psychologiques sont peu fami- 
lières trouveront peut-être un peu bizarres les séries de recherches exposées 
dans ce livre, et qui ont porté sur les fonctions mentales de M. Poincaré. 
Le D'' Toulouse a soumis celui-ci à diverses épreuves ou tests, ayant pour 
but de chercher à se rendre compte dos caractères de sa mémoire, de 

L'Enseignement itiatht-m.. \'i- iinn^e : 1912. •» 



82 h l hl.I OGRAl'ir tE 

son alleiilion, île son association des idées, de son langage, etc. A vrai 
dire, ces expériences sont bien rapides, bien superficielles, et en trop petit 
nombre. On ne saurait cependant en taire un reproche à l'auteur. (]es expé- 
riences prennent du temps, sont souvent fort ennuyeuses pour celui qui les 
subit, et pour des raisons faciles à comprendre, il n'était guère possible 
d'exiger que M. Poiucaré y consaci-àt plus de séances. Si maigres en soient 
les résultats, ceux-ci sont susceptibles de prendre de l'intérêt si on les rap- 
proche de résultats obtenus chez d'autres personnalités marquantes, et en 
tout cas, comme le fait remarquer l'auteur avec une, juste modestie, l'obser- 
vation de M. Poincaré, « si elle ne permet pas de résoudre les problèmes, 
elle les montre ». — Le D"" Toulouse a d'ailleurs interprété avec ingéniosité 
les résultats de son enquête, et, en les comparant à ceux que lui avait fournis 
Zola, avec des tests identiques, est parvenu à esquisser entre ces deux 
hommes de génie, une opposition curieuse. Chez Zola, lactivilé intellec- 
tuelle était surtout volontaire, s'acharnanl sur les didicullés. triomphant de 
l'ennui; son intelligence était consciente, logique, mélhodicjue, paraissant 
faite pour la déduction mathématique : cependant, elle enfanta tout un monde' 
romanesque. Au contraire l'activité mentale de M. Poincaré est spontanée, 
peu consciente, plus proche du rêve que de la démai'che rationnelle, et 
semblait surtout apte aux œuvres de pure imagination : elle triompha dans 
la recherche mathématique ! Surprise intéressante, qui nous montre que 
nous avons encore bien à faire avant de pouvoir établir les lois des types 
intellectuels et des variétés de génie! Ed. Claparkdk (Genève). 

P. Treutlein. — Der geometrische Anschauungsunterricht ais Untersiufe 
eines zweistufigen geomelrischenUnterrichtes an vinseren hôheren Schulen. 
Mit einem Einfiihrungsvorwort von F. Klein und mit 38 Taléln und 87 
Abbildungen. — 1 vol. in-8", 216 p. ; 5 Mk.: B.-G. Teubner, Leipzig. 

Dans cet ouvrage, qui est le fruit d'une expérience de plus de quarante 
ans dans l'enseignement moyen, M. Tkeutlein examine d une manière très 
approfondie le rôle de l'intuition dans l'élude de la Géométrie. 11 estime que 
cette étude doit comprendre deux cycles, le premier étant surtout intuitif et 
expéi-imcntal. Cette répartition en deux cycles est adoptée dans beaucoup 
de pays, notamment en Autriche, où elle est maintenue au progi-amme depuis 
plus de 60 ans, malgré de nombreux remaniements des plans d'études. 

Après avoir retracé le développement historique de l'enseignement intuitif 
de la Géométrie, depuis les Grecs à nos jours, l'auteur montre comment on 
peut organiser cet enseignement d'une manière méthodique et rationnelle. 
Les nombreuses remarques personnelles cie l'auteur témoignent d une grande 
pratique de l'enseignement et d'un véritable don de professeur. Aussi sommes- 
nous ccilaiiis que son ouvrage sera lu avec profit par tous ceux qui ensei- 
gnent dans les classes inférieures des écoles moyennes. 

.Maxiinilien Wi.nteu. — La Méthode dans la philosophie des Mathéma- 
tiques. — 1 vol. in-16 de 2(JU p. ; 2 fr. .50: Alcaii, Paris. 

Ce profond ouvrage sera lu avec intérêt non seulement i)ar les pliilo- 
soplies, mais par les mathématiciens, car si les discussions pliilosophiijues 
qu'il renferme sont rcmarcpiabies par leur- ampleur et leur élévation, elles 
l'ont toujours a|)pel à une étufle précise et même technique des problèmes ; 



n i li 1. 1 <) a II A 1- II I E «:î 

elles mcUL'iil ainsi en pleine linnière 1 niiilé ri i'or-it^inniité pi-opres de la 
pensée iiiathémalic|ue. 

La question capitale que se pose M. W'inler est la suivante : « Quelle est 
la niélhodc qui. à l'iieure actuelle, présente des garanli(>s scientifiques suffi- 
santes pour aboi'der l'examen ci-ilique di's principes tondanientanx tie la 
science malliéniatique .' « 

La méthode inétaphysirjui:' parait s'imposer au premier ahord, car elle s'ef- 
force, semble-l-il. de cliercher « une infrastructure |)liilosopliique au-dessous 
des notions scientifiques ». Mais cette reclicrciie est vaine, car les principes 
qu l'Ile découvre restent, sous leur apparente précision, aussi vagues et confns 
que les notions de la conscience vulgaire. Le kantisme et le néo-kantisme, 
par exemple, sont les systèmes philosophiques dont les méthodes se rap- 
prochent le plus de la vraie critique scientifique. Cependant les conceptions 
kantiennes de l'espace et du temps sont restées sans influence sur la critique 
scientifiqne des postulats de la géométrie et de la physique contemporain<;s. 

Critiqiicr les concepts mathématiques au moyen de la lugistù/ue est éga- 
lement une erreur: car, ou bien la logistique est considérée, à tort il est 
vrai, comme une métaphysique et par conséquent elle est dénuée d'utilité 
scienlifi(jue ; ou bien elle est elle-même une science qui a sa fonction propre 
(déterminer et classer les éléments gramraatico-logiques) ; mais dans ce cas 
elle n'est d'aucun secours pour résoudre des problèmes proprement mathé- 
matiques comme la généralisation du nombre ou la notion de fonction. 

La seule méthode vraiment féconde est celle qu'a suivie Mach dans ses 
éludes sur la Mécanique et que M. \Yinter appelle la méthode historico- 
critique. Cette méthode, M. Winter l'applique à deux théories qui ont en 
niathéraati(jues un caractère fondamental : la théorie des nombres et l'al- 
gèbre supérieure. 

La définition des nombres a de tout temps préoccupé les philosophes ; 
mais sur cette difficile question les travaux arithmétiques des Lagrange. 
Gauss, Jacobi, Kummer, Dirichlet, Hermite éclaireront « mieux que des 
dissertations scolasliques sur luu et le multiple, le continu et le discontinu, 
celui qui cherche à connaître la nature des nombres « (p. 105|. Ces divers 
travaux, M. Winter les analyse avec la compétence d'un spécialiste et fait 
ressortir l'unité de pensée qui les anime. La conception d'Hermite en par- 
ticulier par le rôle qu'elle attribue aux variables continues « présente, au 
point de vue philosophique, un intérêt capital puisqu'elle montre que, con- 
trairement à certaines théories métaphysiques, la continuité peut jouer dans 
le domaine des nombres que des philosophes considèrent comme le domaine 
exclusif du discontinu, un rôle important, n ip. 132.) 

Quant à l'algèbre, la théorie des écpiations y occupe une position centrale. 
Comment, de méthodes particulières et quasi-empirii|nes. cette théorie 
s'est-elle peu à peu élevée jirsqu'à la conception générale des groupes de 
substitutions. C est l'histoire de ce problème que M. Winter expose avec 
une remarquable netteté depuis Tartaglia jusqu'à nos jours. 

Arnold Rky.mo.nu (Lausanne). 



B L L L E T I X BIBLIOGRAPHIQUE 



f . Publieatioas périodiques : 

Bibliotheca mathematica. Zeitsch. f. Gescliiohie der mathem. Wissenschaf- 
ten herausgegeben von G. Enestrom. — 3. P'olge, Teubner, Leipzig. 

Band 11 ; Hefl 2. — G. Loria : Sopra una relazione che passa fra due 
antiche soluzioiii del problema di Delo. — H. Slter : Das Buch der Sellen- 
heiten der Rechenkimst von Abu Kamil el-Misri. Uebersetzt nnd mit Kom- 
nientar versehen von H. Suter. — L. C. Karpinski : Hindn nnmerals in the 
Filirisl. — L. C. Karpixski : Robert of Cheslers translation of the Algebra 
of Al-Kliowarizmi. — F. Cajori : Fourier s improvement of the Newton- 
Rapiison method of approximation anticipated by Mourraille. — L.Schlesin- 
GER : l'eber Jacobis AufTassung des realen Intégrale als einer melirdeuligen 
Funktion. — G. Valentix : Ueber den gegenwiirtigen Stand der Vorarbeiten 
fur die allgemeine mathematische Bibliographie. 

Heft 3. — J.-L. Heiberg uud E. Wiedema.n.n : Eine arabische Schrift ûber 
die Parabel iind parabolische Hohlspiegel. — L.-C. Karpi.nski : An italian 
algebra of the fifteenth centnry. — P. Staeckel : Ein Brief Eulers an 
d Alembert. — G. E.nestrôm : W\e soll die Herausgabe der Yalenlinschen 
mathematischen Bibliographie gesichert werden. 

Heft 4. — G.-R. Kaye : Somes noies on Hindu mathematical methods. — 
F. Cajori : On Michel Rolle's book « Méthode pour résoudre les égalités » 
and the history of RoUe s theoreni. — G. -A. Miller : Note on Willam R. 
Hamiltou s place in the history of abstract group theory. — H. Wieleitner : 
Anton von Braunmiihl. — G. Enestrom : Kleine Bemerkiiugen zur letzon 
Auflage vou Cantors « Yorlesungen iiber Geschichte der Mathemalik. — 
Rezensionen. — Neu eischienene Schriflen. — Wissenschaftliciie Chronik. 

Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences de Paris. 

Année 1911 (suite/. — 18 avril. — G. Bratu : Sur 1 équation intégrale 
exponentielle. — M. Frechet : Sur la notion de différenlielle. — M. d'OcAGNE : 
JVomogramme pour la détermination des espaces parcourus en fonction du 
temps, pendant (ju'un navire passe de la vitesse Yo à la vitesse Yi. — 
H. Larose : Sur le problème du câble limité. 

24 avril. — G. ïzitzeica : Sur certains réseaux conjugués. — F. Severi : 
Sur les intégrales simples de première espèce attachées à une surface algé- 
brique. — H. YiLLAT : Sur la détermination de certains mouvements dis- 
r.ODtinus des fluides. 

1""" mai. — J. Drach : Détorniination des ligues de courbures de la surface 
des ondes de Fresnol. — I^. Godeaux : Sur les cougruences linéaires de 



BU Ll. E T I /.V /; / />' /. / () c, n A l> II I ou E 85 

coniques. — J. IIadamaud : Sur la tiolulioM fonihiinonlale dos é«[uatioiis aux 
doi-ivéc's parliellfs du type paraboli([ue. 

8 mai. — G. Rk.mou.ndos : Sur le luoudc uiiniinum des fonctions entières. 

— HiQuiKR : Sur l'existence d'intégrales satisfaisant à des conditions don- 
nées le long d uu contour. — M. Planciierll : Sur l'application aux séries 
de Laplace du procédé de sommation de M. de la Vallée-Poussin. — 
P. Appki.l : Sur les liaisons exprimées par des relations non linéaires entre 
les vitesses. — C Joël : Sur les surfaces cubiijues simples. — H. Lahose : 
Sur les iléveloppemenls trigononiétiiques à composantes non orthogonales. 

— L. RoY : De la viscosité dans le mouvement des fibres flexibles. — 
H. Vekgne: Sur uu développement des séries et son application au problèu)e 
des ondes liquides par émer^ion. 

15 mai. — A. Blondel : Sur les fonctions harmoniques déterminées par 
certaines conditions au i-ontour. — A. Chatelet : Sur les corps abéliens du 
troisième degré. 

22 mai. — L. Auto.xne : Sur certains groupes commulatifs et pseudo-nuls 
de quantités hypereomplexes. — L. Creux : Transformation du mouvement 
d'expansion en mouvement de rotation par la développante du cercle. 

29 mai. — J. Drach : Détermination des lignes asymptotiques des sur- 
faces générales du troisième degré. — L. Godeacx : Sur les congruences 
linéaires de coniques dotées de deux lignes singulières, ou d'un point prin- 
cipal et d'une ligne singulière. — G. Koenigs : La loi des courbures des 
profils superficiels conjugués. — Lemeray : Le principe de relativité et les 
forces qui s'exercent entre corps eu mouvement. — H. Larose : Sur la pro- 
pagation d'une discontinuité sur une ligne télégraphique avec perte uni- 
forme. 

6 juin. — E. Picard : Un théorème général sur les équations intégrales de 
troisième espèce. — M. Gevrey : Sur 1 analycilé de certaines équations 
aux dérivées partielles. — S. Lattes : Sur les formes réduites des trans- 
formations ponctuelles à deux variables. Application à une classe remar- 
quable de série de Taylor. 

12 juin. — M. RiEscz : L'ne méthode de sommation équivalente à la mé- 
thode des moyennes arithmétiques. — J. Le Roux : Sur 1 incurvation et la 
flexion dans les déloi'malious finies. 

19 juin. — C. GuicHARD : Sur ceilains systèmes triple-orthogonaux qui se 
déduisent de courbes plusieurs fois isotropes. — E. Vessiot : Sur la ciné- 
matique des milieux continus à n dimensions. — E. Dei.assus ■ Sur la réali- 
sation matérielle des liaisons.— Louis Roy : Les discontinuités du premier 
ordre dans le mouvement des fils flexibles. — J. IIadamard : Mouvement 
permanent lent d'une sphère liquide et visqueuse dans un liquide visqueux. 

26 juin. — L. Giugamno : Action de la translation terrestre sur les phé- 
nomènes lumineux. 

3 juillet. — 1). Montesano ; Sur les congruences linéaires de coniques — 
J. Clairi.x : Sur les Iransfoi-mations de Biicklund de première espèce. — 
E. Delassus : Sur les intégrales linéaires des équations de Lagrange. 

10 juillet. — Sylvanus-P. Thompson : Nouvelle méthode d'analyse harmo- 
nique par la sommation algébrique d'ordonnées déterminées. 

17 juillet. — Ruben Mai.to.n. — Sur la construction des fonctions entières 
à croissance irrégulière. — A. Korn : Sur une classe importaule de noyaux 
asymétriques dans la théorie des équations intégrales. — A. Petot : Exten- 
sion aux ligues éodésiques d'une propriété cinématique de la ligne droite. 



8(î li U L I. E Tl y H l H I. I O G It APH I Q U E 

31 juillet. — A. KoRN : Sur une clastie inn^orlaule de noyaux asymétiiiues 
dans la théorie des équations intégrales. — R. Radeau : Les tables de la 
Lune, fondées sur la théorie de Dolaunay. 

Il août. — A. Denjoy : Sur l'Analysis situs du plan. 

21 août. — F. FiKETE : Sur quelques généralisations d un théorème de 
^^'eierstrasi^. 

28 août. — A. Denjoy : Sur lanalysis situs du plan. — A. -G. Webster : 
Sur un nouveau problème n)ixte de l'équation des lélégraphisles. — 
J. A.NDKADE : Sui- un nouvel organe régulateur des chronomètres. 

4 septembre. — H. Vii.lat : Sur \\\\ problème mixte de la théorie des 
fonctions harn;oniques dans une aire circulaire. — Meki.i.n : Sur (jiiei(iues 
tliéorèmes d arithmétique et un énoncé qui les contient. 

11 septembre. — E. Picard : Un complément sur un théorème relatif aux 
équations intégrales de troisième espèce. — A. Kokn : Sur une class; impor- 
tante de noyau.x asymétriques dans la théorie des équations intégrales. — 
Th. Lai.esco : Théorème sur les valeurs caractéristiques. - 

25 septembre. — P. Appei.l : Sur 'es fonctions de degrés supérieurs. — ' 
A. De.moulin : Sur les suifaces R et les surfaces Q. — P. Duhem : Quelques 
indications sur s"on traité d'énergétique ou de Thermodynamique générale. 

2 octobre. — E. Picard : Sur les solutions continues des équations inté- 
grales de troisième espèce. — P. Appei.l : Sur les fonctions du quatrième 
degré. — D. Po.mpéiu : Sur les fonctions de variable complexe. — Et. 
Delassus : Sur les liaisons non linéaires. 

9 octobre. — P. Levy : Sur une généi'alisaliou des théorèmes de 
MM. Picard. Landau et Schottky. 

16 octobre. — A. Demovli.n : Sur les surfaces R et les surfaces Q. — 
E. Delasms : Sur les liaisons non linéaires et les mouvements étudiés par 
M. P. Appell. — NicoLAi : Sur la variation dans le mouvement de la Lune. 

23 octobre. — 11. Villat : Sur certaines équations intégrales d un type 
nouveau et sur quelques problèmes qui s y rattachent. — E. Jolguet : La 
loi adiabatique dynamique dans le mouvement des lils. 

30 octobre. — A. Demoulin : Sur les surfaces R. — E.-E. Levi : Sur les 
équations différentielles périodiques. — P. Diexes : Sur la sommabililé de 
la série de Taylor. 

6 novembre. — C. Glmchard : Sur une classe très étendue de systèmes 
triple- orthogonaux. 

13 novembre. — A De.moulin : Sur les surfaces Q. — L. Schlesinger : 
Sur un système différentiel à points critiques fixes. — G. Kowalewski : Sur 
une propriété des transtoi-malions de Volterra. — Jouguet : Sur l'accéléra- 
tion des ondes de choc dans les fils. 

20 novembre. — P. Mo.ntel : Sur les fonctions analytiques qui admettent 
deux valeurs exceptionnelles dans un domaine. — G. Koemgs : Sur les sur- 
faces qui au, cours d'un mouvement donné, sont continûment osculatrices à 
leur profil conjugué. 

27 novembre. — E. Barre : Sur les surfaces minima engendrées par une 
hélice circulaire. — E. Cotton : Sur l'instabilité de léquilibre. — Jouguet: 
Sur la vitesse et l'accélération des ondes de choc de seconde et de troisième 
espèce dans les fils. — A. Leaute : Sur certaines difficultés que présente 
l'emploi des développements exponentiel. 

4 décembre. — Tzitzeica : Sur réseaux R. — M. Patro.\ : Quelques pro- 
priétés des substitutions linéaires à coeOicients ^ O et leur application aux 



HU I.LK r I s H lli l.l oc. H A l> Il I <> V E 87 

problùnies de la production et des salairi's. — L. I^kcohm' : Sur 1 ciiuili- 
bras^e dos moteurs. — II. Poikca.ki': : Sur la tliéorie des quanta. — L. Koy : 
De la viscosité dans le mouvement des memliranes (lexiljles. 

2(i déceml)r-e. — G. Lick : Sur les notions de droites parallèles et de trans- 
lation et la Géométrie did'éreritielle non-euclidienne. — R. Gaknikk : Sur les 
sj-sièmes dillerentiels dont 1 intégrale a ses points ciiticpies (Ixes. — G. Ko- 
w.\Li:\vsKi : Sui' une classe de transformations infinilésimales dans l'espace 
fonctionnel. — F. Montel : Sur l'indétermination d une fonction uniforme 
dans le voisinage de ses points essentiels. — A. Blo.nukl : Sur les valeurs 
singulières des noyaux non symétriques. — M. Potkon : Applications de 
quelques propriétés des substitutions linéaires à coefficients positifs. — 
Rosi:.NBLATT : Sur les surfaces alg. admettant une séiie discontinue de trans- 
formations birationnelles. — E. Barké : Sur les sui-iaces minima engendrées 
par des hélices circulaires. 



IS. I^ivres nouveaux : 

Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1912. Avec des notices scieu- 

lifnpies. — 1 vol. in-16, 750 p.; 1 fr ."lO ; Gaulliiei- Viliars. Paris. 

W'.-H. Besant et A. -S. Ra.msey. — A Treatise on Hydromechanics. Part I. 
Hydrostaties. Severilh Etlition. — 1 vol. in-8", 270 p. : G. Bell 6i Sons, 
Londres. 

L.-F. Braidi-. — Ueber einige Verallgemeinerungen des Dégriffés der 

MannheiraSChen Kurve. riluse, lleidelberg.i — 1 fasc. in-8", 50 p.; \v. 
rs euuiaiin. l'iriiiascns. 

G. Bur.GE. — Chemie und Technik. \Iiiirher dev ^^utarwisnenschaft. il. 
Band.) — 1 vol. iii-Ki, HH) p. : relii- 1 .\I. ; Pliilipp Reclam juu.. Leipzig. 

Catalog mathematischer Modelle fiir den hoberen mathematisclieu Un- 
tei-riclil \cri(lifiil licli (Imcli die N'erlan-.-liandlung von .Martin Schilling, sie- 
bente Auflage. — 1 lasc. iu-<S". XI\'-7l.' p. : M. Scliillini,^ Lrip/ig. 

' J. I. Del Carrai.. — Nuevos Metodos para Resolver Ecuaciones Nume- 

ricas. — 1 n<>1. in-8". ■'!li;! p.; Ad. lîouK), Miidrid. 

P. Cra.m/. — Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Il i'eil. 
{Aus Natur und Gcisteswelt. N» 205.) — J vol. in-8", 12'» p. ■. relié 1 .M. 25; 
1^ édit. ; B. G. 'leubuer. [..eipzig. 

P. -H. Llik.ma.n. — L'Internationalisme scientifique (Sciences pures et 

Lettres!. — 1 vol. in-8". 'i28 p.; \\'.-P. Van Slockuni cV fils, La Haye. 

A. v. Flotow. — Einleitung in die Astronomie i S/niunlung Srlmln-rt i. - 

1 vol. in-8'>, 289 p.; 7 M ; G.-.). (,.,s(li,-u, Leipzig, 

F. G. -M. — Exercices de Géométrie comprenant lexposé des méthodes 
géométriques et 2000 questions ri-solues. ô»^ édition. — 1 vol. iii-8", car- 
tonné, 1298 p.; J. de Gigord, Paris. 

Z.-G. de Gai i.i ANo. — AlguDos conceptos fundamentales en un curso 
de Analisis Matemâtico y de las Funciones. — 1 i^'sc . iM-8", Xll-7r) p.; 

2.50 pesetas; 'i'i])Ogralia de (7:isaiial. (ioso. '.)8, Zaragt)za. 

N. Isvoi.sKY — Traité de Géométrie, I Géométrie plane; Il Géométrie 
■dans l'espace (en tussri. — 2 vol , 2'')'') -|- 127 p ; Moscou. 

L. KiEi'iKT. — Grundriss der Differential- und Integral-Rechnung. I. 

Dill'creiitial-Kechmiiig. Zwolfle \ollstiindig umgearbeilete uiul venuehile 



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1 vol. iii-B", XX-863 p.: KJ M. 50: lUhviiig, Haiinover. 

W. LiETZM.\NN. — Der Pythagoreische Lehrsatz. \Mathemaiische Bihlio- 
thek, No III.) — l vol. p. iu-8", 72 p.; M. 0,80; B. G. Teuhner, Leipzig. 

K. LoFFLER. — Ziffern und Ziffernsysteme der Kulturvôlker in aller und 
neuer Zeit. [MatliemaliscUe. Bihliothek, N° l.\ — 1 vol. p. iii-<S<', IV-y3 p. ; 
M. 0,80; B. G. Teuhner, Leipzig. 

G. LoRiA. — Poliedri, Curve e Superficie secondo i metodi della Geo- 
metrica Descrittiva. — I vol. in-16, 2.j.') p.; o lire; U. Hœpli. Milauo. 

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verallgemeinerten Krùmmungsbegriff. Eine Erganzungzu den Lchrbuchern 

ùber Uiffereulialgeoinetrie. — 1 vol. gr. in-S», XVni-152 p.; 8 M.; B. G. 
TiMibner, Leipzig. 

W, Nernst. — Traité de Chimie générale. IL iraduit par A. Cokvisy. — 

1 vol. in-8o, 420 p.; 10 tV. ; A. Hermanii & fils. Paris. 

G. NooDT. — Mathematische Experimentiermappe- fur den geome- 

trischen Anfangsunterriclil, mit einem Leitfaden (4'i p. in-8°) ; 4 M.; B. G. 
Teubner, Leipzig. 
H. Rf:nfer. — tehrbuch der politischen Arithmetik. — 1 vol. gr. in-8o, 

VIII-190 p.; 5 fr. ; Fehr'sclie Buchliandliing, Sl-Gall. 

G. Schilling und H. Meldau. — Der mathematische Unterricht an den 
deutschen Navigationsschulen. {AhhandUingen ùher den mathematischen 
Unterricht in Deutschland . Baiid lY, Het'l 4|. — 1 fasc. gr. in-8", VI-82 p. ; 

2 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

H. Schubert. — Niedere Analysis, Il : Funktionen, Reilien, Gleichungen. 
2'e Auflage { Sammiung Schubert). — 1 vol. in-8o, 215 p.; 3 M. 80; G.-J. 
Gôschen, Leipzig. 

D.-E. Smith et L.-C. Kaupinski — The Hindu-Arabic Numerals. — 
1 vol. p. in-8o, 160 p. ; Giuii & C", Boston et Londres. 

D,-E S.MITH. — The Teaching of Geometry. — 1 vol. in-8o, 339 p. ; Ginn 

& Co, Boston et Londres. 

.\. SiiM. — 1. La Confutazione della Geometria Non-Euclidea e la Teoria 
naturale délie Parallèle. — 2. Délie Definizioni di Retta e di Piano qnali 
vere Basi della Geometria. (Complément au mémoire ci-dessns.j — 2 fasc. 
iii-8o, 27 et 18 p.; 1 fr. ; V. Porta, Piacenza 

R. Suppantschitsch. — Lehrbu' h der Géométrie : Trigonométrie und 
Analytische Géométrie, fur die VI. bis VIII. Klasse der Gymnasien n. Real- 
gvmnasien. Mil 176 Fig. im Text u. 795 Frageu ii. Aufgaben. — 1 vol. in- 
8", 294 p.; 4 K. 40 H.; F. Teuipski, Wien. 

J. Tannery, — Science et Philosophie. Avec une notice de F]. Borel. — 
1 vol. in-16, XVI-336 p.: 3 U-. 50; F. Alcan, Paris. 

H.-E. TiMERDi.NG. — Die Infinitesimalrechnung auf der Schule. — 1 fasc. 
in-8o, 26 p.; M. 0.80; B. G. Teuhu.i-, Leipzig. 

H. Wieleitnek. — Geschichte der Mathematik. IL Teil von Carie.sins 
bis zur Wende des 18. Jahrhunderls. I. Hiilfte. — 1 vol. iu-B", 251 p. ; 
6 M. 50; G.-J. Goschen, Leipzig. 

H. WiELEiTNKR. — Der Begriff der Zahl. [Mathematische Bibliothek, 
Ps'o II.) _ 1 vol. p. in^S", 66 p.; .M. 0,8U ; B. G. Teubner, Leipzig. 



LA THÉORIE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES' 



Née il y a à peine dix ans, la théorie des équations intégrales a 
attiré deniblée lattention des matliématieiens tant par son attrait 
propre (jiie par l'importance de ses applications. Plusieurs des 
résultats de cette théorie sont déjà classiques et nul doute que 
dans quelques années les cours d'Analyse ne leur consacrent un 
chapitre. Aussi désirerais-je vous montrer quelques-uns des prin- 
cipaux points de cette théorie en reliant ses résultats à des taits 
algébriques connus. Mais, envisagé ainsi, mon sujet est trop vaste ; 
je ne pourrai parler ni des équations intégrales de 1" espèce 



/ 



K{s, t)z\tidf = /'(.si 



ni de celles de '.V"" espèce 

h 

/•(.9)Ç(X| + I K(.s-, t\z.\t)clt ^^ /'{s\ 
a 

caractérisées par le fait que la fonction k{s] change de signe dans 
l'intervalle a, b. Je ne pourrai non plus rien dire des applications 
de la théorie aux écpiations différentielles et aux équations aux 
dérivées partielles. A part quelques travaux que je citerai, je me 
permettrai de renvoyer pour la bibliographie complète au rapport 
que publie actuellement M. Hahn'^. 

I . Aperçu sur les travaux de Fredholm, Hilbert, Schmidt. 

Dans des travaux classitiues, C. Xkv.mann a montré ([ue la solu- 
tion du problème intérieur de Dirichlet pour un domaine convexe 



' Conférence donnée :i la Réunion de la ï^ociété mathématique suisse, à Berne, le M' tl»- 
cenibre liMl. par .\l. Michel Pi.anchkrei., professeur à rL'niver>ité de PVibonrp;. 

' H. Hahn. Beiicht ùhcr die Théorie der Unearen Integruigleichuugen. B.G. Teuhner, Leip/.i^. 
mil. La première partie seule a paru jusqu'à présent comme " Sonderabdriick ans dem -'n. 
Bande des Jahresberichts der Deiitsclien Mathematiker-Vereinigun}»; ». 

L'Knseignemenl mathéin.. 14' année 1".)12. " 



i|0 M. P I. ANC HERE L 

peut sexprimer comme potentiel d'une double couche portée par 
la frontière de ce domaine, potentiel c[ue sa méthode de la moyenne 
arithmétique permet de calculer. Plus tard. \\. Poixcark, levant 
la restriction de la convexité du domaine, montra toute l'impor- 
tance de la méthode de Neumann ; puis, généralisant le problème, 
il posa la question de la détermination d'un potentiel de double 
couche par la condition que les valeurs de ce potentiel sur les 
deux côtés de la frontière vérifient une relation linéaire donnée. 
I.a densité de la double couche satisfait alors à une équation fonc- 
tionnelle facile à obtenir ; cette remarque, faite déjà par Xeumann. 
fut le point de départ des recherches célèbres dans lesquelles 
Fkedholm aboi-de et résout toute une classe d'équations fonction- 
nelles du type de l'équation rencontiée dans le problème de Xeu- 
mann. Ces équations fonctionnelles, appelées aujmirdhui équa- 
tions de Fiedhohn ou équations intégrales linéaires de seconde 
espèce, sont dans. le cas le plus simple le cas des fonctions de plu- 
sieurs variables n'apporte rien d'essentiellement nouveau ;i la 
théorie et se traite par les mêmes méthodes de la forme 



;.[. 



5(.s-| — À / KiA- , t\^\t) dt -- f\.s\ 



fis et K(.v, t y sont deux fonctions réelles données des variables 
réelles s, t,a ^ .s. t ^ b , A est un paramètre et (p s la fonction in- 
connue qu'il faut déterminer de manière à satisfaire identique- 
ment en .s dans a, b la relation 1 . K .s, t) est appelé le noi/an 
de l'équation intéorale et f s porte souvent le nom de second 
membre de l'équation. 

Pour résoudre l'équation 1 , il vient naturellement à l'esprit 
d'essayer de représenter la solution comme l'ont fait Liouville et 
(]. Xeumann à l'occasion de problèmes particuliei's par un déve- 
lopj^ement 

i,.v. zzz sj.si + >.Çj(,s-| + X'çj-si + ... + À"r„l''>"i + •■■ I'-' 

On obtient alors les relations de récui-rence 



Çj,(5l = /"ivi . ç^jAi = / Ivi.s. <iç,^_,Ui^/ , (// = I . 2. a, ...I 

a 

qui permettent de calculer de pioche en pi(»che les c(»ellicienls 



ÉQUA riON S /NT E C. H A I. K S \\ \ 

de A dans la série 2 . Si nous intiodnisons les novaiix itini's 



h 



/v,. 



K.J.s. <l 3= / K„_|l'«'. /iKir, l\dv . Kii.v, l\ = K(.v, < 



(// 



(3i 



les relations de rëciirrence donnent 



irf/ 



a 

et 9)(.v pi-end la forme 

ç(.s-) = f,s\ 4- À / K(À-: .s-, t) fi II (Il 



K (À : s . t] = > À" K, . , (.s 



/i . 



Sons la seule hypothèse que K (s, t) et fis] sont des fonctions bor- 
nées intégrables, on démontre la convergence des séries (21 et (5 
dans le voisinag^e de A = et, par le fait même, l'existence dans 
ce voisinage d'une et d'une seule solution hornèe donnée par (4). 
</)*■) et K P. ; .s, t sont alors des fonctions Jiolomorphes de P. dans 
le voisinage de / =rr 0. 11 se pose naturellement à leur sujet la 
ijuestion ditTicile : Peut-on prolonger anali/tiqiiement KiX; s, / . 
et si oui, quel est le cnrnctëre de la fonction de /. ainsi définie.' 
La réponse à cette ([uestion fait l'objet fondamental de la théorie 
des équations intégrales et cest à Fredholm (jue nous la devons'. 
Par une induction liardie, Fredholm est amené à mettre la résol- 
vante K Â: .V. / sous forme de quotient de deux fonctions entières 

de ;. 

I) lÀ: .V. l\ Kts, /) + ÀA,(,s-, + ... + À"A,^l.s, t) -\- ... 

Kl"/.: .s-, / z=z ^ , H). 

D(X) l + fli>- +••■ + ('„"''' + ■ . 



les (piantites numériques a,, cl les loncti(tns A«i.s-, / ayant les 



' .1. (•'RKiiiKir.M. Sur une cla.<.<c d'équation.'! f«iictioiniflli-.< Aolii M.itliomiitirii. t. "iT (l!Mi;t.. 
pp. :!i;;,-:î9(i . 



92 

valeurs 



.17. l' lA^C HERE i. 



h h 

... (//I ... / K( \d'3id'Zi ... di 

^l- ^! ^„ 



a a 

^'-" = ^n-j ■■•'"•;/ '^(,.,.. 



I') 



32. 



(/3,f/7s ... f/j,, . 



■l K 



h. h 



" i étant une abréviation pour le déterniinant 



K(A-i, /i) , K|5j, /jl Kl A-,, /^^) 

K(.v,, /i) , K(Sj, /,! K|.>;jj. ^^^) 



Kt5„. M , K(s„, /,) , 



K(5„. /„ 



Sous la seule hypothèse que le noyau Ks, f) est une ionction 
bornée intégrable, il établit la convergence dans tout le plan de 
la variable complexe A des séries D (A ; s, t), D/.) et il vérifie di- 
rectement que la fonction y (s) donnée par les relations (4) et (6} 
est solution unique) de l'équation intégrale (1). La formule (6) 
répond à la question posée plus haut : elle montre que K 7. ; s, t\ 
est une fonction mèroniovphe de k et que ses pôles, nécessaire- 
ment isolés et en nombre dénombrable, sont les zéros d'une 
transcendante entière D(A). On peut d'ailleurs vérifier en déve- 
loppant dans le voisinage de P. = l'expression (6) en série entière 
(|ue la série ainsi obtenue est identique à (5), donc, que (6) est le 
prolongement analytique de 5). C'est ce qu'a fait Kelloc;. 

Lorsque A^ est un zéro de D(Pt], Fredholm montre ensuite que 
l'équation homogène 



- \, I K(s, /)x 



r^itjdt = 



admet un nombre fini >- de solutions non identi(juement 
nulles linéairement indépendantes. Il donne le moyen de calculer 
ces solutions par des séries analogues à D'A; s, t] et il indique 
ensuite à quelles conditions doit satisfaire fis] pour que l'équa- 
tion inhomogene \\] soit résoluble pour la valeur A=:Aq . 

[>a théorie générale des équations intégrales se trouve ainsi 
complètement édifiée dans le mémoire de Fredholm. Ce mémoire 
est d'une importance capitale. Mais Fredholm n'y indique pas 
l'intuition ({ui l'a guidé ni le procédé heuristi([ue par lequel il ar- 
live aux formules (5 et 7'. Par cela même, sa méthode, malgré 



EQUATION S I N T É (, H A I. E S 



9:! 



toute son éléoaiice, malf;r('; la beauté des résultats obtenus par 
des démonstrations très simples, j)iésente un caractèie artificiel 
de vérification et laisse l'esprit non entièi-ement satisfait. Aussi, 
y -a-t-il quelque intéi'èt à connaître la voie par laciuelle Hii.behi 
(reprenant rigoureusement le procédé heuristique suivi par F'red- 
holmi établit les formules de Fredholm. Esquissons-la rapide- 
ment. Elle revient à remplacer, conformément à la définition de 

// 

rint(''grale définie comme limite d'une somme, / Ki.v, t^>[tdt par 

a 

sa valeur approchée 

n 



\> — a 



et à résoudre d abord, au lieu de 1 , le problème voisin 



'/ = ! 



^^i*'- 'Jr„Uj =/l-^t 



(8) 



par rapport a la fonction inconnue y„>" • Il est à prévoir, et liil- 
bert le démontre en toute rigueur, que lini (p,^is, existe et fournil 

la solution cherchée ^{s) de (1). Calculons donc <pjs]; faisons, 
pour cela, .s successivement égal à /, , /.j , ... , t„ dans (8). Si nous 
notons 



'^n%^=-'p 



'^'^''/'•V = V7 



n'. 



fn 



nous obtenons alors un système linéaire 



, /Il 



|9| 



lOi 



de /i équations à u inconnues .r^,.t■.^ <-,^ . Ec déterminant 

D/j(Ai des coefficients des inconnues est un polynôme de degré /> 
en A 



D„,x, = 1 - x^^^i^'V' '/>• + r: 22'" 



A'=l 



p=l ,7=1 



K^p. /;,!. K|<^,,/,^> 



K(/,.V 



' 7 n 



Ee mineur l),i P. ; tp, tq\ de l'élément figurant a la /)'•"" colonne et 
à la r/'*""' ligne du déterminant D„iX) est un polynùme de degré // — 1 



9'i M. P LA.XC II ERi: I. 

en À ; il a poiii- expiession. si p^rzq 



^.S'^-f,,- ',/ = ^^^- 



/■=i 






f.a solution .r^ du système lOj est donnée par 



+ 



1 



'/' = ïr7>:i2/.^"'^--''/"V 



q=\ 



et y .s) se calcule ensuite par 



ç^j.si = /Vsl + Xo'^Kl.v, t \.t 



P P 



/>=> 



Au passage à la limite n^cc, les sommes multiples qui ligurent 
comme coetTiciénts des puissances de A tendent vers les intégrales 
multiples dont elles sont des valeurs approchées; D„(Pv] converge 
vers le déterniinant de Fredholm D{Â), D,t(A; tp^ tq) vers D(X; s, t) 
lorsque tp tend vers s et tq vers /. On retrouve de cette manière 
les formules de Fredholm et tout revient à justifier ce passage à 
la limite pour rendre rigoureuse cette méthode, (^'est ce que fait 
Hilbert dans la 1''' partie de la V des (J notes qu'il a consacrées à 
la théorie des équations intégrales ^ 

Mais là n'est pas le résultat le plus important de cette première 
note; Hilbert spécialise le noyau en le supposant symétrique. 
Par une transformation orthogonale effectuée sur la forme qua- 
dratique ^^^'pq-^'p-^'q <^Ii'i se présente alors, il la transforme en une 

p.q 



somm 



e ^ 'r^ et obtient en passant a la limite des résultats de 



p=l 



la plus haute importance sur l'existence des racines de D{X) = 0, 
sur les relations d'orthogonalité des solutions de l'équation inté- 
grale homogène et sur le développement de fonctions aibitraires 
en séries procédant suivant les solutions de l'équation intégrale 
homogène. Nous reviendrons plus loin sur ces résultats. 

C'est à une méthode de résolution entièrement différente 
(ju'aboutit E. Scii.midt dans sa thèse classique '^ Guidé pai- les ré- 
sultats obtenus par Hilbert dans le cas du noyau symétrique, il 



' D. Hir.uiiKT, tirundziige ciiier allj^enieineii Théorie der Unearen liitegialglcirhiingcn [\ach- 
richten (1er Konigl. Gesellschaft (1er Wissenschaiten zii Gôttingcn, Matliumatisch-physika- 
lische Klasse, l'.l(»i, 1905. l'JOO, l!tl(l|. 

* E. SciiMinT. Znr Théorie der Unearen tind nichtlinearen IntegralgUichungen. I Teil : Ent- 
wickliing \villkrnliclier Fiiriktionen iiach Svsteni(!n vorgcsehriebener |.\liitheiiialische Annaleii, 
H(l. •;:! (l'.MlT). |)p. 'tSH-'iTCl. 



/•• Q U A r I () iV s / N T K r, Il .!/./■: S \)'i 

inoiitrp que la irsoliition do rcquatioii j^émMalc peut so ramener 
à relie de ré(jiiatioii à iinyaii symétrique et il ahorde directement 
I étude de l'ëtiuatioii inté<rrale homogène à noyau symétrique. Il 
établit par des raisonnements directs et très simples tous les théo- 
rèmes de Fredholm et de llilbert dont l'énoncé ne fait pas inter- 
venir les séries de Fredholm ; puis, pai* une méthode imitée' de 
méthodes de Schwarz et de (ira'fe, il établit 1 existence d'un para- 
mètre singuliei- et montre (jue la résolvante du noyau symetri<|ue 
est une fonction méromoiphe à pôles simples. La résolution de 
l'équation intégrale inhomogène découle ensuite facilement île 
celle de l'équation homogène. I''tablissant la forme canonique du 
noyau symétrique, il retiouve et généralise en les débarrassant 
d'une restriction inutile; les théorèmes de développement de 
llilbert. La thèse tle Schmidt présente des qualités de simplicité 
et d élégance remarquables; les démonstrations y font transpa- 
raître immédiatement les analogies algébi-irpies profondes de la 
théoi'ie des équations intégrales. 

Les nombreux travaux parus à la suite des travaux cités n ont 
pas modilié les lignes générales de la théorie. Nous ne citerons 
en passant ([ue ceux de Plemel-f et de Gol'ksat relatifs à l'étude 
de la résolvante de Fredholm dans le voisinage de ses pôles et 
ceux de J. Schlr démontrant sans l'intermédiaire des formules de 
Fredholm plusieurs propriétés des équations intégrales à noyau 
asymétrique. Par contre, des points de vue tout nouveaux ont été 
apportés par llilbert dans ses 4"" et 5""' notes' : sa méthode des 
formes ([uadratiques à une infinité de vai'iables a permis d'aborder 
des cas qui échappent à la théorie de Fredholm. 



2. Analogies algébriques de la théorie des équations intégrales. 

Du fait que les formules de Fredholm s'obtiennent comnie cas 
limite des formules de résolution d'un système de n équations 
linéaires à n inconnues, il est à prévoir que la théorie des équa- 
tions intégrales présentera des analogies avec celle de ces sys- 
tèmes. MM. llii.itKRT et Tœi'mtz ont. dans leuis études sur les 
formes bilineaires à une infinité de variables, insisté sur le fait 
que la notion de déterminant, (jui joue un si grand lôle dans l'ex- 
position ordinaire de la théorie des équations algébrifjues li- 
néaires, est difficilement extensible au cas d'une infinité d'équa- 
tions à une infinité d'inconnues. Aussi, pour bien montrei- ces 
analogies, allons-nous d'abord, avec M. To-plitz, énoncer sous 
une forme (pii diffère de la forme oïdinairement suivie, les théo- 
rèmes relatifs à la rt-solntion des systèmes d'équations liiu-aires. 



96 



M. PL ANC HE HE I. 

séparant nettement des autres ceuxde ces théorèmes qui, dans 
V énoncé. n'impli(iuent pas la notion de détei'minant. 
Considérons, pour cela, les systèmes suivants de // équations à 
nconnues 



en séparant netteme 
leu 

Considérons, pou 
n inconnues 

/ (1 4- A„l.r, + /„•»•,+ ... + /!,„.»„=/•, 



llni 



|I/>I 



\ ^nV^X + K2^> + - + 11 + /„„,.,„ = /„ 

Il + ^„l.ri + X-,o.r, + -.. + ^„'-« = " 
^.,,.r, -I- il + A-.„(.r2 + ... + /..„J-„ =0 



|II«I 



^„r, + Il + -t.J.v, + ... + /•■„.>?■„ = S-> 



\Uh 



\ ^u,?\ +^.„v, + ... + |l + /.,^,^,v„ = ^ 
■ '1 + ^il.v, + X',,v, + ... + X„,.r„ = 
) /.,2,^i + i> + /^Ti^y-' + ■•• + ^„,,v„ = 



^„r, + ^.„.v, + - +11 +^„„l.v„ = (. 



(l«i et [Ua sont des systèmes inhoniogènes ; les matrices des 
coefficients des inconnues y sont transposées. Ib et (113; sont les 
systèmes homogènes correspondants; ils admettent toujours les 
solutions triviales .r^:^.v.^^ ... =a.^^z=0, ?/^ := y,zzz ... :i= y^^r^r 0. 
Nous conviendrons de ne pas compter de telles solutions comme 
solutions propres de ces systèmes. On a les théorèmes : 

I. Les systèmes homogènes transposés {\b) et {\\b ont le même 
nombre riO ^ r <^ n de solutions linéairement indépendantes. 

II. Lorsque r=:0, les systèmes inhomogènes transposés \a et 
\\\a, ont chacun une solution unique et bien déterminée pour tout 
système de valeurs des seconds membres f ^ , fj, ... f n ; g",, g-j, ... gn. 

III. Lorsque r]>.0, les systèmes (la) et 'lia) n'ont en général pas 
de solutions. Notons par 



lli 



(1) 


(1) 


(1) 


r<ll 


f4". .. 


r.Ct 


a ■ 


a, . .. 








1 




n 


' 1 ' 


' ' n 


























* , 


a, , .. 




j 










n 




■ 








in 

■ , a 


rJ'-> 


rJ'-) 


r,"-| 






n 




* 2 


' // 



!■: Q U A T IONS I \ T /.' C li A I. E S 



97 



doux systèmes complets de /• solutions linéairement indépen- 
dantes de \\h et de \\\h . f-a solution ^ciH'iale de \h est par suite 



,-'-,v +'•.-;; + 



et celle de Wh 



+ '•.< 



\p= 1.2. 



= 'V> 



+ '-.[i^' + 



-1- (• ^J*''' 



[p —\.ï n\ 



<•, , Tj,..., r, étant /• constantes arbitraires quelconques. Pour 

que \\a] soit résoluble, il faut et il sufpt que [f] = if^ . /!, /» 

vérifie les /• relations 



fX + i'X + 



+ f f^ = 
' ' Il ' Il 



(s r= 1 , 2 . 



112) 



€t de même pour que (lia soit résoluble, il fait/ et il suffit que [«] 
vérifie les /• relations 



''l'i 






+ ^„a;r = 



{s = \. 2 . 



• , '1 



ii:{i 



Lorsque les relations il2 sont vérifiées, la solution générale de 
(la) est de la forme 



-^■p = ^p + <^^^p ^^--i^p ^ 



+ ^* 



(p = 1. 2 



(X;,) étant une solution particulière quelconque du système et 

c-^, c^ r, /• constantes arbitraires. De même, si les relations 

(13 sont vérifiées, et si (Y;,! désigne une solution particulière 
quelconque de Ha), la solution trénérale de ce système est 



}p — ^p + ^\ .> + '-■2^'p + • • • + <^r>^p 



1,2, 



Remarquons qu'il résulte des théorèmes l et il l'alter/iatii'e sui- 
vante : Ou bien les systèmes inhomogènes transposés [la), [lia 
sont toujours résolubles, quelque soient leurs seconds membres 
[/]' [j?"!' '^^" ^^^'^ 1^^ systèmes homogènes transposés [Ih), llb pos- 
sèdent des solutions en même nombre non identicfuement nulles. 
Pour montrer les analogues de ces théorèmes dans la théorie 
des équations intégrales, considérons les équations 



\\(i] 9I.SI + f^\s. t)z{t\dl = f\s] 
a 
h 
{\\a\ •lj\s\ + I'K{1. s\'l\l\dl ■= g{s] 



\h) çi.vi 4- /'ki.s-, l)^\t}dt 



1 11/^1 



-\- f'Ktt . st'lul.Ht = 



98 M. P lAytlIE HE I. 

[\a\ et \\a] sont des (Mjuations iiihoinoijcnes à noyaux tiaiisposés. 
•\b] et \\b sont les équations homogènes conespondantes ; elles 
admettent les solutions triviales yisi = 0, </; si ^ que nous 
conviendrons de ne pas compter comme solutions. Nous admet- 
trons pour simplifier que K s, t\, fis], g[s) sont des fonctions con- 
tinues et nous exigerons des solutions (p s k iii s qu'elles soient 
aussi continues dans {a, b.. I.a théorie de Fredholm ])ermet alors 
d'établir les théorèmes analooues. 

I. Les équations intégrales ho/iiogènes transposées \b , }\.b). ont 
le même nombre r de solutions linéairement indépendantes, r est 
fini. 

II. Lorsque r = 0, les équations intégra /es inhoniogénes trans- 
posées \a\. Ma ont chacune une solution unique et bien déter an- 
née, pour toutes fonctions f s), g (s). 

m. Lorsque r > 0, les écpiations intégrales inJioniogenes [\a]. 
\\a n'ont en général pas de solution. Soient 

Çilsl . Sjl.vl ç,.(i-| : 'iilAl , yji.s-l •y,.l.s-| 

deux systèmes complets de /• solutions linéairement indt'pen- 
dantes de \b et de \\b . La solution généi-ale de \b est 

et la solution générale de llZ>i est 

■lis) = Ct'iiLS) + Cs'isl.S-l -f . . . + c,.i.l.s) 

r, , r-., r, étant /■ constantes arbitraires. Pour que [\a] soit 

i-ésoluble, il faut et il suffît que f s vérifie les /■ relations 

h h h 

ff\s)-li\s](ls = (). ff^s\'l^is)ds = y\ I fis\'l^js}(ts = (1^1 

a n <i 

et de même, pour que Ih/ soit résoluble, il faut et il suffit que 
S s vérifie les /• relations 

b b b 

Çg{s\z^\s\ds^U . Ig{.s)z,2ts)(/s =:zii I gis\z^J.s\d.s = . 

Il a " 

Si les relations J4 sont vt'rifiées, la solution généi-ale de \a^ est 

<î> s étant une s(dution particulière quelconcpie et v^, r., , .... cv 
/• c(mstantes arbitraires. De même, si les relations 1.")) sont véri- 



I 



I-: O U A Tl ON s I NT E (i I! . t I. E S 



•l'.> 



liées et si ^(.si est une solution patticulièi'c (|ncl((»n(|u<' <!<■ Wa , 
la solution générale de cette équation esl 

■i(.s-| = M'i.s-I + ri'%(sl + <-2'i,(.si + ... -I- tY'i,.(.s| . 

11 résulte donc encoie des théorèmes I et II l'alteriuilhe : Du bien 
les équations intégrales transposées inhomogènes [\a] et (II«) sont 
résolubles (juelque soient leurs seconds membres /"(s), g{s.) on 
bien les équations homogènes transposées \\b) et \\\b) admettent 
des solutions non identi(|uement nulles. Cette alteinative est 
d'une exlrèm<» imporhince pour h^s ajiplications de la théorie des 
écjuations intégrales. 

Les théorèmes indiqués j)lus haut sur les systèmes linéaires 
d'équations algébriques peuvent s'établir sans faire usage des dé- 
terminants. De même, leurs analogues delà théorie des équations 
intégrales, bien qu'obtenus pour la première fois par Fiedholm 
par l'intermédiaire de ses séries, peuvent se démontrer directe- 
ment. Mais, s'il s'agit, en algèbre, de trouver des critères pour 
déterminer dans quel cas de l'alternative on se trouve ou de cal- 
culer effectivement les solutions l'emploi des déterminants est 
nécessaire. Pour les introduire ici de manière à conserver une 
analogie encore plus étroite, nous aurons avantage à introduire 
un paramètre A et à considérei' non plus les systèmes 1) et (11) 
mais le système (IQi que nous avons obtenu en exposant la mé- 
thode de Hilbert. Nous étudierons donc les systèmes ti'ansposés 



iiv) : .',,-à;2 /,,-, = /, 



,1'/,) : .,. _ >.'%►/ .,■ =0 
' I' ^„^ P'I 7 

'/ = ! 



p=\.l //) 



^ I '/ = ! 



F^a théorie des déterminants montre que pour que IV/) soit réso- 
luble quelque soit [f], il faut et il sullil que le déterminant D„ À 
des coellicients des inconnues soit 9^:0 et que po:ir que le système 
]'bj soit résoluble, il faut «'l il suHit que ce déterminant soit nul. 
Si nous remarquons que le déterminant du système (H't est en- 
core égal à I)„ A et que l'équation du /«'™° degré D„fA) =: a n 
racines l^ , /.., A,j finies ou infinies , nous voyons que 

1. pour 'a =;z± Ap , ;I'«.j et (IIV/ sont toujours r(''solid>lcs. (picl(pi(' 
soient [/"], [«•]. 

2. pour A =^ Ap , >l'b) et 'l\'b, sont n;s(dubles. 

.1. Dans le dernier cas, les solutions s'obtiennenl au inoyiii (l<'s 
mineurs de D„!A! et Vp étant le rang du premier mineur de l)„ À 



100 



M. P f.A NC IIEREI. 



qui ne s'annule pas pour X ^=\p, le nombre /■;, des solutions tic 
ré(luation homogène est égal à // — Vp, pour X=zXp . 

Les analogies avec les résultats de P'redholm sont immédiates. 
Nous prendrons, pour les voir, les systèmes suivants d'équations 
intégrales : 



{\'a\ : Z[S] —\ f ii\s. t)ç{l]dl z= f{s) 
a 
h 
(Il'rtj: A(si — ). fKit. .s•li(^(// = g{s) 



[Vin 



lII'Ai 



çl5) — À ^K(.v, f]z.{t)dl = 
a 
h 
■il.s-i —\JK[t. s)'l{t\dt = 



D'après Fredholm, l'alternative dépend d'une transcendante en- 
tière DiX), donnée par ((3), qui n"a donc que des z&ros isolés ap- 
pelés paramètres singuliers de l'équation intégrale. Alors 

1. si D(X)^0, \\'a et (Il'rt sont résolubles quelque soient 

2. si D(Xl = 0, [l'b et (H'* sont résolubles. 

3. le nombre des solutions et leur calcul dans le cas 2 dé- 
pendent de séries entières qui sont les analogues des mineurs de 

D„a;. 

Remarquons que T)\h peut ne pas avoir de zéros; il est alors de 
la forme D(Â = e'''^'. Ce cas se présente en particulier pour un 
noyau Kis, t tel que Kfs, t] = Q pour *• ^t. Dans ce cas l'équation 
intégrale (équation de VoLTEftRA se réduit à 

s (5) — À fK\.s, t)ç{t\dt = f\.s\ 
a 

et il est facile de vérifier que les séries (2) et (5) relatives à ce 
noyau convergent pour toute valeur finie de X. I/équafion homo- 
gène correspondante n'a jamais de solution (bornée). 



•i. Les analogies dans le cas du noyau symétrique. 

Lorsque le noyau K(a-, t] est une fonction symétrique de .s, /: 
K(.v, i) = K(t, s) les quantités kp^ = Ky^,, fq) sont telles (jue 
kpq = kqp . r^es systèmes transposés (!') et (II') sont identiques et 
il suffit dans ce cas d'étudier l'un d'eux, par exemple (F). La 

substitution A -=- ramène l'équation Drt(A)=:() à une équation 
[j. - ' 

bien connue sous le nom d'équation séculaire. Pour n = 2, 3 une 

équation de cette forme se présente dans la recherche des axes 

principaux des coniques et des quadriqucs équation en «.s»; et 



RO l JT I 0.\ s I y TEC II A I. i: S loi 

l'on déniontre que ses racines sont réelles. Ce fait est yénéial ; de 
la symétrie kpq = kqp résulte que lèquation Dn A) =z () a toutes ses 
idcines réel/es. De plus, alors (juc dans le cas général D„fA) = 
peut avoir toutes ses racines infinies, il existe ici au moins une 
racine finie. Notant par Aj , P..^ , ..., „ les solutions de D„;A) := 0, 
chacune répétée un nombre de fois égal au nombre des solutions 
linéairement indépendantes de [Vb] pour cette valeur de A, nous 
pourrons trouver n systèmes de valeurs 



\ i n ' r ' 



tels que chacun deux soit solution de \l'b) pour la valeur corres- 
pondante l = }p et tels que 

II 
^.r'^'>'=:o io,,,= l,-l m ,15) 

où 6p,i = 0, SX p ^ q et èpp :^= 1. La substitution 

n 

y^^^^xfx,. l/j = i, 2 n] (16) 

est alois une substitution orthogonale, cest-à-dire (luellc laisse 

n 

invariante la somme ^, -r^ 

}\ + v' + . . . + v' = .»:; + ■'■' + . . . + ^'^ . 

Cette substitution transforme la forme quadratique 



^^ ^V k„_^.ïx^ =: x: -4- 2x.x., + . . . 

en une somme algébrique de carrés 



(i:i 



Nous obtenons ainsi la forme canoni(iiie de la lormc (juadratique. 
Cette forme canoni([ue est bien connue pour n =. 2, .î, la transfor- 
mation effectuée étant alors la transformation dune coni(pie ou 
dune (pia(lri(pie à ses axes principaux. Sachant résoudre l'équa- 



102 M P I.ANC HERE I. 

lion homogène [V b on pourra facilement expiinier la solution de 
[Va en fonction des seconds membres et des quantités .r''' . Nous 
n'insistons pas là-dessus. 

lndi([nons maintenant les analogies. Nous considérons pour 
cela les équations à noyau symétrique 



{\'a\ . z,\s\ —'/. I Ki.t. t\z.^t\cii = /'is\ : li'A): çls) — '/. f K\.s. l\zlt\dl = Ù 



On peut démontrer que toutes les racines de D(P.|:=:0 sont 
réelles. En d'autres termes, l'équation homogène ll'b) n'admet de 
solutions que pour des valeurs réelles de X. De plus D À) = pos- 
sède au moins une racine réelle finie. Il existe donc «// moins une 
valeur finie de À, pour laquelle (1'^) est résoluble. Soient encore À, . 
/..-,, ...P.„. ... les zéros de D;A), chacun d'eux étant répété dans 
cette suite autant de fois que l'équation {Vb) a de solutions linéai- 
rement indépendantes pour cette valeur de ).\ nous pourrons faire 
correspondre à chaque Â^ une fonction (pp\si vérifiant la lelation 



h 



iS] - Ap^ 



/ Ki.s. t\z \l\dt = i) " l'JHi 



et telle que 

h 

,/r;,i-''lr,/l*)^-^- = V/ ' [p, fi=\r2.'.\ I. (I9i 



Ces relations, analogues des relations 15), expriment que les so- 
lutions de l'équation intégrale homogène [Vb] lelatives à deux va- 
leurs difieientes A^, , /.q sont orthogonales et que le système com- 
plet des solutions 

Si(.s-) . Sj(s) , . .. ç^(.s| . ... 

forme un sysièmc orthogonal norme de fonctions poui' 1 inter- 
valle a. h . I/analogue de la forme (17) est ici la formule 



// h 



f'l\s)Zp[s\ds 



I I K (.V , <l ■} ( .S-) •} I /) ds ^/ = > : (20) 

où au second membre la sommation est étendue à toutes les va- 
leurs du païamètre singulier P.,, . De cette relation découlent des 



I-: O UATIONS l NT A (i H A I. E S 1 ():{ 

propiirlés très iinpoitaiites iol;iti\«^s a la lormc canonitiiie 

P 



Ki.s-, /l^^'^-j^— (2]) 



du noyau ef au (lév('l()|)pemont d une foiu-lion aihil laiic /'.s en 

série de la t"oi'me 

), 

/\.s> = /içil.v, + /;£jl.si + . . . . /^ = ff\s)-^^^\s]ds (22l 

a 

procédaut suivant les solutions de Téquation (I7>) (autof'onctions 
ou fonctions fondamentales). La relation (21) a lieu lorsque la 
série du second membre est convergente et E. Schmidt a montré 
qu'un développement 22 uniformément et absolument convergent 
est valable pour toute fonctictu /'us- susceptible d une représenta- 
tion (le la forme 

h 

f{s\ ~ /"K(.s-, Dgihdl . |2:^l 

a 

Remarquons, en terminant, que la solution de [l'a] s'exprime ai- 
sément au moyeu îles solutions (pp{s de (l'b . On a, en etfet. 



5 ( .s- 1 = fi S ) + XX' . ^^ . z^ (.VI . /^, = / '/■( -s- 1 r,, I -^^ I ^-^ 



fp 

l'P 
P ^ 



'». Les équations intégrales singulières. 

Nous venons de voir l'étroite analogie qui existe entre la théorie 
des systèmes d équations algébriques linéaires et celle des équa- 
tions intégrales linéaires, de seconde espèce. Remarquons encore 
que la plupart des résidtats de la théorie de Kredholm subsistent 
encore dans le cas où K .s-, /) présente des singularités infinies 
mais où l'un des noyaux itéiés K«(.s", /j est fini. De même, dans 

le cas du noyau symétrique, les principaux résultats sont encore 

h h' 

vrais si / / [K|.s-, l]\'dsdt est linie. 
a (i 

Dans ses 4""' et .")"" notes sur la théorie des é<puitions intégrales, 
HiLBKHT a montré la raison profonde de cette analogie, il en a 
trouvé les limites et par le même coup il a enrichi d'une nouvelle 
méthode la tln'orie des ('(piations intégrales, (^.ette méthode est 
d autant plus inqiortante (|u"elle |)ermet d'aboi'der la tlieorie des 



lU'i -V. P I.A.\( H EHK f. 

équations intégrales à noyau singulier, i-est-à-dire à noyau pré- 
sentant des singularités assez élevées pour échapper aux méthodes 
de Fredholni et de Schinidt. Nous ne pouvons ici que donner un 
rapide aperçu de ses fondements. 

Un système de fonctions y, s . (p^ s . ... définies dans un inter- 
valle a, b], de carré intégrable dans cet intervalle, est orthogonal 
relativement à (a, è i, si lintégrale du produit de deux fonctions 

b 

différentes du système est toujours nulle: / y, s (p s d.s = (). pz^q. 

a 

Un tel système est toujours dénombrable. Nous le noi nierons par 

b 

la condition / w s 'ds =1. On a donc 



p<i 



a 

Il sera dit fermé, si toutes les relations 

b 

fh[s\z\.s\ds = . ip = \ . -1 



ne sont vérifiées simultanément que par la seule fonction h s^ =0. 
Les fonctions 



1/2:: ^/^ [/r. v' r- /^ 

forment, par exemple, un système orthogonal fermé et norme 
pour l'intervalle (0,271]. f(s) étant une fonction de carré intégrable 
dans (a, ô), on peut former les constantes coefficients de Fourier 
de /(.s) relativement au système "95 s)]] 

h 
l'p=j'f"'^rp^'<^'f'< • i/> = 1, -2, ;J, ...) 

a 

et la suite /y vérifie l'inégalité 

l> a 

inégalité dans hiciuelie le signe = est à prendre lorsque le sys- 
tème [y_'«)] est fermé. Dans ce dernier cas, on a plus générale- 



EQI'A I ION s I y I E (. /.' .//./;■ .s 1 05 

ment. 



f fis) g {Si Us =^r,,èi), 



l2Vl 



/'.s et i^ S! étant deux loiictions qiiolc<)ii((nes de cant' intéjirable. 
/l ' f(^ leurs coellicieuts de Fou lier. 

I.a somme des carrés des coellioients de Fourier d'une fonction 
de carré intégrable est donc convergente. Inversement, MM. 
F. RiEsz et E. Fischer ont montré qu'étant donnée une suite 
([uelconque de constantes réelles /" , /" telles que ^^ /' con- 

p 
verge, il existe au moins une fonction fis) de carré intégrable ad- 
mettant ces constantes comme coefficients de Fourier relative- 
ment au système orthogonal norme [y s!]. En particulier, cette 
fonction f[.s est unique à une fonction d'intégrale nulle près 
lorsque le système [(p s;] est fermé. Remarquons cependant que 
le théorème de Riesz-Fischer n'est vrai sans exception que lors- 
{{u'on étend la notion d'intégrale comme la fait Lebksoie. Nous 
prendrons donc dans tout ce !^ les intégrales au sens de Lebesgue. 
Prenons maintenant l'équation intégrale 



çisi — ^- / l'^i*- Dr^f^dt = f'{s) (25) 



et supposons /".s- de carré intégrable dans rt, h et K .v, /) symé- 
trique tel que 

b b 

Ç fKis, l\g{s)gil\clsdl 



existe pour toute fonction <,'• .s, de carré intégrable. Soit 9) s j un 
système orthogonal fermé et norme relativement à 1 inteivalle a,b . 
Notons 



h 



a a a 

(26) 
b 



multiplions réquati«)n intégrale par (f s et intégrons dans a. h 

I.'Enseignenipnt ni.Tthém., I4'ann<;e: I91J 8 



lOti M P LAXC II i: RE r. 

fil iKHis servant de la formule de Riesz \'1'\ . Il vient 






/"?' <? 



/, 



ip 



1.2.3. . 



[•21] 



(! est un système d une infinité d'équations du i'' dei>ré à une in- 
finité d inconnues .^•, , :i\, Si ce système admet une solution 

.Vp^ de somme des carrés convergente, on pourra lui faire corres- 
pondre par le théorème de Riesz-Fischer une fonction y *;, de 
carré intéijrable, que l'on démontrera être solution de l'équation 
intégrale. // // a donc èqiihudeixre entre la résolution de l'équation 
intégrale et celle d'un système d'équations linéaires à une infinité 
d'inconnues. On est ainsi amené à l'étude de tels systèmes d équa- 
tions et à celle des formes quadratiques qui en dépendent. Cette 
étude a été faite par Hilbert. Tœplitz et Hellinger, dans leurs 
recherches ultérieures, ont apporté des contributions nouvelles à 
cette théorie, ils Font suitout simplifiée en réduisant à un mini- 
mum les questions de convergence qui se posent inévitablement 
dans une telle théorie, et en éclairant mieux la face algé])rique du 
problème. Lhypothèse faite plus haut sur K >•, t) revient à dire que 

la forme quadratique à une infinité de variables ^^ /.:;„;.r;,.rç est 

p-n 
bornée, c est-à-dire telle que 



Il II 

^"S/. .r .r 

^^^ ^ P'i p q 



< iM 



pour tout système de valeurs 

•»t + <+ ■•• +-<S ' • u/ = 1.2, ;{...., . 

M étant une constante l'onvenaljlement choisie, ("est à l'étude des 
formes bornées que se limite.' la théoiie de Hilbert. Hilbert consi- 
dère comme solutions et cela est natui-el, d'après le théorème de 
Kiesz-Fispherj les seules solutions .r, , .<.^, ... à somme des carrés 
convergente. Sa théorie montre alors que l'analogie trouvée plus 
haut ne subsiste plus en général. Ainsi, il peut y avoir des valeurs 
de /, pour lesquelles les équations homogènes correspondantes 
de (27) possèdent une infinité dénombrable de solutions. Les va- 
leurs de Pi où le système (27) n'est pas résoluble sont encore réelles 
et il en existe encore au moins une, mais elles peuvent ne pas être 
isolées et former un ensemble ayant la puissance du continu. Dans 
ces cas, l'alternative n'existe plus : il y a des valeurs de  pour les- 
quelles ni les équations (27 ni les équations homogènes corres- 



^• /•■ 6» M E r II I H pfi y s / o ue i 07 

pDiulantes n'ont de solutions à somme des carrés convei-j^ente. Par 
suite, les valeurs nécessairement réelles de A où l'équation inté- 
i,M'ale (25) n'a pas de solution de carré intégrable peuvent donc, 
tlans le cas ijénéral, ne pas être isolées et former un ensemble 
ayant la puissance du continu et l'alternative n existera plus: il y 
aura des valeurs de / où ni Tf-quation 25 ni l'équation homogène 
correspondante n'admettent de solutions de carré intégrable dans 
</./>. II se présente par contre des faits nouveaiiv sur lesquels je 
ne puis insister ici', .le me bornerai pour finir, à sionaler que la 
théorie des formes ({uadrati(|uos à une infinité de variables per- 
met de trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que 
lalternative ait encore lieu, (luelle retrouve ainsi les résultats de 
Fredholm et de Schmidt sur les noyaux symétriques et que de 
plus elle permet d'aborder des équations intégrales inaccessibles 
aux méthodes de ces deux savants. 

M. Plaxcherel Fribourg;. 



LES RECTRICES. ETUDE DE GEOMETRIE PHYSIQUE 



SoM.MAïKE ; 1. Les rectrices. — 2. Les rectfices et la surface de t onde. — 
•). Applications pratiques des reclrices. — 4. Les rectrices centrales des 
quadriques. — 5. La correspondance logarithmique entre quadriques et 
cônes recteurs. — 6. Les rectrices et la représentation des phénomènes. — 
7. La dualité géométrique et les rectrices. — 8. La matière élastique et 
le comple.xe du second ordre. — Les lignes de rupture. — 10. La rectrice 
chimique. — il. La loi cissoïdale atomique. 

1. Les Rectrices. — Quand on examine une glace étamée recou- 
verte dune poussière légère, on observe que les grains de pous- 
sière paraissent s'aligner vers l'ceil. I/efîet est, dans une certaine 
mesure, d'autant plus apparent que la glace est plus épaisse. Si 
la glace, au lieu d'être plane, constitue une surface courbe, aux 
alignements rectilignes correspondent des courbes tracées sur la 
surface. II est facile d'expliquer l'effet d'alignement par la réflexion 
de chaque grain de poussière. 

On voit aisément que ces courbes sont en somme les trajectoires 



^ i'.i. E. Hki.i.iN(;i',r, Seuc Begrunditng der théorie quadratùihtr Foriiun von uiieiidlùh 
\UCeti VerUnderlichen l-lourn.-)! ftir dio reine iind iingewandtc Mathematik, Hil. 136 (19011), 
pp. -iio-i-i]. 



108 F. HIT A VANI) 

lie points assujettis à rester sur la surface, loul en se dirigeant à 
fhaque instant yers un point lixe. Le plan déterminé par celui-ci 
et la tangente en un point à la courbe est normal à la surface ei> 
ce dernier point. Toutes les courbes qui remj)lissent cette con- 
dition sont les orthogonales des sphériques déterminées dans la 
surface par des sphères dont le centre est au point fixe. Nous les 
désignerons, pour abréger, sous le nom de « rectrices ». 

On montre que dans toute transformation vectorielle tle la sur- 
face telle qu'à un rayon vecteur issu du point {\\e. en ct)rresponde 
un autre dans la même direction, dont la grandeur soit fonction 
seulement de celle du premier, la qualité de la rectrice se con- 
serve. Les transformations : inverse, homothélique, conchoïdale 
etc., ainsi c|ue les combinaisons diverses de ces transformations 
conservent donc la rectrice. 

Dans la transfoimation par polaires réciproques, aux sphé- 
riques correspondent les enveloppes des plans tangents situés à 
une même distance du point fixe. A une rectrice correspond l'en- 
veloppe d'un plan tangent qui se rapproche du point fixe par la voie 
la plus courte à chaque instant. On voit ainsi que dans la théorie 
géométrique de Poinsot, du mouvement d'un solide autour d'un 
point fixe, la développable circonscrite à lellipsoïde le long de la 
polhodie n'est autre que la polaire réciproque d une rectrice. 

2. Les rectrices de la surface de l'onde. — Une autre transfor- 
mation est intéressante à examiner. On considère les sections 
planes passant par un point fixe; de celui-ci on mène les nor- 
males à la courbe de section ; sur la perpendiculaire au plan de 
section par le Doint fixe, et à partir de celui-ci, on porte une 
longueur qui est fonction uniquement de la longueur d'une des 
normales. Le point ainsi déterminé décrit une certaine surface 
(juand le plan de section varie. Le plan défini par ce point et la 
normale correspondante dans la section est normal à la surface 
ainsi décrite, au point considéré. Les surfaces apsidales se rat- 
tachent au cas général qui précède. 

En particulier, en appliquant la transformation à un ellipsoïde 
par rapport à son centre, et portant des longueurs égales aux 
axes de la section, on sait que l'on obtient la surface de l'onde. 
On en déduit immédiatement que celle-ci a deux nappes, et que 
les cônes recteurs de lu ne des nappes sont les cônes sphériques 
de l'autre, (.ela se traduit, dans le phénomène de la réfraction des 
biaxes, par ce fait que sur une même direction les plans déter- 
minés par celle-ci et par les vibrations propagées sont rectan- 
gulaires, j)ropriété découverte par Hamilton. 

Un cône recteur — ou sphérique — de la surface de l'onde est 
— on le verrait aisément — le cône complémentaire d'un cône 
sphérique de l'ellipsoïde générateur. On sait quun tel cône est 
du second ordre et appartient à la famille linéaire définie pour 



G E O M E T J{ 1 1: l' Il Y S K) V E 1 09 

les cônes — imaginaires — asymptotes de l'ellipsoïde et de la 
sphère. Les cônes recteurs de la sui'l'ace de l'onde sont donc du 
second ordre et forment une tamillo linc'aire tan<4entielle. 

Les courbes isochromali([ues sont, comme on le sait, les traces 
<les cônes sphériques de la surface aux diflerences des rayons 
vecteurs des deux nappes de la surface de Tonde dans une même 
direction. Les courbes dégale intensité, et non plus de même 
i'oloiation, sont, l'expéiience le montre, les orthogonales des 
précédentes ; ce sont des hyperboles équilatéres passant par les 
traces des deux axes du milieu biréfringent. Ces courbes sont les 
traces des cônes recteurs de la surface différentielle lesquels cons- 
tituent aussi une famille de cônes du second ordre. Nous n'in- 
sisterons pas sur la ((Ufstion au point de vue géométrique. 

3. Applications pratiques des rectrices. — On rencontre les rec- 
trices et les sphériques dans des questions d'ordre très difféicnt. 
Ainsi en stéréotomie on les trouve dans l'appareillage dun berceau 
oblique à tète circulaire. La projection sur le mur de tête des 
courbes de joint est la trajectoire orthogonale des rectrices planes 
parallèles au mur de tète, c'est-à-dire des sphéiiques du berceau 
ayant leur centre à liniini dans la direction normale à ce mur. 
Les courbes de joint sont donc les rectrices du berceau dans cette 
direction. 

En topographie les lignes de plus grande pente, qui corres- 
pondent aux hachures, et théoriquement en général au tracé des 
cours d'eau, sont des rectrices de la surface du sol, les sphériques 
étant les courbes de niveau, relatives à la direction de la verticale. 

't. Les rectrices centrales des quadriques. — Parmi les cas les 
plus simples, on est conduit à considérer celui des rectrices cen- 
trales des quadriques. Ce sont les trajectoires orthogonales des 
sphériques. et l'on sait que les cônes sphériques sont ici du se- 
cond ordre. L'équation des cônes recteurs est facile à obtenir. 
Soit : 

\.x- + Bv'^ + Ce- = 1 

ré(piation d'une quadrique à centie. Soit z =^ fi.vy] l'équation 
cherchée du cône recteur. On aura : 



xz^ 


+ 


Br 


".'/ 


— 


Cr. 


= 


(J 


1 


+ 


> 


".'/ 


— 


= 


= 






la première de ces équations exprime que le cône est normal à la 
quadrique au point xyz, la deuxième exprime que z = f\.rii re- 
présente bien un cône. On en déduit : 



C — !•> ^ _' _ A — C 

A — B ■ r ' "y ~ A — B 



110 F. RLTA VANn 

d'où 

-ar C — B 1 





z A — B .»■ 


et. en intégrant : 






C - B , , 


on aurait de même : 


* 




'-= = a-b'''+-^''' 


on en déduit : 






c— B A— C B— A , 

X .y . z = /,■ 



ce qui représente bien un cône puisque : 

(C — B) + (A _ C| + (B — Al = .- 
Réciproquement si l'on donne une équation de la forme : 

représentant un cône avec les conditions : 

* + ,' + Y = 
on posera : 

a = C — B, .•3 = A — C, ; = B — X 
d'où 

B=:C — a. A=zC + ,'i 

et l'équation de la quadrique est : 

,C _ a).r2 + (C + ^3)r^ + C:.2 = I 
ou encore : 

Cl.r' + y- + -''} — la-r' — [îrl = I , 

ce qui représente un faisceau de quadriques défini par lintcrscc- 
tion d'un cylindre avec une sphère. Dans ce faisceau il y a des 
cylindres : 



1" 


A = U , 


:5 = — C , 


a =: — :;— B 


2" 


B =r , 


a = C , 


;; = A - a : 


3" 


C = . 







On voit ainsi que les hyperboles équilatères de toutordie, et en 
particulier les courbes dénommées adiabatiques en physique, de 
même que les paraboles de tout ordre sont les projections sur un 
plan parallèle à un plan principal, des rectrices centrales de qua- 
driques. 



GÈOMKJllIE l'UYSIOVE 111 

f). La correspondance logarithmique entre quadriques et cônes 
recteurs. — S<»i«iii 

( A.r* + Bi- + C:' = 1 
( A'x^ + Wf -Y V/-J = 1 

les équations de deux quadriques à centres ayant les mèiues plans 
principaux. Leurs cônes recteuis ont pour équation : 

, o . * 1^ Y / * .5 T / ' 



a = C - B , a' = C - B' , 

,•; = A — C . y =z A' — C , 
Y = B — A . Y = B' — A' . 

Ajoutons membre à membre les équations (1), il vient: 

(3| (A + A').,-' -f IB + B'ir^ + (C + C) -^^ = 2 , 

ce qui représente une quadrique ayant les mêmes plans princi- 
paux que les deux premières, et passant par leur intersection. 

Dautre part, multiplions membre à membre les équations i2^. 
il vient : 

(4) .,-^+^' . ^^+>' . ."+■' = H' . 

Ccst l'équation d'un cône recteur de la quadritpie (3). En efï'et, 
en posant 

A + A' = cl . 

B + B' = Ôh , 

C + C = e . 

on aura 

7. + a' = C? - Ôh , 

^^ + y^ tX-e . 
Y + y' z= (.»3 - cl . 

On <,fénéralisei'ait f'acilemenl, et l'on vcirail (|ue si l'on donne 
/i quadriques ayant mêmes plans principaux : 

/ A,.r' + B,v* + C,-J = l , 
( A„.r- 4- Bn}- + (:«:' — I , 



112 F HITAVAM) 

dont les cônes recteuis sont lespectivement : 

a v ^' , 



la quadrique 



X^n yi'n z'ii :r= k,, 

a pour cônes recteurs • 
c'est-à-dire. 



Il '''•. ï" 



En résumé, on peut dire par al)réviation que le j)roduit des cônes 
recteurs est cône recteur de la somme des quadriques. On peut 
encore exprimer ceci en un lan^aoe symbolique en disant que la 
(juatlrique est le logarithme du recteur. 

(i. Les rectrices et la représentation des phénomènes. .— Nous 
avons rencontré les rectrices dans un certain nombre de faits très 
divers. On a vu que les phénomènes représentés par des hyper- 
boles équilatères ou des paraboles, se rattachent à la considération 
des rectrices. Tels sont par exemple : l'évolution isothermique ou 
adiabatique dune masse gazeuse, la loi moyenne de variation de 
l'absorption cathodique et du rayonnement secondaire, etc — 

D'autre part on constate aisément que le tracé même d'une rec- 
trice obéit à la loi du moindre effort momentané, c'est-à-dire du 
maximum delTet — soit du chemin parcouru vers le pôle — pour 
le minimum de travail — soit de résistance passive à vaincre. 

Nous venons de mettre en évidence une autre propriété des rec- 
trices. qu'il convient de rapprocher des considérations par les- 
quelles on est amené à exprimer que les causes peuvent être con- 
sidérées comme les logarithmes des effets. 

Admettons que, soit comme symbole, soit par la nature même, 
le tracé d'une rectrice représente un phénomène ou un fait. 

11 est bien clair que la cause correspondra aux deux liaisons 
qui commandent le mobile: la surface et le point fixe. Quant à 
l'efTet, il est évidemment représenté par la courbe tracée, ou si 
l'on veut, parle cône recteur. Et alors la relation géométrique que 
nous avons trouvée dans le cas d'une quadrique devient en quel- 
que sorte la forme représentative concrète de l'aphorisme général 
rappelé ci-dessus. 

Ce qui précède explique pourquoi la considération des rectrices 
est apte à intervenir dans la représentation des phénomènes, et 



G !■: () Mr. T n I E l> ii rs /Q U E 1 1:; 

il no sera pas toiijfuirs inutile d'y avoii- lecouis. Il se ((('•i^a'^c 
(Tailleurs de ce qui précède, ce tait que les phénomènes simples 
et fondamentaux corresjjondent en oénéral au cas des rectrices 
de quadriques. 

On ne doit pas être suipris du rôle ainsi jou(' par les quadiiques 
à centre, et notamment par lellipsoïde. On trouve bien cette sur- 
face dans l'étude des ph('n()m«'nes élastiques autour d'un point : 
on considère les ellipsoïdes des dilatations et d'élasticité, (^ette 
dernière surface, par une transformation connue donne lasui-face 
de l'onde qu'on retrouve dans la théorie des biaxes. 

7. La dualité géométrique et les rectrices. — La dualité, cjui. 
par la considérai ion des polaires lécipiocpics fait correspondre 
un point a un j)lan et inversement, n'est pas seulement une con- 
ception abstraite; elle n'est pas inapte à intervenir dans les 
sciences de la matière. Ainsi, à l'œil, organe assimilable à un 
point, et destiné à scruter la matière et notamment les surfaces 
({ui délinissent celle-ci, correspond un organe plan d'un usage 
différent, mais utile au même but, et destiné à compléter le pré- 
cédent. Cet organe plan dont le rôle est dit tactile, est constitué 
par la main, et il est l'apanage des êtres supérieurs comme 
l'homme et les anthropoïdes. Kux seuls possèdent des organes 
du tact d'une étendue suffisante pour être considérés comme des 
plans, ou des assemblages de plans permettant un degré con- 
sidérable dans la perfection du sens du toucher. 

Transfoimons par polaires réciproques le représentatif rectoriel 
d'un phénomène à quadrique centrée au pôle. A la quadrique 
correspond une autre quadrique qui est apte à représenter une 
cause. Quant à l'efTet, qui était représenté par un cône rec- 
teur, il sera représenté par la développable circonscrite à la qua- 
drique et dont le cône asymptote est le cône complémentaire du 
précédent, c'est-à-dire en somme par le cône complémentaire lui- 
même. Il est d'ailleurs facile de montrer que ce cône complémen- 
taire est aussi un cône. recteur de la première quadrique. 

VA^ elTet. soit if^f/n'a un point du cône recteur 



La normale par le sommet du cône au plan langent suivant la 
génératrice du point .v^?j^z„ a pour équations : 



.*vr _ .Vo2' 

a ,'i 



on en déduit 



©'©^17=^ 



114 F. li UTA VA NI) 

comme a -\- ^ -\- y ^= . on a : 



^ .'^ T ^ '^ r,3 



ce qui représente bien un cône recteur de la première quadrique. 
I.a puissance de ce cône est : 



)['::z.ia^r;^T 



IV Y 



Soit .^^ //, " le poiîit de la quadrique correspondant à .r^t/^Zç,, 
on aura : 

/■ == .r* v.'^ -J 

• 



/■' = .r"" y? -S! 
1 ■ 1 1 



tloù : 



k/,' = u,.r^\ . {r,y/ . u-o-,'' = ^ ■ y ■ ^ 



T _ ,« o,i • Y 



Nous avons à peine besoin de faire remarquer que .<•„ // ^ c„. 
.f, y, ^,, sont les sommets de la section centrale qu'ils déter- 
minent dans la quadiique. 

En résumé, on voit que l'effet, représenté par un cône recteui- 
correspond dans la transformation par dualité à un autre cône 
recteur de la même quadrique. 

Sans chercher à généraliser, nous ferons observer que la sur- 
face de l'onde a jîour cônes recteuis des cônes du second ordre 
qui, par dualité, donnent d'autres cônes du second ordre. Aussi 
bien la surface de l'onde, par polaires réciproques, donne-t-elle 
une autre surface de l'onde. 

<S. La matière élastique et le complexe du second ordre. — On 
définit en résistance des matériaux une surface dite ellij)soïde 
inverse d'élasticité en chacjue point d un solide. Passant à la 
limite pour létude autour d un même |)oint, on peut considérer 
seulement le cône asymptote — imaginaire en l'espèce — de 
cette surface. Un solide apparail donccomme «neportion d'espace 
caractérisée en chac|ue point pai- un cône du second ordre. C'est 
précisément là la dcHinilion d'un complexe. 

(^onsidé'ions, dans un comj)lexe, la séparation entre les j)oints 
où le cône est réel et ceux où il est imaginaire. A cette conception 
correspond la limite — une surface en général — entre la niatièie 
réelle et la matière non réalisable. Comme cas particulier, en- 
visageons le cas de la suiface de l'onde. F>e complexe des droites 
capables d'un dièdre rectangle circonscrit à un ellipsoïde donne 
possède en chaque point un cône du second <)rdre. I>a surface qui 



r; /■• (> M ETUI i: p ii y s / <> un 1 1 

sépare clans ce cas les deux i'('t;i<>ns dcliiiies ci-dessus est précisé- 
ment une surface de Tonde. 

Kn un point d'un ellipsoïde E passent deux autres quadricpies 
(fui lui sont homofocales : un hypeiboloïde à deux nappes et une 
surface gauche du second ordre : II 2 et II , . On sait que les axes 
du cône du complexe au point considéré sont les normales aux 
trois quadri([ues E, H,, 11.^. 1/arète du cône dégénéré en deux 
plans en cliaque point de la surface de l'onde est normale à celle- 
ci. Les deux autres axes du cône sont dans le plan tangent à celle- 
ci ; ils sont précisément tangents, l'un à la rectrice. l'autre à la 
sphérique en ce point. 

On sait d'autre part que la surface de l'onde peut être définie 
comme le lieu de la quartique intersection des deux quadriques 
liomofocales dont les paramèties sont égaux, mais de signe con- 
traire, l'une des cjuadriques étant toujours un ellipsoïde E. Si à 
K on associe la surface gauche H, on obtient la nappe intérieure 
de la surface de Tonde. Avec Thyperboloïde à deux nappes H^ on 
obtient la nappe extérieure. 

Les cônes ayant pour sommet le centre et pour directrices ces 
([uartiques sont du second ordre. Ce sont précisément les cônes 
recteurs pour une nappe et sphériques poui- l'autre. 

Dans le cas d'un milieu isotrope, le cône est en tous les points 
constitué par une sphère-point. Dans le cas d'un uniaxe, l'ellip- 
soïde inverse des élasticités est de révolution. Le cône imaginaire 
est donc de révolution. Dans le cas d'un biaxe, le cône est a trois 
axes inégaux; il a dailleurs même orientation et mêmes dimen- 
sions en tous les points. Les corps hétérogènes ont en chaque 
point un cône dont l'orientation et les dimensions varient avec 
les coordonnées du point. 

9. Les lignes de rupture. — Admettons que les coefFicients de 
l'équation du c<~»ne varient non seulement avec les coordonnées du 
sommet, mais dépendent en outre d'une quatiième variable, le 
temps par exemple. Le cône d'abord imaginaire pourra devenir 
réel, à ce moment la matière ne sera plus stable : elle tendra à 
se diviser suivant les génératrices d'un cône. Si Ton considère 
dans le solide, une surface, celle qui le limite, par exemple, elle 
va se fendiller suivant des directions régulières. Dans le cas d'une 
variation lente ce seront les directions des génératrices de con- 
tact du cône avec la surface elle-même en chaque point. Il y aura 
donc en chaque point une direction de rupture. Si au contraire 
la variation est très i-apide, instantanc'e par exemple, poui- arriver 
à un cône réel, en chaque point il y aura deux directions de rup- 
ture qui seront les intersections du cône avec le plan tangent ii 
la surface. 

Supposons maintenant quil s'agisse d'un milieu isotrope, el 
que la modification du cône du complexe résulte de l'action 



116 F. Rr JAVA NI) 

exercée par un ébraiilenuMit cmaiio d un point fixe du solide. Kn 
chaque point, par symétrie, le cône primitivement isotrope va 
devenir un cône imaginaire, puis réel, mais toujours de révolution 
autoui- du recteur allant de l'origine au sommet. Quand, en un 
des points de la surface du solide le cône sera devenu tangent à 
celle-ci, la génératrice de contact sera la tangente à la i-ectrice 
en ce point. On en conclut que la rupture pi'ogressive de la sur- 
face aui-a lieu suivant les rectrices. 

Si, au contraire, la rupture est instantanée, comme dans le cas 
d'une explosion, il y a deux directions de rupture en cliaque point, 
avec la lectrice et la sphérique pour bissectrices. 

Considérons un solide en forme de cône de révolution ; ad- 
mettons que lébranlement provienne de son sommet et qu'il se 
transmette instantanément avec la même intensité à toute distance : 
les lignes de rupture seront les trajectoires homogonales des géné- 
ratrices, ce sont des hélices coniques, courbes que l'on trouve 
dans l'étude du mouvement dun corpuscule négatif dans un champ 
d un seul pôle sud. et qui sont au surplus des géodésiques du cône. 

Si, comme surface, on prend un plan passant par le centre 
d'ébranlement, on voit que les lignes de rupture feront des angles 
égaux avec les rayons recteurs, ce seront donc des spirale-s loga- 
rithmiques, (le résultat est bien connu, et on le vérifie expéri- 
mentalement dans les sections transversales des bouches à feu. 

La détermination des lignes de rupture instantanée donne lieu 
à une foule de problèmes de géométrie. Le cas d'une sphère est 
particulièrement intéressant en considérant une section telle que 
les cônes soient circulaiies, égaux et parallèles entre eux l'cas 
d'une extension . On voit que les lignes de rupture font en chaque 
point un angle constant avec une diiection fixe. Ce sont les tra- 
jectoires que suivrait un navire dont l'axe ferait un angle constant 
avec la direction du pôle. On montre facilement que la projection 
de ces courbes sur le plan perpendiculaire à la direction des axes 
est une épicycloïde. On peut ainsi trouver sur une carte en pro- 
jection équatoriale l'angle polaire ii observer pour atteindre un 
point connu en partant d un point donné. 

L'épicycloïde a pour cercle générateur un cercle de rayon égal à 
K (1 — cos , R étant le rayon de la sphère et le demi-angle au 
sommet du cône ; ce cercle l'oule sur un cercle dont le rayon est 
11 cos 9. Toutes les courbes sont extérieures à ce dernier cercle. 

Ln autre cas intéi-essant est celui où les cônes ont des axes nor- 
tnaux à un diamètre fixe qu'ils rencontrent. On voit que dans ce 
cas, au contraire, toutes les courbes sont à l'intérieur du cercle 
de rayon R sin 9. Kn projection sur un plan parallèle aux axes, 
ces courbes sont des spirales dont on trouverait facilement l'équa- 
tion diUéientielle. h]lles sont, dans une certaine mesure, léalisées 
pratifpiemenl :i la surface des billes de billaid qui sont tournées 



G E O M E TH I E P H Y S I O [' E 117 

sur Taxe mémo dune défense en ivoire. Ou les apert.v()it assez 
nettement. Leur présence est due à ce que l'ivoire est constitue 
par des couches cylintlricjues alternées, couches (jui, à un moment 
donné tout au moins, ont eu des résistances dillerentes, et qui se 
sont moulées successivement les unes contre les autres. Le milieu 
n'est donc pas isotrope, et à un moment donné la résistance 
langenlielle étant de sens contraire à la résistance radiale le 
cône est devenu rc'ol, des fissures se sont établies et colmatées. 

10. La rectrice chimique. — On sait que le produit du poids 
atomique d'un corps par sa chaleur spécifique à l'état solide oii^ 
liquide est une quantité sensiblement constante et égale à 6,38. 
fait qui constitue la loi de Dulong et Petit. Cette loi est traduite 
par une hyperbole écpiilatère, qui est comme nous lavons vu. la 
projection dune rectrice de cylindre du second ordi.e. 

Si les poids atomiques sont comptés suivant O.r, et les chaleuis 
spécifiques suivant O//, 1 équation du cylindre est : 



.v^ + ^ - 1 

et le plan z =: \/ 2 est coupé par les cônes recteurs suivant des 
hyperboles équilatères. 

Considérons la rectrice correspondant à .i// = (i,.38 :=: k. 

Soit a. j5. y= V 2, un point de Ihyperbole. Joignons-le ;i l'ori- 
gine. Le rayon vecteur de la rectrice est : 

p = \/x- +- V- -I- :;- 



don 



a .3 |/2 

= ^(^' + ?' + 2| 



-' = v^ 



et 



par suite : 



3^ + 1 






118 F. fil TA VAN n 

of comnio rx^ = /•. on a on définitive : 



ill 



■:' = 1 + 



a' + 1 

avec A- = 6,38 , ou A"-' = 40 . 

L'équation représente une courbe en q. a du 4""" ordre, symé- 
trifjue par rapport à cliacun des axes de coordonnées. Nous la con- 
sidérerons seulement dans l'angle :v o y. Elle a j^onr asynipt()le 
la bissectrice des axes, .r :=: //. En efTet, on vérifie facilement (jue 
Q — « tend vers zér(> ((uand « aui^niente indéfiniment. 

Examinons maintenant le tableau de MendeleïefV. La série 
des poids atomiques des corps d'une même famille a des diffé- 
rences premières qui, au début de 15 montent à 2ô .environ pour 
redescendre et paraître se fixer autour de 20 ou 22. 

Prenons par exemple la famille du Sodium : 



H = 1 , Li = 7 , Na = 23 , Iv = 39.2 , 

Rb = 85,5 , Ag = 108 etc. 



Cil = (i3,3 



Poi'tons en abscisse des longueuis en progression arithmétique 
et en ordonnées lespoidsatomicjues. Nous obtenons ainsi des points 
qui dessinent une courbe présentant une analogie frappante avec 
la courbe en ç, a. Dans léquation llj donnons à a des valeurs en 
progression arithmétique avec la raison 20. On o])tient les valeurs 
suivantes de o, ifig. 1) : 



H=i 



: M 

'^ 



x=y 
/ 


108 


a 


20 
40 


P 
1 

6,1 
21,4 


H = 1 
Li = 7 
Na = 23 


/C3.;Cu=63.3 j 




60 


40,9 


K = 39,3 


A^àz \ \ 




80 


63 


Cu = 63,3 


■Na=Z3/; ; : i 




100 


84,6 


Rb = 85,3 


yi\A i i i ■ 




120 


106 


Ag = 108 


,1..L _..-'. l^..J '- ..^ 











Si nousconsidérons que « est proportionnel au rang, et si nous 
laissons de côté la consid<''i-ation d(; la chaleur spécifique nous 
voyons que le poids atomique est le rayon vecteur d'un point de 
la rectrice K= 0.38 et que l'abscisse de la projection centrale de 
ce point sur le plan r. =: VU est le rang du corps, (fig. 2.i 



C. E O M ETUI E P II Y s I <) LE 



iiy 



Les ooi'ps des autres familles se placent par interpolation de 
luiitièine en luiitiènie. On donnera à « les valeurs suivantes : 



• iliiriiiitiiM a + - 2(1 



lîore . 


X + 


7^ -^' 


(Carbone . 


2 + 


^20 

S 


A /.Ole. 


« 4- 


'-■lu 



OxvsLiif . a + — 20 



Fliioi 



^20 

8 




Xeon . 



20 



Fig2. 



en faisant a = o on obtient des corps entre l'hydrogène et le li- 
thium. Ces corps ne sont pas connus,, sauf un seul, Ihélium, ho- 
mologue inférieur du néon. Son poids atomique est donné par la 
formule 

+ I 



! + 7.» 



a* + /' 



où il faut faire « = ^ 20 . 

on obtient q =4, .5. I/expérience donne pour le poids atomique de 
Ihélium la valeur 4. 1/insertion de ce corps sur la courbe se fait 
donc dans des conditions d'approximation compaiables :i celles 
des autres corps. 

Il La loi cissoïdale atomique. — La formule 



, _ «^ + >' + 2 



peut s'écrire 



P^=3r— i+H-^ 



f + 1 



à partir de ç = 10. les deux derniers termes représentent moin; 
♦le 2" f, de ç 1 Va\ les négligeant on aura : 



/a^ -f i? 



1-20 



F. liUTA VA NI) 



Cette expression représente- précisément le rayon vecteur dune 
cissoïde droite, émanant du point de rebroussement, et déter- 
minant sur lasymptote. à partir de l'axe de symétrie, une longueur 
égale à «. 

La distance du point de rebroussement à l'asymptote est ().'i.<S, 
t'orrespondant au poids atomicpie du cuivre ()3.<S). 

Si l'on désigne par N le rang du corps (le lithium étant pris 
avec le n" 1) on voit que le poids atomique est donné approxima- 
tivement par la formule suivante : 



A z= 20 . N'IN" +10) 2 . 

La figure o traduit cette formule. 
On améliore d'ailleurs celle-ci en ajoutant 
terme 1 : 

A = 1 + 20 



ou restituant — le 



(2) 



• 200 

iAu = 
;i80 



160 



197 




20 



^iV + 10 

La courbe correspondante devient 
alors une cissoïde légèrement défor- 
mée par transformation conchoïdale. 
La vérification de cette formule est 
assez satisfaisante, — sauf pour le 
potassium — ainsi qu'il résulte du 
tableau suivant : 



' l.' 


Eléments. 


Rang. 


A Ciilculé. 


A 


/'l -^ * 


H 





1 


1 


'hjm 


Li 
Na 


1 

2 


22,4 


2a 


/ :ioo 
ikg'-ios 

7 / ' 


K 

Cu 
Rb 


'S 
4 
5 


42,2 
64.8 
85,4 


39,3 
63,3 

85,2 


// ;80 


Ag 


fi 


107,6 


108 


,/Rb,='8^.5 








.... 


// J60 


Au 


10 


iy2 


197 


M'joi;3ii ■ 










l40 











Nous avons à peine besoin d'ajou- 
ter que la loi cissoïdale traduite par 
la formule (2) doit être considérée 
comme essentiellement empirique. 

F. BuTAVAxn (Alger). 



Fijï. 3. 



LES FlGlTiES COLLINEAIRES 

lUn chapitre de géométrie élémentaire.} 



Hn nous plaçant au point de vue de la géométrie élémentaire, 
nous appellerons figures collinéaires deux figures planes situées 
dans le même plan ou dans des plans différents, et telles qu'à 
chaque droite de l'une corresponde une droite de l'autre, et à 
chaque point de lune, un point de l'autre. 

Les figures collinéaires élémentaires donnent lieu aux théo- 
rèmes dnalistiqiies suivants : 



T. Quand les points de coupe des 
côtés homologues de deux triangles 
collinéaires, non situés dans le même 
plan, sont sur une même droite, les 
lignes de jonction des sommets ho- 
mologues passent par un même point. 

Les points de coupe a, |j, y des 
côtés BC et hc . CA et ca, puis AB 
et ah étant sur la même droite, celle- 
ci sera évidemment 1 intersection des 
deux plans ABC et ahc. 

D'autre part AB et ah, BC cl hc , 
puis CA et ca forment aLors trois 
plans qui se coupent en uu point S. 
Les intersections Aa, Bt et Cf pas- 
seront t'orcément par ce point S el 
le théorème est démontre''. 



II. Quand les lignes de jonction 
des sommets homologues de deux 
triangles collinéaires, non situés 
dans le même plan, passent par un 
même point, les points de coupe des 
côtés homologues sont situés sur une 
même droite. 

Les den.K triangles collinéaires 
ABC el ahc auront leurs sommets 
situés deux à deu.x sur les arêtes 
d'une pyramide triangulaire el ap- 
paraîtront comme sections jjlanes de 
celles-ci. 

Les lignes AB et ah sont dans le 
même plan, donc elles se couperont : 
il en sera de même avec BC el hc. 
puis avec CA et ta. 

Les points de coupe -'• * et ,j de 
ces diverses droites seront situés 
sur l'intersection des plans ABC et 
abc. Ils seront doue sur la même 
droite, et le théorème est démontré. 

La droite a|iy s appelle IV/.»e de collinéation el le point S, le centre de col- 
linéation des (igures. 

iVoir la lig. 1 en considérant la pyramide S|ABC|. i 



III. Quand les points de coupe 
des droites homologues de deux po- 

I.'Enspifrnonieiit niathi-ni., \\' iinmt; ; 11112 



IV. Quand les lignes de /onction 
des points homologues de deu.r po- 



122 



C R i: LIE H 



Irgones plans collinéaires. non situes 
dans le même plan, sont sur une 
même droite, les lignes de jonction 
des sommets homologues passent par 
un même point. 

Les jîoiiits do couj)e des cùlés lio- 
niologiies élant sur la même droite, 
celle-ci sera évideinmevit 1 intersec- 
lion des plans des deux polygones. 
D'après le théorème I, les Irianiçles 
ABC et aie donnent un poini S 
comme point de coupe des droiles 
Aa, B/.» et Ce. Les triangles BCD 
et hcd donneront également le même 
|>oint de coupe S' pour les trois droites 
BA. Ce et Dt/. Les points S et S' se- 
ront confondus comme se trouvant :i 
lintersection des droites BA et Ce. 
La ligne de jonction De? d une qua- 
trième paire de sommets homologues 
passe par le même point que celles 
des trois premières. Il en sera de 
même pour toute autre ligne de Jonc- 
lion de deux points homologues et 
le tliéorème esl démontré. 



Ivgones plans cullincaires. non situés 
dans le même plan, passent par le 
même point, les points de coupe des 
cotés homologues sont situés sui' une 
même droite. 

Les deux polygones collinéaires 
ayant leurs sommets situés deux à 
deux sur les arêtes d'une pyramide 
S(ABCD...), ils apparaîtront comme 
sections planes de celle-ci. 

Il suffira de répétei- le raisonne- 
ment du théorème II. pour chaque 
paire de côtés homologues et nous 
trouverons que leurs j)oints de coupe 
seront sur rinlersection des plans 
des polygones donnés; ils seront 
donc situés sur une même droite. 



afjyô s appelle toujours l a.re de colUnéation et S le centre de cotlinéafion. 
(Voir la fîg. 1 en considérant la pyramide S[ABCD].) 




y 



/•' I'; r n h s, c o i.r.i n f: a i k k s \ iw 

V. Quand 1rs points de coupe des VI. Quand les lignes de jonction 

côtés lioniologues de deux triangles des sommets homologues de deu.i 

collinéaires. situés dans le même triangles collinéaires situés dans le 

plan, sont sur une même droite, les même plan passent par an même 

lignes de jonction des sommets ho- point, [es points de coupe des côtés 

mologues passent par un même point . homologues sont situés sur une même 

droit". 

Nous considérerons les li-ianf^lcs Nous considérons U-s trianylcs 

collinéaires ABC et ahc, puis la droite collinéaires ABC el ahc. puis le centre 
ajiy. Soient ensuite . S. Soient ensuite : 

Blr; coupé par Art en S sur B/> B/^y coupé p;ii' Aa en S sur Bh 

Bhx .. .. C? » S' .. m Bhy. „ .. (î'c » S .. B^ 

el nous appliquerons le théorème Le point S esi conunun aux deux 

bien connu de Ménélaiis. On a : transversales. 

Nous appli(|iierons ensuite le théo- 

^^ ^ _ *_lË '11 ^ rème de Ménélaos. Nous obtenons : 

Ar ah SB ^ Ca ch ' S'B 

S/; AB «Y _ SA CB m. 
Nous prenons ensuite les Iriauiifles : SB Ay ' ah SB Ca " cl) 

yaA coupé par ac eu ^J sur av D'où • ^H. ' ^ 

Ar al) Ca ch 



fiB » » AC " |i » ay 



Nous prenons ensuite les I riani^les 



Le |)oinl ji est commun aux deux 

iransv.rsales. On trouve : ,,,/^ ,.^„j,. j,^,,, ^^. ^,, . ^,,,. - 

,'ia «Y cA |ia Ay CB ysB » » AC « f:' » av 

;i'"' ^ ■ ^ ■" ^ ■ ÂB C^ 

' ' Nous aurons ei;alenienl : 

^, . 7.-; AB CB cy. r. / - A /p 

D on ; — ' . — = — — . — [îa a-; ch -j % Ay CB 



al) A Y Ca c/> 



fv ■ rt/y ca 3'" ■ AB ■ Ca 



,.| CI, (in ! ^3 '-^ . • l'u lenani coinpie du résullal précé- 

^î^ ^'*^ dent, il resle. 

Donc S est confondu avec S' el fia -'^ 

les trois rayons A« . B/< el Cf sont fv,, ~~ o'„ • 

conconi-aiils en S. 

Donc [b et ,j' sont conrondns sur 
ay. autrement dit. les trois points de 
coupe sont sur une même droite. 

l\'oir la lij;. 2 en considérant plus sp(''cialement les Irianti^les ABtl el ahc.\ 

Les tiiaiioles AB(1 cl abc .soul aussi a|)|)('l<'s triaiif^lcs hoinolo- 
i^iqncs (lo De.sarfrnes. 

()ii troiiM'ia mic dcnionsl rat ion de <-cs inènics I licoicmcs paf 



124 



L. LUE LIER 



l'emploi tlii rapport atiluirinoiiiqiie dans Rouché et Combehoissi:, 
Traité de (ièomètrie, 2' édition tome 1, p. 335). 

Une démonstration analogue à celle que nous donnons se trouve 
dans un travail très intéressant sur lequel nous reviendrons en- 
core : A. Bexteh, Ueber die ehenen ScJinitte der Strahlenflâchen, 

Comme précédemment, nous appellerons S le centre de colli- 
néation et a^y \a,ve de collinéation. 



VII. Quand les points de coupe 
des droites homologues de deux po- 
lygones collinéaires, situés dans le 
même plan, sont sur une même droite, 
les lignes de jonction des sommets 
homologues passent par le même 
point. 

Trois paires de sommets homo- 
logues quelconques, ABC et ahc dé- 
terminent un centre de collinéation 
commun aux rayons Aa , B/> et Ce. 

Toute quatrième paire comme Dd 
peut être liée à deux des précédentes 
Art et Bb. Elle détermine également 
avec celles-ci un centre de collinéa- 
tion situé sur Art et B^, donc con- 
fondu avec le précédent. 

La ligne de jonction des éléments 
d une quatrième paire de points ho- 
mologues passe ainsi par le même 
point que celles des trois premières 
paires. Le raisonnement subsistant 
pour toute autre paire de points ho- 
mologues, le théorème est démontré. 



VIII. Quand les lignes de jonction 
des points homologues de deux po- 
lygones collinéaires, situés dans le 
même plan, passent par le même 
point, les points de coupe des côtés 
homologues sont situés sur une même 
droite. 

Les deux triangles collinéaires 
ABC et rt^c détei'minent évidemmeut 
un axe de collinéation a^jv. 

Avec une quatrième paire de points 
homologues, comme D et d, nous 
pouvons considérer DB qui coupe 
AC en M et db qui coupe ac en m. 
I^es points M et m deviennent des 
points homologues, le rayon Mm 
passe par le centre de collinéa- 
tion et les triangles DCM et dcm 
sont collinéaires. Ils eutraîneut un 
axe de collinéation a|îô ayant deux 
points communs avec le précédent. 
Donc ces axes sont confondus. Le 
raisonnement subsiste pour toutes 
les droites homologues passant par 
D et d. Donc le théorème est dé- 
montré. 



(Voir là fig. 2 eu considérant les polygones ABCD et ahcd.) 
Les théorèmes qui précèdeut se i-amènent ainsi aux deux théorèmes gé- 
néraux suivants : 



IX. Quand les points de coupe des 
droites homologues de deux poly- 
gones plans collinéaires, situés dans 
le même plan ou dans des plans dif- 
férents, sont sur une même droite, les 
lignes de jonction des points homo- 
logues passent par le même centre. 



X. Quand les lignes de /onction 
des points homologues de deux po- 
lygones plans collinéaires situés dans 
le même plan ou dans des plans dif- 
férents, passent par un même centre, 
les points de coupe des côtés homo- 
logues sont sur une même droite. 



Ainsi donc, d'une manière générale, l'existence de ïaxe de collinéation 
entraille celle du centre de collinéation et vice versa. 



FIGURES COU. IN ÉMUES 



125 



Remarques. — 1. Dans les théorèmes V et VI, nous avons pré- 
féré la démonstration par le théorème de Ménélaiis à celle par 
les rapports anharmoniques, parce que nous nous plaçons au 
point de vue de la géométrie élémentaire et de l'enseiijnement 
moyen. I.e théorème de Ménélaiis peut être développé sans éten- 




Fig. 2. 



dre trop loin le champ d'activité prévu, tandis que l'emploi du 
rapport anharmonique conduit déjà dans la oéométrie supérieure. 
II. Les figures collinéaires que nous venons d'étudiei- constituent 
un cas spécial de celles que nous avons définies au début, étant 
donné la propriété particulière qui les caractérise. Elles forment 



J-*») A. nu: lu: H 

une collinèatioii centidlc ou une /io/fiulof(ie, au liou diiiu' colli- 
ut-aliou simple. 

Eu Suisse, nous adniettous couiainment la dénoniinaliou tle 

eollinéation centrale d'après Mœbils et Fiedler, mais il serait 

tout aussi exact d'aj)peler ces fiyures. des figures homologiques 

d'après Po.NCELET et Ciiasles. A ce sujet, on peut i-onsullcr : 

r. Rkvi:, l'iL'onietn'e der Luge tome 111. p. 2 . 

Axes secondaires de la eollinéation.. — Soit Px sur BD et X=c 
sur AB. les points homologues p et n de la deuxième figure seront 
sur .S/? Il BD, puis sur S/i || AB. Ils seront en outre sur les lignes 
homologues hd et ah. 

Nous trouvons ainsi une droite pn de la deuxième figure (jui est 
riiomologue de la droite F* X» ou de la droite de l'infini de la 
première figure. Px Xx coupant l'axe de eollinéation à l'infini, il en 
sei'a de même tle pn. La droite pn s'appelle un axe secondaire de 
la eollinéation. 

D'autre part, considérons /« sur ah et A* sur hd. Les points ho- 
mologues de l'autre figure sont L et K sur SL || ah et SK || hd. 

C>es points sont en outre sur les lignes homologues AB et BD. 
Xous obtenons la droite LK de la figure ABC, qui est l'homologue 
de la droite de l'infini /^Ax dans la figuie ahc. LK est parallèle à 
l'axe de eollinéation. puisque son homologue /«A» rencontre cet 
axe à l'infini. LK s'appelle également un axe secondaire de eolli- 
néation. 

Leti axes secondaires de deii.v figures formant une eollinéation 
centrale, sont les droites de chaque figure correspondant à la droite 
de l'infini de Vautre figure. Ces a.ves sont parallèles ii l'a.ve princi- 
pal de eollinéation. Voir fig. 2.) 

Cas spéciaux de la eollinéation centrale. 

J. Les figures affines. Xous avons ici le cas oii le centre de 
eollinéation est à l'infini, autrement dit les lignes de jonction 
des points homologues de deux figures affines sont parallèles. 

l'.xeinples : Les diverses sections phines d un prisme on d'un cylindre ; 
les deux projections orthogonales dune litijure plane ; le rabatlcnicnt d un 
polygone plan et la |)rojection de même nom. 

Si les lignes de jonction des points homologues sont également 
perpendiculaires à l'axe de eollinéation, qui prend ici le nom 
A'a.ve d'affinité, la propriété des figures ainsi apparentées prend 
le nom d'affinité orthogonale. 

Rapport d'affinité : Dans les figures formant une affinité ortho- 
gonale, le rapport des distances de deux points homologues à 
l'axe d'affinité est constant. 



FIC.LHllS COI.I.l N HA lUES 127 

2. Les fii^urcs honiollu'tiqnrs. Xoiis appellerons ainsi les (ii(iires 
tliine coUinéalion (.-entrale dans la<int'lle les lii>iies h<)inol()i>ues 
sont parallt'les. AiitrcMncnl, clans les (ii^uies honiolliéliques, Taxe 
de collinéation est rejeté à liiilini. 

Kx«'n)j)les : Los s<M'lioiis planes parallèles d une pyramiMe ou d un cùiie et 
leurs pi'ojeclioiis sur nu uièute plan. 

liiipport dlioinolhi'lie : (hiand deux ligures sont hornolhéti- 
qnes, les distances de deux points homologues au centre de col- 
linéation ou (riioniothétie forment un rapport constant. 

.■>. Les figures égales et semhlnhlement disposées. Ce sera le cas 
des fiouies collinéaires centrales, dans lesquelles le centre de col- 
linéation et Taxe de collinéation seront à Finfiui. 

ICxeuiples : Les sections planes parallèles diiu piisnie ou dun cylindre 
et leurs |)cojections sur un même plan. 

Pour ces cas spéciaux, on consultera avec intérêt : Rouché et 
(^o.MUKiîoissi;, Traité de (îéoniétrie (t. 1, p. 252); Grossmanx, Dar- 
slellende (leonietrie fp. 15, 42, 43, 51;; Bextei.i, Ueber die ebenen 
Schnitte der Strahlenfldchen. Dans ce dernier travail, les sections 
planes des corps simples sont spécialement développées en tenant 
c«)mpte de la collinéation. 

Applications des figures collinéaires à la Géométrie descriptive. 

Problème 1. — - Ktant donné une ligure plane et trois points 
d'une autre figure collinéaire avec la piemiérc, déterminer com- 
plètement la seconde figure. 

Problème ?. — Etant donné la |)rojection horizontale d'un po- 
lygone plan et trois sommets de la projection verticale du même 
polygone, tiétermincr complètement cette deuxième projection 
par la collinéation . 

Problème -i. — Rtant donné les deux j)rojections d'une figure 
plane, déterminer le rabattement de cette figure. lOn utilisera la 
hauteur de l'un des points pour rabattre celui-ci; les autres se- 
ront ral>attus par la collinéation. 

Problèmi- ';. — Déterminer la section d'un prisme par un plan 
et rabattre cette section dans le plan de la base. 

P/oblème .'). — Déterminer la section d'une pyramiile par un 
plan et rabattre celte section dans le plan de la base. 

Problème li. — Même question avec un cylindre. 

Problème 7. — Même question avec un cône. 

Bi-.mahqih:. - Dans les quatre derniers problèmes, nous suppo- 
serons la base du cotps située dans un des plans fondatnenlaux. 

D'autre part, on peut d<''ferniiner le premier j)oint de la section 



128 



/. . C RE LIER 



comme intersection d'une droite avec un plan et rechercher en- 
suite tous les autres ])t)ints au moyen de la coUinéation. 

On peut éifalement déterminer tous les points, même le pre- 




Fig. :!. 

mier, par la coUinéation. Nous développerons la solution du pro- 
blème 5 en utilisant cette dernière méthode. Comme nous l'avons 
indiqué au début, nous sommes dans un chapitre de géométrie 



/■/(;r/{/:s co i.i.ini:a i nt: s 129 

élémentaire, et rette iiiélliotle doit être établie pai' des moyens et 
des considérations appartenant tons an domaine de la <;(''ométrie 
élémentaire. 

Nous n'utiliser(»ns donc que les propi-iétés de la eollinéation 
centrale, telles que nous les avons présentées plus haut. 

On pourra comparer notre solution avec celles données par 
MM. A. Bentkli mémoire déjii cité et \V. F'if.di.er, Die darstel- 
lende Géométrie t. 1, p. 345). La comparaison montrera (|ue nous 
avons évité tous les développements ne relevant que de la géomé- 
trie supérieure et sortant, par conséquent, du programme des- 
élèves qui nous intéressent. 

SoLiTiox or piu)BLi-:.ME 5. Nous ferons d'abord ressortir les fi- 
gures coUinéaires de ce problème voir lig. 3i : 

1. La base de la pyramide, dans le plan II et la section sont 
deux figures coUinéaires situées dans des plans différents. L'axe 
de eollinéation est la trace /, du plan sécant ; le centre de eollinéa- 
tion est le sommet de la pyramide. 

2. La base de la pyramide et la projection horizontale de la 
section considérée sont deux figures coUinéaires situées dans le 
même plan. Laxe de eollinéation est encore la trace /, ; le centre 
de eollinéation est la projection horizontale S' du sommet. 

3. La projection horizontale de la section et son rabattement 
sur le plan H sont deux figures collrnéaires situées dans le même 
plan. L'axe de eollinéation est toujours la trace t^ ; le centre de 
eollinéation est à l'infini sur la direction perpendiculaire à /,. (]es 
deux dernières figures forment ainsi une affinité orthogonale. 

4. Puisque les lignes homologues de la base de la pyramide et 
celles du rabattement de la section plane considérée se coupent 
également sur la trace t^ , ces deux figures sont coUinéaires. Elles 
sont dans le même plan. L'axe de eollinéation est aussi la trace /,. 

Nous reviendi'ons plus loin sur le centre de eollinéation. 

Nous avons encore d'autres coUinéations : entres les deux pro- 
jections de la section plane, entre la section elle-même et sa pro- 
jection horizontale, et entre la section elle-même et son rabatte- 
ment sur le plan H, mais nous ne nous occuperons pas davantage 
de celles-ci. 

Nous pouvons rechercher maintenant les ti.ies secondaires de 
ces dii>ers groupes coUinéaires. Prenons d'abord la base et la sec- 
tion : nous trouverons la ligne conjuguée de la droite de l'infini 
de la section, dans le plan II, en menant par le sommet des pa- 
rallèles aux côtés de la section; celles-ci forment un plan paral- 
lèle au plan sécant passant par le sommet; leni's intersections 
avec les côtés correspondants de la base sont sur l'intersection de 
ce plan avec le plan IL Nous trouvons ainsi le premier axe se- 
condaire q. Pour le deuxième, (pii est la droite du plan de la sec- 
tion conjuguée de la droite de riiilini du |)lan II. nous nu'nerons 



i:;n A. ciiEI.IEH 

par S dos parallèles aux cùlés de la base; elles toiiiieioiit un plan 
hoi'izoïital par le soininet et elles rencontreront les côtés corres- 
ponilants de la section sur l'intersection du plan sécant avec ce 
plan hoiizontal auxiliaire, soit sur une horizontale du plan sé- 
cant dont la projection verticale passe par S". Nous obtenons ainsi 
une tlroite de 1 espace c qui est le deuxième axe secondaire. 

En projetant horizontalement la section et le sommet de la py- 
ramide sur le plan II, les parallèles aux projections horizontales 
des côtés de la section menées par S' i-eprésenlent les parallèles 
précédentes, et elles renconti-ent encore les côtés correspondants 
de la base sur la trace q du j:»lan parallèle au plan sécant et pas- 
sant j)ar le sommet, q reste donc le premier axe secondaire de 
collinéation par rapport à la base de la pyramide et à la projec- 
tion horizontale de sa section. Les parallèles par S' aux côtés de 
la base représentent ég-alement les parallèles menées par le som- 
met dans le plan horizontal auxiliaire ; donc leurs intersections 
avec les projections des côtés de la section se trouveiont sui' la 
projection v' de c. v' i\w\ est la projection de Thorizontale précé- 
dente, devient alors le deuxième axe secondaire de la collinéation 
considérée. 

Nous avons encore à considérer les axes secondaires de la col- 
linéation formée par la base et le rabattement de la section. 

Pendant la rotation du plan sécant autoui- de /, , les côtés de la 
section sont entraînés dans le mouvement, mais leurs points de 
l'infini demeurent à l'infini. D'autre part, les points du plan de la 
base ou du plan H demeurent fixes et restent conjugués aux mêmes 
points du plan mobile. Dans ces conditions, le premier axe secon- 
daire de la collinéation reste l'axe q et le deuxième axe secondaire 
i-este V pendant tout le mouvement, pour devenir [v] lors du ra- 
battement. Le deuxième axe secondaire est donc le rabattement 
de l'axe v. 

lîecherchons maintenant le sommet de cette collinéation. Les 
parallèles aux côtés de la section menées par les points conju- 
i^iiés pris sur l'axe q sont demeurées parallèles pour toutes les 
positions du plan mobile. Elles ont dojic constamment l'orme un 
second plan parallèle au plan sécant et mené par ^. Leur point de 
coupe est donc resté dans ce plan |)our se rabattre sur le plan H 
«'Il même temps c[ue le j)lan sécant lui-même, he ventre de la col- 
linéalion dclerniini'e par Ui base de la pijranilde et le vahattement 
de la Hevlion daim le plan de la hase est doue le rabattement du 
sommet autour du premier a.ie secondaire q de la collinéation. 

Recherche de la projection a'b'. Soit AB le côté de la base. 
Sa trace horizontale vient en ^{a,b) sur /,. Son point de coupe 
Qi(7, b] avec q sei-a le conjugué du point de l'infini de ab, le côté 
correspondant de la section. S'CK^^^^ est alors une paiallèle à a'b' 
et on |)ourra donc mener a'i' par Tj^^ ,^^ paiallèlement à S'Qj^^,. 



F I ('. U Ji E S r () I. I. I \ E A I H /■: S I ;; i 

Les projections des aièles liinitent ensuite le segiueiit coiisidi'ié. 
I.e pioloiiifeinent de a'h' coupe e' en H',,,/,,- 

Le procédé est applicable à tous les autres côtés de la section, 
mais il se simplifie immédiatement pour les points suivants par 
l'emploi (le Taxe de collinéation /,. 

Recherclie dit rahitttcnient (aj(b). 11 est d'abord compris entre 
les droites SA et SB. Cette direction [a]\h\ passera par X ab) 
parallèlement à Q/^è, (S). On peut aussi chercher iR),^^, en menant 
(S; Ri^^^i par (S) parallèlement à AB. Les deux points T^^^^ et (B),^, 
déterminent alors la dii-ection .a\\b]. 

Les autres côtés du rabattement s'établissent ensuite au moyen 
de Taxe de collinéation t^. 

On obtient la p/ojection i>etticale en relevant les points comme 
' ta, è) ''i"" l'i ligne de terre et comme B'^^^^ sur la parallèle ;i la 
ligne de terre par S". 

Observation finale. — Nous avons été amené à la publication de 
ce chapitre de géométrie élémentaire par l'élaboration du Rap- 
port sur V enseignement des mathématiques dans les écoles techni- 
ques moyennes suisses^. En étudiant l'enseignement de la géomé- 
trie et de la géométrie descriptive, nous avons pu constater com- 
bien il serait avantageux de généraliser l'emploi de la collinéation 
centrale dans un grand nombre de constructions. Mais cela exige 
que la collinéation centrale puisse être piésentée d'une manière 
élémentaire, à la portée des jeunes gens n'étant pas initiés à la 
géométrie supérieure. A ce titre, le présent exposé peut avoir 
fjuelque intérêt pour les professeurs de l'enseignement moyen. 

L. (jiKi.iiiiî Bienne . 



1 l'n l'asciculo de I l(t piiges : (ieorg iS: C,.", Genève. 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 
1. — Réixion du (]AMBniD(;F, août 1912^. 

Nous avons déjà annoncé, en janvier, le programme j^énéral de 
la réunion que la Commission tiendra à Cambridoe, à l'occasion 
du 5"* Congrès international des mathématiciens i22-2(S août . 
Nous complétons ces renseignements en précisant les points sur 
lesquels porteront les discussions des questions A et B. 

Dans la première séance gé/iè/ri/e du Congrès, M. le prof F. 
Kleix, piésident de la Commission, fera un exposé d'ensemble 
des travaux. L'assemblée sera appelée à se prononcer sur la pro- 
longation du mandat de la Commission jusqu'au Congrès suivant. 

La Commission tiendra ensuite trois séances en commun avec 
la section d'enseignement du Congrès. Elles seront organisées sur 
le plan général de celles de Milan. 

f*" sÉAXCE : Présentation des trcu'aii.v des soiis-conimissions na- 
tionales. Pour chaque pays, le délégué déposera un court rapport 
écrit, destiné à faire ressortir les points caractéristiques des tra- 
vaux de sa sons-commission. L'exposé oral sera un résumé de ce 
rappoi't. 

2""' SÉANCE : L'intuition et l'expérience dans l'enseignement ma- 
thématique des Ecoles moi/ennes. — Discussion du rapport de la 
sous-commission A. 

3'"^ SÉANCE : Les mathématiques en phi/sique. Connaissances 
mathématiques utiles aux physiciens et réclamées pai' ceux-ci. — 
Discussion du rapport de la sous-cï>mmission B. 

Le Comité central a constitué deu.i sous-ccmmissians A et B. 
avec la mission d'élaliorcr un rapport préparatoire sur chacune 
des questions. Il a chargé M. le D' \V. Lietzmann iBarmen^ et M. 
le Prot.-D' C. Runge (Gœttinguej de préparer deux questionnaires 
destinés à réunir les renseignements indispensables aux rappoi"- 
teurs. On remar(|U('ra le lien tics étroit qui existe entre les ques- 
tions A et B. 

Contrairement à ce qui a été fait à Milan, le Comité central 
désignera les rappoiteurs avant le Congrès et leur transmettra en 



CHIiONKjUE 133 

temps utile les documents (jue fourniront les deux (luestionnaires. 
11 va sans dire que toute liberté sera laissée aux rapporteuis pour 
les utiliser selon leur eonvenance. 

Questionnaire A. [E.vtrait de la circulaire de M. le D' W. 
LiETZMAxx!. — Objet : L'intuition et l'expérience dans l'enseigne- 
ment mathématique des écoles moyennes. 

Délimitation du sujet. L'intuition et l'expérience jouent un rfMe 
prépondérant dans l'enseignement géométrique des écoles élé- 
mentaires et des cours complémentaires Fortbildungschule), ainsi 
que dans l'enseignement propédeutique des écoles moyennes.. 
Dans la suite, il ne sera pas (juestion de tout cela. \ous allons 
de même laisser de côté les cas multiples où l'intuition et l'expé- 
rience sont destinées à compléter ou à remplacer les développe- 
ments logiques et déductifs dans l'enseignement systématique de 
la géométrie dans le domaine des éléments d'Euclide. Nous aurons 
peut-être l'occasion, dans une séance ultérieure de la Clommission, 
d'examiner ces questions extrêmement importantes, en tenant 
compte du point de vue psychologique. Afin de bien délimiter le 
sujet, il conviendra donc à Cambridge de s'en tenir au rôle de 
l'intuition et de l'expérience dans les classes supérieures des 
écoles moyennes. 

Pour organiser les travaux préparatoires, il est désirable d'avoir 
un tableau de l'état actuel de ce qui se fait dans les différents pays. 
Nous nous permettons à cet effet de vous soumettre les C|uestions 
suivantes : 

1. Mesure et estimation des grandeurs. Dans quels établissements, 
gymnase, école réale supérieure, etc., dansquelle étendue et dans 
quelles classes (âge des élèves). 

rtj Procède-t-on à des mesures géodésiques pratiques pour les 
utiliser ensuite numériquement? 

L'sage du théodolite, de la chaîne d'arpenteur, etc. 

bi F'ait-on des observations et des mesures astronomiques avec 
des problèmes qui s'y rattachent ? 

Usages d'appareils photographi<{ues, instruments universels. 

2. Dessin et représentation graphique. Dans quels établissements, 
dans quelle étendue et dans quelles classes présente-t-on : 

aj La géométrie descriptive Projection oblique ? — Plan et 
élévation ? — Projection centiale ? — Théorie des ombres ?) 

Y a-t-il fusion entre cet enseignement et l'enseignement de la 
stéréométrie .' L'enseignement est-il donné par le maître de ma- 
thématiques ou par le maître de dessin ? 

bi I>es méthodes graphiques Représentation de fonctions sur du 
papier millimétriciue .' — Représentation des vecteurs ? — Champ 
scalaire ? — Calcul graphiipie et spécialement stati([ue graphiciue .* 
— Evaluation de surfaces à l'aide du papier millimelri(pie ou du 
plan i m être ?) 



13'i VU liON KJUE 

0. Ciilciils et i'\'nliialioiis niinièriques. 

al Calcul abrégé à l'aide de fractions décimales .' 

bl Emploi de la règle à calcul ? 

Cl Tables numériques (nombre de décimales pour le calcul loga- 
rithmique et pour les fonctions trigonométriques '.' — Kniploie-l-on 
aussi des tables de racines carrées ou de racines cubiques et des 
tables de mortalité .' — Est-ce que Ton montre à l'aide d'exemples 
comment on peut calculer les valeurs des logarithmes et des fonc- 
tions trigonométriques .' 

r/y Résolution numérique et graphi((ue des équations j)ar approxi- 
mation Règle de Xewton '.' — Régula l'^alsi ? — M(*thodes nonio- 
graphiques ? . 

Les deux publications ci-après permettent d'orienter le lecteur 
sur quelques-unes de ces questions et sur les réponses concernant 
lAllemagne : 

P. ZiHi.KF. : Der'Lnterricht ini Linearzeichnen undin der drirstel- 
lenden (ieometrie lll. Bd., Heft 3 der Abhandl.). 

B. Hoffmann : Astronoinie, \ ennessiingswesen, mathenuitische 
Géographie an den hôheren Schulen (111. Bd., Heft 4 der Abhandl. u 
actuellement sous presse. 

Adresser les réponses, avant Pâques, à M. le D' W. LiFtzMAXN. 
Sehlhofstrasse .■>9, Barmen ( Prusse! . 

Questionnaire B. Extrait de la Circulaire de M. le Prof. C. Ri :n(;i:. 
— Objet : Les inathématiqaes dans les études anii'crsitaires des 
p/ti/sicicns. 

1. Quelles sont les branches mathématiques qui appartiennent 
à un enseignement régulier destiné an physicien ? Dans la prépa- 
ration mathématique des physiciens fait-on une différence entre 
les étudiants qui .suivent une direction plutôt expérimentale et 
ceux qui suivent une voie plus théorique. 

Les professeurs de mathématiques tiennent-ils particulièrement 
compte des besoins des physiciens '.' 

^ a-t-il des cours de mathémati([ues spécialement destinés aux 
pliysiciens .' 

Dans (juelle mesure et à <juel point de vue les mathématiciens 
participent-ils aux cours ai de mécanicjue ; b) à d'autres cours et 
particulièrement à ceux qui se rattachent au domaine moderne 
de la physi(pie mathénjatique '.' 

2. .Ius(|u'à (|uel point les méthodes graphiques modernes din- 
tégration et de Homographie sont-elles répandues dans les uni- 
versités '.' 

Les étudiants en physi((ue sont-ils aj)pelés à apprendre la géo- 
métrie descriptive, le calcul numérique, la résolution numérique 
des érjuatiotis dinérenlielles et la méthode des moindres carrés '.' 

Apprennent-ils le manieiuent d'instruments mathématiiiues tels 
que la règle à calcul, la machine à calculer et les planimètres '.' 



c iinoN iQUE i:]r> 

Y a-l-il (les cours ou des oxercicos spéciaux :i cel eirci ou cet 
eiiseii^iieinent se fait-il dans les tiavaux piali<(ues do pliysique .' 

0. (hielle est rcuyaiiisatioii des exercices mathématicpies desti- 
nés aux pliysiciens. Ces exercices ont-ils lieu suivant le mode 
habituel des travaux de laboratoire. Le professeur ou ses assis- 
tants entrent-ils en i-elation personnelle avec les flifferents 
étudiants !' 

4. Quelle est votre opinion personnelle sur lOpportunite de Tor- 
ganisation actuelle de cet enseignement .' 

Avez-vous des propositions à faire au sujet d'une extension ou 
dune réduction de renseignement mathématique ou au sujet dune 
distinction des étudiants en physique en divers groupes ou encore 
j)Our ce qui concerne l'organisation de l'enseignement .' 

Adresser les réponses, avant f^à(jues. à M. le Prol. (1. Hix(;e, 
Wilhelm ^\'eberstrasse 21, Gœttingue. 

11. Soi S-CO.M.MISSIOXS XATIOXALKS. 

• Bclg;'ic|uc. — La Sous-commission belge publie le premier 
volume de ses rapports, sous le titre: «Rapports sur l'enseigne- 
ment des mathématic{ues. du dessin et du travail manuel dans 
les écoles primaires, les écoles normales primaires, les écoles 
moyennes, les athénées et les collèges belges (348 p.) » Ce volume 
comprend 4 rapports : 

1. — Rapport sur l'enseig/ienieiil des inatliématiqiies dans les écoles pri- 
maires et dans les écoles normales primaires, jjar M. Dock, iiispectoui" des 
écoles normales primaires (.31 p.). 

2. — Rapport sur l enseignement du dessin et du travail manuel dans tes 
écoles primaires, les écoles moyennes, les athénées et les collèges, par 
L. MoNTFORT. inspecteur de renseignement du dessin (155 p.l. 

'.i. — Rapport sur renseignement des mathématiques dans les écoles 
moyennes, les athénées et les collèges, par H. Ploumen. inspecteur de I en- 
seignement moyen (88 p.|. . 

'i. — Les tendances actuelles de l'enseignement mathématique en Belgique 
et leur influence sur les méthodes et les programmes, par H. Plol.mfn (67 p.l. 

Etats-Uni^. — Deux nouveaux fascicules viennent s'ajouter 
aux cinq rapports dont nous avons donné la liste dans le précé- 
dent numéro. Ce sont des études très documentées sur le> mathé- 
matiques dans l'enseignement élémentaire et dans l'enseignemenl 
secondaire. 

Comités I et II. — Mathemalirs in the l-Uenwiitary Schools of tlie l'niled 
States (185 p.l. 

Comités III et IV. — Mathematics in the Public and l'rii'alc Si-coudan 
Schools of the United States (187 p.i. 

Ces rapports sont publiés sous les iuispiccs cl p;u- les soins du l uiteil 
States Bureau of" Education à Washini^loii 



136 CUI{OM(jUE 

Hoiig'ric. — La Soiiscommission hongroise vient de publier 
les einq premiers fascicules de ses rapports. Ce sont ceux de 
MM. K. GoLDziHER, sur l'enseignement mathématique dans les 
écoles normales de l'enseignement primaire et de l'enseignement 
primaire supérieur, de M. .1. Ki rschak, sur la préparation des 
professeurs des écoles moyennes, de M. P. von Szabo, sur l'ensei- 
gnement des mathématiques au gymnase d'application pour la 
formation des professeurs des écoles moyennes, de M. G. Rados, 
sur l'organisation actuelle de l'enseignement mathématique à 
l'Ecole technique supérieure de Budapest et de M. D. Arany sur 
l'enseignement professionnel. 

Der mathematische Untenichi an den Lekrerhilditngsanstalteii. voii 

I\. GOLDZIHER (lo p.|. 

Die Aushildung der Miltelschulprofessoven. von J. Klrsciiak i20 p.). 

Der Unterricht der Mathenialik am l'ehungsg\iunasiuiu. von P. von Szabo 
(i7p.l. 

Der heidige Stand des inatheiiiatischen L'ntenichts am kiJnigUch unga- 
rischeti Josefs-Polytechnikuin iTechnisclie Hochschule in BndapestI, von 
G. Rados ( 14 p.). 

Der mathematische Unterricht an den hùheren Gewerhescliulen und ge- 
iverhlichen Fachschulen. Unter Milwirkung des Geweibesrhuldirekiors 
Aladar Banheg\i. bearbeitet von D. Akany (15 p.). 

Ces rapports sont mis en vente séparément, au prix de Fr. 0,50 le fasci- 
cule, à la Librairie Georg & G'", à Genève. Le volume complet, comprenant 
l'ensemble des rapports, se vendra 3 fr. 

Iles Britaiiiiic|ues. — l,a collection des rapports anglais 
The Teaching of Malheinatics in the United Kingdoni, édités par 
la Maison ^Vynlan <S; Sons, à Londres, vient de s'enrichir de six 
nouveaux rapports : 

N° 12. — Mathematics with relation to Engineering Wnrh in Schools. By 
Mr. T. S. UsHEKwooD |26 p.|. Price 2 d. 

>'•> 13. — 77ie Teaching of Arithnietic in Secondarv Schools. By Mr. 
G. VV. Palmer i33 p.). Price 2 ',2 d. 

Xo 14. — E.raminations for Mathematical Scholarsliips. By I)f. K. S. 
Macallay and ^L W. J. Greenstkeet (53 p.). Price 3 d. 

No 15. — The Educational Value of Geometry. By Mr. G. St. L. Cakson 
(17 p.). Priée 1 '/î d. 

N° 16. — A School Course in Advanced Geometry. By .Mr. C. V. Di rell 
(14 p.). Price 1 ^J2 d. 

N" 17. — Mathematics in Oshorne and Dartmouth. By Mr. J. W. .Mercer 
and Mr. C. E. .\shford ('*1 p.i. Price 272 d- 

Italie* — Nous venons de recevoir quatre nouveaux fascicules 
de la Sous-commission italienne, ce qui porte à neuf le nombre 
des rapports publiés. Deux des rapports sont dus à M. le Prof. 
G. Lazzeri ; ils sont consacrés, l'un aux Ecoles industrielles, pro- 
fessionnelles et commerciales, l'autre à l'Académie royale do Li- 



cniioyinuE 1:57 

voiirne et à rAcath'inic loyale militaire de rurin. Dans les deux 
autres rapports. M. A. (Ionii expose ieiiseiiîiiement nialhématique 
à rKeole j)ri maire el à PKcole normale. 

L Insegnaniento délia Mateiuutirn nelle Sciiole industiiali. prafessioitali 
coinnierciali, Relazioue di G. Lazzkki. Livoiiine (19 p.l. 

Linsegnamenlo délia Matematica nella H. Accademia Navale di Lnorno 
e nella K. Accademia Mililare di Torino, Relazione di G. Lazzeri di p.). 

L' insegnaniento delta Matematica nelle Scnolc infantili ed elenientari, 
Relazione di A. Co.nti, Rome (;J9 p.). 

L Insegnaniento délia Matemutica nelle Scaole normali. Rela/ione <li 
A. CONTI (71 p.l. 

«Japon. — Les rapports de la Soiis-comniission japonaise sont 
sous presse et pourront être distribués en juin. Ils ont été traduits 
en langue anglaise et comprendront deux volumes. Le premier 
volume, intitulé S/an/nari/ Jieport on the Teachiag of Matheinatics 
in J(ipon, by R. l'r.rfSAWA. donnera un exposé d'ensemble 230 à 
.■><)0 pages). Le second volume, d'environ 5 à 000 pages, compren- 
dra les rapports spéciaux, au nombre de quinze, concernant les 
divers types détablissements, depuis l'enseignement primaire 
jusqu'aux Ecoles supérieures, universitaires et techniques. 

5* Congrès international des mathématiciens. 

Nous rappelons que le 5' Congrès international des mathéma- 
ticiens aura lieu à Cambridge du 22 au 28 août 1912. Une circu- 
laire générale est en préparation. Nous espérons la recevoir en 
temps utile afin de pouvoir la reproduire dans la Re^'iie du 15 mai 
prochain. — Pour tout ce qui concerne le Congrès, s'adresser à 
M. le Prof. M.W . Hobsox, Christ's (Collège, Cambridge (Angleterre). 

Le premier Congrès des professeurs de mathématiques en Russie. 

Les professeurs de mathémati<|ues de l'enseignement secon- 
daire russe se sont réunis en un Congrès, qui a eu lieu à St-Pé- 
tersbourg, du 6 au 10 janvier 1912. Plus de 1200 participants 
avaient répondu à l'appel du Comité d'organisation présidé par 
le général Makcheïeu. Dans sa première séance générale le Con- 
grès a désigné comme président M. le Prof. A. Nassii-iei. qui 
prononça un remar([uable discours Sur l'enseignement niathénia- 
tique et philosophique il l'Ecole nioijenne. Nous reviendrons, dans 
notre prochain numéro, sur les thèses développées par le savant 
conférencier et nous donnerons un aperçu des pi'incipales confé- 
rences et communications présentt'es et discutées dansi-et impor- 
tant congrès ([ui fait bien augurer du dével()pi)ement de rensei- 
gnement mathématique russe. 

Hommage ii M. C.-A. Laisaxt. — Le Congrès a tenu à rendre 

L'Enseignement m>ithéni.. IV aiinfc ; 19IJ. '*' 



138 (■ iiHON iQ n: 

hommage aux grands services que M. I.aisant a lentlu à la stieiuc 
et à renseionetneut matlu'mati((ue en lui adressant le télégramme 
suivant : « Le premier Congrès des professeurs de mathématiques 
de toutes les Russie salue le savant qui, par son activité infati- 
gable, a donné un vif essor à l'enseignement mathémati(jue et le 
partisan clialeureux de l'union cordiale des mathématiciens de 
tous les pays préconisée dans son journal. — Le président du 
Congrès : Prof. A. \'assii.iek. — Le président du (^)niité d'orga- 
nisation : le général Makcheïf.ii'. » 

Académie des Sciences de Paris. — Prix proposés. 

I^ii.v Burdin pour 191.S f^OOO fr.). — Perfectionner en quelque 
% point important la tliéorie arithmétique des formes non quadra- 
tiques. 

(îrand Pri.v des Sciences mathéntatùiiies pour 1914 (3000 fr. . — 
Perfectionner la théorie des fonctions dune variable qui sont sus- 
ceptibles de représentations par des séries tiigonométiiques de 
plusieurs arguments fonctions linéaires de cette variable. L'Aca- 
démie verrait avec plaisir traiter quelque application importante 
à la Physique mathématique et à la Mécanique céleste. 

Pri.v Foiirneyron pour 1914 (1000 fr. . — Etude théorique et 
expérimentale de la question des turbines à combustion on exph)- 
sion. 

Pour plus de détails, voii- les Comptes rendus, séance du IS dé- 
cembre 1911. 

Académie royale de Belgique. — Concours de 1913. 

L'Académie met au concours les sujets suivants : 

On demande une contribution importante ii la (jèomètrie in/initè- 
simale des surfaces courbes. - Prix : <S00 francs. 

Résumer les travaux sur les systèmes de cubiques gauches et faire 
de nouvelles recherches sur ces systèmes. — Prix : <S00 francs. 

Les mémoires pourront être rédigés en français ou en flamand 
et devront être adressés, francs de port, à M. le ^Secrétaire perpé- 
tuel au Palais des Académies, à Biiixelles. avant le l*"' août 191.3. 

Les auteurs ne mettront point leur nom à leur ouvrage; ils y 
inscriront seulement une devise, qu'ils reproduiront sur un pli 
cacheté renfermant leur nom et leur adresse. 

France. Thèses de Doctorat. 

Pendant l'année scolaire 1910-1911, les mémoires ci-après oui 
été acceptés pour le Doctorat es sciences mathématiques : 

Paris; Faci i/n': dks Scifxcks; doctorat d' l'J((t. — Caiiu-i Paul : 



Klude des priiicipali-s inégalités du luoiivenu'iil de la lime <|iii 
dépendent de Tinclinaison (décembre 1910). 

Chazy (Jeani : Sur les équations différenliellcs du tioisièine 
ordre et d'ordre supérioiii- dont l'intéi>ral(! i>énéralc a ses points 
critiques fixes décembre l!)l() . 

SiKE iJulesi : Sur les fondions entièies de deux variables (f ordre 
apparent total fini décembi'e 1910 . 

ClnATELi'T (Aj : Sur certains ensembles de tableaux et leur appli- 
cation à la théorie des nombres lavi-il 1911;. 

CiAi: iKmile : Sur rint<'<>iation des équations aux dérivées par- 
tielles du second ordie j)ar la méthode de M. Darboux (mai 191 l . 

AxxYCKK abbé Th.) : (Contribution ii l'étude tliermomécanique 
des tiges et des plaques [juin 1911 . 

Gaiinikh (René! : Sur les équations différentielles du troisième 
ordre dont l'intégrale générale est uniforme et sur une classe 
d'étpiations nouvelles d'ordre supérieui' dont l'intégrale générale 
a ses points critiques fixes juin 1911. 

Janiszeswki Sigismond) : Sur les continus irréductibles entre 
deux points (juin 1911 . 

ViLi.AT (Henri : Sur la i-ésistance des fluides (juin 1911 . 

Doctorat d^ Université. — Giîamoxt Armand dei: Kssai d'aéro- 
dynamifjue du plan juin liHl . 

Lémaihi: Pieri'e : Thé<)rie des compas gyroscopiques (juillet'. 

Faculté de Nancy ; c^oe^o/rt^ <^'£'/(^//. — yVnxouLr (.Iules) : Sur le 
niituvement dun fil dans l'espace juin 191b. 

Faculté de Lille ; doctorat d'Etat. — Baiîrk (Kugène; : 1"' thèse : 
Sur une classe de solutions des équations indéfinies de l'équilibre 
d'élasticité. — 2""' thèse : Application de la géométrie cinématique 
à la théorie des surfices engendi'ées par une courbe variable (juil- 
let f911 . 

J. Amsler-Laffon. 

Xous avons appiis avec regi'et la mort de M. .1. Amsler-Laffon. 
le doyen des mathématiciens suisses, décédé le .■> janvier 1912, ii 
Schalfhouse. ;i l'âge de <S9 ans. Ses travaux appartiennent aux 
mathématiques appliquées. On lui doit de nombreux instruments 
et appareils de précision, notaniment \c planimét/e polaire, au- 
<piel son nom restei-a toujours attaché, et des appareils destinés 
aux recherches sur la résistance des matériaux. Amsler était 
membre cori-espondant de la secti(»n de mécanique de l'Académie 
des Sciences de Paris. dej)uis 1.S92, et docteur honoraire de l'ini- 
versité de Konigsberg 1894). 

Né à Stalden, près de Brugg (.Vrg^oviei, le 1() novembie \H2'A. 
.1. Amsler fil ses études à l'Université de Jéna 18'»;i-'j4 , puis à 
celle de Konigsberg il8'i4-l.S47 ; il travailla ensuite pendant 
(piel(|ue temps à r<d)servatoire de (lenève f8'i8 . sous la directi(Mi 



liO CHRONIQUE 

de Plantainoin. Kii 1849 il fut admis comme privat-docent à l'Uni- 
versité de Zurich, puis eu 1851 il fut nommé professeur de mathé- 
matiques et de physique au Gymnase de Schaffhouse. Au bout 
de trois ans il renonça à son enseignement pour se consacrer 
entièrement à latelier de mécanique de précision, quil avait déjà 
créé à côté de son enseignement, et qui ne tarda pas à conquérir 
une réputation mondiale. 

Par son grand savoir et ses belles qualités d'inventeur et de 
constructeur. Amsler a eu le grand mérite de maintenir et de dé- 
velopper le contact entre les mathématiques pures et les sciences 
techniques. F. 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemagne. — M. ^^ . Kutta, professeur à TEcole technique 
supérieure d'Aix-la-Chapelle, est nommé professeur à l'Ecole 
technique supérieure de Stuttgard. 

Autrîelie. — M. V. Pollack est nommé professeur de Géo- 
désie à l'Ecole technique supérieure de Vienne. 

M. Sleszixski est admis en qualité de privat-docent à l'Univer- 
sité de Cracovie. 

Belgique. — M. A. De.moulix Gand; est nommé correspon- 
dant de la Société royale des Sciences de IJège. 

M. BERTitAXD est nommé répétiteur à l'Ecole des Mines de Liège. 

France. — M. P. -H. Puiseux est nommé membie de la sec- 
tion d'Astronomie de l'Académie des Sciences de Paris. 

Ecole poli/technique de Paris. — M. Hadamard, professeur au 
Collège de France, est rtonimé professeur titulaire pour la chaire 
d'analyse, en remplacement de M. Jordax, admis à la retraite. 

M. d'OcAGXE, professeur à l'Ecole des ponts et chaussées, est 
nommé professeur titulaire pour la chaire de Géométrie, en rem- 
placement de M. Haa(;, décédé. 

M. Geoffroy, professeur à l'Ecole centrale des Arts et Manufac- 
tures, est nommé chef des travaux graphiques. 

MM. Vessiot. Fadrv et Carris sont nommés examinateurs d'ad- 
mission et MM. Uk Hoix. Fouché. Cottox, examinateurs sup- 
pléants. 

Iles Britanniques. — M. E. T. \Vmhtaker. F. R. S., as- 
tronome royal d'Irlande, est nommé professeur de mathématiques 
à l'Université d'Edimbourg, en remplacement de M. G. Chrystal, 
décédé. 

M. A. M. Grunuv, « scholar » de Herlford Collège, est nommé 
« Senior mathematical Scholar» de l'Université d'Oxford pour 1912. 

M. E. H. \evili.e, B. A., « Fellow » de Trinity Collège, Cam- 
bridge, est nommé « Allen Scholar ». Cette fondation a pour but 
l'encouragement des recherches mathématiques. 



NOTES ET DOCUMENTS l'i ) 

Suède. — M. Marcel Kiksz est admis en ((iialité de privat- 
doceiil à rUniversité de Stockholm. 

Suisse. — M. KiNSTEix, professeur à ILniversité do Pratiiie, 
a accepté un appel à la chaire de Physique mathématique qui 
vient dètre créée à l'Ecole polytechnique fédérale de Zurich, dont 
il est ancien élève et ingénieur diplômé. 

Nécrologie. 

E. Lemoine. — Les mathématiciens apprendront avec regret la 
mort de M. Emile Lemoine. décédé à Paris le 21 février 1912, dans 
sa 72' année. Bien connu par ses travaux en Géométrie et tout 
particulièrement comme créateur de la (léomètrographie, E. Le- 
moine est lun des fondateurs de V Internicdiaire des inathcinati- 
ciens. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

Compte rendu des travaux des suus-cnniinissians nationules^. 
((je article.) 

ALLEMAGNE 

La réforme de l'enseignement mathématique eu Allemagne. 

Die Enti^icklung der mnthematischen Unterrichts-Reform iu Deutscliland- . 
von Dr. Rud. Schimmack, Oberlclirer am Gyninasiiim zu Gtilting'en. — Ce 
rapport lorine le premier fascicule du tome o des Ahhandlungen intitulé : 
Questions spéciales de l'enseignement mathématique dans les écoles supé- 
rieures. Il débute par une préface générale an Tome 3, rédigée par M. 
F. Klein. 

Le rapport de M. Schimmack donne un aperçu historique très complel 
du mouvement de réforme de l'enseignement mathématique en Allemagne. 
L auteur montre d'abord comihent ce mouvement a pris naissance. Puis il 
examine en détail les progrès réalisés depuis 1907. Ce sont d'abord les ti-a- 
vaux et les discussions qui ont en lieu au sein de la Commission d'ensei- 
gnement désignée par la Société des naturalistes et des médecins allemands, 
et qui, comme on sait, a joué un rôle important dans le mouvement de ré- 
forme. J'^n dehors de cette Commission il donne également les résolutions 
votées par différentes associations, réunions de directeurs et enfin des indi- 
cations concernant la Commission internationale de renseignement mallié- 
matique elle-même. 



' Voir Vhjis. matfi.. VA'- année, 1911, n»" ! à i ; l't' iinm-c. 1;II2, n» 1. 

* Abhandlnngen iiher den inathem. l.'ntcrricht in l)eitt.<rlilanil. Hand III. Ilelt I. — 1 liisr. di- 
lis p.: :i M. (iO; H. a. Teiibner, Leipzig. 



I '• 2 A- O r H s ET noc U M E IS T S 

il sigiialc cnsuile les nouveaux plans d éludes et les progrès réalisés ef- 
fectivement dans I enseitçnemeflt éléme^iUiire et moyen des jeunes filles el 
des garçons. Puis vient un aperçu des idées développées dans les ptiblica- 
lions. articles el ouvrages, el se rapportant au mouvement de réforme. 

Par sa documeulalion très complète, 1 ouvrage de M. Schimmack constitue 
un guide très précieu.v pour tous ceux qui désirent s'initier et suivre les dis- 
l'ussioiis actuelles sur la réforme de l'enseignement mathématique. 

Le fascicule se termine par une Note que nous signalons tout parliculiè- 
remenl à ceux qui s'intéressent aux écoles dites réaies (ou gymnases scien- 
tifiques). Cette Note doime un projet fort bien conçu d un plan d'études pour 
ces écoles. Ou sait que la Commission d'enseignement de la Société des na- 
turalistes et médecins allemands, avait publié dans ses piopositions de Meran 
un projet de plan d'études' pour les gymnases (enseignement classique). Il 
restait à élaborer un projet de plan d'études pour l'Oherrealsc finie. C'est ce 
qu'a fait M. Schimmack pour répondre à un vœu qui :■ été exprimé à phi- 
sieurs reprises de divers côtés. Nous renvoyons les lecteurs au projet éla- 
boré par .M Schimmack en tenant compte dans une juste mesui-e des ten- 
dances actuelles. 

FRANCE 

Les mathématiques dans l'enseignement supérieur. 

Enseigiieinent supérieur, publié sous la direction de M. Alb. de Saim- 
Germain -'. — Nous ne saurions mieux rendre compte du contenu de ce volume 
qu'en reproduisant l'intéi-essante introduction que M. Alb. de Saint-Gkrmain, 
président de la Sous -Commission française, a placée en tète du volume sous 
le titre Aperçu général sur i Enseignement supérieur des Mathématiques. 

« On peut dire que les parties des mathématiques (|ui ressortissent à notre 
enseignement supérieur commencent au Calcul infinitésimal 3t à la 
.Mécanique rationnelle pour s'étendre, dans des sens divers, jusqu'aux théo- 
ries les plus générales et les plus élevées de la science. Ce vaste domaine 
ne fait pas immédiatement suite à celui des mathématiques élémentaii'es tel 
qu'il est envisagé dans l'ensemble de nos Lycées et assez exactement défini 
par le programme du Baccalauréat, 2^ partie, mathématiques : entre eux 
s'étend une zone intermédiaire qui comprend notamment les parties fonda- 
mentales de l'Algèbre supérieure et de l'Analyse, la Géométrie analytique, 
la Dynamique du point, des compléments de (îéométrie élémentaire et de 
Géométrie descriptive. Ces matières constituent, dans les Lycées, le cours 
de mathémati(|ues spéciales, dans les Facultés, celui de mathématiques gé- 
nérales : des rapports sont présentés sur ces enseignements parallèles, l'un 
par M. Blutel (enseignemenf secondaire j. 1 auti-e par M. \Ef>sioT f enseigne- 
ment supérieur). 

F^es mathématiques supérieures sont enseignées dans divers établisse- 
ments, en tète desquels il faut citer les Facultés des Sciences de nos Uni- 
versités. Ces Facultés sont au nombre de seize : Besancon, Bordeaux, Caen, 
Clermont, Dijon, Grenoble, Lille. Lyon. Marseille, Montpellier, Nancy, 



' Tiadiiit dans Y Eiisttgiieinciit inathèinatiqne du 15j<invier l'.Kiti. 

" Volume III des /tappnrls de la Sous-Coinmission IViinriiise. in-S". de \i2 p.; 'i tV. 
hi'iiiric Hachette. Paris. 



.V O T E S I: t l)()< U M E N T S 1 \\\ 

Fitn's, Poiliors, Rciim-s. Touloiisr ; l:i Kai-ullô d'Aliter, ivcciuiiieiil créée, 
n est pas oiicoi'e complélt'. 

Le personnel enseig'nant se compose île prolesseiirs el de chargés de 
cours, pour les chaires magistrales, et de maîtres de conférences ; les uns 
el les autres soni parfois chargés d enseignements complémentaires. Nous 
n avons pas de prWal docenten ; mais des maîtres, en général »';lrangers à la 
Faculté, peuvent èlre autorisés à y taire des cours libres'. La Faculté est 
administrée pai- un Doyen, nommé pai- le Ministre sur la présentation de 
ses collègues. 

Kn général, les cours sont publics, les contérences réservées aux étudiants 
incrils, lesquels doivent posséder le Baccalauréat ou un titre écjuivalent. 
Ces étudiants sont libres, mais le règlement leur prescrit l'assiduité aux 
cours et aux exercices : d ailleurs le plus grand nombre d'entre eux se pro- 
posent de subir des examens dont le pi'ogramme diffère peu de celui des 
cours et oîi les juges sont géuéralemcnt des professeurs de la Faculté. 

J^e premier grade après le Baccalauréat est la Licence : jusqu en 1896, il 
V a eu trois ordres de licence, sciences mathématiques, physiques, naturel- 
les ; le Ministre en arrêtait les programmes, ce qui tendait à uniformiser 
les enseignements fondamentaux dans les diverses Facultés. Le programme 
de la licence mathématique portait sur le Calcul infinitésimal, la Mécanique 
rationnelle, lAstronomie, avec une épreuve pratique, calcul ou éjjure. 

Le décret du 22 janvier 1896 vint donner plus de liberté aux étudiants et 
aux maîtres, par suite, plus de vie aux F^acultés : il institue les Certificats 
cl études supérieures, dont chacun se rapporte à une seule branche de la 
science. Mécanique rationnelle. Chimie appliquée, etc., et constitue assez 
exactement la sanction d'un cours déterminé : il y a pour chaque certificat 
un examen séparé, avec épreuves écrite, pratique et orale. Le grade de li- 
cencié est conféré à tout étudiant pourvu de trois certificats choisis à son 
gré, ce qui lui permet d'étudier les parties de la science vers lesquelles il 
se sent le plus attiré ; toutefois, s il veut que son grade de licencié lui serve 
pour entrer dans l'enseignement ou pour se présenter, soit à l'examen du 
doctorat, soit au concours d agrégation, il ne peut choisir arbitrairement la 
nature de ses trois certificats : poui" les mathématiciens, lun de ces certi- 
ficats est obligatoirement celui de Calcul différentiel et intégral, un autre 
celui de Mécani(jue rationnelle (voir le rapport de M. VessiotI. 

Chaque P'aculté peut, sauf approbation du Ministre, choisir les matières 
ties certificats qu elle délivrera el arrêter le programme de chacun d eux ; 
•Ml fait, il y a une assez grande uniformité pour les matières fondamentales. 
Le nombre des certificats créés par les diverses Facultés varie entre 11 et 
25, augmentant presque chaque année, peut-être un peu trop vite. Pour 
fixer les idées, nous donnerons comme annexe, à la suite des deux premiers 
ra|jports (A et B, MM. Vkssiot et Borel), les programmes des certificats 
délivrés par la Faculté de Paris. Certaines branches des mathématiques 
telles que la Théorie des nombres, la Géométiie supérieure comme l'enten- 
dait Chasles, les fonctions elliptiques et abéliennes, le Calcul des probabilités 
ne donnent pas lieu à des certificats ni. par suite, à un enseignement régu- 
lier*; les cours professés dans nos univei-sités sont moins nombreux qui' 



' A la Faculté de Paris. MM. dOcagnc, KIktI ot IJaolielier ont lait, .ii l!M(i. dc-s rouis libres 
sur le calcul graphique, le calcul dos orbites conietaires et le calcul des probabilités. 

* La Faculté de Paris vient de crcer un cours sur la Tlicoric des uoiiibres : !<• Calcul des 
|>robabiliti-s y est enseigné de temps l'n temps. 



144 SUTES ET I) () Ci M E .\ T S 

dans quelques uiiivcrsilés éti'imt;èr»'s : |>ciit-èlip. eu l'ivaiu'lie. sont-ils plus 
approlondis. 

Le grade qui vienl après la licence est le Doctorat ; pour l'ordre des 
sciences niathémaliques, le candidat doit composer et soutenir deux llièses 
sur des sujets choisis par lui. Ces thèses doivent constituer un travail sé- 
rieux et, en principe, contenir des résultats nouveaux, de manière à prouver 
que l'auteur est capable de creuser une théorie et de faire avancer la science. 
Souvent, le candidat ne présente qu'une thèse, mais alors il est interrogé 
sur une théorie importante, désignée à l'avance par la Faculté et sur laquelle 
il doit taire preuve de connaissances approfondie.'^. 

L'agrégation n'est pas un examen de Faculté, mais un concours ouvert 
par 1 Etat pour le recrutement des professeurs des Lycées ; outre la licence, 
les candidats doivent posséder le Diplôme d'étndes .supérieures (voir le 3« 
rapport. C| puis subir des épreuves écrites, orales et pratiques qu étudie 
dans un très intéressant rapport (E) le regretté Jules Tanneky. 

A la Faculté des Sciences de Paris a été très intimement rattachée, depuis 
quelques années, l'Ecole normale supérieure, à laquelle est consacrée une 
grande partie du rapport de M. T.\n.mîry. 

Une annexe de la même Faculté est 1 Ecole pratique des Haulcs-Eludes. 
section des Sciences mathématiques ; sous la présidence de M. G. Darboux. 
trois conférences y sont actuellement ouvertes : elles ont respectivement 
pour objets les applications géométriques de lAnalyse, la Mécanique et 
lAsIronomie. enfin la Mécanique physique et expérimentale. 

Un rapport (IJ| do M. Vogt est consacré à l'enseignement technique de 
certaines Facultés. 

A côté des Facultés des Sciences, je mentionnerai deux Ecoles prépara- 
toires à l'enseignement supérieur des Sciences, installées à Rouen et à Cham- 
béry les Coui's de Mathématiques y ont pour objet les éléments de 
lAnalyse. ceux de la Mécanique, la (iéométrie apj)iii|néc et la Géométrie 
descriptive. 

L'enseignement libre possède trois Facultés des Sciences à Angers, Lille, 
Lyon, et une Ecole supérieure des Sciences à Paris : ces établissements 
dépendent d instituts catholii[ucs : leur enseignement est très analogue à 
celui des l''aciillés de lEtat. mais la loi ne leur a pas accordé la collation 
des grades. 

Le Collège de France, à Paris, est nu grand èl.iblisscmenl de nature pai- 
ticulière •. une notice succinte (F) sera consacrée à son enseignement mathé- 
matique. 

A côté des établissements qui dépendent du Ministère de 1 Instruction 
publique, il en existe d'autres, ressortissant à divers Ministères, où Ion 
enseigne aussi les mathématiques supérieures. Le plus important est l'Ecole 
polytechnique de Paris, destinée à la préparation des Ingénieurs de 1 Etat, 
des Ofiiciers d'Artillerie et du Génie. L'enseignement mathématique y porte 
sur le Calcul différentiel et intégral, la Mécanique rationnelle, la Géométrie 
descriptive, la Stéréotomie et quelques chapitres de l'Astronomie. Or, les 
études sont loin de se borner aux mathématiques et ne durent que deux 
années ; les élèves doivent fournir un tiavail intense, qui serait peut-être 
écrasant s ils n'entraient fort bien préparés et à la suite d'une sélection 
rigoureuse. On s'est demandé s'il ne serait pas avantageux, comme cela a 
lieu dans d autres pays, de laisser 1 instruction théorique aux Universités, 
réservant linslructiou technicpie pour les écoles spéciales : je n aborderai 



;V () r A .S li T !)()( L MK NT S l 'i 5 

|);is cfllc i;rave el délicale (|iiesli()ii. I) iiillciirs un rapport ((îi de M. G. 
HuMHEKT seia consacré à 1 Ecolo polytechniinic. 

A cette école se rattaclieul l'Ecole supérieure des Mines et celle des l'onts 
et Cliaussées, installées à Paris : un certain nombre d élèves sortant de 
l'Ecole polytechnique, en j^énéral les premiers, y reçoivent pendant trois 
années un enseignement (|ui les prépare à leurs fonctions d ingénieur; les 
matliématiques y fiuurent à un point de vue très technique. Mais ces écoles 
reçoivent aussi un assez grand nombre d'élèves libres admis à la suite d un 
concours et pouvant sortii" avec le diplôme d ingénieur : on a organisé pour 
ces élèves externes une année préparatoire où l'enseignement mathématique 
comprend les parties essentielles de celui de l'Ecole polytechnique. Un raj)- 
port (H| de M. d Ocac.ne est consacré à l'Ecole des Ponts et Chaussées, un 
rapport (I) de M. Gar.mek. à l'Ecole des Mines. 

L'Ecole des Mines de Saint-Etienne prépare également des ingénieuis 
civils des Mines : l'enseignement y dure trois ans et nu rapport (Jl du di- 
recteur, M. Friedel, est consacré à la partie mathématique. 

L'Ecole du Génie maritime, à Paris, a pour but de former les ingénieurs 
de la .Marine et des ingénieurs libres, aptes à diriger des ateliers de cons- 
truction, des travaux hydrauliques, etc. : une notice (K) de M. Jam-.t lui est 
consacrée. 

A l'Ecole nationale des Beaux-Arts sont institués, principalement pour la 
section d'architecture, des Cours de Mathématiques et de Mécanique, de 
Géométrie descriptive, de Stéréotomie, de Perspective (également pour la 
section de peinture), qu ou peut regarder comme se rapportant aux parties 
les moins ditliciles des mathématiques supérieures. J'en dirai autant des 
Cours de Mathématiques pures et appliquées, de Mécanique appliquée qui 
sont professés à 1 Institut national agronomique de Paris. 

Je ne ferai que mentionner l'Ecole centrale des Arts et Manufactures, le 
Conservatoire national des Aits et Métiers qui appartiennent sans doute à 
l'enseignement supérieur, mais aussi à renseignement technique et. à ce 
titre, auront leur place dans notre quatrième volume. » 

Voici la liste détaillée des rapports du Volume III : 

A) Rapport sur l'Enseignement du Calcul différentiel el intégral, de la Mé- 
canique rationnelle, de l'Astronomie et des Mathématiques générales 
dans les Facultés des Sciences en France, par M. E. Vkssiot |19 p.i. 

B) Rapport sur les Enseignements mathématiques d'ordre élevé dans les 
Facultés des Sciences des Iniveisités françaises, par M. Emile Boki i. 
(5 p.). 

Annexe. — Faculté des Sciences de Paris : programmes des Certiiicats 
d éludes supérieures j>our Tannée l'.Ml (11 p.|. 

C) Rapport sur les diplômes d'études supérieures de Sciences math("ma- 
tiques, par M. A. de Saint-Germain (10 p.). 

D) Rapport sur lEnseignement mathématique dans les Instituts lechni(|ues 
des Facultés dos Sciences, par M. H. Vogt |11 p.). 

E) Rapport sur l'Enseignement des Mathématiques à lEcolo normale supé- 
rieure et sur l'Agrégation des Sciences mathématiques, pai- .M. Jules 
Tannery (15 p. t. 

F| Note sur l'Enseignemont math(''niali(|ne au ('.(dlègo de Fi-anco, par .M. A. 

de Saint-Ger.main \'ô p.). 
G| Rapport sur l'Enseignemenl uialluniali(]uo à 1 Ecolo polytechnique. |iar 

.M. <;. IIumbert (11 p,l. 



1 46 y <) 1 1: s i: t doc u m k y r s 

H) Rapport sur 1 Enseigueincnl nialliéiiialiqiie à lEcole iiittionale des l'onls 
et (Chaussées, par M. Maurire tl'OcA(;vi: (8 p.). 

Il Rapport sur lEiiseigneineut des Matliëmaliqnes à I HcoU' nationale supé- 
rieure des Mines, par M. RtMié Garnifr i« p i. 

J) Rapport sur 1 EnseifïiiemenI mathématique à I Erole nationale des Mines 
de Saint-Etienne, par .M. Kkiedel |9 p.|. 

K| Note sur l'Ecole d application du Génie maritime, par .M. A-JantiiI p.|. 

ILES BRITANNQIUES ' 

N" 3. — L'enseignement des mathématiques 
dans les écoles publiques élémentaires de Londres. 

rite Teachniii <tl Matlieinatics in Luiidou Piihlic eleinentair .schools', by 
Mr. P. B. Bali.ard. District Inspector of schools under ihe London County 
Council. — Depuis une' dizaine d années aucun programme lixe concernant 
renseignement de 1 arithmétique dans les écoles élémentaires n'a été pré- 
senté par le Board ot Education. Malgré cela, cet enseignement diffère peu 
d une école à l'autre et est plus ou moins basé sur le modèle suivant 
iSchemeBl publié aunuellemeut par le Board de 1894 à 1905 |le programme 
ne concerne pas les écoles eufanlines|. 

I. Les quatre opérations. Diviseurs et multiplicaleurs ne dépassant pas 6. 
Ne pas dépasser le chiffre 99, soit dans les questions, soit dans les réponses. 

II. Opérations combinées (argent). Diviseurs et multiplicateurs ue dé- 
passant pas 12. Les sommes d argent employées soit dans les questions soit 
dans les réponses ne devant pas dépasser 10 1. 

m. Opérations simples et combinées (argent). Diviseurs et multiplicateurs 
ne dépassant pas 99. Ne pas employer de chiffres supérieurs à 99,999 dans 
les questions ou les réponses. Les sommes d argent dans les questions et 
les réponses ne devant pas dépasser 99 1. 

IV. Opérations combinées appliquées aux poids et mesures suivants (lon- 
gueur, poids, capacité, temps). En longueurs, yards, feet etinches; en poids, 
tons, cwts., qrs., Ibs., ozs. ; en capacité, gallons, quarts, pinls ; en temps, 
jours, heures, minutes, secondes — sont les seules mesures à exiger pour 
IV et V. Les diviseurs et les multiplicateurs ne doivent pas dépasser 99. 

V. Fractions ordinaires (fractions simples seulement). Pratique. Fac- 
lui'es. Poids et mesures habituels. 

VI. Fractions décimales (en. excluant les fractions périodiques). Propor- 
tion simple ou règle de trois simple par la méthode de réduction à l'unité. 
Calcul d'intérêt simple sur un capital donné. Poids et mesures habituels. 
-Mesure de rectangles et de solides rectangulaires ; on n'exigera pas l'ex- 
li-action des racines carrées et cubiques. (Garçons seulement). 

VIL Fractions ordinaires et décimales. .Moyennes et pourcentages. Caisse 
d épargne. Fonds publics. 

Du reste, même maintenant, la plupai-l des manuels dont on se sert dans 
les écoles élémentaires sont basés sur le tableau qui précède. Cependant la 
publication des » Suggestions to Teachers » en 1905, encouragea les maîtres 
à plus d'initiative, et. depuis cette époque, des divergences furent |)lns fré- 
quentes. 



' r.cs rapports ont clé résimios p.ir M. J.-P. UiMiii. (îeni-ve. 
" Pricc 'l'\vo|)ence. Wvinan iN: ,Sons. Loudrcs. 



.V () r E s E I hoc i y E .y r s i ', : 

/. enseignement de l avitlnnélique dans les écoles enfantines Infants SrJiools ). 

L'école ciitiinline propiemeiit dite comprend 3 degrés pour onlairls de six. 
cinq el au-dessous de 5 ans respectivement. Autrefois, on avait le lorl, dans 
renseignement de l'arill)méli(|uc, de commencer les opérations beaucoup 
trop lot. Actuellement le but du travail s est transform*!' graduellement : les 
mailres cherchent tout d abord à (aire bien saisir à leurs élèves les rela- 
tions rondain<>ntales des premiers nombres entiers et les exercent à de 
nombreuses applications pratiques sur des objets simples et familiers 
i.M<'liiode Grubel : On fixe d abord la notion de l'unité, puis on s occupe 
des nombies 2, 3, '*. ... à l'aide de manipulation d'objets el de nombreuses 
<|uestions orales, on cherche à mémoriseï' les résultats alin d éviter de 
compter par unité. 

On peut présenter les objections suivantes ;'i ce système : 

1. On ne peut pas considérer l'unité en elle-même. Sa notion ne devient 
intelligible que par contraste avec plus d un. 

2. Les leçons risquent de devenir' monotones. Il est bien didicile de main- 
tenir en éveil lintcrét d enfants de six ans sur le nombre 7 pendant toute 
une leçon, surtout si cette leçon a déjà été donnée plnsieui-s fois. 

•i. On ne devrait pas restreindi-e le calcul sous prétexte qu il doit mar- 
••her de pair avec l'analyse, el 1 on devrait connaître quelque chose sui- le 
nombre 20 avant d'avoir épuisé ce qui concerne le nombre 8. 

4. Le rapport des nombres, en d'auli-(;s termes la notion <le mesure n est 
pas suffisamment repi'ésenlé. 

5. Les diverses opérations ne se présentent pas généralement comme un 
besoin aux yeux de l'enfant — ce qui est une objection très sérieuse. 

6. Le but qu'on se propose est rarement atteint. 11 est bien rare qu un 
entant de cinq ans puisse se servir convenablement de nombres plus grands 
que 5 ou un enfant de six ans de nombres plus grands que 10. Il est bien 
rare qu on obtienne cette mémorisation des résultats el 1 enfant continue 
généralement à compter par unités. 

7. Enfin, je doute fort qu'il soit avantageux d'enseigner les nombres à des 
enfants au-dessous de 7 ans. J ai en effet de bonnes i-aisons pour croire 
que cet enseignemeul constitue une pei-te de temps pour les mailres, et est 
contraire au développement intellectuel de I enfant. 

Du reste ces objections se font sentir dans nos écoles, et le système 
fîriibe proprement dit a été conséquemment njodifîé lemphji de prismes 
rectangulaires de différentes Hauteurs pour apprendre à mesurer; usage de 
jouets tels que soldats, animaux de bois, arbres, corde à sauter, volant, le 
jeu du marchand avec des jetons en guise d'argeni, dessins, construclion de 
modèles!. 

Il semble résulter de certaines expériences (|u il est inutile de commencer 
ti'op tôt 1 enseignement de rarithméli(|ue. L espi'it de I entant n'est pas suf- 
fisamment préparé pour en saisir la portée, el le temj)s qu'on y consacre 
pourr'ail être plus utilement emplové. 

/.es nialhéinntKjues dans tes classes plus avancées (Senior Deparlments i. 

Si I on compare les questions d'examen rl'il y a (juelqnes annt'-es avec 
celles d aujonrd hiii. on s'apercevra des ten<lances suivantes : 



148 IV O TE S E T I) O C U M ENTS 

1. L ;iritliinétii|U(' est renipl.icée peu à peu pnr les uiatliématiques. La 
géométrie, les mesures et 1 algèbre s introduisent petit à petit. 

2. Les types oonventiouiiels fixes d'opérations sont de plus en plus aban- 
donnés. 

3. Les e.xemples rlioisis sont relatifs à la vie journalière des enfants. 

4. Les applications pratiques sont toujours plus abondantes. 

Considérons d'abord cette tendance d élargissement du domaine de l'arith- 
métique et du fusionnement des diverses branches des mathématiques. Il y 
quelque cinq ou six ans. l'algèbre fut introduite comme sujet distinct, 
dans les programmes d un grand nombre d'écoles, mais elle ne consistait 
alors qu'en une manipulation mécanique de symboles n'ayant aucune rela- 
tion avec 1 arithmétique. Actuellement, l'algèbre, en tant que branche, dis- 
paraît de plus en plus, sauf dans les écoles centrales (Central Schools), et 
des tentatives sont faites d en introduire un peu en arithmétique. Ces tenta- 
tives sont dignes de louanges, mais n ont pas eu beaucoup de succès. La 
question de savoir si l'algèbre devrait être enseignée dans une école élémen- 
taire est peut-être discutable. Personnellement je suis pour I affirmative, on 
devrait s'en servir lorsque son avantage sur rarithmélitjue est manifeste. 
Le maître devrait se rendre compte que lélève lui-même en ressent le 
besoin. 

La géométrie lorsqu'elle figure au progi-amme comme branche séparée 
consiste en problèmes à résoudre à l'aide de la règle et du compas. Le 
maître traite un problème à la planche et les élèves le copient sur leur cahier 
de dessin Cette méthode est presque universellement répandue, et c'est 
certainement une mauvaise méthode. On déviait lui substituer la méthode 
heuristique, car s il est une branche pour laquelle elle se recommande tout 
spécialement, c est bien la géométrie. La géométiie théorique n'est enseignée 
que dans les écoles centrales. 

La transformation la plus considérable de ces dernières années a été l'in- 
troduction dans les écoles de ce qu'on appelle l'arithmétique pratique carac- 
térisée par l'emploi d'objets matériels, et la vérification des conclusions par 
des expériences concrètes. Malheureusement, on a le tort de reléguer cette 
arithmétique pratique à la fin de l'année scolaire alors quelle devrait y figu- 
rer au début. En second lieu, le travail pratique est souvent exécuté par le 
maître et non par les élèves. Enfin, ces opérations pratiques exécutées pour 
ainsi dire sans but bien précis risquent de devenir monotones. Tout ennui 
disparaîtrait si on les utilisait pour obtenir quelques résultats intéressant 
l'élève, comme la solution d'un problème ou la construction d'un objet. Un 
domaine spécial de l'arithmétique (jiii gagnerait à ce qu on y développât 
davantage le côté pratique, c est la théorie des fractions, siiiloul «les frac- 
tions décimales. 

En ce qui concerne le côté tliéoiicjue de renseignement de 1 arithmétique, 
j ai constaté que l'étude des proportions se fait d'une manière insuffisante. 
Il serait bon d établir une certaine liaison entre les notions de rapport et de 
proportion et les figures géométriques semblables. Il serait avantageux 
également de ne pas renvoyer l'étude des moyennes à la dernière année du 
pi'ogramme scolaire : leur connaissance permettrait en effet aux élèves d ef- 
fectuer leurs mesures avec plus d'exactitude, car une moyenne donne géné- 
ralement un résultat [)lus approché qu'une mesure unique. 

L'enseignement de laritliuK-lique se propose d'atteindre deux résultats 
distincts. L un consiste dans la iapidit('- et l'exactitude des calculs, l'autre 



.V U TE S K T I) O C U M E N T S 149 

(Jauï- 1 intelligence lie la résolution des problèmes. Ces deux buts ne sont 
cerlainement pas incompatibles, mais il est difficile de bien répartir le 
temps qui doit leur être consacré. On peut constater durant ces deux der- 
nières années, une tendance à développer le travail intelligent au dépens, 
en cas de besoin, de I exactitude mécanique. 

Signalons encore te fait regrettable que la dernière auni'-e de 1 enseigne- 
ment est presque exclusivement consacrée aux questions de pourcentages, 
moyennes, escomptes, etc. Heureusement que cet état de chose tend à dis- 
paraître et qu'on remplace de plus en plus ce programme défectueux par 
une récapitulation générale. 

Reste enfin la question de renseignement inathi'-matique dans les écoles 
de jeunes filles. Doit-il être le même que dans les écoles de garçons ? Je ne le 
pense pas. Diverses expériences ont été faites et prouvent que les filles n'ont 
généralement pas les mêmes aptitudes pour le raisonnement mathématique 
que les garçons. En outre, les conditions même d'existence et les exigences 
scientifiques ne sont éviden.ment pas les mêmes chez les filles que chez les 
garçons. Du reste, ces faits sont généralement reconnus et les programmes 
sont élaborés en conséquence. Citons en particulier rintéi"essanle leçon 
d arithmétique domestique introduite dans la classe supérieure d une école 
de jeunes filles. 

Les plans d'études inatliéiiiatif/iies. 

Dans les écoles élémentaires ordinaires, on ne discerne pas de tendances 
spéciales, technique, commerciale, industrielle, etc., dans les programmes. 
Tous les élèves quelle que soit leur vocation future reçoivent le même ensei- 
gnement. Dans les Ecoles Centrales, cependant, on distingue deux sortes 
d enseignement, l'un industi-iel, l'autre commercial Isans parler de rensei- 
gnement domestique lorsqu'il s agit d'une école de lilles|. Ces Ecoles Elé- 
mentaires Centrales, une fois complètes, seront au nombre de 55 ; les 
élèves Y entrent à il ans et y restent 4 ans. Sur ces 55 écoles, 12 seront 
commerciales. 16 industrielles et 27 commerciales et industrielles. Le pro- 
gramme de mathématiques commun pour les deux genres d écoles comprend 
rarithmétic|ne, lalgèbre, le dessin à Péchelle, les mesures et la géomé- 
trie expérimentale. Pour les écoles commerciales, ou trouvera eu outre les 
diverses opérations de banques et transactions commerciales et pour les 
écoles industrielles la trigonométrie, 1 algèbre graphique, la cinématique et 
1 usage d'instruments tels que la règle à calcul, le vernier, le micromètre et 
le théodolite. La spécialisation dans les branches domestiques pour les 
Ecoles Centrales de jeunes filles est poussée un peu plus loin que dans les 
écoles ordinaires. L'enseignement mathématicjue des classes industrielles 
est plus varié et plus concret que celui des classes commerciales. 

Quant aux mé-thoces d'enseignement, il est certain qu'elles s améliorent. 
La réforme la plus caractéristique a été le développement du côté pratique 
de l'instruction dont il a déjà été question plus haut. Dans certaines classes, 
on permet aux élèves de composer eux-mêmes des problèmes; c'est un pro- 
cédé avantageux qui déviait être lépandu dans toutes les ('-coles. En outre, 
différents systèmes sont expérimentés et pourront conduire à de bons résul- 
tats. En somme, on cherche de plus eu plus à inlc-resser I enfant et à lui 
faire prendre une part plus active à son propre développement. 



1 50 .\ o T !■: s K T !)()( l: m !■: A' T s 



N" h. — L'enseignement des mathématiques élémentaires dans les écoles 
publiques élémentaires d'Angleterre. 

The Tearhing of Elemeiitary mathematics i/t Eiiglish Public Elementary 
Schools '. by Mr. H. .J. Spicncicr. Head Miislcr of ihe Bloomlîeld Hoad Conii- 
cil Scliool. \N oolwicli. — En Angleterre, les écoles élémentaires propre- 
ment dites sont suivies par des enfants de 4 à 14 ou 15 aus. Les quatre pre- 
mières années de cette période se passent à 1 école préparatoire ou école 
enfantine (infanl school) et le reste du temps dans les degrés supi-rieurs 
(senior departnienl i. 11 faut citer en outre les Ecoles Centrales iCentral 
Schools). qui deviennent de plus en plus nombreuses et occupent une place 
importante dans l'enseignement élémentaire. 

Des transformations considérables se sont opérées dans nos écoles du- 
rant ces dix dernières aimées, particulièrement dans l'enseignement mathé- 
matique. L'ancienne méthode, qui consistait à traiter les diverses opérations 
de I arithmétique par des procédés purement mécaniques, imparlaitemeul 
compris, est remplacée par un enseignement plus objectif, où le côté prati- 
que joue un rôle prépondérant. Mais cette réforme est loin d'être complète, 
car les maîtres anciens, qui ont 20, 30 ou 40 années d'expérience, ont de la 
diflicuhé à se conformer aux nouvelles exigences. 

Le programme connu sous le nom de Scheme B, et publié en 1894 par le 
Board of Education, marque déjà un progrès sensible sur les précédents : 
il en a été parlé à propos du rapport .S. A partir de celle date, chaque 
école eut à établir son propi-e plan d'études. Malgré l'amélioration que l'on 
a pu constater durant ces dix dernières années, renseignement nialhéinalique 
laisse encore bien à désirei" dans la plupart de nos écoles. 

Aux yeux de l'auteur, les mathématiques dans les écoles élémentaires de- 
vraient, dans les conditions actuelles, coraprendie les sujets suivants : 

L arithmétique telle qu on l'envisage habituellement, l'arithmétique prati- 
que, la géométrie simple, étudiée expérimentalement, avec travaux de cons- 
truction et peut-être, dans les classes supérieures, un peu de travail dé- 
ductif. Les mesures simples. 

L algèbre, en tant qu arithméticpie généralisée et dans sa forme la plus 
simple, conduisant à 1 usage de 1 ét[uati()u simple [lour la résolution de pro- 
blèmes d arithmétique. 

De plus, en ce qui concerne la valeur et le but de renseignement malhé- 
mati([ue dans les écoles élémentaires, il faut spécifier : 

1. Que le jeune enfant doit y acquérir et utiliser intelligemmeni les no- 
tions et procédés fondamentaux relatifs aux nombres. C est là la tâche es- 
sentielle des écoles enfantines. 

2. Que l'enfant doit y ac(juérir la rapidité et 1 exactitude sullisante dans 
les calculs jjour répondre aux besoins ordinaires de la vie couiante. 

\\. Qu'il doit être capable d'appliquer les principes de son travail matln'-- 
matique à ces besoins. 

4. Qu il doit arriver à une connaissance sufTisanle des opéiations sur les 
nombres et de leur aspect quantitatif, pour être capable d'apprendre et de 



' l'rii-e twoiicnci: H;ilfpeiinv. 



NOTES i:i !)(>< l MENTS loi 

comprendre les procédés commerciaux ou industriels auxquels il pourra 
avoir affaire. (Ceci ne veuf nullement dire que les méthodes commerciales 
ou industrielles doivent être enseignées à lécole.l 

5. Que renseignement des mathématiques élémentaires, par sa nature 
même, doit fournir un eutrainement intellerluel tout spécial (investigation, 
analyse, synthèse, comparaison, raisoinicment, déduction, induction). 

Les quatre derniers points nous font envisager les mathématit|ues à cicu.v 
points de vue : 

«j L aspect utilitaire concernant la piatique de tous les jours. 

h) Les mathématiques comme entraînement intellectuel et méthode de 
pensée. 

Les avis sont partagés relativement à ces deu.x aspects. Insistons cepen- 
dant sur le fait que l'eut raînemeni intellectuel peut s acquérir en grande 
partie par un travail d'un geni-e essentiellement utilitaire. 

Vient ensuite un programme complet de renseignement de 1 aiMlliméli(|ue 
dans les écoles enfantines et les degrés supérieurs. 

Examinons maintenant quelques didicullés du ressort de 1 adminisliMtion 
scolaire. 

1. Les classes trop nombreuses. Certaines classes ont jusqu'à 50 ou 60 
élèves. Or les mathématiques, plus que toute autre branche, réclament une 
grande attention individuelle et un échange de vues constant entre maître et 
élève, idéal déjà difficile à atteindre avec des classes de 30 à 40 élèves. 

2. Les exigences toujours croissantes des programmes L'arithmétique et 
sujets relatifs (géométrie et un peu d algèbre) comprenant 2 '/j h. à 5 h. par 
semaine. Il faut y joindre toutes les autres branches (anglais, histoire, géo- 
graphie, dessin, sciences, ouvrage à 1 aiguille pour filles, travaux manuels 
ou sujets domestiques, musique et exercices physiques. 

'6. Dans les grandes villes, le directeur de 1 école cesse souvent d être 
réellement un maître. Il esl trop occupé par son travail administratif. Sou- 
vent même le personnel enseignant doit le seconder dans cette besogne, et 
cela porte préjudice à cette continuité progressive si nécessaire au travail 
mathématique. 

Passons aux défectuosités touchant à 1 enseignement même. 

1. L'enseignement de 1 arithmétique et de la géométrie n'est pas sullisam- 
ment concret. Il faut reconnaître cependant que, dans bien des écoles, des 
tentatives sont faites pour développer ce côté-là de renseignement (usage 
de cartes, briques, papier quadrillé, pièces, balances, etc.) : malheureuse- 
ment, ce mouvement esl loin d'être général. Mais même lorsque l'impor- 
tance du travail pratique esl reconnue, on ne lui attribue souvent pas la 
vraie place et la limite qui lui conviennent. Il no faut pas qu il se réduise à 
la réj)étiliou d'exercices purement mécaniques. 

2. Le travail oral esl insudisamment praliqué. si on le compare ;»u travail 
écrit, spécialement dans les degrés inférieurs de la Senior School. 

'.\. Dans beaucoup d'écoles, on n accorde pas une attention sudisante aux 
quel(|ues principes et procédés fondamcnlanx : on leur substitue ties règles 
mécaniques qui coniribucjil bien peu au développemenl intellectuel des 
élèves. 

4. On se plaint généralement de ce (jue I arithmétique n Cst pas reliée aux 
autres sujets du progi-amme scolaire. L'algèbre, la gc-ométrie. les travaux 
manuels, les sciences et la géographie sont les bi-anches pour lesquelles 
cette corrélation a le plus d'importance. 



1 52 .V () l E s ET DO C U M E N T S 

5. Les progritnimcs sont souvent siiroliargés de questions inutiles et 
d'opérations qui ne se rencontrent jamais dans la pratique. 

6. L introduction des fractions ordinaires et décimales se fait trop tardi- 
vement, et les tractions décimales ne sont pas étudiées suffisamment ; on 
les convertit trop souvent en fractions ordinaires. 

7. On devrait encourai^er les élèves à évaluer grossièrement leurs résul- 
tats à priori et à les vérifier après coup grosso modo ; à traiter leurs pro- 
blèmes par une seconde méthode servant de preuje à la première. 

8. Durant ces dernières années, on a quelque peu abusé des représenta- 
lions graphiques dans certaines écoles. 

Ce qui a été dit précédemment s'applique également, eu principe, aux 
Ecoles Centrales (Higher Elementary or Central Schools): Les mathémati- 
ques y sont plus approfondies que dans les écoles élémentaires ordinaires 
et les élèves y reçoivent une préparation industrielle ou commerciale plus 
effective. Ces écoles, du reste, diffèrent considérablement suivant les loca- 
lités. A Londres, on peut les classer eu trois catégories : Les unes présen- 
tent un caractère commercial, les autres ont une tendance industrielle, et 
les dernières présentent une combinaison de ces deux points de vue. 

On trouvera dans le rapport même un programme d'une Ecole centrale 
de Londres, située dans un district industriel. Le temps consacré- aux ma- 
thématiques et branches corrélatives se répartit à peu près comme suit : 
Dessin géométrique, 1 h. ; autre dessin, 2 h. ■. arithmétique, algèbre, géo- 
métrie théorique et géométrie pratique. 5 7^ h- J sciences, 2 72 h. ; main- 
d œuvre (handicraft), 2 '/2 h. 

L'école comprend quatre années d'études, les élèves y entrent à 11 ans, 
leur nombre varie de 30 à 40 par classe. Dos laboratoires de physique et de 
chimie, ainsi qu'un atelier pour le travail du bois et des métaux y seront 
probablement aménagés. 

Environ 60 à 70 pour cent des élèves deviennent d'habiles industriels (spé- 
cialement mécaniciens), quelques-uns embrassent une carrière commerciale, 
et le reste est destiné à diverses vocations de second oi'dre. 

Dans ce résumé sommaire, nous ne pouvons entrer dans les détails con- 
cernant les différentes branches mathématiques enseignées dans les Central 
Schools, on les trouvera dans le rapport même. Contentons-nous de faire 
quelques remarques sur la méthode d'enseignement de l'arithmétique et sur 
les moyens d'en tirer le plus grand parti possible. 

Les résultats doivent être acquis autant que possible pratiquement, par 
l'expérience individuelle des élèves. Qu on résolve d abord les problèmes 
d'une façon concrète, dans la mesure du possible, à l'aide d'un matériel ap- 
proprié, afin ([ue l'enfant soit à même de comprendre clairement les ques- 
tions qui lui sont soumises. Traiter ces questions par diverses méthodes 
se confirmant les unes les autres. Pratiquer surtout l'enseignement oral. 
Avancer l'étude des fractions décimales. S'appuyer sur les quelques pro- 
cédés et principes fondamentaux plutôt que sur un certain nombre de rè- 
gles fixes. Généraliser graduellement rarithméti(|ue ordinaire ; introduire de 
bonne heure le symbole x et l'équation algébrique. Utiliser de petits nom- 
bres. Rechercher les corrélations réelles de l'arithmétique et des autres 
branches. N introduire les symboles que lorsque le besoin s'en fait sentir: 
faire comprendre aux élèves toute leur utilité, et. dès qu'ils commencent à 
abandonner d'eux-mêmes les procédés concrets, les encourager à se servir 
«les méthodes abstraites dans les divers domaines d'expérience. 



>• O /• /:' > H T I) () C U M E N T S 1 53 

N" 5. — Le programme de l'Algèbre à l'Ecole Secondaire. 

The Algehra Syllul/iis in l/ie Secondai) School, by Mr. G. Godirky, Head- 
mastei- ^)^ tlie Royal Naval (Collège, Osborne. 

I. Introduction. — Ou peut diviser les élèves qui éludienl les malliéma- 
tiques dans les Ecoles Secondaires en trois catégories : 

1. Ceux qui désirent se vouer aux matliémati(|ues et éfudieroni plus tard 
les mathématiques supérieures à TUniversité. 

2. Ceux (|ui se destinent à la carrière d'ingénieur on pour lesquels les 
mathématiques constituent une des branches importantes de leur éducation. 

'•i. Ceux qui étudient les mathématiques comme une branche de leur édu- 
cation j^énérale. 

Nous désignerons les élèves faisant partie des deux premières catégories 
par le terme de spi'cialistes, les autres par celui de non-spécialistes. 

Les spécialistes forment une importante minorité chez les garçons et sont 
en nombre insignifiant chez les filles. 

L'enseignement de 1 algèbre, tel qu'il se pratique actuellement, sacrifie 
les intérêts des non-spécialistes à ceux des spécialistes. C'est là un des 
points dont s'occupe tout particulièrement le présent rapport, et pour le- 
quel il faudra trouver un remède, tout en se gardant de tomber dans l'autre 
extrême et de sacrifier les intérêts des spécialistes à ceux des non-spécia- 
listes. 

Lorsque les intérêts de deux groupes d étudiants divergent, le premier 
remède est, semble-t-il, de les séparer en deux classes distinctes. Mais il 
est difficile de distinguei- de bonne iieure un spécialiste d un non-spécia- 
liste, et la bifurcation ne peut guère se faire avant 1 âge de 16 ans. Ensuite 
cela complique 1 organisation de lécole et nuit à sa solidarité. 

L'n meilleur pi-oci-dé consisterait à élaborer un programme convenable 
(|ue to»is les étudiants pourraient suivre jusqu à un certain degi'é. Les non- 
spécialistes ne poussei-aieut pas plus loin leur éducation mathémali(jue sco- 
laire, et il resterait encore une ou deux années aux spécialistes pour com- 
pléter la leur. Ce procéd.é est du reste généralement adopté dans les écoles 
anglaises, mais la difficulté réside dans 1 élaboration d un programme com- 
mun satisfaisant simultanément les intérêts des deux catégories d'étudiants. 

Tous les élèves, en quittant l'école, vers l'âge de 19 ans, devraient avoir 
une conuaissance suffisante de la trigonométrie et une idée des principes les 
plus simples de la mécanique étudiés expérimentalement. On devrait aussi, 
selon l'opinion de t|uplques-uns, les initier aux notions fondamentales du 
calcul infiniti'sinial. .Mais, pour introduire ce nouveau domaine, il est néces- 
saire de lui faire de la place et de se débarrasser de certaine matière en- 
combrante. Ce procédé de désencombrement s'est déjà pratiqué d'une ma- 
nière sensible en géométrie : en arithmétique, il reste encore beaucoup à 
faire à ce point de vue. .\Lns, dans ce rap|)ort, nous devons nous occuper 
plus spécialement de l'algèbre et de la sélection concernant ce domaine. 11 
s'agira de distinguer entre l'essentiel et le superflu. 

II. I.'algi'hre dans le programme de l Ecole Secondaire. — Les premières 
années du XX* siècle constituent ime cpoiiue d'importantes transformations 
en matière éducative, et spécialement dans le domaine des mathémali(jues. 
.autrefois, ce domaine était plus ou moins considéré comme une branche 
à pari ayant ses propres méthodes et poursuivant son pro|)re idéal, idéal 

I. 'Enseignement nuitliéni., l'i'iinni'C; 1;)I2. Il 



1 5 1 y on: s i: r doc u m ea t s 

que 1 on pour rail désigner en gros par les ternies de k discijjline de l'es- 
prit ». Aetuellement, il en est tout autrement ; les empiétements des mathé- 
matiques dans d autres domaines se font de jour en jour plus importants : 
les ingénieurs, physiciens, chimistes se réclament de plus en plus de leurs 
résultats. Ces transformations, en ce qui concerne les études élémentaires, 
furent surtout sensibles en géométrie et en arithmétique. En outre, un im- 
portant mouvement s'est manifesté en faveui- du fusionnement des diverses 
branches des mathématiques. 

Quant à l'algèbre, il importe de l'envisager de façon dilfércnle. suivant 
qu on la considère comme brancito d'étude scolaire ou comme moyen d in- 
vestigation du mathématicien. A 1 école, 1 algèbre doit être utilitaire, dans 
son sens le plus large, et l'élève doit être capable d en ressentir le besoin 
et d en comprendre l'utilité. L usage des lettres en guise de nombres est un 
procédé qui se présente naturellement à l'esprit humain. L'expérience mon- 
tre que le symbolisme, introduit avec discrétion au moment psychologique 
voulu, semble naturel aux élèves cl est accepté sans aucune contestation. 
Toutes les opérations élémentaires de 1 algèbre sont des exemples de géné- 
ralisation symbolique, et elles peuvent très bien servir comme moyen d'in- 
troduction dans ce domaine. Le pi-ogramme mathématique peut être consi- 
déré comme un organisme s accroissant peu à peu, chaque nouveau sujet 
s'appuyant sur les précédents. Peu à peu de nouveau.v objets se présente- 
ront comme domaine d'investigation de lalgèbre, entre autres la géométrie 
et la physique, et enfin le calcul infinitésimal. Pour que renseignement soit 
un acheminement progressif vers le calcul infinitésimal, il faut développci- 
par tous les moyens ce que les Allemands appellent la « Funktiondenkeu » 
et que nous désignerons par I « idée de fonctionnalité ». I.,e monde e.vtérieur 
présente une foule d exemples propres à illustrer cette notion. En fait, nous 
vivons dans une atmosphère de fonctionnalité. La physi([U(', entre autres, 
est particulièrement riche en exemples de cette nature; la géométrie (y com- 
pris la trigonométriel également. Du reste, lopinion que la notion de fonc- 
tionnalité doit foi'mer l'idée directrice de renseignement mathématique est, 
à Iheure qu'il est, très généralement répandue. 

III. Détails concernant le programme des non-spécialistes. — Si, dans 
l'enseignement secondaire, ou consacre à lalgèbre une partie excessive du 
temps destiné au.x mathématiques, cela tient à ce que les maîtres se préoc- 
cupent avant tout de faire acquérir à leurs élèves une grande habileté dans 
la manipulation mécanique d expressions algébriques. Ce qui ne veut pas 
dire qu'ils exercent leurs élèves à celte manipulation mécanique sans leur 
faire comprendre ce qu ils font, mais ils désirent que leurs élèves compren- 
nent, afin de manipuler correctement : or, c'est précisément 1 inverse qui 
devrait avoir lieu. Le but à poursuivre ne consiste pas dans une habile ma- 
nipulation, mais bien dans la compréhension du sujet et dans son utilisa- 
tion appropriée. Ce n'est pas à dire que tout exercice niécanique doive dispa- 
raître du progi'amme ; mais qu il se fasse de préférence sur une malièr-e utile. 
L'auteur passe ensuite en revue, dans une discussion serrée, les divers 
domaines de l'algèbre telle qu'elle est enseignée à l'Ecole Secondaire. Il fait 
diverses propositions conceruani la suppression de nombreux sujets ne pré- 
sentant pas d'utilité pour les non-spécialistes. Il n est |)as possible d entrer 
ici dans les détails sur les raisons qui motivent cette suppression. Bornons- 
nous à citer ces sujets : Démonstrations formelles des lois fondamentales : 
facleui'S dépassant le second degré; fractions |excepté celles ayant poui- dé- 



.V () r K s K r t)^Q<u M E s / s I :. r. 

nuiiiiiiatt'iii' iiii moiioino ou une expression linéaire) : le plus grand conininn 
diviseur ; longues muUipliealions el divisions ; équations linéaires sirnnlla- 
iiées à trois inconnues ; étjuatioiis littérales (sauf celles relatives à des for- 
niulesl ; racines carrées de polynômes : progressions; démonstrations for- 
melles des lois concernant les puissances : exercices compliqués sur les 
puissances à exposants fractionnaires et négatifs et sur les quantités irra- 
lionnelles ; équations simultanées dans lesquelles les deux équations sont 
du serf)nd degré ou de degré supérieur : le théorème du reste |si un poly- 
nôme f{x\ est divisé par .* — c, le reste est f\c\ ) ; nombres imaginaires et 
complexes ; théorèmes sur les rapports et proportions ; théorie du trinôme 
du second degré ; permutations el combinaisons ; échelles de notation : 
binôme, série exponentielle et logarithmique; artifices de calcul et manipu- 
lations « élégantes ". 

Par contre, on consacrera plus de temps à l'étude de la variation de deux 
quantiti's liées par une relation simple. Une seule variable indépendante est 
bien sullisante pour une première étude de la variation. 

Grâce aux suppressions proposées (et à d'autres qui pourront se faire 
également dans le programme d arithmétique), on disposera d un temps suf- 
(isant pour introduire les trois sujets suivants : trigonométrie numérique; 
mécanique; calcul infinitésimal. 

La trigonométrie sera étudiée dans ses relations avec la géométrie, lai- 
pentage. la mécanique, etc. Elle comprendra une étude numérique el gra- 
phique de la tangente, du sinus et du cosinus ; la résolution des triangles 
rectangles, d abord sans l'aide des logarithmes; la résolution des triangles 
quelconques, d abord par décomposition eu triangles rectangles, puis à 
l'aide ties deux formules 

-,— . = J--^ = -^, et r/2 = 1,^ -j- c^ —2 AccosA ; - 
sinA siu B sni(. 

de nombreuses applications concrètes; pas d'autres foi-mulcs (jue les deux 
précédentes el 

. s i n A ., , . ., . 

tgA =: , cos- A -\- snrA =: 1 . 

cos A 

En mécanique, on s occupera des sujets suivants : recherche expérimen- 
tale des conditions d'équilibre de ti"ois forces; composition et décomposi- 
tion de forces: moments; centre de gravité: frt)ttement ; mesure du travail, 
de la vitesse et du rendement «les machines simples ; la notion de la conser- 
vation de l'énergie. 

Pour le calcul infinitésimal, il faut recommaiidei- le livie de M. J. N\ . 
Mercer, of the Royal Naval Collège, Darlmouth : « Calculus for Beginiiers ». 
On déterminera d abord le gradient (la pentel eu un point dune courbe, 
graphiquement et analyti(|uement . l ne fois en possession de cette notion 
fondamentale du calcul iniinitésimal, on traitera successivement les sujets 
suivants : diagrammes des espaces et des vitesses: différentiations simples: 
maxima el minima dans les cas ne présentant pas de diflicultés insui inonta- 
bles : intégrale indéfinie : intégrale définie; relation entre les deu\ : nom- 
breuses applications (aires, volumes, centres de gravité, travail}. 

Si l'on compare le programme qui précède avec le plan d'études corres- 
pondant des lycées français, on se rendra facilement compte qu il n'a rien 
d'exorbitant, d'autant plus qu'en Angleterre le temps consacré aux matlu- 
matif|Mes est euvirf>n le double de celui dont on ili--pose dans «'es lycées. 



156 yOTKS ET DOCUMENTS 



ITALIE 

Les études de doctorat en mathématiques 

et la section de mathématiques des écoles de préparation 

à l'enseignement moyen. 

Siigli studi per la Imirea in Mateiuatica e stilla sezione di inateinatica 
délie siiiole di magislero. Relazione di S. Pincherle, professoie nella 
R. Università di Bologna. 

Les Fai'iillés de Sciences possèdent nne section de niatiiéinaliqnes dont 
le but est double : 

1" Donner aux futurs ingénieurs la préparation qui leur perineltia de sui- 
vre les « Ecoles d application ». 

2o Préparer les aspirants au doctorat en niatliéniatiques. 
Le premier point devant faire 1 objet d un rapport spécial, c'est au second 
que M. Pincherle consacre son exposé. 

Le doctorat en malhéniatiques s'obtient légalement après quatre années 
d'études, les deux premières conduisent à la licence qui donne accès aux 
Ecoles d'Application ou encore au second cycle de deux ans de mathémati- 
ques pures. 

En 1906, les deux licences jusqu'alors identiques ont élé diféi-enciées du 
tait que les candidats aux écoles d'application ont à subir un examen de 
Minéralogie et un autre de dessin artistique et d'architecture élémentaire, 
tandis que les branches suivantes sont obligatoires pour les deux licences : 
Plivsif/ue, Chimie organique et inorganique. Analyse algébrique. Analyse 
infinitésimale, Géométrie analytique, Géométrie projective et descriptive avec 
dessin. 

En outre des exercices obligatoires pour les élèves des deux sections ont 
lien sous la direction d assistants : Analyse algébrique et infinitésimale. 
Géométrie analytique et descriptive. 

Le double but de ces études préparatoires entraîne quelques inconvénients, 
il faudrait pouvoir donner une direction dillerente à plusieurs dos cours 
obligatoires selon qu ils sont destinés à de futurs ingénieurs, à de futurs 
savants ou à de futurs maîtres de l'enseignement moyen. Dans quelques 
universités on a cherché un remède d'ailleurs insuffisant en créant ([uelques 
cours supplémentaires destinés exclusivement aux étudiants en mathéma- 
tiques pures. 

Ailleurs l'inconvénient risque de s'accentuer si, comme elles en ont l'in- 
tention, quelques Facultés, imitant les cours de préparation aux écoles po- 
lytechniques, introduisent la Mécanique rationnelle dans le programme des 
deux premières années, il pourrait en résulter que d autres cours essentiels 
perdent la profondeur et l'extension nécessaires aux mathématiques pures. 
Après deux ans d étudf- les nf)u veaux « licenciés » se séparent, 7 à 10 "/o 
d'entre eux poursuivent les études malhémati(|ues pures: on compte parmi 
ces derniers près de la moitié de demoiselles. 

Ils ont à suivre les conférences de 1 école de préparation à l'enseignement 
inoven (Scuola di Magistero I et cinq ou six des cours suivants : Analyse su- 
périeure. Géométrie supérieure, Mécanique rationnelle. Mécanique supé- 
rieure, Géodésie théorique, Astronomie, Physique mathématique. 



N O TE S E r h () C UMEN l S 1 57 

Seule la Méc<t/ii(fne rationnelle se retrouve partout, confiée à un titulaire, 
une ou plusieui's des autres branches man(|ueQt à ti'lle ou telle Faeullé. 

Tout étudiant ayant suivi le cours de Mécanique lalionnelle et au moins 
quatre des autres cours, après avoir subi les examens oraux qui s y rappor- 
tent, peut se présenter à l'examen de doctorat auquel procède avec une cer- 
taine solennité une commission de onze personnes (sept professeurs de la 
Faculté et (pialre privat-docents). 

L examen comprend la discussion dune dissertation écrite, présentée par 
le candidat (thèse de doctorat), et l'exposition orale de deux ou trois sujets 
de moindre importance (petites thèses orales). Si le candidat obtient des 
onze examinateurs une moyenne d au moins 6 sur 10, il se voit proclamé 
« Docteur en Mathématiques » par le doyen de la Faculté. 

Des candidats qui satisfont strictement an minimum lég'al, qui sont favo- 
risés d'un peu de mémoire et de l'indulgence du jury peuvent obtenir ce titre 
sans posséder une culture mathématique bien exceptionnelle. 

Mais souvent aux quatre années réglementaires d études les candidats en 
ajoutent une cinquième, facultative (telle est de longue date la coutume à 
Bologne), destinée à la préparation de la thèse el à l'audition de cours spé- 
ciaux comme ceux de l Ecole normale supérieure de Pise. de 1 « Instituto 
consorziale » de Pavie, des séminaires mathématiques récemment créés aux 
Facultés de Sciences de Rome et de Naples. 

L occasion ne manque pas dans les princij)ales universités, d acquérir une 
profonde et large culture mathématique; on peut néanmoins exprimer quel- 
ques désirs, par exemple de voir différencier plus nettement la direction 
scientifique du but professionnel, de voir diminuer le nombre des établisse- 
ments scientifiques afin de permettre la création de quelques grands foyers 
intellectuels. 

Aux Facultés des Sciences sont adjointes, en vue de la préparation des 
maîtres des écoles moyennes, des « Scuole di Magistero w où un à deux pro- 
fesseurs donnent des cours sur les méthodes d'enseignement et sur les 
limites du programme des écoles secondaires. 

Le diplôme de « maître » décerné par ces écoles esl recherché lors de la 
nomination de professeurs secondaires. 

L influence de ces écoles est malheureusement insuffisante, le jieu d'impor- 
tance que les règlements leur attribuent est caractérisé par le maximum 
de une heure de cours j)ar semaine et pai- les honoraires dérisoires qu on y 
consacre. Dans quelques Facultés elles n'existent que de nom et si dans 
quelques autres leur efficacité est effective, on le doit à liniliative person- 
nelle et désintéressée de quelques professeurs. 

La disposition qui met les écoles secondaires k la disj)Osition des «Scuole 
<li Magistero » comme chamj) d'exercice est restée lettre morte. 

Dans quelques universités des prix récompensent les meilleures thèses, 
par exemple la P'ondation Gorsi à Rome, les prix Vitlorio Emnianiiele el 
Merlani à Bologne. 

Le rapport de ^L le Prof. Pincherle contient une statistique des nombres 
d'élèves inscrits au cominencement de la IJ"'*' année d'études et de promo- 
tions au grade de docteur dans les universités de Bologne, Gènes, Xaples. 
Padoue, Pavie, Pise, Rome et Turin d'année en année de 1890 à 1909. 

Le rappoi't du nombre de gradés au nombre d'inscrits est faible, la 
moyenne pour ces 18 ans varie de 8 ° o à Gènes, à 19 " o à Rome. Padoue se 
tlistingue avec 29 "/o. 



1 5« .\ () T E S E T IKJC U MKN T S 

Il y a litMi «le remarquer i|in' le nombre de proinolicfiis ii a presque pas 
subi d auguieiilaliou durant les 15 deruiè-es années : de lS92-l8i('i on en 
fomple fi» el de 1907 à 1909 seulement 6ti. 

Durant la même jx-riode le nombre des écoles moyennes est allé- en aug- 
mentant, beaucoup de sections parallèles ont été cri*ées, si bien (|ue la 
demande de maîtres est devenue supérieure à 1 offre, la <Tise paraît probable 
daus ua avenir assez rapprociié : — elle sera cependant retardée par la ten- 
dance nouvelle des femmes à se porter nombreuses vers la cariière tle l'en- 
seignement des malbématiques. 

Cet élément nouveau, préoccupé davantage de la coiujuèle du diplôme 
ouvrant un avenir déterminé que de recherches scientifiques, contribue, au 
dire du i-apporleur, à abaisser le niveau scientifique de len'SeigQemeul uni- 
versitaire des mathémati(jues. 

T/observation de la situation actuelle suscite quelques criticpies. 

A l'origine le but essentiel des facultés de sciences était la préparation aux 
recherches scientiliques, les pi'éoccupalions professionnelles (pii en consli- 
lueut nue dérivation en sont venues à le submerger. 

Les « Scuole ili Magistère» ne peuvent tenir compte des travaux critiques 
de ces 20 dernières années, et ne peuvent mettre les futurs maîtres au cou- 
rant dès discussions, au.xquelles ont été soumis les postulats, qiiiml à leur 
nécessité, indépendance, etc. 

Les examens de doctoral ne donnent pas actuellemeul une garantie siilli- 
sante de la généralité des connaissances du candidat. 

Une expérience d'une trentaine d années a persuadé le rapporteur de I uti- 
lité des réformes suivantes : 

1" Durant les 2 premières années d'études il y a lieu df séparer les aspi- 
rants au doctoral des élèves ingénieurs. 

2" D'ajouter aux épreuves orales des examens écrits d algèbre, géométrie 
analytique, géométrie projeclive. calcul diflerentiei et mécanique ration- 
nelle. 

."i" Nul ne sera admis en 3'"^' année sans avoir subi avec succès toutes les 
«'•preuves orales et écrites des 2 premières années. 

'i«^ Les 2 dernières années comprendront : 

aj Des cours, fondamentaux, obligatoires, de mécanique i-ationnelle, de 
théorie des fonctions; — des compléments de géométrie el de physique 
mathématique. 

h) Des cours complémentaires destinés à prépare!' aux rechei'chcs. tels 
(|ue des chapitres spéciaux d'analyse, etc. 

r) Un séminaire scientifique pour commenl(,'r. sous la direction d'un pro- 
fesseur des travaux classiques, d'importants mémoires récenis, et préparer 
les «'levers à la ri'daction de monographies scienlilitjues. 

ôo Ceux qui se |M'éparcnt à ItMiseignement y «onsacreronl «omplèlement 
la V"« année. 

D'une part dans «les c«jnrs spéciaux de malh«''matiqucs élémentaiivs : 

a) Comme révision des matières étudiées dans les écoles élémentaires. 

hj Au point «le vue pédagogique <.'t méthodologique. 

cj En examinant les liens entre les parties élémentaires el les parties les 
jdus élevées de la science. 

I) autre part en donnant des lecijus en qualité n d apprenti » dans les écoles 
secondaires, conform«.Mnent au vœu exprimé par la Société c< .Malhesis «. 

t)° On recomman<lera aux élèves de 'i'"" année d<; suivr«' des cours propres 



.V (> I E S i>: r DOC V M E N r s \ 59 

à élemlie leur tiiluiic i;éiit''ial<' ibioloyie, philosophie, Chr. I et on cxif>^i'r;t 
d f'iix une coniiaissanc».' siiflisaiile do langues otraugères. 

7" La sanction aux éludes parrournes se donnera de 2 manières : 

a) Far un dooloi-al sciciitifitiuii exigeant la présentation d une thèse nou- 
velle dans les résultats ou dans la n)<''lho<le, une discussion scientifi(|n<' tl la 
présentation d'une petite thèse orale. 

Les candidats auraient à suivre le séminaire scientifi(|ue et les cours cités 
sons eliidre 4, a et h. 

/>/ Par un doctorat didactuiue Q\'\^i:ii\\\ : un colloque scienlilico-ilida<'ti<iue, 
— la rédaction de deux travaux écrits, lun de méthodologie, lautre de géo- 
nn-trie, de mécanique ou de physique mathématique; — la discussion de 
petites thèses orales. 

I>es candidats auraient à suivre les cours du n" 'i a) et du n° 5. 

l'andis que le doctoral scitMitilique serait demandé aux privat-docents. le 
doctorat didacli((ue donnerait accès à l'enseignement moyen. 



Sur l'organisation des deux premières années d'études universitaires 
des mathématiques. 

/nlorno ail ovclinamenlo degli sludi nialeinatici iiel primo hienniu univer- 
sitario in Italia. — Relazione di C. So.migmana, professore nella R. Univer- 
sità di ïorino. — Les deux ordonnances olllcielles les plus importantes de 
toutes les lois et l'èglemenfs (jui oi'ganisenl les éludes universitaires durant 
les deux pi-emières années sont : 

1" le règlement (Mamianii de I8tj0. 

•1" n iBonghi) de 1885. 

Le premier divisait les l'acullés de sciences en quatre classes : Malhéma- 
lii|nes, Physique. (Ihimie, .Sciences naturelles. Tandis que les trois dernières 
classes comprenaient quatre aimées détudes. celle de Mathématiques n'en 
coniplaient que trois permeltanl d enti-eprendre des études d'ingénieur et 
portant sur les branches . fntroduction au calcul, Calcul différentiel et inté- 
gral, Mécaniffue rationnelle, déodé-tie. Pliysique erpérimentale. Chimie, 
Ciéometrie descriptive. Dessin. 

Le règlement Bonghi divise les études aux t'acnll('s de sciences en deux 
cycles de 2 ans chacun. Le premier cycle est le même pour les étudiants 
de mathématiques et pour les physiciens, il aboutit à la licence physico- 
mathématique qui donne accès soil aux écoles d application, soit au deuxième 
cycle scientifique. 

Les branches d'études du |)reniier cycle did'èrent quelque peu de celles 
qu'introduisait le règlement antérieur, l'introduction au calcul a disparu 
pour (aire place à \ analyse ulgéln ique, à la géométrie analytique et projec- 
tile : la mécanique rationnelle se trouve renvoyée au deuxième cycle. 

Cette (jrganisation à tendance essentiellement théorique se retrouve dans 
la plupart des facultés, particulièrement à l'iniversité de Pise qui se pré- 
occupe de pi'élérence de recherches purement scientifiques. 

A côté de cette concej)iion ([ue nous désignerons sous le nom de classique. 
les préoccupations des sciences appliquées se sont fait une place particu- 
lière, nous les trouvons à Milan avec le Ji Istituto Tecnico Superiore prévu 
par la loi Casati de 1859. fondé en'ecl ivemeiil en I8ti'> el inspir»- essentielle- 
ment par Francisco Brioschi. 



160 .V O T E S ET DO C L M E N T S 

A Milan, le calcul infinilésiiiiai est enseigaé dès la preniiète année, réuni 
à 1 algèbre et à la géoniétrie analytique en un cours unique de 2 ans. I-a 
géométrie projective et la statique graphique sont confiées au même pro- 
fesseur, la mécanique rationnelle est ramenée en deuxième année. 

Les préoccupations pratiques ont encore la prépondérance à Turin an 
« Politecnico » londé eu 1906 et à la Faculté des Sciences de Padoue. dont 
le premier cycle de 2 ans a été rattaché à l'Kcole d ingénieurs en 1908. 

En examinant spécialement chaqui' branche, nous ferons mieux com- 
prendre le développement de chacune des deu.\ tendances. 

Analyse algébrique. — La présence d'un cours d'algèbre a occasionné la 
publication de différents traités qui peimettent de constater les méthodes 
suivies dans cet enseignement. 

L œuvre très hautement scient iliquc de Alfredo Cai-elii, les Istituzioni di 
Analisi algebiica dépasse les programmes généralement parcourus ; mais le 
Corso di Analisi algehrica con introduzione al calcolo infinitésimale fie 
Ernesto Cks.vro donne une idée plus e.vacte des limites habituelles. 

L'algèbre est actuellement une des matières les pU's discutées de 1 eusei- 
gnement. et considérée comme un pur luxe théorique par ceux que préoc- 
cupe la nécessité de simplifier la préparation mathématique des ingénieurs. 
Cette bi-anche a disparu des programmes à Milan, Turin. Padoue,- mais ou 
en retrouve des chapitres : Déterminants, équations linéaires, résolution des 
équations, etc.. servant d'introduction au cours d'analyse infinitésimale. 

Analyse infinitésimale. — L enseignement du calcul infinitésimal a du son 
caractère original au professeur Dim dont l'enseignement à Pise a eu une 
grande répercussion dans tout le royaume. Dini fut un des premiers à re- 
connaître la nécessité d'une revision générale des principes et des méthodes 
du calcul infinitésimal, et il 1 accomplit en apportant dans ses cours une 
rigueur paifaite. 

Cette reconstitution des éléments fondamentaux de l'analyse infinitésimale 
a évidemment une importance historique de premier ordre, mais on peut se 
demander si, maintenant qu'on se rend un compte exact des résultats de la 
critique moderne, il est nécessaire do conserver comme matière de cours 
toutes les discussions c\ tous les développements du mouvement cri- 
tique. 

Il paraît impossible de donner à 1 analyse infinitésimale un caractère de 
simplicité indispensable à une théorie destinée en majeure partie à de futurs 
ingénieurs en conservant comme élément fondamental la notion générale de 
fonction de Dirichlet. 

La tendance actuelle considère comme plus opj)ortun de s en tenir aux 
fonctions qui suffisent aux applications en géométrie, en mécanique, sans 
exiger toutes les distinctions et argumentations de la critique. 

Géométrie analytique. — Naples, Pise. Palerme, Padoue consacrent main- 
tenant une chaire spéciale à cet enseignement autrefois réuni à l'algèbre. 

Plus récemment, suivant une idée appliquée pour la première fois à Rome 
par Cre.mona, on a fusionné l'enseignement de la géométrie analyli<|ue et 
celui de la projective, ce qui donne au professeur une plus grande liberté 
d'alluie. tout en évitant des répétitions, telle est par exemple la situation 
au « Politecnico » de Turin. 

Les Lezioni di geometria analitica de G. (-astki.m ovo font une large place 
à cette synthèse des deux branches. 

Géométrie projectile. — Cette branche lut inlroduite dans les programmes 



H I n i.ioGHA h II 1 1: 1(11 

€n 1875 sous l'iiiHiieiu-e de Luigi (".hkmona el d;iiis l'esfiril de Poncelel, 
(iliasles et Steiner. 

Cet enseignement, destiné ù I Oiigine ;i sei vir de prt'-paration à la gi'-omé- 
trie descriptive et ;i la statique graphique, prit, grâce à I ardeur des géo- 
mètres italiens pour cette discipline nouvelle, une extension hors de pro- 
portion avec le but proposé. 

Tout le monde est d'accord pour enseigner la géométrie {)r()jective avec 
tous les dévelojjpements récents au.\ futures mathématiciens, mais la tendance- 
actuelle est de réduire considérablement le programme des futurs ingénieurs. 

A Bologne, E.nriques a fusionné le cours de géométrie projective avec celui 
de géométrie descriptive. 

A Padoue, le professeur Sf.veri fait suivre le cours de descriptive d'un 
cours de projective, réduit pour les ingénieurs. 

Terminons en remarquant une analogie entre le sort de la géométrie pro- 
jective et celui de lanalyse algébrique : Introduites comme branches de 
préparation scientifique, toutes deu.x ont acquis un développement considé- 
rable, jugé bientôt excessif, et elles se voient ramenées à leur l'ôle initial. 



BIBLIOGRAPHIE 



W.-G. Bori:h.\rdt et A.-D. Perrott. — Geometry for Schools. — Vol. I 
covering stages I and II of the Board of Education cii-cular, n" 711. 1909. 
— Vol. II, stage III. section I. — 2 vol. in-16. VI-52-III p el VIII-IIO- 
IV p.: 1 s. et 1 s. 6 d.: G. Bell and Sons, Londres. 

La Circulaire de 1909 du Board of Education^, relative à renseignement 
de la géométrie et de l'algèbre graphique dans les écoles secondaires, en 
Angleterre, donnait des indications sur les tendances qui doivent inspirer la 
réforme de l'enseignement de la géométrie. 

Tout en faisant une place aux conceptions modernes, l'enseignement tel cpie 
le présentent les nouveaux manuels anglais, ne rompt pas d une manière aussi 
absolue avec la tradition d Euclide que la niaj<»rilé des manuels coirespon- 
dants d'autres pays. 

L ouvrage de MM. Borcliardt et Perrott est dans ce cas ; il répond cepen- 
<laiit aux exigences nouvelles, telles qu'elles sont énoncées dans la Circulaiie 
du Board. 

Le preuner volume est une initiation 1res objective aux notions f;)ndamen- 
mentalesde la géométrie : volume, surface, dimension, ligne, direction, lignes 
parallèles, angles, mesure des longueurs et des angles : ti'iangles, égalité 
des triangles, dessins à l'échelle. 

Les démonstrations en sont rigoureusement exclues, toutes les notions 
sont énoncées sous forme de faits (facts) à vérifier par le dessin el accom- 
pagnés d'exercices et d'applications destinés à les l'cndre évidents. 



' Voir lii tr.tdiictioii «te coite Circulaire dans l>./;y. math.. m»\ IHIO. 



|(,2 Ji lli I.IOC li.lPIl I E 

Dans lo s«m'oihI volume les mileurs repreiinont les iiiènics sujets, uiais 
pour les traiter par une luélhode uetteinent déductive. Les relations géouié- 
lrii|ues sont exprimées sous forme de théorèmes ordonnés selon une suite 
logique qui lemplace l'ordre artificiel d Euclide. Ces tliéoièmes sont accom- 
|>agués d applications diverses, résolues ou à résondi-e, problèmes lliéo- 
riipies irideisi et eonstruclioiis graphiques. 

I.e volume est Vermine par une série de problèmes gradués et par des 
applications numériques sur les hauteurs et les distances. Ces dernières 
sont également données à la fin du premier volume. Les répons<?s aux pro- 
blèmes, proposés dans le coui-s de l'ouvrage, sont annexées à la fin de chaque 
volume. 

Le cham|j parcouru est à peu près celui du livre I d E-ucli<le. En ce (|ui 
concerne Tordre des matières, la division adoptée est celle du Boaid ot" 
lùlucation. Le premier volume correspond au.\ degrés I et II. Le degré III 
est abordé dans le second volume avec les propriétés des triangles et pa- 
i-allélogrammes : il sera complété par (]uatre autres volumes encore en pré- 
paration. R. .VIasson iGenève*. 

11. Bkoggi. — Versicherungsmathematik. Deutsche .\usgabe. — 1 vol. 
in-8", VIII-360 p.; 7 .M., broché |8 M. cart.); B. G. Teubuer, VMVi. 

L édition originale de ce traité ;ies Assurances sur la sue a été publiée en 
italien (Collection Hœplii; elle a été suivie, peu de temps après, d'une édi- 
tion française, puis maintenant d'une traduction allemande. Les comptes 
rendus que nous avons donnés des deux premières éditions nous permettent 
d'être brefs. Nous nous bornerons donc à rappeler que le principal objet du 
livre est l'exposé des bases théoriques et techniques des Assurances sur la 
vie ; on y trouvera notamment les principes du calcul des probabilités et de 
la théorie des erreurs, des notions sur la statistique et l'établissement des 
tables de mortalité, et l'examen des problèmes l'ondameulaux des Assurances 
sur la vie et de la théorie du risque. 

Les questions sont posées avec beaucoup de clarté et de concision. A la 
fois distingué professenr et praticien très habile, I auteur est parvenu à faire 
1111 ti-aité qui sera lu avec |>rofil aussi bien par les professeurs que par les 
actuaires. Pour b.'s étudiants il constitue une excellente introduction à la 
théorie des assurances. 

V. Dlue.m. — Traité d'Energétique ou de Thermodynamique générale. 

Tome IL Dynamique générale. (>onduclibililé de la chaleur. Slabilité de 
1 équilibre. — 1 vol. gr, in-S" de 504 p. ; 18 fr. ; Gaulhier-Villars. Paris. 

Ce lome est à la dynamique ce que le premier était à la statique (voir 
I analyse publiée ici-mème, T. .\III, 1911, p. 3'i5). On se rend de plus en 
plus compte de l'impossibilité de rester sur le terrain de lancienne méca- 
nique quand on étudie les mouvements de systèmes continus tels que fils, 
membranes, fluides. Qu On le veuille ou non, la viscosilé, les «légagements 
de chaleui- inlerviennent et les consifléralions thermodynami(jues se super- 
posent aux considérations dynami(|ues proprement dites. El penl-ètre encore 
ce mol de superposition est-il assez mal choisi. Il ne s agit pas de com- 
pléter la dynamique mais plutôt de lui laisser la même forme, le même lan- 
gage et ««s mêmes principes sous leiir ancien nom, en montrant qu'on peut 
traiter la partie ihermique de 1 énergie comme la partie pniemenl cinc'-tique 



H I H 1. 1 oc. i: .1 1> Il 1 1: \m 

«111 (in moins iju un pcnl faire (ij;ni"iT fcs donx parlies ilaiis des mêmes «Mina- 
lioiis écrites sous des formes snrtisammenCmhiérales. 

Un tel idéal parait parfois didieile à allciiidre, mais pai-fois aussi il est 
dépassé. Ainsi les notions d'énergie inteiiie. de potenlicl interne, d'entropie, 
qui s'appliquent aisément à un fluide compressible, s appliquent <le même à 
un coi'ps ainianlé. 

Quant aux cas où l'on ne peut mettre en ('quatioiis hî mouvement d uu sys- 
tème gt'iiéral au moyen des seuls |jriucipes de ll-lneri^élique générale, on 
peu! les traiter cependant au moyen d'Iiypolhèses supplémentaiies, telles 
celles de Fourier sur la conductibilité tliermi((ue. Au sujet de cette conduc- 
tibilité, on sait que le champ thermique dépend linéairemeol de neuf coeffi- 
cients <le couductibililé 

Al A 2 As 

H, B2 B.-Î 

Cl Cl (:.3 

([ue l'on suppose symétriquement égaux par rapport à la diagonale princi- 
pale de ce tableau. Au point de vue pratique, étant donné les milieux habi- 
tuellemenl considérés. Lamé ue voyait pas là des hypothèses reslreiguaul 
la généralité. Cependant M. Duhem n a pas jugé inutile d'écrire presque 
tout son chapitre relatif à la conductibilité en se passant de la symétrie 
|)i"écilée, pour montrer ensuite les seuls cas on il étail nécessaire de l'in- 
vo(|uei'. 

Presque toute la seconde moitié du volume est consacrée aux conditions 
de stabilité de l'équilibre. Comme on le prévoit sans peine, le point capital 
est I extension en énergétique générale du théorème de Lejeune-Dirichlet. 
Cela ne va pas sans soulever de nombreuses difficultés ; quand elles sont 
trop grandes, M. Duhem se rabat avec habileté sur des cas particuliers 
mais, bien loin de paraître inventer ceux-ci pour les besoins de sa cause, 
il paraît retrouver toutes les tentatives failes dans le même sens par MM. 
l'oi-nearé, Painlevé, Hadamard ; il signale toutes les singularités signalées 
])ar ceux-ci en jetant entre elles les traits d'union que. malgré tout, ses mé- 
thodes donnent encore. 

On voit que je suis ramené, comme en analysant le tome I. à ne pas pou- 
voir passer sous silence 1 habileté d analyste que déploie l'auteur. Elle s'est 
d'ailleurs manifestée eu bien des endroits précédents, notamment lorsqu'il 
lire les équations du mouvement d'un système continu du calcul des variations. 

L'ouvrage tout entier montre ce qu'il faut savoir écrire quand on veut se 
rapprocher de la réalité et non pas négliger celle-ci pour écrire des équa- 
tions simples donnant sans peine d'éléganls développements. Si bien qu'en- 
suite, si 1 on veut absolument se rabattre sur les cas particuliers qu'il est 
possible de dévelopj)er jusqu'au bout, ou saura exactement ce que Ion né- 
glige tandis (jn ou ne s'en rend compte que d'une manièie ««xlrèmemenl 
vague si l'on t'-crit immédiatement des équations réiluites. 

\. Bi ni, I Toulouse). 

C. CoDiKF.Y et A.-\V. SiDDONs. — A shorter Geometry. I vol. in-H;. 

.\.\II-.'{0! p.: 2 s. »i d.; Cambridge l niversity l'rcss. 

^LM. Godfrey et Siddons ont publié eu B03 un manuel ayant pour litre 
« Klemenlarv Geometry " : le volume actuel quoiqu intitulé Abrégé de géo- 



164 B I /.' /. / () a J{ ./ PIffE 

niétrie. « Sliorter Geoinelrv ". en est un reni;mienieiil, conçu diins l'esprit 
de la Circulaire de 1909 du Board of Education. Les principes directeurs 
sont par couséqtient sensiblement les mêmes que ceux qui ont guidé 
MM. Borchardt et Perrolt : seulement avec MM. Godirey et Siddons le 
champ parcouru est |>lus vaste, il ombrasse les trois degrés dans un seul 
volume. 

Les degrés I et \\, qui font l'objet des 7'i premières pages, sont une réim- 
pression du volume des mêmes auteurs « Geometry for Beginneis », publié 
en 1909 à la suite de la circulaire du Board of Education. Ce volume était 
lui-même une mise au point, basée sur les idées nouvelles, du début de leur 
manuel de Géométrie lilémenlaire. 

Pour les doux premiers degrés nous nous bornoi-ons donc à i-envoyer au 
compte rendu de ce volume publié dans le numéro de mars de \ Enseignement 
M<ithémaiique. 

Le troisième degré Fait l'objet des deux derniers tiers du livre que nous 
considérons ici. Suivant les indications de la circulaire du Board. MM. 
Godfrev et Siddons introduisent la méthode déduclive avec ce troisième 
degré. Cependant ils n'abandonnent pas pour cola absolument 1 induction. 
Les théorèmes accompagnés d une démonstration ligoureusoment déductive, 
sont souvent précédés d'exercices destinés à suggérer leur énoncé. Ils 
sont du reste suivis d un grand nombre d applications théoriques et prati- 
ques. Le déplacement continu d'une liguro est appliqué, à la fin du 
chapitre consacré au cercle, à des problèmes de recherche de quelques 
lieux géométriques et enveloppes de droites et de cercles. 

L'emploi simultané de la déduction et de l'induction a l'avantage d'intro- 
duire les théorèmes comme une énonciation des faits observés, des mesures 
effectuées, c'est-à-dire de présenter à l'élève la géométrie non comme des 
propositions arbitrairement choisies et ordonnées, mais comme une consé- 
quence naturelle de son observation. Si ce manuel était mis sans guide entre 
les mains de l'élève, on pourrait pe-al-être craindre que la multiplicité 
même des observations ne l'égaré en lui faisant perdre de vue la démonstra- 
tion formelle et la liaison logique des théorèmes. Sous une bonne direction, 
ce danger disparait et le livre ne peut être qu un auxiliaire précieux. 

Une série de questions proposées à divers examens termine le volume. 

R. Mas«on (Genève). 

G. KowALKwsKi. — Die komplexen Verànderlichen und ihre Funktionen 

(Fortselzung dor (irnndziigo der Din'oienlial und Intogralrechnung, zu- 
gleich eine Einfiihrung in die Funktiononlheorie). — 1 vol. in-8". IN o( 
455 p.. broché, M. 12, relié M. 13; B. G. Teubner. Leipzig. 1911. 

Ce livre est caractérisé par les mêmes qualités de simplicité et de rigueur 
qui font des « Grundziige der Differenlial- und Inlegrairechnuug " du mémo 
auteur un de nos meilleurs livres pour étudiants. L'aulour part du principe 
qu'on ne saurait être trop exact et précis dans les déhuitions et les démons- 
trations, et il est convaincu que de telles exigences ne sont pas incompatibles 
avec la simplicité. Il a raison et ses livres le prouvent. 

Voici le contenu sommaire du livre : 

1. Les nombres complexes. 2. Fonctions complexes de variables réelles. 
3. Fonctions d'une variable complexe. \. Intégrales curvilignes. 5. Le ihéo- 
rème fondamental de Cauchy et ses conséquences. G. Séries de fondions et 



m K l.l()(.HAI'lll E 165 

piodiiils inliiiis. 7. Le ihéoième de Miltng-Lefller cl la repi'oseiilation des 
bouclions en produits iiilinis d après NVeierslrass. 

I/aiilfur s'est placé au point de vue de Cauchy-Rieniann. I^e titre même 
du livre laisse prévoir qu'il se borne à l'étude des fonctions inonofi,èiies el 
«|u'il HC fait qu'effleurer l'étude des fonctions sur une surface de Riemann 
ainsi que le prolongement analytii|ue. A noter cependant que le chapitre I 
contient une excellente élude des groupes de transformations linéaires, 
groupes finis el groupe modulaire. Celte étude est singulièrement simpli- 
fiée par l'emploi des formes lierniitiennes que l'auteur introduit dès le début, 
f-e chapitre VI contient encore en une cinquantaine de pages les fondements 
de la théorie des fonctions ellipticpies. M. Plwcherel (Fribourg). 

F.-\V. Lakchestek. — Aerodynamik- Ein Gesamtwerk ùber das Kliegen. 
.\us den Englischen ùbersetzt von C. u. A. Ru.nge. II. Band : Aerodynamik. 
Mit 208 Fig. — 1 vol. in-8". 327 p.. relié, 12 .\I. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

Il n est guère besoin d'insisler sur l'intérêt d'actualité que présente le 
traité A' Aerodynamik de M. Lanchester. Le Tome II apporte des résultats 
d'ordre théorique ou expérimental qui seront étudiés avec profit par tous 
ceu.x qui s intéressent ou qui travaillent aux questiohs si complexes du vol. 
Une attention toute particulière a été donnée aux problèmes qui se pour- 
suivent depuis quelques années dans les laboratoires d'aviation : problèmes 
concernant le vol. le vol plané, la stabilité et léquilibre et les méthodes 
d essai. 

En dehors des spécialistes, cet Ouvrage trouvera sans doute aussi un 
cercle très étendu de lecteurs parmi les mathématiciens et les ingénieurs 
qui désirent avoir un aperçu un peu complet de ce qui est acquis aujour- 
d'hui dans la théorie de laviation au point de vue mathématique et méca- 
nique et de ce qui est encore à la période d'essai ou à l'état empirique. 

Knri<|ue Legra.nd. — Sommations par une formule d'Euler idc l usage 

qu on peut en faire pour résoudie de nombreux problèmes). Sumaciones 
por una formula de Eulero (su applicabilidad en la resoluciôn de nurae- 
rosos problemas). — i fasc. in-8", '»6 p.; Gauthier-Villars, Paris. 

Cette brochure de 46 pages contient (texte bilingue juxtaposé), de nom- 
breuses applications de la formule sommaloire d'Euler au calcul exact ou 

II 

approché do sommes de la forme ^^ fia-\- v j . L'auleur montre 

l'=0 

ainsi que la formule d Euler conduit très rapidement à des résultats inté- 
ressants. Les questions traitées pourront être utiles aux étudiants. Los 
questions de convergence ou de semi-convergence des séries qui se pré- 
sentenl ne sont pas traitées. M. Planchkkel (Fribourg). 

H. Poi.NCAKÉ. — Calcul des probabilités. .Seconde édition revue el augmentée 
par 1 auteur. — 1 vol. in-S" de IV-:5:{6 p.: 12 fr. ; Gauthier-Villars. Paris. 
1911. 

.le suppose que la première édition de cel ouvrage, par le seul fait qu'elle 
est épuisée, est sulfisammenl connue pour que je n aie pas besoin de décrire 
la seconde en détail. .Mieux vaut se consacrer surloiil aux iniporlanles ad- 



166 Hi H i.ioi, HA f> Il n: 

joncliolis dues à riuiloiir. M. Poincait- a commence par reproduire le cha- 
pitre sur I.e Hasard puhlié p;ir lui dans son ouvrage Science et Méthode: 
il obéit ainsi au sentiment qui a guidé ses prédécesseurs, uolamment La- 
place et Bertrand, qui. de leur côlé, n'ont pas voulu parler du Calcul des 
probabftités sans intéresser le lecteur par un avant -propos ou langage or- 
rfînaire, destiné à montrer le dit calcul dans les problèmes de la vie jour- 
nalière et de la philosopliie la plus pratique. 

Mais j ai hâte de passer aux nouveautés analytiques. 

L'une des plus importantes est à coup sur l'introduction des fondions 

caractéristif/ues. l'ne telle fonction /'(ai est la valeur probable de e ' . Donc 



/'lal = }Lpe' 



fr' 



le sigma correspond au cas où .»■ varie de manière discontinue, I intégrale 
intervenant dans le cas où .r varie conlinuemeiil. Or, en général, x variera 
de — oc à -\- ■x. et alors, d'après la formule de Fourier, une réciprocité ap- 
paraîtra entre la fonction /'et la loi de la probabilité ç. A llieure où le pro- 
blème de 1 Inversion des intégrales définies prend une si grande importance, 
il n'était pas inutile de le reprendre ainsi, sous une de ses formes anciennes 
mais pouvant servir de modèle particulièrement simple et utile. 

De plus on voit aisément, en considérant 1 intégrale qui précède, qn on 
peut varier la forme de ç(.r) de manière à exprimer non seulement la loi de 
Gauss. mais aussi autant d autres lois qu on voudra. Ces comparaisons pos- 
sibles semblent fournir à ^L Poincaré des justifications de la célèbre loi qui 
sont particulièrement importantes et immédiates. 

De même, dans la théorie de 1 interpolation, nous assislons à l'inlroduc- 
lion de polynômes D- tels que 



Si le sigma était remplacé par une intégrale, les D seraient des fonctions 
à caractère assez banal el légalité serait seinblalde aux égalilés fondamen- 
tales sur lesquelles reposent de nombreux développements en série. Mais 
ici justement il s'agit de sommes d un nombre fini de termes. Je ne puis 
expliquer en détail comment ces polynômes D conduisent à une mélhodi- 
d'interpolation d accord avec la méthode des moindres carrés mais, ici en- 
core, I analyse est extrêmement suggestive et élégante. 

Un dernier chapitre, intitulé Questions diverses, est éminemment original 
el moderne. Dans le pi-oblème du battage des cartes, la probabilité d Un 
certain arrangement est exprimée à l'aide d'un nombre complexe dépendant 
de r unités complexes. Dans le problème de la répartition des décimales 
dans une table numérique, M. Poincaré considère, par exemple, la troisième 
décimale et imagine une fonction égale à -|- 1 si cette décimale est paire, à 
— 1 si elle est impaire. Il réussit à assimiler une telle fonction à une fonc- 
tion périodique et à établir (|ue sa valeur moyenne est nulle ou très petite. 
La conclusion est qu'il n y a pas plus de chance pour que la décimale con- 
sidérée soit paire qu impaire. 

Enfin si nous considérons un liipiide en mouvement permaneni, dans le- 
quel on distingue au début dos molécules do conleui-s différentes, nous 
croyons cependant f|u'au boiil d'un certain lemps toutes ces molécules se- 



m li i.i ()(. I! Ai> Il 1 1: u;: 

foiil mclanmrs. l']lahLii' la cliosc en toute lit^iiiMir pt'iim-l Irait fl (•tablii- de 
ihCmiic que. dans un système niécanicjne quelconque, satistaisani lonlefois 
aux équations de Hamilton, l'étal final peut, après un temps sufilsanimcnt 
long, ne plus sembler dépendre de l'état initial, à moins que l'on n'imagine 
tout exprès des intégrales uniformes dont le but sérail de conserver quelque 
chose. 

Do semblables liypollièses sont conlinuelletnenl postulées en physique, 
notamment dans la théorie cinétique des gaz. Et pour prouver quels pro- 
blèmes étranges et intéressants se trouvent derrière dételles considérations, 
il est impossible de ne pas mentionner 1 application du Calcul des proba- 
bilités que vient de taire M. Poincaré dans une Note des Comptes Rendus 
l 'f décembre 1911) Sur la Théorie des Quanta. D'après Planck, un corps 
rayonnant aurait une émission discontinue ; il serait assimilable à la réunion 
d'une foule d'oscillateurs hertziens ayant chacun une période propre. Mais 
quelle idée se faire d'un tel rayonnement où nous ne pouri-ons évidemment 
considérer isolément chaque oscillateur ! Le Calcul des probabilités I in- 
dique et vient à l'appui de I hypothèse de Planck. Une autre note de 
M. E. Bauer (26 décembrei revient sur la question. D'autres surgiront sans 
doute grâce à l'élan donné par M. Poincaré. Y a-t-il meilleure recomman- 
dation, auprès des physiciens, de la science ici exposée .' 

A. BuHi. iToulousei. 

H. PoiNCAKÉ. — Hypothèses COSmogoniques. Leçons professées à la Sor- 

bonne. rédigées par H. Yerg.m;. — 1 vol. gr. in-8" de XXVl-29i p. : 

12 fr. ; Hermann. Paris, 1911. 

Ces leçons ont un intérêt historique très net à côté de l'intérêt scienti- 
fique proprement dit. M. Poincaré y passe en revue les principales hypo- 
thèses COSmogoniques en leur adjoignant une ciitique analytique que l'auteur 
de l'hypothèse a eu parfois le tort de négliger. Si nous ne remontons pas 
jusqu'à Lucrèce, du moins rencontrons-no>is ici les noms de Kanl, Laplace, 
Roche. Faye, du Ligondès. See, G. -11. Darwin. Helmhoitz. Lockyer. Schus- 
ter, Arrhénius, Belot. 

Dans cette suite, on peut, dire que, jusqu'à Darwin inclus, la cosmogonie 
est surtout mécanique. On part toujours d'un état matériel primitif, plus ou 
moins informe, mais formé de particules obéissant aux lois de la mécanique 
et tout particulièrement à leurs attractions mutuelles. Les auteurs qui 
suivent ont recours à des considérations plus complexes au point de vue 
physique ; ils tiennent compte de la forme thermique de l'énergie. 

Le premier point fort important est que iVI. Poincaré défend, encore avec 
une fort belle assurance, l'hypothèse de Laplace dont d'éminents contradic- 
teurs ont annoncé la mort un peu prématuiément. Il montre que l'objection 
des satellites à mouvement rétrograde n est pas aussi redoutable qu'on pou- 
vait le croire au premier abord. L'anneau qui, en se brisant, a pu donner 
naissance à une planète a pu laisser subsister de petits fragments non 
compris dans la planète formée, mais que celle-ci aura ensuite captés sous 
forme de satellites. Et la capture peut se présenter de manière telle qu'on 
obtienne un satellite gravitant dans n'importe quel sens. 

Quant à la théorie de Faye. M. Poincaré n'y croit guère mais, par une 
analyse facile il en tire des problèmes simples (>t ing(Miieux. Elle reste élé- 
gante bien qu'elle ne soit point nécessaire pour cxpliipier les rotations pla- 
nétaires de sens contraires. 



168 Kl HI.IOGHAP HIE 

L'hypothèse de M. du Ligondès ofl'r»' t'iicore l'occasion d'applii";ttions ana- 
lytiques des plus remarquahles. El il s agit du Calcul des probabilités doul 
la réintroduction ici donne encore plus de force à ce que j'ai dit dans l'ar- 
ticle précédent. Pour M. du Ligondès l'Univers s'est formé de lambeaux 
chaotiques se choquant comme les molécules de la théorie cinétique des 
gaz. (Test à ce propos que iM. Poincaré rétablit la loi de Maxwell sur hv 
ré>;arlition des vitesses des molécules gazeuses, en développant davantage 
les considérations sur les liquides en mouvement perniancul dans un espace 
à un nombre quelconque de dimensions. 

Avec Sir G. -H. Darwin, 1 influence des marées prédomine. Beaucoup uy 
ont pas pensé, les considérant comme un phénomène accessoii-e, mais celui- 
ci parait avoir des effets non seulement sensibles, mais encore prédomi- 
nants à la longue. Car Darwin vise plutôt la lia des choses que le commen- 
cement : les actions mi.ituelles des astres d un même système produisent des 
marées liquides ou même solides qui tendent à égaliser toutes les durées 
de révolution ou de rotation. Il a d'ailleurs ses idées sur la formation de la 
Lune née de la Terre par segmentation alors que celle-ci avait une forme 
ellipso'idale. 

Avec llelmlioltz nous nous préoccupons de Torigine des chaleurs terrestre 
et solaire. M. Poincaré semble admettre que toutes les théories soiil incom- 
plètes et qu'il y a des sources d'énei'gie inconnues de nous, pas plus con- 
nues à coup sûr que le radium pour Hclmlioltz. 

Avec Lockyer nous sortons du système solaire et nous assistons à révo- 
lution du système inorganique de l'univers entier, mais l'auteur pour lequel 
j'ai le plus grand plaisir à montrer de la sympathie c'est à coup sûr Ar- 
rhénius. D'ailleurs M. Poincaré lui consacre plus de pages qu à ceux qui le 
précèdent immédiatement. L Univers d'Arrhénius est toujours vivant; l'éner- 
gie peut se dégrader dans certains systèmes, mais il conçoit une dégrada- 
tion qui liuit par désagréger la matière et par la remettre dans 1 état où on 
la voit dans les nébuleuses. Certes ceci est difficile à accorder avec les prin- 
cipes de la thermodynamique, mais, d'autre part, est-il bien clair de faire 
mourir totalement 1 Univers dans le temps, c'est-à-dire avec une notion qui 
u est définissable que dans un univers existant et animé .' 

La théorie d'Arrhénius mérite sans doute une place d honneur; en ne fai- 
sait ni naître ni mourir l'Univers dans le tenips, elle supprime de graves 
difficultés métaphysi(jues au détriment du principe de Carnot, d un principe 
physique, ce qui, je le reconnais, est aussi 1res grave en soi. Mais toutes 
les cosmogonies universelles sont imparfaites ; à l'avenir de dire si les élé- 
ments de la théorie d'Arrhénius sont vraiment incompatibles; en attendant 
je suis persuadé qu elle aura jioiir beaucoup un caractère séduisant. 

M. Poincaré termine ces admirables leçons par 1 étude de la distribution 
des étoiles dans la Voie Lactée, par quelques mots sur les nébuleuses spi- 
rales et par un exposé des idées de M. Belot. Tontes les hypothèses, malgré 
leur extrême diversité, sont traitées par une analyse simple et légère qui 
donne une grande impression d'uniformité. La rt'daclion soignée de M. Vergue 
a certainement contribué à cet heureux résultat. 

A. BuHL (Toulouse). 

11. Pvi^KEK. — Lehrbuch der politischen Arithmetik enthaUend Théorie 
und Ueltuii^sheispiele iïher die Zinseszins-. die Sparkassa-, die lienlen 
iiiid die Amortisationarechniuig, die verschiedenen Arten der Kapilal- 



HI BLIOaiiAPII I E 169 

ruckzahlungen und die AufsleUung von Tilgiingsplànen. — 1 vol. gr. in-8". 
190 p., br. 5 fr. (relié, 5 fr. 75): Felir, Saint-Gall. 

M. R«'iiFci-, tVitppû du peu dexercices qu'on trouve dans les manuels 
d'arithmétique polilitjue, s'est proposé de remédier à ce défaut; son livre 
contient donc un grand nombre de problèmes |250). Dans chaque (|uestion, 
M. Rent'er déduit la formule, énonce le résultat en langage ordinaire puis 
donne quelques exemples, dont il expose la solution numérique avec tous les 
détails du calcul, en supposant d'abord que l'on dispose de tables d'intérêts 
composés, ensuite que 1 on se sei't de logarithmes ; il termine par b.'s énoncés 
sans solution de quelques problèmes. 

Remarquons encore que l'auteur ne craint pas l'emploi de petits graphiques 
qui, sans être indispensables à la démonstration, contribuent cependant à 
soutenir la pensée. 

M. Renier s'est en outre eiforcé d introduire une notation systématique ; 
il se rallie autant que possible à la notation qu'au Congrès international de 
Londres, les actuaires ont adoptée pour l'assurance sur la vie. 

Le manuel est divisé en quatre parties : la première est consacrée au 
calcul d intérêts composés, de provisions et d'échéances moyennes ; sous le 
nom impropre de calculs de caisse d'épargne, la seconde traite des paie- 
ments périodiques ; dans la troisième, nous trouvons les rentes immédiates 
différées, constantes ou variables suivant quelques lois simples; enfin, dans 
la quatrième partie, les annuités, les amortissements, les diverses manières 
de rembourser un capital, les conversions et la parité des cours. 

A la fin de l'ouvrage sont réunies plusieurs tables pour le calcul des 
intérêts composés : elles sont d une grande utilité pédagogique, car les tables 
numériques sont d'un emploi si fréc[uent c|u'il faut en enseigner 1 usage dans 
les écoles de commei'ce. A ce point de vue, elles auraient été encore meil- 
leures, si M. Renfer avait supprimé celles qui se déduisent d'autres par un 
calcul très simple ; il arrive, en effet, souvent que l'on n'a pas sous la main 
juste la table que l'on désire et l'on est heureux de savoir la remplacer par 
une autre. Nous regrettons aussi que M. Renfer n ait pas mis à côté du titre 
de chaque table, la formule correspondante, car c'est la manière la plus 
commode pour le calculateur de définir un nombre. Mais ce ne sont que 
des détails. 

Le manuel de M. Renfer est le résultat de plusieurs années d'enseigne- 
ment à l'Académie de Commerce de Saint-Gall. Il est donc en première ligne 
destiné au.v écoles professionnelles ; toutefois, il pourra rendre de grands 
services à tous ceux qui doivent enseigner l'arithmétique politique, même à 
un degré moins élevé. Le soin avec lequel de nombreux exercices y sont 
résolus, en fait un livre utile à tous ceux qui étudient cette branche sans le 
secours d'un professeur. S. Dl.mas (Berne|. 



D.-E. Smith and L.-Ch. Kakpinski. — The Hindu-Arabic Numerals. — 
1 vol. relié in-S». IV-160 p.; Boston and London, Ginn and C", 1911. 

Les auteurs qui se sont fait connaître dans l'histoire des mathématiipies 
par différents travaux de valeur, nous présentent dans ce petit livre une 
vue d'ensemble sur le développement et la propagation de notre système de 
chiffres. Ils s'occupent dans les huit chapitres de l'ouvrage de la ([uestioa 
quelque peu obscure de l'apparition des chiffres, probablement en Inde : 

L'Enseignement mathém., l'i' annexe ; 1912. l"- 



170 H IK I.JOa l!AP II 1 1: 

des nlus anciennes formes des chiUVes. sans et avec valenr- de posilidii : 
du symbole pour zéi"0 : de la ([uostion de savoir si Boëlliius connaissait 
l'ancienne forme des chiffres indiens, connus plus tard des Arabes occiden- 
taux sous le nom de chiffres de Ghobàr; du développement des chiffres 
sous les Arabes et de leur introduction et propagation en Kurope. 

Les maîtres, les étudiants en mathématiques et d'une façon générale toutes 
les personnes qui s'intéressent à cette invention si grandiose et pourtant si 
simple trouveront dans ce livre tous les renseignements voulus ; quant à 
ceux qui désirent de plus amples détails, nous les renvoyons aux nom- 
breuses indications biblit)graphiques fournies par I ouvrage même sons 
forme de notes. Ces notes angmenlent donc d une façon sensible 1 impor- 
tance du livre pour celui ipii désire s'occuper plus spécialement de 1 histoire 
des mathématiques; mais le texte lui-même, présenté dune façon claire et 
élégante, intéressera vivement le non-spécialiste : d'autant plus (pie les au- 
teurs fournissent à l'occasion d'intéressants renseignements sur la civilisa- 
lion générale des peuples et des époques dont il est question. 

Au point de vue typographique, le livre est excellent, de nombreuses 
formes de chiffres donnent au lecteui' une idée claire du développement |>ro- 
gressif de notre système de chiffres jusqu à I époque actuelle. 

En ce qui concerne l'origine et la propagation des chiffres hindous en 
Arabie et en Europe, les opinions sont assez variées, et les auteurs ont bien 
fait de traiter la question objectivement, ils ne se prononcent d'une manière 
décisive ni pour l'une ni pour l'autre, ce qui du reste serait un peu osé, 
étant donné l'état actuel de la question. Cependant il est une de ces opinions 
que les auteurs auraient pu combattre plus vigoureusement, à savoir 1 avis 
de Wœpcke qui prétend que les anciennes formes de chiffres arabes, les 
chiffres du Ghobàr Ipoussièrei étaient déjà connues en l'Espagne avant l'in- 
vasion arabe. 11 serait trop long de citer Ions les motifs qui s'élèvent contie 
cette affirmation. Contentons-nous de citer ce qui suit . 

En 602 on connaissait déjà en Syrie et en Mésopotamie la manière d éciire 
les nombres des Hindous à 1 aidé des neuf chiffres et du zéro (voir F. IS'au. 
La plus ancienne mention orientale des chiffres indiens, au Journal asia- 
tique. X« série, T. 16, p. 225) ; ne serait-il pas possible que les Omayyades 
de Damas, la capitale des Califes de 661 à 740, aient transporté en Espagne 
les chiffres de Ghobàr, alors que les chiffres arabes orientaux auraient été 
utilisés à Bagdad par les Abbassides par opposition aux Omayyades qu'ils 
détestaient ? 

Xous devons encore signaler quelques erreurs qu'il faudra rectifier dans 
une seconde édition. 

P. r,.'t-06 : El-Hassàr no signifie pas « tlie arillimetician ■■. Voir BH/liolli. 
matheni. 13 (2), p. 87. 

P. '.!'.'), note 4, il faut écrire : « English edil., p. 134. » Le volume sur les 
chiffres hindous est mentionné «lans mes « Nachtriigc » (p. 171 1. 

P. un : Vax ce cpii concerne 1 affirmation : « As a matlei- of tact... » les au- 
teurs ne donnent aucune indication, 

P. 9H : Les auteurs disent ici : « \Ve thus liave the nunierals in Arabia in 
two forms : otie the form now used there. and the other the one used by 
Al-Khowàrazmi. » D'où les auteurs connaissent-ils les formes de chiffres 
que Al-Kliowàrazmî a employées dans son arithmétique.' Son (euvre n'existe 
plus en langue arabe, comme du reste malheureusement les autres écrits 
arithmétiques des Arabes du IX'' siècle. .Mais même si l'on suppose que ces 



liU i:i.i: Il .\ H I H i.ioa H.\ p II I ouE 171 

écrils exisUMil ciifoio sdus forme de Iriiiisoriplioiis plus récentes, qui nous 
garantiritil que les Iranscriptcurs u'oiil pas remplaré les formes de ciiiffres 
pi'iniitives par celles de leur temps .' 

/-•. lis : Les auteurs disent que Avicenne est un des hommes qui eut il- 
lustré l'Espairne ; mais Avicenne vivait dans l'Extrême Orient coninie les 
auteurs le diseiit eux-mêmes, p. 7'i. 

Ihid. L astronome arabe-espagnol cité à cet endroit ainsi ([ue dans l'index 
ne s'appelle pas « Gerber » mais « Geber » (Djàbir). 

Ihid. A la place d'à Abu Roshd » il tant mettre « Ibn Hoshd ». 

/-*. L20. note 1 : Il est très douteux (|ne u Helceph » provienne de el-qeif, 
ce n est <)ue l'avis de M. Rodel. 

P. rSH. Le nombie 888 doit être remplacé par W87. 

n. SiTiîK (Zui'icli). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Publications périodiques : 

Ânnali di Matematica. Directeurs : F>. BiAKCHi, r. DiNi, G. Ju.NG, C. Segre. 
Série m, t. XVIII. — Rebeschini di Turati e C, Milan. 

Kasciculc 1. — Bianchi : Sopra una classe di det'ormazioni continue délie 
superficie pseudosf'eriche. — E. E. Levi : Sulle ipersuperficie dello spazio 
a i dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una 
fun/.ionc analitica di due variabili complesse. 

Kasc. 2 et 3. — Tokei.li : Sulla postulazione di una varietà e sui moduli 
di forme algebriche. — To.neli.i : Sulle derie di funzioni analitiche délia 
forma i^a» (x).*". — Dini : Studii sulle equazioni differenziali lineari in rela- 
zione ai loro inlegrali normali, pel caso di aicune equazione del 2° ordine. 
Polinomii integrali. — Bianchi : Sopra le deformazioui isogonali délie su- 
perficie a cuivatura coslante in geometria ellittica ed ipei-bolica. 

Annals of Mathematics, publisiied nnder the Auspices of Harvard Univer- 
sity. Second Séries, vol. XII 1910-1911. — Cambridge, Mass. E. U. 
N"** 1 et 2. — F.-R. MouuTON : The Sfraight Line Solutions of the Pro- 
blem of H Bodies. — M. Bo<;hek : On Semi-Auaiytic Functions of Two Va- 
riables. — J. Berry : Some Theorems Concerning Systems of Linear Partial 
Uifl'erential Expressions. — J.-L. Coolidge : Some Circles Associated with 
Concyclic Points. — R.-E. Gleaso.n : On a Method for the Summation of 
Séries. — S. Epsteen : Rationality Groups in Prescribed Domains. - 
\V,-J. RisLEY : Envelopes of One-Parameler Families of Plane Curves. 

Nos 3 et 4. — G. D. Birkhou : On the Solutions of Ordinary Linear Ho- 
mogeneous Dilferential Equations of the Third Ordcr. — W. E. Byf.rly : 
Approximate Représentation. — L. E. Dickso.n : Note on Cubic Equations 
and Congruences. — G. R. Dinis : The Harmonies of a Stretched String 
Vibraling in a Resisting Médium. — C. A. Noble : Characleristics of Two 
Partial DifTerential Equation of Order One. — C. S. Slichter : The .\Iixing 
l'ffecl of Surface Waves. — S. Epstki n : The Difl'erenlial lùpialion of the 



172 BULf.ETiy HIRI.IOaiiAPHlQL'E 

Third OrtJcrwilli a Quadialic Relation betwceii tlie Intégrais. — T. Hayashi : 
Kelatioiis amona; Some Cyclotoniic Cnbics. 

Ârcbiv der Mathematik und Physik, herausgegebcn von E. Lampe, \V. 
Meyer, e. Jahnke. — B. G. Teiibner, Leipzig und Berlin. 

17. Band. Heft 'i. — H. Brunn : Zur Théorie der Eigebiete. — O. Lu.mmer 

uud F. Reiche : Die Abbildung iiiclitselbstleuchlender Objekte (Bildentste- 

hung im Mikroskop. — R. HAiss>iER : Ueber verallgemeinerte Tangenten- 

iind Sekanlciikoeflizienten. — W. v. Ignatowsky : Ziir Intégration der 

d'-v /dxY 

Gleicbuug ^ + " {jlj + ''•'• = • 

18. Band. Ileft 1. — L. Hopi u. A. Sommekfeld : Ueber komplexe Inle- 
graldarstellungen der Zylinderfunktionen. — W. v. Ignatowsky : Das Rela- 
tivitatsprinzip. — L. Maurer : Benierkungen znr mecbanischen Qnadratur 
von Gauss. — H. Beck : Ein Gegenstùck zur projektiven Géométrie. — 
J. Nelberc : Zur ïetraedergeometric. — H. Mohrman.n : Ueber die wind- 
schiefen Linienfliichen im Raume von vier Dimensionen und ihre Haupttan- 
geutenflachen als reziproke Linieufliichen. 

Bulletin de la Société mathématique de France. T XXXIV. Paris. 

Fasc. 1. — E. CoTTo.x : Remarques sur l'application du principe des 
forces vives aux machines mobiles. — L. Altonne : Sur les groupes com- 
mutalils de quantités hypercomplexes. — E. Cartax : Le calcul des varia- 
tions et certaines lamiiies de courbes. — L. Zoketti : Sur l'intégration des 
équations du mouvement intérieur d'un solide élastique isotrope de révolu- 
tion. — G. FoNTENÉ : Sur la coïncidence principale d un certain connexe. — 
G. Remol-.ndos : Contribution au problème de la représentation uniforme des 
surfaces. — - T. FjALksco : L'étude des noyaux résolvants. 

Fasc. 2. — F. Boii.AD : Application de la notion des valeurs critiques à 
la disjonction des vai-iables dans les équations d'ordre monographique supé- 
rieur. — J. Chazy : Sur une équation diiférenlielle du premier ordre et du 
premier degré. — Keravai. : Sur les surfaces dont les lignes asymplotiques 
appartiennent par leurs tangentes à sa complexe linéaire. — E. Blutel : 
Sur nue méthode d approximation. — E. Dei.assus : Sur la distribution des 
vitesses dans un solide en mouvement. — M. Servant : Surfaces isotliermi- 
qnes et surlaces de Bonnet qui se rattachent à la déformation des quadri- 
ques. — Ch. Hai.phe.n : Sur les potentiels des accélérations des divers or- 
dres. — .\. Dk.njoy : Sur les systèmes complets de fractions. 

Bulletin des Sciences mathématiques, rédigé par G. Uarboix ei E. Picard. 

— Tome XXXV. l'.MI. (iantliier-Villars, Paris. 

Ja/H-ier-Juin 1911. — G. Darboux : Sur la construction des cartes géogra- 
phiques. — G. Darbôux : Sur un problème posé par Lagrange. — G. Dar- 
boux : Sur une méthode de Tissot relative à la construction des cartes géo- 
graphiques. — Magyar Audomànyos akademia. Prix Bolyai, Rapport de 
M. H. PoiNCARÉ. — J. Hadamard : Sur les trajectoires de Liouville. — 
T. BoGGio : iXouvelle démonstration du théorème de M. J. Hadamard sur 
les déterminants. — St. Joi.les : Jnlius Weingarten. — B. Elie : Relations 
entre les paramètres cayliens de trois substitutions orthogonales dont l'une 
est égale au produit des deux autres. 



HV I.I.KT l s lilli II ()(. H Al> Il l <iVK \':\ 

Bulletin of the American mathematical Society. — New- York. Vol. XVii. 

Fasc. (i.-- Commitoe Report : Pi-ep.Ti-ation for Research and the Uoclor s 
Dcgrec iii Mathomatios (Int. Comm. on the 'l'eacliing oJ' Math.; Arner. .siih- 
commileei. 

Fasc. 7. — G. -A. Millek : Groiips geiierated by Iwo operators satisTyliig 
two conditions. — J.-W. Younc : Fiuidainenlal régions for cyclical groups 
of linear fractioiial transformations 011 two complet variables. — .1. Wkst- 
LL'ND : On the relative discriminant of a certain Kumnier Field. — I'. Fikld : 
Note on recipi-ocai hgnres in space. — 1l.-B. Wii.son : Mathematical physics 
for engineers. 

Fasc. 8. — P. Saurei. : On the Classilicalion of Cryslals. — F. C.\.iori : 
Horners Method of Approximation Anticipated by Rnflini. 

Fasc. 9. — O.-E. Gi.ENN : Invariant conditions that a p -ary Form may 
hâve multiple linear fact(jrs. — A. Ranvm : The gênerai term of a recurriug 
séries. — D.-R. Curtiss : Relation.s between ihe Gramiau, the Wronskian, 
and a third déterminant connected with the problem of linear dependeucc. 

— VV.-A. VViLsox : rVote on intégration of séries by Lebesgue intégrais. 
Fasc. 10. — F.-N. Cole : The Chicago Meeting of the American Mathe- 
matical Society. — L.-E. Dickson : On the Négative, Discriminants for which 
there is a Single Class of Positive Primitive Binary Quadratic Form. 

— R.-F. Root : Iteraled Limits of Fnnctions on an Abslract Range. 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, heransgegeben von 

K. Hknski.. Band CXL. — Georg Reimer, lîeilin. 

Hefi I. — J. ScHUK : Bemerkiingen zur Théorie der beschriinklen Bilinear- 
formen mit unendlich vielen Yeranderlichen. — Ph. Furtw.vngler ; Ueber 
die Klassenzahlen der Kreisteilungskorper. — R. Sturm : Zur Jacobischen 
Erzeugung der Flachen 2. Grades. — E. Fischer : Ueber algebraische Mo- 
dul système und lineare homogène partielle Differenlialgleichungen mit kons- 
tanten Koelfizienten. 

Heft 2. — S. Gvxdelfi.nc.er : Ueber ein algebraisches iheorem. — .M. Riesz : 
Ueber einen SatzdesHerrn Fatou. — L. Lichtexstei.n : Ueber die konforme 
Abbildung ebener analytischer Gebiete mil Ecken. — J. Horn : Yolterrasche 
Integralgleichiingen und Summengleichungen. ErsterTei! : Zur Théorie der 
Singularitiiteu Yolterrascher Integralgleichungen. 

Prace Matematyczno-Fizyczne, publié par S. Dickstei.n. Yarsovio. 

Tome X.\l, I91U, — \V. Sjerpinski : Sur une propriété caraclérislique 
des nombres rationnels. — L. Lu.htinstei.n : Sur quelques applications de 
la théorie des équations intégrales linéaires. — \Y. Sierpinski : Remarque 
sur le théorème de Riemann relatif aux séries semiconvergentes. — A. Axer : 
Sur la fonction z{r} dans la théorie des idéaux. — E. Sta.m.m : Zui' Théorie 
der Beziehungen und Operationen. — Rose.nbi.att : Règle de Lagrange dans 
le problème isopérimétrique pour les intégrales simples. — G. A. .Miller : 
The Group generaled by two conjoints. — A. Axer : Beitrag zur Kenntnis 
der zahlentheoretischen Funklionen <x{n) und v(n). — E. Landav : Ueber die 
Bedeutung einiger neuen Grenzwerlsjitze der Herren Hardy und Axer. — 
W. SiERPi.NSKi : Remarque relative à mou article : « Sur les développements 
systématiques des nombres en produits infinis ». 

Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Direiiore (i.-B. Gi(( l<. 

Tome X.\.\I, fasc. 1. — .1. Sihe ; Sur les fonclions entières de deux va- 



174 HU I.I.ETI y /{ I H I.IOr, HA PU I OVE 

riables d oi'dro iipjjarenl total (iiii. — V. Nalli : Ritluzione di un fascio di 
iiirve piane <li génère uuo, corrispondoute a se stesso in nna trasf'orniazioni' 
bira/ionale involuloria del piano. — H. Poincaré : Rapport sur le prix Bo- 
lyai. — M. PicoNE : Sopra un problema dei valori al contorno nelle equa- 
/.ioni iperboliche aile derivate pari^iali del second' ordine e sopra nna classe 
di equazioui integrali che a quello si i-iconnettono. 

Fasc. 2. — M. PicoNE : Soppa un problema dei valori al contorno nelle 
eqnazioni iperboliche aile derivate parziali del second' ordine e sopra una 
classe di eqnazioni integiali che a quello si riconnettono. — H. Mohkmann : 
l'eber die antomographc Coliineationsgruppe des rationalen Normalkegeis 
// Ordnung. — V . (-isotti : Snl coniportamenlo délia t'unzione di NeimaNxN 
in punli prossimi al contorno. — H. Bohr : Beweis der Existenz Dirichlel- 
scher Reihen, die Nullslellen mit beliebig grosser Abszisse besil/.en. — 
G. San.ma : Su due farnie differenziali che individuado una congruenza <> 
un complesso diretîe. — O. Bolza : Ueber den Hilbert'schon l'nabhilngig- 
keilssatz beim Lagrange'schen Variationsproblem. 

Fasc. 3. — P. Calapso : Intorno ai sistemi coniugati che col metodo di 
Lapiace si translormano da ontranibii lati in sistemi octogonali. — Ch.-J. de 
la Yallée-Poussi.n : Un nouveau cas de convei'gence des séries de Fourier. 
— R. Weitzenboeck : Ueber einige spezielle Kollineationen im R«. — 'B. Levi: 
Un teorema del Minkowski sui sistemi di forme lineari a variabili intere. — 
VV. Stekloff et Tamarkine : Problème des vibrations transversales d'une 
verge élastique homogène. — D. Mo.ntesano : Su e curve omoioghe in una 
corrispondenza birazionale piana. — A. Comessatti : Sui piani tripli ciclici 
irregolari. — C. Somigi.iana : Sulle funzioui armoniche ellissoidali. — A. 
Terraci.m : Sulle Va- pcr oui la varietà degli S/i (/« -|- 1) seganti ha dimen- 
sione minore dell'ordinario. 

Sitzungsberichte der K. Akademie der Wissenschaften, Wien. 

.lalirgang 1910. — H. Bohr : Uebei- die Summaiiiiiliitsgreiizgerade der 
Dirichlet schen Reihen. — A. Boltzmann : Ueber den Luttwiderstand ge- 
kriimmter Flachen. — F. Doi.ezal : Das Riickwartseinschneiden au! der 
Sphiire, geiôst auf photogramnietrischem W'ege. — Ph. Frank und H. Rothe : 
Ueber eine Verallgemeinerung des Reialivitatsprinzips und die dazugehorige 
-Mechanik. — F. Hasenhorl ; Ueber den W'iderstand, welcheu die Bewegnng 
kleiner Korperschen in einem mit Hohlraumslrahlung erfùllten Raume 
erleidet. — F. .Jung : Die Polarableitungen verschiedener Stufe und ihr 
Zusammenhang. — B. Kai.icu.n : Ueber die Eigenschaflen der ebenen 
Kurven : a) 5. Ordnung mit einem vierfachen Punkte, als eines Erzengnisses 
zweier einvierdeutiger Strahlenbûschel ; b) b. Klasse mit einer vierfachen 
Tangente, als eines Erzengnisses zweier einvierdeutiger Punktreihen ; 
cj wie auch iiber die Konslruktion der crsteren von diesen Kurven. — A. 
Kli.ngatsch : Die giinstige Lage der durch geometrische Oerter bestimmten 
Punkte eines Dreieckes bei der Triangnlierung. — D. Kruppa ; Zur achso- 
nometrischen Méthode der darstelleiiden Géométrie. — G. Ma.ic;en : Ein 
Satz ùber die ebene Kurve \. Ordnung mit einer Spitze 2. Art. — Ueber 
die rationale Kurve 4. Orduiing mit Spiizen von fier 1. und 2. Art. — F. 
.Mehtkns : Zur komplexen Mnlliplikalion. — Ueber die Koedizienten und 
Irrednktibililht der Transfcrmationsgleichungen der eliiptischen Funktionen 
mit singuliirem Modul. — Fr. Pallus : Ueber eine iinmitlclbarc Beslimmnng 
jeder einzelnen Reaktionskraft eines bodingten Punktsystcms fiir sich ans 



Rll.l.ETIN II l lil.l () r. H A l> H l(> U E 1 75 

tien luRfi^raiige s»'hen (ileiclumiicii 2. Ail. — .1. Kadon : l chci- <l;is Minimum 

dos (iilet^i-als / Fi.r. y, h, \\ds . — \\. Uonii ; l ebof «lie liiieaie Abliiiii- 

.V 

nigkeil der geiuisclileii Produkle von diti Kakloicn. — R. W'kh/.k.nbôck : 
Ziim System von vier l-lbenen im lU. 

Revue de Métaphysique et de Morale, ilirigéf pai- M. Xavier Léon. — 
('olin, Paris. 
19» année, n"» 5 et 6. — H. L)li imikk : l.a généralisation matliématique. 

— G. Lechalas : Sur un aperçu d'Ostwald concernant les temps à plusicnirs 
dimensions. — A. Padoa : La logique déductive. 

Revue scientifique, 50«: année, Paris. 

2'i février. — H. Poin<:aké : L'hypothèse des quanta. 

2eitschrift fur das Realschulwesen, herausgegeben von Em. Czubek, Ad. 

Bechtei. und .Mor. Glosek. — XXXVL Jahrg. 1911; Altr. Hôlder, Wien. 

N"s 1 à 6. — O. M.iNDL : Einc kouvexe vierseitige Pyramide nach einem 
Parallelogram zu schneideii und die Umkehrung dicser Aufgabe. — Beilage 
zu Helt I : Heft 6 der « Berichte ùber den mathematischen Unterricht in 
Œsterreich » (Ph. Fkeldi. — K. E.m.merling : Beitrag zur Dreieckslehre. — 
J. KuHx : Zur Mondfliichc des Hippokrates. — Beilage zu Heft IV ; Hefi 7 
der « Berichte iiber den mathematischen l iilerricht in Œsterreich » (R. v. 
Sternecki. — G. v. SeiNSEi. : Scheinbar f'ehlende Wurzelpaaie von Glei- 
.chungssyslemen mit zwei Variabeln. — L. Schrltka : Eine gcomeirische 
Ableitung der P'ormeln fur die Diff'erentiation der goniomeirischeii Kunk- 
tionen. — R. Suppantschjtsch : Ueber die Norniierung der Normalforni der 
Gleichung der Geradeu. — E. Vogel : Die Ellipse aïs Schriigriss des Kreises. 

ÎN'o* 7 à 12. — R. ZDE^EK : Zur Erzeugung des Plùcker'schen Konoïdes. 

— VV. Peyerle : Ueber logarithmischeii Kurven. — M. Zdelar : Ueber die 
Verwendung zweier vvichtiger Hilfskonstruktionen. — Beilage zu Heft IX : 
Heft 8 der « Berichte ùbér den matheniatischen Unterriciil in Œsterreich » 
(S. Zare.mba). — L. Hofmann ; Zur Auflosung der Gleichungen dritten 
Grades. — Beilage zu Heft XI : Heft 9 der « Berichte iiber den mathema- 
tischen Unterricht in Œsterreich o (A. Auikr et E. Mui.i.er). 

Zeitschrift fur mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, 

lurausgegeben von Dr. H. Schotten. — B. G. Teubuer, Leipzig. 

'i2. Jahigang. Heft 9 u. 10. — E. Papperitz : Die kinodiaphragmatische 
Projektion, ein neues Lehrmitlel in der Gcomeirie. — R. Sciiiissi.ER : Die 
konstruktive Verwertung einer clemenlaren einheitlichen Kegelschnittsde(i- 
nition. — A. SchOi.ke : Zum Beweise des Pascaischen Saizes. — K.U'oli.etz : 
Die Beriihrungskiirve fïir eine Schar koiifokaler Kegelschnitle. — E. v. Szlt.s: 
Ebene und spharische Trigonométrie auf ganz neuer Grnudlage. — H. Pi au : 
lîeweis des Tangentialsaizes mittels der Pl'eilpunktssehne. 

Heft 11 u. 12. — Rudolf ScniMMACK . Ueber die Verschmelzung verschie- 
dener Zweige des mathematischen Unterrichts. — Milakcii : Eine einfache 
Liisiuig und Ableitung der Losung t^^^r knbischen (ilciclinng. — Otlo Rk iitek : 
Der Ellipsenreif. — Otlo Rm mi k : Eine .Maximalanfgabe ans der darslel- 
lenden Géométrie. 



1 76 H U I. l.HTI .\ H l H I. I () li R A P II / Qi' I-: 

Zeitschrift fur Mathematik und Physik, lieiiinsgegeben von R. Mehmkk u. 

C. RvNGE. — ôy. Baiid. — B. (i. Teiibner, Leipzig. 

Fasc. 3. — H. Blasius : Slromfunktioneu symmetrischer iiud unsymme- 
trisclier Flùgel in /.weidimensionaler Stromung. — M. Distkli : Ueber die 
Verzalinung dei" Hvperboloidrader mil geradliiiigem Eingriff. — P. Schulze : 
Allgemeine Théorie unsyminelrischer Ableukungeu bei Syslemen mil einem 
Freiheitsgrad und dereii Zusammenhang mît der allgemeiiien Théorie un- 
svmmelrischer Schwingungea gleicher Système, nebst Anwendungen auf 
besondere Fiille. — A. Webek : Geschwindigkeitsanderung eines beweglen 
Holraums infolge vou Kompression. — A. Weber . Die Transformation von 
Enerijie iind Bewegungsgrôssc. — Horst voii Sanden : Ueber eine zweek- 
massige Konstruktion des Stangenplanimeters. 

Fasc. 4. — W. Behrens : Eiu mechanisches Problem ans der Théorie der 
Laval-Turbine, behandell mit Methoden der Himmeismeohanik. — P. Fil- 
LL>GER : Die Spannungsverteilung im geraden Krei.'^kegel, hervorgerufen 
durch eine Eiuzelkraft von beliebiger Richluug und Lage. — K. Goldziher : 
Beitrage zur Praxis der fiir die Berechnung des Reutenzinst'usses verwend- 
baren speziellen trinomischen Gieichung. — O. Mohr : Graphische Zusara- 
mensetzung und Zerlegnng von raumlichen Kraftegruppen. — R. Mehmke : 
Beitrage zur Kincmatik starrer und afiin-veranderlicher Système, inson- 
derheil ûber die Windnng der Bahnen der Systempunkte. 

2. Livres nouveaux : 

L. Ba(;helikk. — Calcul des probabilités. Tome \ — l vol. in-'i". VIl- 

518 p.: 25 Fr. : Gauthier-Villais, Paris. 

George W. Evans. — The Teaching of High School Mathematics. 
iRiverside educational Monographs». — 1 vol. in-16. X-9j p., 35 cents 
(Ff. 1,75): Houghton Mifflin Company. Boston. New- York et Chicago. 

G. Godekey and A. W. Siddons. — A Shorter Geometry. — 1 vol. in-8°, 
XXII-301 j).; 2 s. 6 d.; University Press, Cambridge. 

(ieorge Bruce Haisted. — Géométrie rationnelle. Traité élémentaire de 
la Science et de l'Espace. Traduction française par Paul Barbarin, avec une 
préface de C.-A. Laisant. — 1 vol. in-B» (24-14| de IV -29(1 p., avec 184 fig.; 
broché 6 fr. 50 (carlonn.' 7 fr. 50); Gauthier-Villais, Paris. 

M. Lecat. — Abrégé de la théorie des déterminants à n dimensions, 
avec de nombreux exercices. — 1 vol. in-4", X\T-156 |). : Ad. Hoste, Gand. 

IL H. Stephenson. — Who's WhO in Science l International). 1912. — 
J vol in-B", X\T-323 p. ; 6 s.; J. & A. Churchill. Londres. 

E. Stoffaes (l'Abbé). — Cours de Mathématiques supérieures à 1 usage 
des candidats à la licence es Sciences physiques. 3« édition entièrement 
refondue. — Deiix volumes in-8" se vendant séparément : Tome I : Complé- 
ments d'alfièhre élémentaire. Dérivées, lùjuations. Géométrie analytique. 
Différentielles et intégrales. Volume de X-398 p. avec 114 lig. ; 10 fr. ; 
Tome II : Courbes et Surfaces. Equations différentielles. Vol. de V-362 p. 
avec 175 (ig. ; 10 fr. ; fiaulhior-Villars, Paris. 

Congrès mondial des Associations internationales. Premier volume. 
Documents préliminaires. Rapports. — 1 vol. (gr. in-B", 830 p.), publié par 
rOdice central des Institutions internationales, Bruxelles. 

Verzeichnis mathematischer Modelle Sammlung H. Wiener u. P. Treut- 

LEiN. — 1 br. in-8-, O'i p ; B. G. Tenbnei', Leipzig. 




i;miij: ll.moi.m-: 

IX'iO-1912 



EMILE LEAIOINE 

(1840-1912) 



Certains savants doivent une bonne part de leur notoriété 
à l'importance des fonctions qu'ils occupèrent, à l'éclat des 
distinctions qui leur furent conférées. 

D'autres, morts jeunes, ont été complètement méconnus 
ou inconnus de leur vivant, et il a fallu des années, souvent 
longues, pour découvrir après coup l'importance de leur 
œuvre et la puissance de leur génie. 

Celui qui vient d'être enlevé à la science française, le 21 
lévrier 1912, n'appartenait ni à l'une ni à l'autre de ces deux 
catée-ories. Emile Lemoine était un mathématicien d'une ex- 
trême originalité, doué d'un remarquable esprit d'invention, 
d'une vaste intelligence ; mais modeste, sans prétentions, 
dépourvu de toute ambition scientifique. Il s'intéressait à 
toutes les manifestations de l'esprit, aimait avec passion la 
science mathématique, et travaillait par plaisir, ce qui ne 
l'empêchait pas, tant s'en faut, d'être un acharné travailleur. 

C'est un devoir douloureux que je remplis aujoiird'hui, 
en entreprenant de présenter ici un aperçu résumé de sa vie 
et de son œuvre. Depuis 1860, c'était l'un de mes plus intimes 
amis; et sa disparition a été pour moi un vide cruel. Mais 
sa mémoire ne doit pas être oubliée. Elle doit l'être d'autant 
moins que son existence intellectuelle tout entière nous 
apporte un enseignement précieux ; elle nous montre, d'une 
part, que l'esprit n'a pas besoin d'une spécialisation outran- 
cière, (|u'il conserve au contraire sa puissance tl'invention 
et sa fécondité, d'autant micMix (|u'il sait s'intéresser aux 
manifestations intellectuelles extérieures; nous y voyons en 
outre la preuve (|u'il faut aimer son «Mivre pour faire une 
œuvre belle et utile. C'est encore plus vrai peut-être en 
matière mathématique qu'en toute autre. 

Je ferai, dans ce qui va suivre, de larges emprunts à une 
notice biographique de notre confrère M. D.-E. Smith, publiée 

L'Enseignement mathéin., l'i'annre; IHI:!. 13 



178 C.-A. LAISANT 

dans le journal The American Mathemalical Mouthly. Forcé 
de l'abréger sur certains points, de la compléter sur d'autres, 
je ne pouvais trouver un plus précieux document pour venir 
en aide à mes souvenirs personnels, et je tiens à en expri- 
mer ma reconnaissance à Téminent professeur de New York. 

Emile Lemoine est né à Quimper le 22 novembre 1840. 
Fils d'un oflicier retraité, il fit ses études au Prytanée de La 
Flèche, et lut admis en 1860 à l'Ecole polytechnique. Dès 
cette époque, il conquit une certaine notoriété sympathique 
parmi ses camarades par sa bonne humeur, son originalité, 
ses goûts ailistiques ; c'est là que pendant les récréations il 
institua des séances musicales, premier embryon des soirées 
de La Trompette, aujourd'hui connues dans tout le monde 
artistique ; c'est là qu'il organisa, pour l'équinoxe du prin- 
temps, la Fête du point Gamma, qui pendant de longues 
années est restée traditionnelle et a été régulièrement célé- 
brée par les élèves de l'Ecole polytechnique. 

A sa sortie de l'Ecole, il ne choisit aucune des carrières 
que l'Etat ofFre aux élèves. Il vécut à Paris comme professeur 
libre, donnant surtout des leçons de mathématiques; soucieux 
de son indépendance, avide de connaissances nouvelles, il 
suivit les cours de l'Ecole des Mines, travailla au laboratoire 
de Wiirlz, fréquenta l'Ecole de Médecine et les hôpitaux, fut 
en relations avec un grand nombre d'hommes de science, 
d'artistes, de littérateurs, de philosophes, quelques-uns 
célèbres ; d'autres, inconnus alors, mais qui acquirent plus 
tard une grande notoriété. Sa prédilection était pour les 
mathématiques et la musique. Mais il avait fait sienne la 
fameuse devise 

Homo sum et niliil liumani a me alieiuim pulo. 

Un peu frondeur par tempérament, il manifestait des sen- 
timents de profonde aversion contre l'empire, était déjà net- 
tement républicain et totalement affranchi au point de vue 
religrieux. Rien de tout cela n'était de nature à lui faciliter 
les conditions de la vie, au point de vue pratique; mais ses 
ofoùts étaient modestes et son ambition nulle. 



EMILE LE MOI NE 179 

Au moment oii survint la guerre de 1870, il était atteint 
déjà dune maladie ((ui Tavait contraint cà aller se reposer à 
Grenoble et Tempècha de prendre aucune part aux événe- 
ments. Après son retour à Paris, son état de santé ne lui 
permettait plus de faire du professorat. Il occupa divers em- 
plois d'ingénieur dans l'industrie privée, fit à ce titre d'assez 
nombreux voyages, et fut enfin, en 1886, nommé ingénieur 
de la Ville de Paris comme chef du service de vérification du 
gaz. 

Cet emploi ayant été supprimé en 1900, il prit dès lors sa. 
retraite, partagea son activité entre les soirées de La Trom- 
pette et ses travaux mathématiques, et finit par se fixer défi- 
nitivement dans la petite propriété qu'il avait acquise près de 
Montereau. 

Marié depuis 1883, il y menait une existence paisible, en- 
touré des soins, qu'on pourrait dire maternels, de la plus 
dévouée des épouses. Sa santé, profondément atteinte depuis 
une dizaine d'années, le condamnait à une grande inaction 
physique et à une extrême modération dans le travail. Mais 
cela ne lui avait rien enlevé de sa bonne humeur ni de son 
esprit ; et les amis qui de temps à autre pouvaient aller passer 
auprès de lui quelques heures, cà sa grande joie, constataient 
combien sa réserve de gaîté lui donnait des forces pour résis- 
ter aux souffrances physiques. 

La décoration de la Légion d'honneur, qui lui fut conférée 
en 1906, ne le laissa pas indifférent. Il y voyait une sorte de 
consécration officielle de ses travaux; peut-être bien, dans sa 
modestie, ne se rendait-il pas bien compte que ceux-ci 
étaient de beaucoup supérieurs à celle-là. 

Depuis 1905, l'Académie des Sciences lui avait accordé une 
récompense plus ellicace et plus sérieuse par l'attribution 
régulière du prix Francœur, pour l'ensemble de ses travaux. 

Au courant du mois de novembre dernier, il s'était rendu . 
à Xice, et se proposait d'y séjourner tout l'hiver. Mais au 
bout de quehjues semaines, une aggravation de son état de 
santé se manifesta, et contraignit M'"" Lemoine à le ramener 
à Paris, alors que le retour était encore possible. 

Une attaque de paralysie le teriassa définitivement, malgré 



180 C.-A. f. AI SA NT 

tous les efforts et Ions les soins ; et il succombait le 21 février, 
sans agonie apparente, semblant plutôt s'endormir que quit- 
ter la vie. 

Ses obsèques ont été célébrées le 25 février, au cimetière 
du Père Lachaise. Fidèle aux convictions de toute sa vie 
depuis plus d'un demi-siècle, il avait manifesté formellement 
la volonté qu il n y eût à cette occasion aucune cérémonie 
religieuse, et que son corps fût incinéré. Cette volonté a été 
scrupuleusement respectée. 

Le premier ti'avail mathématique de Lemoine qui ait été 
publié date, je crois, de 1858; c'était une note de géométrie 
« Sur une conique et son cercle directeur », qui fut insérée 
dans les Nouvelles Annales de Mathématiques. 11 était alors 
élève de mathématiques spéciales au Prytanée de La Flèche. 

Depuis lors, et surtout depuis sa sortie de l'Ecole poly- 
technique, il ne cessa de s'intéresser avec une véritable pas- 
sion aux mathématiques, publiant des articles, des notes, des 
mémoires sur les sujets les plus variés, utilisant ses cahiers 
d'élève, trouvant matière, dans de simples exercices, à des 
généralisations inattendues, à des aperçus originaux. Par- 
tout, dans ses productions, se révèle un esprit lucide et 
sagace, apportant sur les sujets les plus simples en appa- 
rence, des observations très personnelles. 

Il compta parmi les premiers fondateurs de la « Société 
Mathématique de France », et apporta aussi tout son concours 
à la création de l' « Association française pour l'avancement 
des sciences ». Une grosse partie de ses travaux figure dans 
les comptes rendus de ces i\e\\\ sociétés dont il fut pendant 
de longues années l'un des membres les plus assidus, tant 
(jue sa santé le lui permît. 

Ne pouvant, à cause de l'extrême dispersion et du nombre 
des articles dont il fut l'auteur, essayer d'en donner une 
indication détaillée, je tiens seulement ici à mettre en lumière 
les i\e\\\ chapitres de la science dont il a été le créateur. Je 
n'aurai [)our cela qu'à reproduire, jîresfjue textuellement, ce 
que j'écrivais en Ji)(l.'^ à la Société physico-mathémati((ue de 
Ka/.an, dans un rapport fju'elle m'avait demandé, rapport à 



É.MII.E LE MOINE 181 

la suite cIihjuoI Lcinoinc lut l'objet crime i'écoiuj)eiise dans 
le concours du prix; Lobalchewsky. 

La a Géométrie du triangle » lui appartient tout entière, 
on peut le dire sans nulle exagération. L'origine de cette 
branche de la Géométrie moderne est marquée par une com- 
munication (|u'il fit, en 1873, à TAssociation française pour 
ravancement des sciences, au Congrès de Lyon. 11 y signa- 
lait l'existence d'un point remarquable du triangle. L'année 
suivante, il revenait sur le même sujet, au Congrès de Lille, 
et signalait des propriétés nouvelles. Le point en question 
avait bien été remarqué auparavant d'une façon accidentelle ; 
mais jamais l'étude systématicjue n'en avait été faite ; et c est 
ajuste titre qu'on a donné aujourd'hui partout la désignation 
de « point de Lemoine » à ce centre des médianes antiparal- 
lèles, ou centre des symédianes, dont la découverte a été le 
point de départ d'innombrables travaux, dans tous les pays 
oii sont en honneur les études mathématiques. Dejuiis bien 
longtemps la géométrie n'avait eu l'occasion d'enregistrer un 
tel accroissement de sa richesse. 

Passant sous silence les développements elles généralisa- 
tions que donna Lemoine à la Géométrie du triangle, parmi 
lesquels il y a lieu de noter do très intéressantes études sur 
le tétraèdre, j'arrive maintenant à l'invention de la « géo- 
métrographie ». Je crois bien que c'est moi qui ai reçu ses 
premières confidences à ce sujet. Ce fut dans une conversa- 
tion particidière, vers 1887, d'après mes souvenirs. Il m'ex- 
posa ses vues fondamentales ; un peu méfiant de lui-même. 
il paraissait éprouver quelque hésitation à lancer publique- 
ment à travers le monde scientifique des idées aussi nou- 
velles. .Je l'y engageai fort et il suivit bientôt mon conseil, 
que je n'ai jamais regretté. Peut-être à un plus haut degré 
encore que la Géométrie du triangle, la Géométrographie 
doit être considérée comme le principal titre de gloire scien- 
tifique de Lemoine; dans le passé, on n'en saurait trouver 
aucune racine, aucune trace, si minime soit-elle. 

Au moyen d'un ensemble de conventions très simples, la 
Géométrographie arrive à résoudre les deux problèmes sui- 
vants : 



182 C.-J. LAISANT 

1® Evaluer par un coefficient numérique la simplicité d'une 
construction efTectuée au moyen de la règle et du compas ; 
ce qui permet de l'aire un choix entre diverses constru(;tions 
connues ; 

2° Etablir les moyens pratiques de simplifier le plus pos- 
sible une construction, pour arriver à la solution irréduc- 
tible ou Construction géométrograpliique, la plus simple de 
toutes. 

Le premier mémoire sur le sujet, De la sùnpficité dans les 
sciences mathématiques, tut présenté en 1888 au Congrès de 
l'Association française pour Tavancement des Sciences, à 
Oran. L'idée de Tauteur avait une ampleur philosophique 
dépassant de beaucoup l'étude des constructions, et il ne Fa 
jamais abandonnée ; mais il s'est attaché à la Géométrogra- 
phie, comme application ; il a porté sur ce point toiis ses 
efforts; et il en a été largement récompensé de son vivant, 
en voyant se propager de toutes parts, et même pénétrer 
dans l'enseignement sur quelques points, la doctrine nou- 
velle et féconde qu'il avait créée, . 

Son Traité de Géométro graphie (1901) forme l'un des élé- 
gants petits volumes de la collection Scientia^ et une nou- 
velle édition était en préparation à [la veille même de la 
mort de l'auteur. 

Il me faut aussi mentionner en terminant la fondation de 
Y Intermédiaire des mathématiciens, à laquelle j'ai collaboré. 
M. Smith l'a racontée dans sa notice précitée, avec force 
détails et beaucoup d'humour. Je dois me borner ici à répé- 
ter que Lemoine eut tout le mérite de l'initiative, et que Gau- 
thier-Villars père nous apporta dès la première heure l'appui 
le plus précieux ; son fils et successeur a continué du reste 
à se montrer fidèle observateur de la tradition paternelle. 

J'étais d'autant mieux disposé à accueillir avec enthou- 
siasme la proposition de Lemoine, que je rêvais à ce moment 
même de la création possible d'une association internationale 
des mathématiciens. Grâce à Vlntermédiaire, mon rêve a été 
réalisé depuis sous la forme la plus pratique, par l'institution 
de nos Congrès internationaux. Il faut que j'y insiste, car si 
l'idée première nous vint du dehors, si M. George Cantor 



EMILE LE M 01 NE 183 

nous la rommiinic|iia, Lemoine y pensait juste à la même 
heure. 11 s'v appliqua, sans ménager son temps ni sa peine, 
avec une ardeur d'apôtre, mullipliaul les correspondances et 
les démarches personnelles, entraînant les indécis, répon- 
dant aux objections. Tant de dévouement ne devait pas res- 
ter stérile; le brillant succès du Congrès de Zurich, en 1897,' 
en fut la preuve. L'état de santé de Lemoine Tempècha d'y 
assister. Mais, trois années plus tard, au Congrès de Paris 
où il put faire au moins acte de présence, les représentants 
de la science mathématique montrèrent que, dans tous les 
pavs, on savait (juel était le fondateur véritable des Congrès, 
et qu'à lui devaient être adressés les témoignages de grati- 
tude. 

Les Consrrès internationaux sont devenus désormais une 
institution solide et durable. Ils ont rendu de grands ser- 
vices, sous forme directe et indirecte. C'est à eux, notam- 
ment, qu'est due la grande enquête sur l'enseignement qui 
a provoqué tant de travaux utiles, dont il sera rendu compte 
à Cambridge cette année même, et qui seront vraisemblable- 
ment poursuivis quelques années encore, jusqu'au Congrès 
de Stockholm. Les mathématiciens des jeunes générations 
ne doivent pas oublier que parmi leurs aînés, celui qui vient 
de nous être enlevé a droit à leur reconnaissance. Et la vraie 
manière de payer cette dette, c'est de chercher à imiter celui 
qui n'est plus parmi nous ; c'est de travailler par plaisir, de 
se passionner pour la recherche de la vérité ; c'est surtout 
de rester soi-même, de suivre sa route en respirant libre- 
ment, à pleins poumons. Pour tout dire d'un mot, c'est de 
vivre. 

Lemoine a vécu, et bien vécu, par le cœur et par l'esprit, 
épris de beauté et de vérité, aimant l'art et la science. Nous, 
qui l'avons connu, avons le droit de dire que son œuvre ne 
périra pas, et que sa mémoire méritera d'être honorée, tant 
qu'il y aura dans le monde des savants et des artistes ^ 

C.-A. Laisaist. 



» Le caractère spécial de notre Heviie m'a empèrhi- d'enlrer dans aucun détail sur la création 
et le développement des soirées musicales de la Trouipetle L'histoire en a été d'ailleurs 
écrite de façon magistrale par M. Auge de Lassus, l'un des admirateurs de l'œuvre et des 
plus sincères amis du fondateur, sous le titre : La Trompkttiî. un demi-xièile de musiqu'-. de 
chambre; 1 vol. 237 p. avec héliotvpies; Paris, Dclagrave, 1911. C.-A. L. 



LES FRACTIONS CONTINUES 
DANS LA THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES NOMBRES' 



1. — Désignons par Eco la partie entière du nombre positif non 
entier « ; la quantité w — E« est <; i et peut être mise sous la 

forme —, . m' étant > 1 ; de même, t»)' — Eo/ = —, , w" étant > 1. 

'■) ''i 

En continuant ainsi jusqu'à un terme quelconque iï. qui sera 
commensurable ou non en même temps que w, — on aura le dé- 
veloppement de 0) en fraction continue, 

"^ iw' + . ,1 



+ n 



quon représente plus simplement ainsi 
'•) = I E'o , E'./, E'o" . . 



11 ne s'agira ici que des valeurs de œ fractionnaires ou irration- 
nelles du deuxième degré. 

2. — Algorithme d'Ettclide. Continuants. — Soient deux nombres 
positifs N, A, et le premier plus grand que le second. Posons : 

N = «A + B , A = /^B + C , B = cC + U , . . . 

F = ^G + II , G = /jH + I .... 

rt, b, c, ... désignant la partie entière des quotients successifs de 



1 Les tractions rontinues fournissent bien des démonstrations d'inii)ortanfs tliéorémcs de la 
tliéorie des nombres; mais ces démonstrations, indirectes et souvent compliquées, ne peuvent 
être présentées que comme vérification. Par suite, il faudrait éviter de les mettre en térc d'un 
traité des nombres, car elles ne permettent pas d'entrer assez rapidement dans le sujet. .\u 
contraire, leur rôle d'application des théories élémentaires |)arail tout indiqué. 

C'est dans cette idée qu'a été écrit le présent article : ce n'est donc pas une théorie spéciale 
des fractions continues, avec, comme corollaires, <Ies applications aux jiropriétés des nombres ; 
mais, au contraire, la suite d'une étude des nombres où il est fait appel à cette théorie, ce qui 
a |)ermis de simplifier |>lusieurs démonstrations. Cette étude. — amenée d'ailleurs par l'exposé 
des solutions des équations ax — b;/ = \ et x* — a;/ = 1. auxquelles se réduisent celles des 
congruences des deux premiers degrés. — est complét<'e par l'énoncé des questions élémen- 
taires les plus importantes relatives aux fractions continues, de manière qu'on trouvera réuni 
ici ce qu'il est le plus indispensable de connaître sur ce sujet. 



F H A C TIO y S C ONT IN U E S 



IH5 



N par A, de A par B, de B par (!, ... et B, C, D, ... les restes cor- 
respondants : l'ensemble de ces opérations constitue ce qu'on ap- 
pelle Wilgorithme d'Eurlide. 
On a : " 



(1) 



= \ a . h 



a. h ... h + - 



et cette décomposition ne peut se l'aire que d'une seule manière. 

Les nombres N, A, B, C, ... décroissent de plus en plus. En outre, 
ils sont entiers et premiers entre eux si X et A sont eux-mêmes 
des nombres entiers premiers entre eux. 

Ecrivons 



lOl = 1 
et en oénéral. 



la) = a , Irt, h] = (a]h + (0) = ah -f- 1 , 

\a , 1/ . c\ ^ {(i . l/\c ~{- {a\ , 

(a ... f, g, lt\ = {a . . . f, g)li -{- \a ... f\ : 



Ces expressions sont appelées les tnédiateurs (Kiiamp ,, les c///»/?- 
lants (Sylvester, les objectifs (Doumoy), ou les continuants (Muir 
des nombres a, b ... f, g, h. On les voit définies pour la première 
fois dans 1-4/0". de Saunderson. 

On peut écrire : 

{a ... f, -iG + (a ... /iH = la . . . f, g. AlH + (« . . . f, g)\ . 

Les binômes analogues au premier membre ont donc une valeur 
constante, égale par conséquent à 

(rt, /y|B + |«|C = \alj + liB + «lA — h\i) = X . 



Ainsi en général, 

(2i {a 

De même on a : 
{l>...f, g. h)U + ih ../ 
d'oii 

i\ = a A + B = \(i\h 



h}U + u_i ... g)i = y . 



I = -V et 



f.g. lnn^(c...f,g)\ = B , 
. /nH -\- \a . 



Il 



'■ •"■ ' I |/^ ... liïH -\- {h ... g)\ 
/*) + (c ... /»>1II + [('{h ... g) + k- 

Comparant celle deinière relation avec '2 , il vient 
(fî) ail> . . . />< + \r . . . /i\ = {a . . . f. g. h\ . 



r']i 



186 A. AlBRY 

Or, de a) on tire, en chanijeant a, b, ... g. h, en h, g. ... b, a, 

(v) [h . . . (i\ t:^ n\h . . . h) -\- (h . . . c] . 

Mais on a : 

\c , II] =z cb + \ =^ {h , c\ 

(d , c, h\ =2 {d , c}Ij -\- [d] = id c -\- l\h -{- d ^ [h c + \\d -\- h 

= {h, c)d -\- [h] = {h . c . d) . 
Donc 

[d , c , h , a) =^ a\d . c, h\ -\- {d , c] = a{h, c, d\ -\- {c, d\ = (a , h , c , d) . 
En général, on a cette importante relation, due à Euler, 

(4) {a ... h) = \h ... a) . 

3. — La somme des deux expressions analogues 

[h ...h){a...g) — (rt ... h][b...g) et {b...g][a ...f) - {a . .. g\\b ...f\ 

est identiquement nulle, ce qu'on voit en remplaçant les expres- 
sions a ... h] et ib ... h] par leurs valeurs 

(a ... g)h + («... f) et {b .. g^h + \b ... f) . 

Ces deux expressions ont donc des valeurs égales et de signes 
contraires, que de proche en proche, on arrivera à représenter 
ainsi : 

±\b . cllfl , //) =jl (fl, b , ci/> = + i/>'c + lha/>+ 1) + \abc-\- a + C|// =:± 1 . 

On a donc : 

(5) ib .. g, h\{a, b ... g] — (a, b . .. g, h) {b ... g] = (— 1)' 

t désignant le nombre des quantités a, b ...g, h Salxdersox). 
Or on a : 

(o| A= (/y ... g'iG + (/> ... /-(H , 7s = ia ... g\G -\- [a ... f)Yi , 

d'où 

\b ... g\:^ — \a. b ... g\.K = ±Yi. . 

Si A et N sont deux entiers premiers entre eux, on finira par 
trouver H = 1 et 1 = 0, ce qui donnera 

(6) I /y . . . g) N — I rt . . . ^1 A = ± 1 
( 7 ) I A ... A I N — ( rt . . . A ) A = . 



FRACTIONS CONTINUES 187 

Kiiler a encore donné la relation suivante 

(8l Ifl ... A, c, d , e ... f\ = \(t ... h . c) \d , e ... f) + la ... h\{e ... f) ; 

qui se déduit de la comparaison des coeflicients de 11 dans la se- 
conde relation (<î) et dans celle qu'on trouve en remplaçant C et D 
dans cette autre 

N = uf .,./>, r)C + (rt ... A) D 
par les valeurs 

C = {d, e ... f, g\G + (d, e .. f)}\ 
\) = {e . . /•, ç-iG + le ... /-jH . 

4. — La formule [(î) fait voir que A et N étant des entiers pre- 
miers entre en.i, on peut toujours écrire N.r — Ky = ± 1, ainsi 
que N.r' — Ay' = + 1, les signes étant convenablement choisis, en 
faisant dans le dernier cas, .r' =:= A — x, ?/' = N — y. De là, la 
démonstration du lemme fondamental [Ens. Math., 1907, p. 287) 
et le moyen de résoudre l'équation du premier degré à deux in- 
connues N.r — Ay = M '. 

Les formules (7) et (a donnent 

N _ (a ... f, g, h) ^ ia ... f. g)h + ta . . . f) 

A \l, ... f. g. h] [h ... f, g]k + {h ... f) 

h désignant le quotient correspondant à H = 1. Comme d'ailleurs 
en général d'après io), les continuants ia ...g) et [b ...g) n'ont 
aucun facteur commun, on peut dire que de (8) on déduit les 
égalités 

(10) irt ... hj = N , {h ... h) = A . 

Les expressions 

(a) (rt , b) ia . h , c] \a , h , c , d] 

T ' {h\ ' {h, c) ' {h , c . d) ' 

N 

sont dites les /•éflf////e.s- de — . De la sorte, si une quantité quel- 
conque est définie par une fraction continue \a, b, c ... | , on en 



1 On a des tables de solutions toutes faites, par oxoniple le Canon matheinaticu.<; de Jacoiii 
(Berlin, 1839), qui donne les solutions primitive.<; (inférieures à p\ des deux congrucnoes 
g-*- = a et g-** = X, g désignant une racine priinitit'e de p pour p <[ 1000. 

Soit à résoudre ux — p;/ = [î, on cherchera les nombres A et B tels que g"^ = « et g" = p ; 

B— A 

on aura : x z=. g 

A défaut des tables de Jacobi. on se servira de celle de G.vuss {Disq. Arith.i. auteur de cette 
application des racines primitives; ou de celles d'Ostrogradski, insérées dans les traités de 
TcHEBiciiEF et de Caiikn; ou celles de V.v.ne.6a\:K [Tables nitmérique.'s,VATis, 1866). Celles de 
Gauss s'arrêtent à p ^ 97 ; les secondes à /> = 197. 



188 A. AU BR Y 

trouvera les réduites à laide des formules qui précèdent. Dans le 
cas de X et A entiers, on a vu que leur nombre est limité; si X 
et A sont incommensurables, le nombre des réduites est indéfini 
et on peut s'arrêter à un terme quelconque, qui est alors lui- 
même incommensurable; si on a, par exemple, 

>.= \a. I,,c ... e.f,g. O I 
on peut écrire 

_{a ... f. g. Qi _{a ... f. g\LÎ + («.../•)' 



Ill) 



l/> ... g. Q, ,/, ... /■, ^|L2 + (/; .,. /•) 



(voir exercices n°* 1 à 11 . 

5. — Supposonsque les entiers a, ... b, a ... soient en nombre 
impair et leurs valeurs, symétriques, de sorte qu'on puisse les 
écrire a ... b, r, d, r, b, ... a ; 8' deviendra 

(12 1 (rt ... b , c, d , c. h ... a} ^ [a ... b . c] [{a ... b , c , d) -\- (a ... h , c)] ; 

on peut encore affirmer que a ... b, c\ d, c, b ... a) est un nombre 
composé, à moins que [a ... c) ne soit éoal à 1, ce qui ne peut avoir 
lieu si « > 1. 

Si ces mêmes entiers sont en nombre pair et leurs valeurs éoa- 
lement symétriques, on aura : 

(13) [a . . . c , d , d , c . . . a] = {a ... c . d)'^ -\- (a . . . c]- . 

Soient A, A', A", ... les entiers premiers avec X et inférieurs à 
la moitié de ce dernier ; les quotients de X par ces mêmes nombres 

, , , ,, . {a , b . . . e . f) 
auront leui- partie entière plus grande que 1. ooit — -, ;:— 

' ' '^ * {b . . . e , f\ 

la dernière réduite de V ; on aura 
A 

N = |rt ,/>... e , /"i et A = \b . . . e. f] . 

De môme la fraction — ^ — ," ' ' , après calcul des continuants 

(a, h ... e) ' 

et réduction en fraction continue, donnera (a, b ... e) égal à un 
des nombres A, A', ... Ainsi, à chacun des nombres A, A', ... cor- 
respond un autre nombre qui donne un continuant semblable, 
sauf qu'il a un terme de plus à droite et un de moins à gauche. 



1 La formule (II) se déduit directoment de lai en l'emartiiiant que la supposition 

{h, c ... ill 1 

1 A, c ... il 1 ^ entraine la relation | a , /< , c ... il | ^ a + 



(c ... ill \b, c ... a \ 

a {h. r ... ill + (C ... ill 

\b, c ... ill ■ 



F /.' . / CT 10 y s C O N ri \ U E s 1 89 

Dans lo ras paiiiculior où X est un iioiubre premier 4 4~ Ai 'g* 

^; 1 

iioiiihres A. A'. ... ne sont auties que les entiers 2, .'i, 4, ... — - — 

qui sont en nombre impair: il faut donc qu'un de ces nombres, 

par exemple A'", se corresponde à lui-mènîe. Si «, è, ... g, h sont 

N 
les quotients qui résultent du développement de yw en fraction 

continue, on a évidemment (a, b ... g< = (A, g ... b] ; le continuant 
(i. b ... g, h] est donc symétrique, et il ne peut être formé d'un 
nombre impair de termes, puisqu'on a : a > 1, et que, d'autre 
part, N est premier. 

On a ainsi la démonstration de ce célèbre théorème de Fermât : 
tout nombre premier 4 + i est une somme de deux carrés, et un 
moyen facile d'en déterminer la composition Smith . Voir exer- 
cices n"* 12 et lo.) 

6. — Lemme. I^'entier y variant de à /i, et w désii^nant un 

nombre irrationnel, appelons x l'entier 1 + Kiyw immédiatement 

supérieur à yoj ; on aura <; x — //o) << 1. La valeur de x — yM 

, ^ .'(112 /■ ,, ., 

est comprise entre deux des tractions j , t ■ t • •• • r • Lomme il 

n'y a que k intervalles et que //, et par suite x — yoi, peuvent 
prendre k -{- l valeurs, il y a au moins un intervalle comprenant 
deux valeurs de x- — //w, et on peut écrire : 

< (r' — v%| — \.r" - r"'oi < 1 ou < i.r' - .r"| — (/—_,").„ < - ; 

;/' — y" est une des valeurs de y ; donc, en écrivant .r' — x" = x, 
il vient 

U) < X — V'o < - < - . 

Prenons k' assez giand pour que la plus petite valeur de .v — yo) 

soit >> T-, ; on obtiendra, de la même manière que tout à l'heure, 

un autre couple '$. rj. (pii donnera une nouvelle solution de f], et 
ainsi de suite. 

Par conséquent, on peut toujours trou\>er une in/initè de couples 

de valeurs de x et de y satisfaisant à la relation x — yw -< -r 

1 I^EJEUNE-DlRICIII.ET . 

Cor. Posons o) = y/ n ; on peut trouver une infinité de solutions 
de l'inégalité 

(^) < X — y^/ii < -: . 



190 A. AUBRY 

ce qui permet d'écrire 



< •>• + .vl/// < T + 2^V" ' 



et, en multipliant. 



< .r2 - /;>•-' < -^ + 2^/// < 1 + 2/« 



Ainsi, désignant un certain entier compris entre et i -\- 2 \n , 
l'équation X' — ny- :=: 9 a une infinité de racines (id.). 

(Voir exercices n"* 14 et 15.) 

7. — Problème de Fermât. — Si n désigne un nombre non carré, 
l'équation f- — nu* = 1 « une infinité de solutions. Fermât!. Dé- 
monstration de Lejeune-Dirichlet. Parmi l'infinité de couples de 
solutions de .r'^ — ny'-^9, il ne peut se trouver plus de 9^ couples 
tels que .r et y divisés par 9 donnent pour restes toutes les com- 
binaisons des nombres inférieurs à 9. Il existe donc une infinité 
de couples qui donnent les mêmes restes, et on peut écrire : 

.r'ï _ „y'2 =1 x"- — nr"- = H . .»" = x' + aO . r" = / + |36 , 

d'où, en posant 1 + «^' — "^n' = f- ".'/' — ^■^'' ^= "■, 

(x' + j'^«"|(.r" ± i'V"^l = 6(/ Ijl «jZ/Tl , 

ce qui conduit facilement à l'équation t- — nu- =r 1. où // est dif- 
férent de zéro, car autrement on aurait 

/ = ± l et x' — y'\/n = ± \x" — v"/«"l . 
ou bien 



or x' et x" peuvent être supposés positifs et inég-aux, de même 
que y' et y" . 

Cor. 1. Soit X = a, y = b une solution de x^ — ny^ = 1 ; les 
expressions 

iX/. = r/" + C^. ., «'■"- Irn -j- C^. ^ r/~'' />'* /(- + ... 
r = Xv/-' h -\- C fl^— ■' //'» + C fl^-^ //' «"- + . . . 
\ ■ k A-,:t k\b 

en donneront une infinité d'autres, en faisant k = 2,3,4, ... 
(Euler). Va\ effet 

^ X ± y \/n = (rt ± l/[/n I* d'où r" — nr' =r 1 . 



FRACTIONS CONTINUES 
Les formules (14) peuvent s'écrire 

(a + h[/n]'' + \n — li\/n)'' . 



191 



(15) 



2.r 



'ly \/ n =1 \a -{- h[/ n 



[a — l>\/ n 



Les solutions forment deux séries récurrentes dont l'échelle est 
2a et — [a- — nb'^i = — 1, c'est-à-dire que .r = 2a^-^ — .r^_^ 

IL Soit (.r, , /y,) la solution en nombres minima, et soit («, v) 
une solution non comprise dans la série (Xj, y,i, Ufj, 2/2), (0:3,^3),... 
On peut écrire .v^ < « < r , et il s'ensuivra 1/^ <. ^ <. «/^^, • 

Par suite on aura 



Le dernier membre est éyal à 



j/ n . 



(^. + .)■, 1/ « ) l-ï- + V j/ » ) = ^-- 

A- A- 1 1 X — r [/ n 



on a donc : 

1 < (MX 



nvY I + (t'x — HV II/ « < .r -f- V |/ n ; 
'X- A: ' k 1 ■ 1 



or [u.v — nvy .f — "ï^'^'z. — "V k^^ ^^ ^- ^" aurait ainsi une solu- 
tion en termes positifs et moindres que :i\ , iJi, ce qui est contre 
l'hypothèse, laquelle est donc à rejeter. (Voir exercices n^* 16 à 21.) 
8. Algorithme d'Enler. — Soient a' la racine E V 'ï du plus 
«(rand carré contenu dans l'entier n, et a" le reste n — a"^. Consi- 
dérons la septuple série 



a' 


// 


.. d' 


e' 


r 





// 


a" 


//' 


.. d" 


e" 


t" 


ë 


//' 


a 


i'' 





£ 


? 


T 


1^1 


a 


h 


.. d 


e 


f 


p 


k 


a' 


V 


V 


i' 


f^ 


t' 


ï/ 


A' 


B' 


.. D' 


V.' 


F' 


G' 


11' 


A 


B 


.. I) 


!•: 


F 


(i 


H 



dans la({uelle les termes /" et /"" supposés connus, les termes qui 



r,) 




{y- 





192 A. AUBRY 

suivont ceux-ci sont déteriiiinés par les lois yénërales suivantes : 

lO) /•=£?, (0 g' = tr -r , 
il) =' = V"-^"^ = J" 

(;j.) K' = [a\ a . h , . . . e , f) , (v) F = (a , /> , . . . e , /"l . 

Les ternies représentés par des lettres grecques sont irration- 
nels; tous les autres sont entiers : on voit en effet que si n — /'"- 
est divisible par f", il en est de même, d'après [y de n — g''^ ; or 
n — a'"' est divisible par a" : il en est donc ainsi en général. 

L'algorithme renfermé dans les formules (?/), [9], (i), ix), [X], 
connu probablement de Fermât et entrevu par Bonbelli, Cataldi 
et ^VALI.Is, a été présenté explicitement par Euler et démontré 
par La(;range. U résulte immédiatement de la décomposition de 
y n en fraction continue, comme il a été dit au n" 1. 

(Voir exercices n°' 23 à 26.1 

9. — Si on a 2 V7r>> ■\/'n + /' > /"' > 0, il s'ensuit y > 1 et, à 
cause de f9], i'^(p — /^]> 0. Comme, à cause de (^7), de it) et de (A), 
on a : 

(17) ç — /■=?' 

(X) donne en outre 
1 18) /■" + ."'> l "^ > g' ^-'t v/T + g' > g">0 

d'où 

(19) 2^/";^>^/7^+ g'>g" > . 

.\insi, de l'hypothèse où on s'est placé, on conclut qiie les 
nombres \ n -\- g' et j?" sont également compiis entre 2 V /i et 0; 
et, puisque 2 v'/i >> V « + a' > a" > 0, cette propriété est géné- 
rale. 

Les nombres c/, b, .../,g, •■• sont donc ^ 1 et ^'la' : ils forment 
par conséquent une série pouvant être partagée en périodes d'un 
nombre fini de termes, puisqu'ils ont des limites finies et se 
reproduisent d'après une même loi, ce qui fait (|ue la combinai- 
son /"', /'", par exemple, doit se retrouver nécessairement, ainsi 
que le nombre f, (jui dépend d'elle. 

Cor. De /' << xHi . on déduit 

(20) //■" = /' + fi' <^'~^-^ s' ■ 



FRACTIONS CONTINUES 193 

Or /"est entier et positif, doiio, à l'ortioii, 

(21) /" <:\ n + s' = -..L-^-, , 

^ n - g' 

à\m 

,_ V^M + k' 

(22) g" >\/n- g' = V n + h' - gg" et g > ^, 1 . . 

o 

Mais, par le changement de f, /'', /'" et g' en g, g', g" et h', (20) 
foui'nit la relation 

^''"^ + h' 

(23) g < ^„ : 

des deux limites de g (ju^on vient ainsi de déterminer, on tii-e 
cette formule de Lagrange 

v'TT-f h' 

(24) g=E -,^— . 

o 

10. — il est aisé de voir (pion a : 

/— , 1 1 . , 1 ,1 

V n = n + - , a = « + ---,... ç=:/+-, y = ^ + -.... 

Le nombre ]/ n peut donc se décomposer en une fraction cofi- 
tinue illimitée 

(25) \ a', a, h. .. . c. d : e .. . f, g. h ; e .. . f. g. k ; e ... \ 

dont les termes sont périodiques et ^ 2a' : cette expression (25) 
peut d'ailleurs se remplacer par une infinité d'autres fractions 
continues limitées dont le dernier terme est irrationnel. Ainsi 
on a : 

(26) V^~n =. I «', « , l> . f , ... /", V I = I a', a .. . e ... f ... f, -( \ = ■■■ 

Par exemple, pour n = 19, on a les valeurs suivantes de a', b' , ... , 

n", b", ... , et (t, b, ... 

4,2,3,3.2.'.; 'i . . . 

3 , .5 . 2 . 5 , 3 , 1 : 3 . . . 

2,1.3,1,2,8; 2 . . . 
ce (jui donne 

^ =12.1,3.1,2,8; 2 , 1 , 3 , 1 , 2 . 8 ; . . . I 
(Voir exercices n"'- 27 et 28.) 

L'Enseignement niathém.. li' aiim-e ; I91i. I* 



19't 



A U RRY 



11. — Considérons les couples ... r', 6"; d\ d" \ e', e" \ et g', g"; 
h', II"; e\ e" ; arrêtes à un même couple e', e" . On a, d'après x.) 



d"e" + e'* = /i"e" + e'- 
et, à cause de (24), 



d'où 



d" = h" , 



d=E"' + '' = 1, 
d" 



d où 



d' = dd" 



h' . 



et de là, 



et ainsi de suite. 



On conclut de ce qui précède que la période coinnience au pre- 
mier ternie même de la série, ce qui fait qu'on peut écrire 



(27) 



^' n ^ \ a' , a . . . f . . . h ; a ... f ... h : «.../". y | 
( ^ \ a' , a . . . f . . . Il ; a . . f . . . It ; a . . . \ 

Mais d'après ix; on a : a" h" ::r-. n — a'- =^ a". On en conclut que 

n - — /*"' 



1 



h =: Mv n -(-</' = la' , h' zzihh" — a' ^ a' 



II" 



(Voir exercice n" 29.) 

12. — A cause de lli on a : 



Fy 4- L 



d'où, en remplaçant y par sa valeur 



V n -\- 



eil'ectuant et éiralant 



séparément les parties réelles et les imaginaires de l'égalité résul- 
tante, 



(29) 
(30) 



F'/ + 1- '5" 
Fo' + F." = 



= F/; 
F' . 



Multipliant 29 par F et i'ÀO par F', puis retranchant, il vien- 
dra, en remarquant que, suivant la parité du nonihrc des termes 
a\ <i, b. ... /■ on a F'K — FF' = zt 1, la relation 



(311 



F'* 



nV' = ± a" 



Ainsi ré(juation .i' — n//' = \ est toujours résoluble, d'une 
infinité de manières, à l'aide des formules [i;], \9\, [i], [x], (P.), ifjt) 
et ^V', si X est run des nombres — n" , -\- h'\ — r", ... 

Puisque l'un des nombres r/", //', ... est égal à 1, ré(|uation 
.1' — iry'- = H:; 1 est toujours possible, en choisissant convena- 



FRACTIONS COyriNUES 195 

blement le signe: on posera en conséquence .r = G', y:=G, 
g z= a' étant ravant-dernier terme de la période. Si le nombre 
des termes de celle-ci est pair, il faut le signe + et les valeuis 
de :v ne sont autres que les termes de la série 

g' = \n . a ... g) , G^= \a ... g , li . a . . g) , 

G3 = {a ... g, h, a ... g. II, a ... g) , ... 

tandis que si les termes de la période sont en nombre impair, les 
termes de rang impair de cette série seront les valeurs de :v dans 
.1- — ny- = — 1, et les termes de rang pair, les valeurs de :v dans 
.^ - — ni/'- := 1. Voir exercices n*"* 30 à 35.) 

13. — Désignons par D, D^ , D^, ... et D^, D^, D^ , ... les con- 
tinuants 

{a ... c , d) . \a ... c , d , e , f ... a ... d\ . {a ... d ... d ... d) , ... 
et 

{a', a ... c , d) . [a' . a ... d ... d] , \a' ... d ... d .. . d\ ... 

correspondant au même quotient d. On a d'après > , en appelant 
P et Q les continuants (e, /"... a ... r, di et f ... a ... c-, <fj, 

'^2) i^. = pi\._, + Qc,._, , d; = pd;_, + Qc;._^ . 

Les expressions D, D.^ , D3 , ... peuvent donc se calculer par l'é- 
currence. On peut aussi les déduire des considérations suivantes : 
introduisons dans la relation 

V n = , 

les valeui's de C^._, et de (^]^._ , tirées de i32 , il viendra 

1 1 i^" + '"' . 1 • -Il 

remplaçant « par sa valeur , cl séparant les parties réelles 

et les imaginaires, on aura deux égalités peimcttant de déduire 
d; et D, de D;._, et D,_, • 

Cor. Dans le cas particulier oii ces continuants correspondent à 
ravant-dernier terme /*■ de la période, i devient 7= \ n -y n' et 
on (tulre on a : 

P ^ (/< , a . . . o) r^ (2rt', a . . gl = 'la'G + ih ... ^'i = «'G + G' , 
Q = (« ... "I = G . 



196 



A. AUBRY 



(34) G'^. — G^J n = (G' — (W n ) (G'^._, — G^._,V'' « ) 



et par suite 
(35) 



',]. — G^\^ n = G' — Gv' n r . 



D'après ce qui a été dit au ii° 7, cor. 11, G' est la plus petite 
valeur de ./■ satisfaisant à l'équation de Fermât ^r"^ — ny^ = 1, et 
Gj, Gj, ... les valeurs suivantes. On a ainsi tout à la fois une 
nouvelle démonstration de la possibilité de cette équation et le 
moyen d'en trouver les solutions. 

(Voir exercices n"* 36 et 37.) 



1 . On a : 



h 



Exercices. 

=\a ... h + 



c + ..Il 
\ ,t + OL. h ... \ = %-ir \ a, I' ... \ ; \ ... a . . h . .. \ = \ ... a + h , ... \ 
\ — a. h, c \ = — \ a— l. l. h — l. c \ : \ a ... h \ = \ a ... h — i. l 
\ a. —b, r I = I rt — 1 . 1 , // — 1 . — c I = I rt — 1 , 1 , h — 2. 1 , c — 1 I 

I - «1 ••■ - «A- I = <- ll^' I "l •■• «A- h 

\ a , h . . . g, h \ \h .. . g. h) = \ h. g . . . h. a \ \a , h ... g] ; 

\ a. h . . . c \>C\ h . . . c \ X . . . X | r | = ( rt , /> . . c) . 

2. Les ri'dniles sont des fractions irréductibles. (À)nséquence 
de (5). 

3. Les fui/eurs des réduites oscillent autour de celle de la frac- 
tion continue, en s'en rapprochant de plus en plus. I.,a première 
parlio de ce théorème est une suite de la génération des fractions 
continues; la seconde suit de ce que 



(a ... h 



-f- 1 



II) [h 



Cor. I. La différence de deu.v réduites consécutives diminue de 
plus en plus. 

II. La valeur d'une fraction continue est plus près de la k* /<?- 
duite que de la k — 1 /'. 

4. Toute réduite approcite plus de la valeur de ht fraction con- 
tinue qu'une fraction quelconque dont les ternies sont plus petits. 
(]es propositions enlievues par W'allis et lluygens, ont été démon- 



FliACT/OJVS CONTINUES 



197 



trées par Saunderson, à qui est due la i-elation donnée à l'exer- 
cice 3. 

5. Les ri'ddiles correspondantes des dè\>eloppenients en fractions 
continues de deit.f fractions irréductibles dont la somme est égale à 
r unité, ont elles-mêmes une somme égale à l'unité (Stouvenel). 



0. Soit 



1 ^ I '■^' / I 

h, - ^ ^ — et a 

(• A 



b, — == — , on aura : 
d B 



A' + B' 
A + B 

7. On a : 

(a . h . c , d , e ... h) 
(h, c , d, ... k) 

+ 



c' + d' 



(Ed. Lucas. 



(a) _^ 1_ 

1 ih) [h , C] {h, chh . c , d\ 

1 



h . c . d][b , c, d , e) 



Euler.) 



<S. Le nombre des termes du continuant de k lettres est égal au 
k'' terme de la série de Fibonacci \, 1, 2, 3, 5, 8, ... u, , . = u, + n, , 
(Ed. Lucasj. 

9. Si [h ... h) =: (a ... g), la suite a, b ... g-, h est synictriquc, et 
réciproquement {Legcndre). En elFet 



ia. h 



. h\ 



\l> . 



et 



(« 



= I // 



H 



Si [b ... h) = [a ... g\ et dans ce cas seulement, | a ... h \ 
= I A ... a I . Or une quantité donnée ne peut s'écrire (jne d une 
seule manière en fraction continue. 
10. Démontier la relation 



[a ... I> . c , d ... e . f, g ... h}(d ... o — ia 
= (— l)'|a ... h)\g . .. h) 



ei{d 



t désignant le nombre des quantités d ... e. (Kramp. 
11. Soit N::=A+-, u = a + \ , ^ = b -\- - , 

7. ,3 Y 



Na,'3 

12. On a: 

(a. h 



, yoc = I A , a , h ... c , d\i + ( A , a . h 
=z \A , a , h . . . c , d , î\ 

. c , d , d , c ... h . a) {h ... c , d , d , c 
= {a. b .. . c . d . d . c . . . Ij*"^ -\- \ . 



on aura : 



iLagrange. ) 



198 A. AUBRY 

d'où la décomposition dit nombre A- + 1 en deux facteurs, qui 
sont eux-mêmes des sommes de deux carrés (Smith). On élève au 
carré les deux membres de l'égalité 

(fl ... d\\b ... c) — [a ... c\{b ... d\ = ± 1 , 

et ou utilise la relation (13). 
1.3. Démontrer la relation 

\a ... I). c, d ... e. f, f. e ... d]^ + \a ... h\^ 
= [(a ... h, c, d ... e, f\- + \a ... h, c, d, ... e\-] [{d ... e rf)' + \d ... ef] . 

Conséquence de (13] et de l'exercice n° 10. 

, . a ... 

14. Soient &);= j- , et x et y tels qu on ait 

< .r — v-p < -r , d'où l>.r — rti < -j- ; 

soit A- l'entier immédiatement supérieur k ^J b . Comme y <i k, 
on peut écrire //"-<; è <; A-, et de là 

{bx — a^f < p < /' . 



\b.r — 



ajf + /n-2 < /> + /n^ < (A + I ) /> • 



Si donc rt* + /i est multiple de b, il en est de même du premier 
membre de ^s et de plus il est positif à cause de sa forme : sa 
valeur est donc l'un des nombres b, 2b, 3b, ... hb. 

Soit A ^ 1 ; on aura [bx — ayf- -\- y^ = b, puisque le premier 
membre a une valeur inférieure à 2b. Donc tout diviseur de a'^ + 1 
est lui-même une somme de deux canes (Fermât). Cette démons- 
tration est due à llermite. 

Faisant h = 2, puis h = 3, on démontrera de même, avec Le- 
besgue, que le premier membre de (5) est égal à A et que, par 
suite, les diviseurs de a'^ -\- 2 et de 'a^ -\- 3 sont respectivement de la 
forme x^ + 2y2 et de la forme x^ + 3y2 (Kulen. 

Cor. 1. L'égalité x^ + 1 = ny"'^ ne peut avoir lieu qu'autant que n 
est une somme de deux carrés (Lagrange). 

II. Les équations \^ -\- 2 =s y^, x'^ + 4 = y"* ne sont suscep- 
tibles, la première, que de la- solution \ô, 3) et la seconde, que 
des solutions [2, 2) et (11, 5) (Fermât). Démonstration d'E uler. 
1" // est de la forme Ç^ + 2>7' : on posera donc x + ]/ — 2 
= ? + 7 V — ^;"^? d'où f^lS^^ — 2tj^t = 1. Il n'y a que la solution 
possible §1=: 1, ?j = l. 

2" y est de la forme §- + rf-. On fera en conséquence \x -\- 2 y — 1) 
= ï -j- 'y V — l;^i d'où J7'3Ç^ — if) = 2, ce qui donne Ç ^ >/ ^ 1 
ou ï = 1, t; = 2. 



FRACTIONS CONTI N (ES 199 

15. Si un nombre 9 peut se niellre sous la f'orn/c \'- — ny-', // le 
peut d'une infinité de manières. 

l(i. On a : .r,^. + y^^.V n = ',r^ + y^. V n -, d'où .t.,^=.iI + n//]. 
= 2.1^ — 1. Donc -i^-i", h 1 ^st un carré (Ricaldo . 

17. X ib 1 eut divisible par \^ zh ^ , et le quotient est un carré 
dans les deux cas Palmstr<')ni . 

18. Equation x"-' — ny- =z — 1. Elevons au carié les deux mem- 
bres de cette «'({uatiou ; il viendra 

,.i2 _^ ,„2|2 — ti(2xy\- = 1 . 
d\)îi, en désignant par [a, b] une solution de .i'- — /?//'^ :^ 1, 

2(.r- + ny^) = (rt + h\'lï ] + [a — liVlT] , 

2v' n [2xy) = \n + h\ n \ — {a — hV n ] ; 

(x ± yV II \ ^ (a ± ljV'~n) 
ce ([ui donne 

k . .,2 

\a- — nli'^] z= \x'^ — îiy'-) = 1 ; 

les valeurs impaires de k fournissent donc les solutions de ré(|ua- 
tion :i- — ny- = — 1, si elles existent Lagrangei. 

Cor. I. Si l'a', b'] est la plus petite solution de .r^ — ny'^ := — 1, 
la plus petite de :i- — ny- = 1 est a = 2a' -f- 1. b = 2a'b'. Donc 
.r- -]- 1 =r ny- a ou n'a pas de solutions selon que la plus petite 

valeur a f.s7 ou n'est pas de la forme -^\- + 1 Realis). 

Ainsi la plus petite valeur de a pour 

/j = 2 , :^ .5 , fi , 7 . 8 , 10 , 11 . 12, i:{ , \'t. 15 . 17 , ... 
étant 

« = 3 , 2 . 9 , .1 , 8 , :J , 19 . 10 , 7 , 6'i8 , 15 . 4 , 3:5 , ... 

l'équation .r'^ — «y"-=:-^l est résoluble si n--=l, ."), 10. 13, 17, ... 
auxcjuels cas correspondent les valeurs a' =r 7, 2. 3. 1<S, 4, ... 

II. On a : 

^|,■i|; _ „|-' _ |/,2X-' — 2rt/:- + /(|/'- = — 1 . 

Soit a'^ — nb'- = — 1. On pourra ainsi, connaissant une valcui' 
de n conduisant à une solution, on trouver une infinité d'auties. 
La valeur n = /--(- l est dans ce cas. 

III. Soient «- — n^'- = 1 et a'^ — nb'- ^y \ les solutions de 
./'^ — ni/- = y sont 

.r =r «a + «//,'; . v = j.1) ih :,a . 

formules données par Hrahmegiipta et retiouvées par Euler. 



200 A. AU BRY 

19. Soit [a, b) la solution primitive de .i^ — ny^ = 1. On auia 
{a + ij (a — 1' = «//-. Si n est un nombre premier, et qu'on fasse 
b = fgh, on aura lune des relations 







a + [ = fg^n 


et 


n — 


l = fh^ , 


ou bien 
















« + 1 = fg' 


el 


a — 


1 = fh'n 


d'où 














fih-' 


— ng-\ = — -2 


ou 


fir - 


- nhh = 



/"ne peut donc avoir que lune des valeurs 1 t)u 2;. de là, quatie 
cas à examiner : 



[0) 


h^ - ng' = - 1 , 


(-) 


f- - nh' = 1 


i?^ 


h^. _ ng-' = -2 , 


(^1 


g^ - nir- = 2 



La supposition (tt) est à écarter, car [a, b\ ne serait pas la plus 
petite solution de l'équation proposée.- 

Si n est un nombre premier U-\- \, quelle que soit la parité de ^ 
et de h, les relations \q] et [Gj ne peuvent avoir lieu : la seule pos- 
sible est donc [o], qui doit dès lors être toujours satisfaite, puisque 
.r^ — ny- admet toujours une solution. 

Donc si n est un nombre premier 4 4" 1? l'équation x- -j- 1 = ny''' 
est toujours possible (Leoendrei. 

En outre on a une nouvelle preuve de cette pi-oposition de 
Fermât : tout nombre premier 4+1 divise y} -\- 1 lld.l. 

Si n est de la forme 8 + 3, (o) n'a pas lieu, d'après ce qui pré- 
cède, et on démontrera aisément que (ff) non plus ne peut avoir 
lieu. La relation {çt\ est seule vi-aie dans ce cas, et on peut donc 
dire que p(tur n premier de forme 8 + 3, l'équation \- — ny*^ = — 2 
est possible et, avec Euler, que n divise un nombre de la forme 
x^ + 2 (Id.). 

Si n est de la forme 8 — 1, on démontrera, par des moyens 
semblables, que la relation [a] est la seule possible. Donc, dans re 
cas, l'équation x'^ — ny- = 2 est toujours soluble Id. . 

On trouvera d'autres théorèmes du même genre mais moins 
simples dans la Th. des n. de l.egendre, ainsi que dans les W^erAe 
de Lejeune-Dirichlet. 

20. Si (a, /S; est la solution primitive de .t'^ — "à'"= 1 et([u"on ait 

i-i r - "g' = ^ . 

on aura cette autre solution de i'^ — /ly'^ = N. 



Si on remplace « et /"par leui's valeurs V"i^" -)- 1 6t '\/ ng^ + iN, 
on verra immédiatement (jue fa — ng^ ^ ; donc la solution 



FRACTIONS CONTINUES 201 

donnée par (V est en ternies plus petits que ceux de (r) si on a : 

/a — «-fj < /• . doù (ng-] |«[J*) < /--(a — 1)-' 

et par suite 

/(a+ UN 

y— T— ^^ 



/■> 



> 



/(a — l)i\ 



L'équation .<'■' — /??/'' = — X peut s'écrire (/<//)'' — n.r- ^=. iiS ; 
donc si nf , i>' \ est une solution de cette dernière équation, on 
en aura une autre en ternies plus petits pour 

/la -f 1)/jN /(a — 1)«N 

■>r > \J—r- '' .•' > V"-^;^ 



ou bien 



/(a + Il IN /(a - 1)N 



Ainsi, « désii(naiit la plus petite valeur de x satisfaisant à V équa- 
tion X- — nv'^rrzl, si l'équation x'^^ny'^ = ±N est possible, elle a 



des la ci ne s 



.... , /(a± UN /laip UN 
positives inférieures, x c/ i / ;^ et y « i / 

t ^/2\ 

v/1 



Par exemple, pour n = — 2, les limites sont V^N et l/— . 

N /N" 

2- •=' V ? ■ 



5, \'hS et 



#• 



(Tchebichefi 

Cor. Soient fa, b) et (c, d) deu.v solutions de x- — ny'^ = X, on 



aura : 



nhd] 



n(ad -f- />(•)* := N^ 



f/, A/ e//^.s' .so/;/ dans les conditions indiquées plus fiant, X est co/n- 
posé ; en elïet on a : 



(-/.) 



a 4- 1 
ac + iilid <C — ^ — N -f- 



- 1 



N — aN 



Si ac ■+: nhd était divisible par X, il en serait de niènie de 
adzhbi:-, d'après (y), ce qui donnerait une solution de .<- — ni/' = 1, 
où la valeur de .r serait <^ «, d'après f;^), ce ({ui est contre l'hypo- 
thèse. Ainsi aucun des deux nombres ad± bc n'est divisible par X. 
On démontrera de même, dans le cas de X né<ratif. 



'20-1 A . A U fi li Y 

Or le produit de ces deux nombres est divisible par N, car il est 
éi^al à 

n'-d- — (>-'t' = ± irf-' — hh'S , 

et par conséquent on trouvera deux diviseurs de ?s^ en cherchant 
le p. iJ. c. d. de N et de chacun des deux nombres ad zt bc Id.i. 
21. Applications. I. Les identités 

,7,^,2 -j- 1,2 _ Ij^ha ± 2lfl2 — 1 . lO/^fl" ± ll= — h\ha- ± ln2a)2 = 1 

donnent la solution du problème de Fermât dans un orand nombi-e 
de cas. 

Soit oj;''^ — bi/- = I, il viendra 'lax'^ — 1 - — ab 'l.vyr = 1. De 
là le moyen de trouver les solutions de .r- — aby- ■=. i quand on 
connaît celles de ajc'^ — by- ^ 1. 

Si a.v- — by'^ = 2, on aura la.v'^ — ir — ab .vy "• = 1 : conclu- 
sion analogue Realis). 

H. a et h étant premiers entre en.v, de même que a et ^, si on 
peut écrire 

a' — ni,* ■=%^ — nf = N , 

il s'ensuit la solution de l'équation de Fermât. Va\ effet a-ar — n-b'-^- 
est divisible par N ; un et un seul des deux nombres aa ^ nb^ 
est divisible par N, car autrement leur somme 2aa le serait ainsi 
que a ou a. Appelons P celui de ces deux nombres qui est divi- 
sible par X, et Q celui des deux nombres ba ± (^^ qt'i a le même 
signe que P. On a : 

laa + nl/j\^ — n[l>% + a'j\^ = N^ . 
P étant divisible par \, il en est de même de Q, et il s'ensuit 

--\ — n {^) =i • iI.ejeune-Dirichletl 

lil. La considération du carré et du cube de a zh b V '^ con- 
duit, par multiplication des deux couples d'expression ainsi ob- 
tenues, aux identités, 

u;» + „//,» _ ,H2flA,* = {a* — nl,\'' , 

rt'irt' + -.M.^n)^ — h'r.W + l>'n\'n = {a" — h'n^^ , 

dont la piemiére montre que si a'- — b'-n = zL 2, \a'- ^ 1, ab) est 
une solution de r'^ — ny'^ = 1 Lagrange) et que pour a'^ — nb'- 
= ± 4, [a'^ H= 2, abf en est une de .i' — ny^ = 4 (Cayley;. 

Pour a^ — b'-n ^ zt. ^, la "deuxième identité se ramène à une 
équation de Fermât Lagrange . La supposition a'^ — b^n z= -{- 2 
fouinit une solution de :v^ — ny'^ = -h l. 



FRACTIO N S (ONT IN U E S 203 

IV. Soil à trouver les triangulaires qui sont en même temps des 
carrés lEuler . On a : ./'^ + .r --= 'ly'^ ou (2.r -j- 1)^ — '^i'^lff = 1- 
On est ramené à Téquation X- — 2Y^ =:: 1, dont les racines sont 
X = 1, 3, 17, 99, 577, 3363, ... X„+i = 6X„ — X«_i . 

V. Trouver les nombres dont les carrés diminués de l'unité 
donnent des triangulaires. Euler . Solution analogue. 

\ I. Trouver deux nombres dont le produit, ajouté successive-, 
ment à chacun d'eux, donne des carrés Diophantei. Posons 
!j = X — A, z — IV = 1, Tégalité ./ // -|- x = z'^ deviendra 

',.,■» — 4 (À — li.i- = |). + 1,2 doù 2.r = X + 1 ± [/W+~2 . 

On est conduit à résoudre 2Â- -|- 2 = 2,a '^ ou l'^ — 2|U'^ ^ — 1. 

VII. Soit r l'excès de x sur le plus grand carré qui y est contenu. 
Déterminer x de manière : \" que rx soit un carré ; 2° qiie rx sur- 
passe également de r le plus grand carré qui y est contenu Brocardi. 

P On a : 

.r — 1= \^ . /-Il' + /•)=: c^ . 

Posant 3 = r:' , puis // = /-y', il vient z''^ — ///''^ = 1. 
2« On a : 

X — ;■ = _v^ . M r'' + M =: r.- + /• . 

Posant z = rz' . il vient 

(■i) r' — rz" = /• + 1 . 

Si a. b est une solution de x- — /-y- = 1, rb ± a. a ib b en est 
une de \\^ . D'ailleurs r- est le plus grand carré contenu dans 
r[y'^ + '■ 5 car autrement on aurait successivement 

;• > 2; , ;' > 'i\ry + /' — m , '•\r + \ > W ; or r < 2v . 

22. Dans le second membre de l identité 
(oj) v^ « = a' -\- 



\ n -\- a' 



remplaçons V« par le second membre lui-même ; puis, dans le 
résultat, V" P^i' If' même second membre de w . etc. On aura 
une généralisation de fraction continue, dont les continuants se 
calculent à l'aide des formules 

G' = 2a' F' + a"\V , G = 2rt'F + a" E . 

et on a : 

(i'2 _ „G' — t— rt"i' , 



204 A. AU fin y 

t désignant le rang de G dans la série des continuants A, B, ... G. 
Si on prend n = «,' — a'[, on a les solutions de a'^ — ny'^=za"\ 
quelle que soit la parité de t fF.andry). 

23. Les périodes correspondant ati.r nombres a', ... ; a", ... , et 
a, ... provenant de la réduction en fraction continue des racines 
carrées des nombres 

n'* + \ , rt" + 2 , rt'î + a' , rt" + 2rt' — 1 , «'» + 2a' , 

sont respecti^'cment 



a' ; 


a'. 


a' ; 


n'. 


a' ; 


a' 


, 


a' 


— 1 , 


a' — 1 . 


a' : 


a', 


a' 


1 ; 


2 . 


1 : 


rt', 


.1 ; 


2a' 


- 1. 


2 




2a' - 1 , 


1 ; 


2a', 


, 1 


2a' ; 


a'. 


2a' : 


2 , 


2a' ; 


1 




a' 


— 1 . 


1 


2a' ; 


1 . 


2a' 



En déduire les fractions continues représentant les racines carrées 
des nombres 2, .3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 23, 24, ... 
24. Etudier les nombres qui donnent les périodes 

a', a. 2a' : a' . a , a , 2a' ; a' , a , h , a , 2a' ; a', a, h, b, a, 2a' ; 
«', b, c, b, a, 2a' ; etc. (Euler)' 

2ô. Les ternies de la série 1, .5, 29, 109, 985, 5741, ... u, . . 
= (ni. — l'k— 1 Provenant de la réduction de '\J 2 en fraction con- 
tinue, sont tous des sommes de deux carrés (Ed. Lucas , et sont les 
seuls nombres dont les carrés sont égaux à la somme de deux carrés 
consécutifs (Welsch, /. M., 1909, p. 17 . 

26. On a y 5 + 1 = 2 | 1, 1, 1, ... ] ; les ternies des diverses 
réduites ne sont autres que les nombres de la série de Fibonacci 
(exercice n° 8), lesquels représentent les continuants (0), (1), (1, 1), 
(1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), ... '\ 

Le k*' terme de cette série est égal à 



(^)'-(^^)' 



V o 

dOii il suit (jue si k est un nombre quelque peu considérable, 
on a : 

1,61803^" 

pour la valeur de ce k'' terme (Binet). 



* Auparavant SaundersoD avait (.■ludié les cas | 1, 2, :) ; ... | , | i, 1, 1, 1 : ... | , j a; ... | , 
a. b; ...\ , \ a, b; c, d, c ; c, d, e : ... | . C'est donc lui qui, le premier, a considéré les frac- 
tions continues en elles-mêmes. 

* C'est une conséquence iinmckliate de ce même exercice n» 8. 



F H A C T ION S CONTINUE S 205 

27. L(i période ii" 9i a <n( pl/ts 2n te/ /nés, puisque ^' <C V '* <'t 

^" < 2 V'TT . 

28. Des relatious (18) et (21), on déduit la suivante 

f" + g'>^'^>f" -g' 

ce qui ne peut avoir lieu que si g' est positif. Donc fous les te///ies 
de la série du /i" 8 so/it positifs (fjagranoe). 

29. ^S"; e" = 1, o/i a : f ^ a', e = e' + a', f" -=: a", et la suite 
se reproduit pêriodiq/ie//ie/it. Conséquence de [rj). de [0] et de (*). 

.30. Dé//io/xtrer les relatio/is 

V 11 rtS'j ... £cpY :=: G't] -\- V . a[i ... eçy Gy) -\- F 

et ti/er de là u/ie autre déinonstratio/i de (28) (I^agrange). 
.31. D'après 1/7), V-) et (A) on peut écrire 

d'où 

l , .1 ., , I , • 

ç c . a r, 

et de là 

/ n — rt' / « — /«' , , . , , , 

= — \ g. f ■■■ l> ' (f ^ — "n' \ ■ 

l/expression y' se développe donc également en une fraction 
continue inverse de celle de V /i (Lagrange). 

32. Supposons que dans la succession ...J, k, l ... /•, .s, ... on 
ait /■' ::= /' et /•" ^^ A" ; d'après [9] et i24), il viendra /• = A- ; et en 
outre, comme on a : 

k' + r = kk" . ;■' + s' = /•;•" . i" k" + /.'=' = r".s" + ,v" . 

il s'ensuit .s' = A', .s" =7". 

Mais a' =- h\ n" = o" -^ donc h" = f'\ a ^ g, b' = g'. Opérant 
de même sur les couples g', b' et /", //', il viendra t" = e", b^f, 
c' =-- f, et ainsi de suite. 

Les termes a, b, c ... e, f, g de la période forment donc une 
suite sy/iiét/ique, ainsi cpie les nombres a' , b' ... et a", b" ... 

On peut donc écrire : 

(/ « =: a' , a , h . c ... c , h , a . 'la' : a . h . c . .. \ 

Cette forme du développement de y /« a été découverte par 
Ruler, ainsi cjue les lois de ses termes. Elle a été démontrée par 
Lagrange. RUo montre (^jue, dans une même période il y a au 



206 A . A i: R li Y 

moins deux solutions de léqnation .r- — nif = ± ^'■", à moins que 
la période ne soit d'un nombie imj)aii- de termes et que 4'' soit 
celui du milieu. 

A titre de curiosité, voici la demi-période correspondant a 
n = 991, la plus longue pour n <C 1000, 

31, 2 . 1 2 , 10 , -2 , 2.2. 1 . l . 2 , (^ . 1 . 1 . 1,1.3. 1,8. 4 , 1.2. 1,2, 
3. 1, 4, 1, 20, 6. i ; 31 : '». 6 ... 

ce qui donne, d'après I.egendre, 

.r = 37951 64009 06811 93063 80148 96080' , 

pour la racine du plus petit carré qui soit de la forme 991//"'' + 1. 

3.3. Si la période nj) ... t/, e ... g, h contient un nombre pair de 
termes, et qu'on ait, par exemple, d^e, on aura aussi ûf" = e". 
Or on a en général d" e" + e''^ = n, ce qui donne, dans ce cas 
particulier, e''^ -\- d"-^n : mais le nombre des termes «, b ...g, h 
étant pair, l'équation JC' + 1 ^ ni/ est toujours résoluble. Donc, 
dans le même cas, le nombre n est la somme de deux carrés. 

Mais l'équation est également résoluble dans le cas où n est un 
nombre premier 4 4-1. De là, ce théorème de Fermât : tout 
nombre premier 4 + 1 est la somme de deux carrés, et, en même 
temps, la décomposition de ce nombre en ses deux carrés Lt- 
gendre ^. 

On peut aussi conclure de la première partie de cette démons- 
tration, que si n est un nombre premier 4 — 1, la période a un 
nombre impaii- de termes. 

34. D'après 8; on a : 

(a', a ... h, c, d. c, h ... a\=. CD' + BC , 

\a ... h, c, d, c, h ... rti = CiB + Ui . 

{a', a ... c. d. d. c ... «I = ce + DD' , 

irt ... c, d. d. c ... a\ = + ly . 

Delà le moyen de passer immédiatement du continuant de la 
demi-péiiode a celui de la période entière, ce qui réduit de moitié 
le calcul de la solution du prcblème de Feimat Van Aubel ^ 



1 n'apr<!S certains manuscrits di; Fermât retroiivi-s par Ed. Lucas, cette démonstration 
sérail celle de cet illustre géomètre. 
* Dans les deux premières formules. Van Aiibel trouve, assez, péniljlement du reste. 

« .'+ (.'" 2C.(:' 

/iC — C» *"' «<;»— C» 

au lieu de CD' + BC et CiB -f- Dj. On pourra s'exercer à vérifier lidentilé de ces deux ex- 
pressions. Il lire de ses formules l'idée de rechercher les solutions de l'équation x' — "y* = 1, 
en remarquant qu'elles reviennent à déterminer t.) de telle manière que n -\- u>' et 2'.' soient 
flivisibles par ;; — eo^, car les deux quotients représentent les valeurs de x et de y. ce qui 
conduit a déterminer de nombreuses valeurs de n pour lesquelles la solution est immédiate. 
iVoiryl. /■'., 1885, |). 137 et seq.) 



G,... 

— M. et — = N. 

G M 



F R A C riON S CO.\J/N U E S 20 7 

35. Posons 

S/, 

■2M,, = M, + .\, et ^,, = ^- . 

Les i'n/etirs des termes de la série M/, , X/, ; M^/, , N2/1 ; Mu , N',/î : ... 
telle que le pi'eniier terme de chaque couple est égal ;i la moyenne 
arithmétique des deux précédents, et le second, à leur moyenne 
harmonique, — oscillent de part et d'antre de la valeur de la ra- 
vine y n , dont elles se rapprochent de pins en pins iSeiTct). Cette 
proposition a lieu pour Ma quelconque, et, sous cette forme, elle 
était connue des anciens ; la valeur de Ma donnée par Serret four- 
nit une approximation très lapide de y n . 

N , , 

36. Poiti- qne la fraction -r- , développée en fraction continue, 

A^ + I 
donne n ne suite sijmétriqne, il font et il snffit qne le nombre — ^= — 

soit entier. En déduire la décomposition du nombre premier 4+1 
en deux carrés [Seriet . 

37. Les conditions nécessaires et snffisantes ponr qne denx irra- 
tionnelles 01 et m' se développent en fractions continnes ai/ant même 
période, sont qn' elles soient liées par des relations de la forme 

A'.i -4- B 

<",' = ■ — - , kb — «B = H- 1 . (Serrell 

au-, -\. h 

38. On a différentes manières de représenter oraphifjuemcnt 
les procédés de calcul des fractions continues et de l'équation de 
Fermât. On se contentera de signaler ici : 

1" le moyen d'obtenir le quotient et le reste de la division de a 
|)ai- Z», en portant, à Taidç d'un compas, la longueur h sur la ion- 
gueui' <•/, autant de fois que cela est possible ; 

2° la solution, j)ar Poinsot, de l'équation a.v — hi/ = 1, au 
moyen de la considération des sommets du 6^'°"" voir Ent. math., 
1907, p. 301 ; 

3° l'emploi du papier quadrillé sur Ictjucl on trace la dioile 
a:v — by = c on l'hyperbole :i'^ — ////- ::= 1. 

4" [/inscription à l'aide d'un compas, sui" la même droite et a 
une même échelle, des longueurs a.r -\- />, a'.r -\- b' , ... ce (|ui 
permet de trouver immt'dialement la solution des systèmes 
a.v -{- b ^= a'.r -\- // := ... ()n jxMuiait aussi employer des bandes 
de papier transpaiiMit contenant chacune une droite divisée de a 
en a , de a' en a' . ... 



1>08 A. AUHRY 

3i). Les substitutions X =z ar + jSy et \ z^y.v -\- ôy qui rendent 
l'expression AX''' -j- 2BXY -j- CY"-^ identique à elle-même sont dé- 
terminées par une équation de la torme Û — (B"^ — AC)«"^ = a^, 
Il désignant le p. g. c. d. des nombres A, 28 et C. 

Plus généralement, si ces mêmes substitutions donnent une for- 
mule identique à celle qu'amènent les substitutions X = a'x -\- ^'i/, 
Y = y'.v -\- ô' y, on a : 

|Aaa' + Blay' + a'yl + Cyy'j» — (B' — AC) (a'y — ay'l' == a* . 

et plusieurs autres relations de la même forme. 

(^est par des considérations de ce genre que Gauss a trouvé sa 
solution de l'équation t- — nii^ = a^, au moyen de la théorie des 
foruies binaires quadratiques, théorie où elle est de première im- 
portance. 

40. Si n est un nombre premier 4—1, les ternies moyens à" et d' 
de la période sont égaux, le premier à 2 et le second à la racine du 
plus grand carré impair contenu dans n. (Picou ; voir /. M., 1900, 
p. .302.) 

41. Si x^ — ny- := M , — est une des réduites du développement 

de V n en fraction continue (Lagrange). 

42. Etendre les théorèmes n°^ 8 à 13 au développement en frac- 
tion continue des racines de l'équation A.x'' -\- 2B.r + C = (La- 
grange;. Voir par exemple, Legendre, Th. des n. ou les traités 
d'algèbre supéi-ieure de Serret ou de \Yeber. 

On lira aussi avec grand fruit la résolution de l'équation de 
Fermât en nombres complexes par Lejeune-Dirichlet (Werke, 
t. 1, p. 570). 

Pour la théorie des fractions continues généralisées, voir VEn- 
cycl. math., t. L vol. L p. 282. 

A. AuBRY (Dijony. 



(:uUHBh:S TKANSCEXDANTES ET I.NTERSGENDA.NTES 



A la bast' de t(»iite classifii-ation, se lioiive s^éntMaleinent un 
fertaiii nombre entiei- : c'est ce (jui a j)etinis d'envisager diverses 
classilications des courbes algébriques, puisque plusieurs nombres 
entiers ^le degré, la classe, le genre) ont pu être associés à ces 
courbes; il n'en est nullement de même en ce qui concerne les 
courbes transcendantes, à moins que Ton n'ait recours à la théorie 
des équations dinerenlielles. Il serait cependant possible, en se 
permettant de modifier convenablement le sens attribué jus(ju'ici 
à un mot, l'ort peu usité d'ailleurs, de diviser les courbes tians- 
cendantps en deux catégories, dont la première servirait à étai)lir 
une sorte de continuité entre les coui-bes algébriques et les couibes 
transcendantes de la seconde catégoi-ie. 

Lkibmz appela iiUerscendantes les courbes planes dont les équa- 
tions s'obtiennent en égalant ii zéio des polynômes à exposants 
inationnels. In exemple d'une grande simplicité, donné par Euleiî 
et reproduit par Salmon, est celui de la parabole interscendante 
représentée par l'équation 

y z= .»• 

La fonction précédente peut être repiésentée par une série de 
courbes algél)ri((ues, dont le degré ci-oît constamment et au delà 
de toute limite: ces courbes sont les paraboles d'équation 



/// <''tant un nond)re rationnel; ces paraboles s'approchent de plus 
en plus de la courbe cherchée sans arriver à la représenter exac- 
tement, l'n autre exemple connu est celui de la courbe interscen- 
<lante (jui a fait l'objet d'une question proposée par M. Hosi-; et 
résolue dans Mtilhesis -lOOo, p. '1\) et \{S\ : il s'agit de déterminer 
la courbe la plus générale pour la(|uellc la relation 

'fp- + ON'' = U\i' 

existe entre le rayon vecteur OM, la sous-tangente 1 1* et le seg- 
ment ON' de Taxe OY qui est compiis entre l'origine O et la 

L'Enseignement niutbéRi., l'i» ^nnce : 191'J. Ij 



210 /;. TURRIERE 

normale MN'; l'équation dilTfM'entielle du problème, 

if dry dy ., 

\a.r/ ■ a.r 

admet poui- intégrale générale la courbe interscendante d'équa- 
tion 

.r / \/T 1 

a.r 



2l/2 \ va 



a.r 



Il n'y a guère d'autre exemple connu de courbes interscen- 
dantes ayant fait l'objet de travaux; aussi le terme « interscen- 
dant )) est-il peu usité et peu connu. Il me semble qu'on devrait 
faire, dans la terminologie mathématique, une place plus grande 
à ce mot qui est particulièrement expressif; il suffirait d'étendre 
la définition des courbes interscendantes à des courbes plus géné- 
rales que celles qui furent considérées par Leibniz ou Kuler; 
cette généralisation d'ailleurs ne pourrait donner lieu à aucune 
confusion et interpréterait au mieux la pensée même de Leibniz. 

Je considérerai dans ce but une famille de courbes (Cl dépen- 
dant d'un paramètre réel m et qui varie d'une manière continue, 
.le supposerai que pour toutes les valeurs rationnelles du para- 
mètre m, pour lesquelles les courbes iC correspondantes sont 
bien définies, ces courbes [Ci sont algébriques; pour les valeurs 
irrationnelles du paramètre m, au contraire, les courbes 'C seront 
supposées transcendantes : c'est à ces dernières courbes transcen- 
dantes que je proposerai de donner le nom d'interscendantes. 

Avec cette définition généralisée, on voit tout de suite combien 
seront nombreuses les courbes interscendantes, pai'mi celles des 
courbes transcendantes qui ont donné lieu à des recherches. 
Parmi les courbes définies simplement en coordonnées ponc- 
tuelles cartésiennes, il suffit de citer les perles de Sluse, les 
courbes de Lamé; parmi les courbes d'équations paramétriques 
simples, les courbes de Lissajoiis, les hypocycloïdes et les é[)i- 
cychtïdes. la courbe de .lean Bernoulli... ; les spirales sinusoïdes, 
les rhodonées, les épis, les nanids, les hyperlioles étoilées, les 
courbes de puissance... seront de nouveaux exemples de courbes 
définies en cooi-données pcdaires. 

11 est pres(|ue inutile d'ajouter que la définition ((ue je viens 
d'introduire des courbes interscendantes vaut pour les courbes 
gauches aussi bien que pour les courbes planes; les délies et les 
courbes à torsion constante découvertes par M. Fabkv, les courbes 
de Serret, les courbes de Lamé gauches, les épicycloïdes sphé- 
ri(|ues seront des exemples de courbes gauches, algébriques ou 
interscendantes suivant que le paramètre envisagé sera rationnel 
ou non. 



COURBES TRANSCENDANTES 211 

Les courbes d'équation 



_ 1 / cy"+' 
~ 2 \m + 1 



+ 



11 



cest-à-dire les courbes de poursuite, seront aussi algébriques ou 
interscendantes suivant le cas. Pour ni^ ± 1. toutefois, l'équation 
précédente cesse d'avoir un sens; mais on sait qu'alors les courbes 
de poursuite correspondantes sont des courbes transcendantes; 
pour m = 1, par exemple, l'équation est 



llog.r) 



les courbes de poursuite seront donc algébriques ou interscen- 
dantes lorsque leur équation aura un sens; et aux cas singuliers 
//< = ± 1 correspondront des courbes véritablement transcen- 
dantes. 

Cette remarque me conduit à la considération de certaines 
courbes transcendantes susceptibles d'être associées à des familles 
de courbes algébriques ou interscendantes; c'est là certainement 
un fait offrant un véritable intérêt que, par un passage à la limite, 
certaines courbes transcendantes particulières puissent être envi- 
sagées comme appartenant à une famille de courbes (C), sods 
l'unique condition d'invoquer la continuité. Dans son Mémoire sur 
la manière d'exprimer les fonctions par des séries de quantités 
périodiques, Poisson cite un problème de Jean Berxoulli quEiLEi: 
résolut le premier et dont Legendre donna ensuite une solution 
plus simple. Dans cette proposition très remarquable, la cycloïde 
ordinaire apparaît comme étant la limite d'une infinité de déve- 
loppantes successives d'un arc d'une courbe absolument quel- 
conque. Passant à un autre ordre d'idées, non sans' (iuel<[ue ana- 
logie avec le problème de Bernoulli qui ma conduit à réfléchir 
au sujet de diverses questions que je traite dans le présent article, 
je considérerai une famille de courbes (C) dépendant d'un para- 
mètre m et qui seront algébriques ou interscendantes dans les 
conditions ((ue jai antérieurement précisées. Lorsque /« tend vers 
une certaine limite, pour lacjuelle l'équation des courbes C) se 
présente sous la forme d'indétermination ou d'impossibilité, il se 
présente un grand nombre de cas où les courbes C ont une 
limite qui est une courbe transcendante particulière. C'est ce qui 
a lieu pour les paiaboles 

r"' = 1 + >nx 

<[ui tendent, lors((ue m a pour limite zéro, vers la courbe expo- 
nentielle ou logarithmique; c'est aussi une propiiété connue <|ue 



212. i: . TunniEHE 

les courbes de Lamé admettent pour limite, dans certaines condi- 
tions, la courbe d"é(juatio)i 

e-^ + e'-' — 1 . 

dont l'étude est intimement liée à celle de la surface sij^nalée par 
Soi'Hi's Lie comme étant une surface de translation dune infinité 
de manières. 

Du fait que la courbe exponentielle ou logarithmique 

V =: e'^ ou y ^ loi; •>• . 

est une limite de courbes algébriques ou interscendantes, il ré- 
sulte que cette même. propriété s'étend aux courbes dont l'équa- 
tion est une fonction égalée à zéro et rationnelle par rapport à 
.r, //, e^^e", log.r, logî/, shx, ch:i\ th.i\ s/n/, chy, thy : cette re- 
marcpie s'applique à la chaînette ordinaire, à la visoiia de Saave- 
dra, à la couibe 

X 

^' ~ log.r — 1,08366 

représentative, d'après Tchebycheefl", de la fréquence de nombres 
premiers... Les courbes analytiques de mortalité et de survie se- 
lont des exemples de courbes de cette nature, d'équations ration- 
nelles par rapport à .r, e'^, log?/, log.r; pour celle de Gauss, par 
exemple, on aura : 

lo.t-.vr= Art^ — B/>-^ ; 

j»our celle de Lazarus : 

los V = A log.r + A^rif + X^ + ■ • • + A„< ; 
pour celle de Quiquet : 

log V = A log.r -r A < + \y^ . 

Les c(tui'bes réelles 

\_ i 

y = (1 4- //«.»■)'" + il — ini.r)'" , 

ir rr il + /;/(.>)'" — il— im.r)'" , 

permettront de même de définir, au litre de limites, les sinu- 
soïdes; et, d'une façon générale, les courbes représentées au moyen 
de fonctions rationnelles des lignes trigonométriques lacycloïde, 
la tangentoïde, Ihélice ordinaire, par exemple^ rentreront dans la 



COURBES IliANSCENDANTES 21:5 

catégorie considérée. Dapics leiiis définitions einéniatiques, la 
cyoloïde ordinaire et la dévehtppante de cercle sont des limites de 
(aniilles (rhypocycloïdes ou d'éj)icycioïdes. La tractiice et la chaî- 
nette dégale résistance de Coriolis seront deux exemples remar- 
(|nables <n'i figurent les lignes trigonométriques de .v et lexpo- 
nentielle de l'autre variable //. La couibe 

la méridienne 

sin [bx -\- c) 

\/x 

de la siii'face proposée pour représenter l'ébranlement produit 
dans l'eau lorsqu'on jette une pierre, sont encore à citer. 

Je passerai maintenant au cas des coordonnées polaires. Les 
rhodonées 

sin /H'> 
m 
et les nteuds 

lang iW'i 



lors(pie m tend vers zéro, définissent la spirale d'Archimède sous 
le point de vue considéré; dans les mêmes conditions, les épis 



conduisent à la spirale hyperbolique: le litiius de Cotes est la li- 
mite des combes analogues 



.V ce qui précède peut être rattaché un résultat intéressant que 
je trouve dans le récent ouvrage de M. D. Galtieh, Mesure des 
ftngles. Hyperboles étuilées et dé^'eloppante. En remarf|uant que la 
courbe désignée par la dénomination d'hyperbole développante 
est identique à la (piadratiice de Dinostrate, celle-ci, (]ui corres- 
pond à ItHpiatioii 



est la limite des hyperboles étoilées parliiuliéres 

1 sin iii't 
III sin '■) 



21'« E TURRIERE 

lorsque ni tend vers zéro; une autre famille d'hyperboles étoilées 
parlirulières, 

s in to 



permettrait évidemment d'obtenir la cochléoïde ; une généralisa- 
tion facile conduirait à la syncochléoïde et autres courbes con- 
nexes qui ont été rencontrées dans Tétude de l'hélicoïde. 

.lai réservé pour la fin le cas de la courbe qui transporta d'en- 
thousiasme Jacques Bernoulli : la spirale logarithmique est elle 
aussi une limite de courbes algébriques ou interscendantes et 
celles-ci sont des plus remarquables. Que Ton considère, en effet, 
les spirales sinusoïdes d'équation 

,„ „, sin {h + ;;jO) 

:^ a 



sin h 

lorsque h tend vers zéro; la limite de ces courbes n'est autre que 
la spirale logarithmique 

OcotA 



Cest dans ce fait signalé par M. Haton de la Goupillière et dé- 
montré par M. AUégret, qu'il faut certainement chercher la rai- 
son des analogies profondes qui existent entre les propriétés de 
la spirale logarithmique et des spirales sinusoïdes. 

Par ces exemples remarquables, j'espère avoir suffisamment 
montré l'intérêt que présente la généralisation de la notion, intro- 
duite par Leibniz, de courbes interscendantes. J'insisterai, pour 
terminer, sur la nécessité de la considération des courbes inter- 
scendantes généralisées, lorsqu'on désire établir la continuité entre 
une famille de courbes algébriques et une courbe transcendante 
particulière. Pourquoi se permettrait-on, en effet, d'écrire ou de 
dire qu'une certaine courbe transcendante est la limite dune 
famille de courbes algébriques, lorsqu'en Analyse, dans les ques- 
tions de limites, continuité, etc., aucune hypothèse restrictive 
n'est faite sur les variables considérées? J'ajouterai aussi que les 
courbes interscendantes du plan forment, parmi les courbes trans- 
cendantes, un ensemble invariant à l'égard du groupe des trans- 
formations algébriques du plan. 

E. TuRRiÈRE (Poitiers . 



NOUVELLE NOTE SUR LES FONCTIONS DE MESURE 



Dans ma derniôre Note sur les fonctions de mesure, j'indiquais 
que la proposition 5 de ma Note précédente [Ens. mat/i., liHl, 
p. 388) n'impliquait nullement que ^[u, i>) fût une fonction crois- 
sante ou continue de sa première variable. 

Voici une démonstration qui met nettement en évidence cette 
indépendance. 

X)n continuera à admettre que l'on a toujours : (l>{ii, f i > // et 
que i> est, en vertu de l'égalité <^(«, (*) = n', une fonction uni- 
forme de // et de w sous la seule condition que l'on ait w ]> u. 

Le.mme. Si un nombre i de \J est plus petit que des termes de la 
suite \ <fa,\v { définis par un autre nombre a de U ou si cette pro- 
priété appartient à <I>\u, e], on a toujours la relation (P «, fj ]> f, 
et si f possède cette propriété par rapport à tous les nombres de U, 
fl>{j-\ t] est une fonction croissante de x définie dans le champ U. 

Dans le cas où l'on a «>f, on devra toujours, d'après les pro- 
priétés attribuées à (p, avoir aussi 

<lMa, cl > a > 3 , 

et la première partie de la proposition est alois évidemment su- 
perflue. 

Dans le cas contraire «^ f , il existera un nombie positif en- 
tier n tel (|ue l'on aura 

r,t") ^ : < r^in + J) = ?^ll + ") = 'l'h. r,i"M ■ 

où n est au moins ('gai à 1, puisque l'on a y^ 1) = « <C *• 

En outre, ft> étant supposée croissante comme fonction de sa 
deuxième variable, on déduit des relations précédentes 

De même, si Ton a 

«iMx, :) < ? i« + M = 'l>|a, ç(«] . 



!1G 



G. COM H i: Il f A ( 



on devra, en é^arcl aux proprirtrs maintemies à ft> ainsi (|ii"ii 1 hy- 
pothi^se a ^ f. avoir 

^ ' a 

(»ii n est au moins «'«rai à 1 puisqne y^ l ;^ « ; la condition i-ela- 

tive à (t> a, t implique donc celle qni est relative à f. 

La première partie de la proposition est donc bien ainsi établie 
dans les deux cas qni la conditionnent. 

Kn ce qui concerne la seconde partie, pour deux nombres .r et // 

//>.!•; de U, on peut toujours écrire // = ^.i\ z\, et la partie 

déjà établie de la pioposition étant applicable à f en raison de 

l'hypothèse faite sur ce nombre, on aura (Piz, f > f et par suite 

eu éyard aux propriétés déjà attribuées à 

<|)(v. î\ = <l>[.r. «t>|3. £) I > <I>(.r, i) . 

i-elation qui établit bien la seconde |)artie du lemme. 

Soit f un nombre quelconque de L et n un nombre eirtiei- |)<»- 
sitif (pielconqne. 

Si f est plus petit que tous les termes des suites définies par 
certains nombres de U, l'un quelconque de ceux-ci satisfei'a évi- 
demment à la proposition. 

Dans le cas contraire, c'est-à-dire si f est plus j)etit que les 
termes de toute suite définie par un nombie quelconque de U (et. 
cette propriété s'étend alors évidemment à tous les nombres de V 
plus petits que il, il sera justiciable, ainsi que tous les nombies 
de l plus petits que lui, du lemme. Un quelconque a de ces 
nombres définit toujours un nombre «, de U tel que l'on a 

i = «l'ia , ail 

et. le lemme étant applicable à i, c'est-à-dire à <t> a, a,), on a-uia 

3 = <l>(a, ail > ai . 

Le nombre « étant, d'après une remar(jue déjà faite, justiciable 
du lemme. on .pourra lui applicpier le même procédé dans les 
mêmes c(niditions et, en poursuivant cette application sur îles 
nombres toujouis décroissants, on pourra touj<nirs obtenir n — 1 
couples de nombres de U donnant lieu aux relations suivantes : 



£ ^ <|)(a, ail 

a = •!• (a', aji 

J"-:ii _ ,1, , _ . - 



avec 
avet' 
avec 



a , ai < : 

a', as <^ a 
a , a , <' a 



«-:t) 



Tons ces lumibres sont justiciables du lemme, de sorte que, 
dans le champ (|u'ils déterminent pour les variables de (t>, celle-ci 



/. E S F O yr 7/ 0.\ S 1) E M E S URE 217 

sera t'ioissaiile cctmnie foiutioii (k* chatime df ses vaiiables. On 
aura donc, si ^ désigne le plus petit des nombies a, , a., . ... u,, ou. 
sils sont égau.\, un nombre plus petit que leur valeui- commune, 
les relations suivantes, dont l'une au moins sera une inégalité 

ç.rJi = «h(;j. .'il ^ «i>ia - ' — -'"—*' 



//— I — 



ç-cii = <i'[çcr2i. ,';| ^ «l'ia 



ç,l//i — <l'|ç.(/; — 1) . ,:| < «iMa. a, = ; . 

Le nombre ^ satisfait ainsi à la condition posée et la pioposi- 
tion 5 de la première X()te est donc bieji établie avec les hypo- 
thèses rétiuites. 

Les nombres de U qui p()ssèdent la proprié(,é caiactéristique de 
la seconde partie du lemme sont évidemmen't plus petits cjue tous 
les autres nombres de U, de sorte quils forment un champ par- 
ticulier, cpii a pour origine //^ et pour lequel la fonction '^'//, v a 
toutes les propriétés qui lui avaient été attribuées dans ma pie- 
mièie Note. On établii-ait facilement en outi-e que. si f et f' dé- 
signent deux nombres appartenant ;i ce champ. (I> f, f' lui appar- 
tient aussi, de sorte que la fonction (D définit, dans ce champ, 
une opération daddition possèdent toutes les propriétés ordi- 
naires et, en particulier, la propriété archimédienne. 

U n'est à ma connaissance rien qui permette datlirmer qu'un 
continu linéaire n'admet que des métriques archimédiennes, bien 
(jue les exemples signales jusqu à présent de métri(|ues non-archi- 
médiennes notamment par M. Ililbert dans son ouvrage (ji-inid- 
Idgen der Géométrie] ne s'appliquent qu'à des ensembles ordonnés 
dont le type ordinal n'est pas celui du continu. 

11 résulte bien des travaux de S. \av. que la droite n'admet 
comme groupes continus à un seul paramètre (|ue les groupes 
semblables à celui des translations'; mais il importe d'observei- 
(|ue l'analyse de Sophus Lie implique, non seulement la conti- 
nuité de la variable dépendante par rapport à la variable indé- 
pendante et au paramètre, mais encore l'existence des dériv('es 
premières, propriétés (jui doivent évidemment s'étendi'e au groupe 
paramétrai repi-esenté. dans ce ((ui précède, par l'équation 
ic z=z (P II, i.' . U nest donc pas sans intérêt d'établir la propo- 
sition .") de ma première Note indépendamment de toute hypo- 
thèse sur la continuité ou la ci-ctissance de (t> it. ♦' comme fonc- 
tion de sa première variable. 

\ oir page suivante: Rriata. ('■. ('.oMBr.iîiAc Limoges . 

' ;?. LiH. t'heoiic der TifitisfoinKitioiis-gnippiii. :<• vol.. p (">. 



218 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 



ERRATA 

Errata à la Noie complémoutaire sur les fonctions de mesure (Eus. math. 
du 15 septembre 1911 1. 

Page 388, 2^ alinéa. A la suite de «s (a) =r « ::= I't-*'o' •'i " ajouter: 
« c'est-à-dire par les relations 

«0 = ç(0) = Fu-p, x^] , !f(ll = K (.»•(,, .r^l , 
çlv -(- Il =: <I>[çlv|, çlli) = 'J'I?!!), ?lv|] » . 

Dernier alinéa. A la s.uite de » Dans le cas contraire », ajouter : « c est-à- 
dire si M (et avec ce nombre, à fortiori, fout nombre de U plus petit que «) 
est plus petit que des termes de toute suite définie par un nombre quel- 
conque de U ainsi que | ^^(v) | l'est par s. il existera ». rayer en outre les 
deux mots « il existera » après « pour un nombre quelconque de U » ; inter- 
caler entre « Çjjlv -|- 1) » et (' =: «I>[a, Ç3^("^) I " le terme « =<I) [ç^d^ , Çjjlv) ». 

Page 389, le"" alinéa. Supprimer la première phrase et les quatre pre- 
miers mots de la seconde ; remplacer dans celle-ci la lettre « D » par « U » ; 
remplacer, dans la 5« ligne, ai par a dans l'égalité : « ai = «l'fa', aji » et 
ajoutei- à la suite de cette égalité : « : en outre, a possédant, selon une re- 
« marque faite dans l'alinéa précédent, la même propriété que u, l'on pourra 
« démontrer, par les moyens qui ont été employés pour u et ai, que l'on a 
« aussi a, ■< aj. » Enfin, dans la suite de nombres « ai, a» .. a'" , a', a". ... 
a'"-" ;.), remplacera a'"' par a„ et a'"-" par a'"-"'' . 

G. C. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Sur l'expression du rayon de courbure d'une courbe plane 
en coordonnées tangentielles. 

Extrait d'une lettre de M. d*Oca<;ne, Professeur 
à l'Ecole Polytechnique de Paris. 

.1 propos d'une Note de M. ('•. Loiiia (Gènes). 

Venant seulement d'avoir connaissance de la Note de M. 

Gino Loria parue dans le Tome XUl de V l'enseignement niathénia- 
tiqne p. 104), je prendrai la liberté de rappeler que j'ai donné une 
détermination du rayon de courbure d'une courbe plane définie 
en coordonnées pliickériennes, dans une Xote que j'ai publiée en 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 219 

1891 dans le Bulletin de la Société mathématique de France 
(T. XIX, p. 26). J'ai donné au résultat obtenu [formule (11) de cette 
Note] une forme géométrique; mais son expression analytique 
coïncide avec celle qu'a, de son cùté, obtenue M. Loria. 

« Ma détermination repose, en efî'et, sur cette remarque (jue si 
(or, //) d'une part, (« , v] de l'autre, sont des coordonnées ponc- 
tuelles et tangentielles en correspondance dualistique telle que. 
l'équation du point et de la droite unis s'écrive 

ux -\- vy +1=0, 
on a. en tout point d'une courbe quelconque 



et 



Tirant -r- et ~^ de ces formules pour les porter dans l'expres- 
sion classique du rayon de courbure en coordonnées cartésiennes 
on a la formule demandée 

„ du 





dv 




u 




71 ~ 




k' 


(i*^ 


■ d^y 




1 


J? 


» ■ du' 


— 


^.3,3 



qui, lorsqu'on exprime // et t» en fonction d'un paramètre, se trans- 
forme en celle obtenue par M. Loria. 

" Je rappellerai par la même occasion que, si les coordonnées 
tangentielles u et (^ sont celles que j'ai appelées parallèles, le 
rayon de courbure R est donné par la formule 

R IZZ - 



<-SJ 



où ô représente la demi-distance des ori<(ines A et B des axes 
A« et Bi>. On peut aisément passer de l'une à l'autre de ces deux 
dernières expressions » 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

I. — Rkimon df. CAMr!RiD(;E août 1912 . 

Nos lecteurs ont déjà eu sous les yeux le piogramme général' 
(le la réunion (|ue la Conimission tiendra à (Cambridge, à loccasion 
du ô*' Congrès international des mathématiciens 22-28 août . Tihms 
séances seront organisées en commun avec la section d'enseigne- 
ment du Congrès. 

i""'' SKANCt: : Présenta tiun des tiinfana: des sous-cotninissions na- 
tionales. Pour chaque pays le délégué déposera un court rappoil 
écrit, destiné à faire ressortir les points caracléristiciues des tra- 
vaux de sa sous-commission, l/exposé oral sera un résumé de ce 
rapport. 

2""" SKAXCE : Discussion de la (juestion A, Uintuition et l'expé- 
rience dans l'enseignement ninthématique des Ecoles mot/ennes. 
— Rapporteur: M. Dav.-Eug. Smith (New-Yorki. 

3""^ SÉANCE : Discussion de la question B, Les mathématiques en 
physique. Connaissances mathématiques utiles aux physiciens et 
réclamées par ceux-ci. — Rappoileur : M. C. Ru.\(;e (Gœttinguej. 

f.e Comité central a constitué deux sous-commissions A et B, 
avec la mission d'élaborer un rapport préparatoire sur chacune 
des (|uestions. Il s'est assuré le concours de MM. D.-R. Smith et 
(^. Ri\r;E. (|ui rapporteront l'un sur la ([uestion A, l'autre sur la 
<|Ucstioii B. Xous avons publié en mars la liste des objets qui 
seront mis en discussion. 

Les jours et heuies des séances ci-dessus seront fixés dès que 
le Comité de Cambridge aura arrêté le pi-ogramme du Congrès. 

Rour tout ce qui concerne la Commission, s'adresser au Secré- 
taire-général, M. H. Fehi», 110, Florissant, Genève. I>es demandes 
de renseignements relatives au Congrès doivent être adressées à 
M. \V. IlousoN, Christs Collège. Cambridge. 



' Noir l.'r.ns. inatli. du lô janvier (p. :t9 et (lu 15 mars 1012, p. i:!2-i:t.j). 



rHliONlQUE 221 

II. — SOLS-COM.MISSIONS NA'I lOXAI.KS. 

Alloiiiaj»'iie. — l II iHniveau rapport vient d'être distiil)ué 
aux membres de la Commission. C'est une étude d'un grand in- 
térêt sur l'enseignement de la Cosmographie dans les Kcoles 
moyennes : 

Baud III, tieli i. — Matlieiiuilisvlip /Jimiiii'ls/,uiu/e une! nieJeve deadasic 
an den hûheren Sckulen. von l'iof. Dr. licinliaid Homma.n.n. iVI el M p.. 
B. G. Teubner, I^eipzig. ; 

La Sous-commission vient de jinblier en outre un nouveau fas- 
cicule de ses Berichte n. Mitteiliingen. 11 contient un compte rendu 
tlu Congrès de Milan, par \V. Lietzmaxx, d'après le compte rendu 
détaillé publié par le secrétaire-général de la Commission ; 2° une 
étude de M. R. Sghi.mmack (Cœttingue) sur la fusion des diffé- 
rentes branches mathématiques. 

Hetl \'II |I39 p.), W. I.iKTZMAN-.N, Dci- Kiingress in Mailaïul \'oni IS. hls 
•20. Septemher lUll. 

R. ScHiMMACK, Ueher die Verschinclzuiiii; i-erscliiedeiier Z^veif^e des inatltc- 
malisclicn Unterrichls. 

Autriche. — Nous venons de recevoir le fasc. 11 des BerUhle 
liber den inalliein. Unterricht in Oesterreich, 11 traite des Mathé- 
mati(jues dans l'enseignement de la Physique. 

Mell II. — Die Mathenialik ini Pli\nili- Unterricht der /rslerreic/tischen 
Millelscliiilen. von Scliulial Dr. Aloïs La.n.nek (56 p.). 

Ktats-Uiiis. — i.e ■ Bureau of Education » vient de publier 
deux nouveau.K lascicules consacrés lun aux Ecoles techniques 
moyennes, l'autre aux Kcoles militaires. 

Comit<' VI. — Mallu'inntics in llie Technical Secotidnry Scliools (35 p.). 
Comilé. XI. — Mdtheiiialics al H'eat Point and Annupolis (25 p. |. 

lU'j^ ISi*il;innîc|ues. — (^.e nouveau fascicule, le icS' de la 
si'rie des rapports anghiis. est consacré à lenscigiuMnent mathé- 
niatiqu»' des jeunes filh's, dans les établissements secondaiies et 
supérieurs. 

N" 18. — 1. Tlie Value of the Study of Malhematics in l'iihlic Serondarr 
Schools for (Jirls. By Miss E. R. (îwatki.v. 

2. Tlie Place of Mathcmatics in the Education of <iuls and Hdnien. By 
Miss Sara A. Bi hstai.i.. 

3. Iligher Mathematics for IVonten. By Mi-s. Henry Sidgwick. — 1 lasc. 
ilo 32 p. ; 2 '2 tl- '• Wyniaii «Se Sons. Londres. 

K.UKï<ic — \/A .Sous-conunission vient de j)iiblier un nouveau 
fascicule. Il contient les trois lapports ci après, rédiges en fian- 
çais : 



•222 CHRONIQUE 

1. Sur i organisation de l'enseignement mathématique dans les gymnases 
de jeunes filles du ressort du Ministère de i Instruction publique et dans 
l'Institut supérieur pédagogique des jeunes filles de St-Pétersbourg, par 
M. MiKHF.LsoN |St-Pétersbou"gi. 

2. Notice sur renseignement mathématique dans les gymnases de jeunes 
filles de l'arrondissement de Varsovie, par M. Gokiatchev (Varsovie I. 

o. Sur l organisation de l enseignement des mathématiques dans les écoles 
industrielles du ressort du Ministère de l Instruction publique, par P. Ko- 
TOiRMTZKi et A. Hatzouck (St-Pélersbourg). 

Suisse. — Le fasc. 2 de L'Enseignement mathématique en Suisse 
comprend les rapports de MM. Stoeklin et Badertscher sur les 
mathématiques dans renseignement primaire et dans l'enseigne- 
ment secondaire élémentaire (ou primaire supérieur). 11 contient 
en outre la table générale des matières du volume renfermant l'en- 
semble des rapports suisses et comprenant plus de 750 pages. 

No 2. — I. Aperçu général, par H. Fehk. 

II. Der mathematische Unterricht an den schweizerischen Primarschulen. 
von J. Stôcklix. 

m. Der mathematische Unterricht an den schweizerischen Sekundarschu- 
len. von Dr. B.vdektschkr. — 1 fasc. de 106 p.; Georg & C'^, Genève. 



Le premier congrès des professeurs de Mathématiques en Russie. 

Enseignement secondaire. 

Le 9-16 janvier 1912 a eu lieu, à St-Pétersbourg, le premier 
congrès des professeurs de mathématiques de l'enseignement 
.secondaire russe. Il a réuni plus de 1200 participants et compre- 
nait environ 00 conférences et communications. En voici son 
programme préliminaiie, signé pai' MM. les Prof. A.-V. Vassilief, 
K.-A. PossÉ, S.-E. Savitch, et M. le gén, Z.-A. Makcheïetf, direc- 
teur du Musée pédagogique des Ecoles militaires. 

1. Bases psychologiques de l'enseignement mathématique d'ini- 
tiative, l'activité, le rôle de l'intuition et de la logique, etc.'. 

2. Le contenu du Cours des Mathématiques à l'Ecole moyenne 
au point de vue a/ des tendances scientifiques modernes ; b/ des 
réclamations de la vie actuelle; c) des théories pédagogiques 
générales modernes. 

.'^. La coordination des programmes des Mathématiques de ren- 
seignement secondaire avec ceux de l'enseignement primaire 
et supérieur. 

4. Questions de la méthodologie des mathématiques élémentai- 
res secondaires). 

5. Les manuels et le matériel d'enseignement. 



CHRONIQUE il.i 

H. Les éléments historiques et philosophiques dans le cours 
lies mathématiques secondaires. 

7. I>e dessin, le modelage et le travail manuel comme moyens 
auxiliaires (rensei<>nement mathématicjue. 

<S. Préparation des maîtres de mathématiques. 

Le comité organisateur, sous la présidei>ce de M. le général 
Makcheïefî, a commencé les travaux préparatoires avant les vacan- 
ces, au mois de mai 1011. Une exposition des modèles et d'appa- 
reils d'enseignement et de la littéiature classique des mathéma- 
tiques a été organisée dans les salles du Musée pédagogique, le 
siège du Congrès. 

Le Congrès fut ouvert le 9 janvier. 11 désigna comme président 
du Congrès M. le Prof. A. Vassilief, qui a prononcé le discours Sur 
renseignement mathématique et philosophique à l'Ecole moi/enne, 
dont voici les thèses : I. L'Ecole moyenne doit se poser comme un 
de ses buts d'éveiller l'intérêt pour la spéculation philosophique 
sérieuse; c'est l'année dernière de renseignement secondaire qui, 
plus particulièrement, peut et doit servir à ce but. IL Dans toutes 
ses étapes, l'enseignement mathématique doit viseï- le développe- 
ment du raisonnement logique. 111. Pendant la dernière année de 
lécole secondaire, l'enseignement mathématique doit viser 1" à 
éclairer et expliquer aux élèves la valeur des mathématiques pour les 
sciences exactes et pour l'expression mathématique des lois de la 
nature, et 2" à donner un coup d'œil rétrospectif sur le système 
des mathématiques élémentaires le plan de Méran, 1905). W . 
Conformément à ce but, dans les programmes des mathématiques 
de la dernière année de l'Ecole secondaire, l'attention principale 
doit être dirigée 1° sur l'explication de la notion de la fonction et 
de sa variation, 2° sur les fondements de l'arithmétique, de l'al- 
gèbre et de la géométrie. Y. Il est désirable d'établir alors un lien 
étroit entre les cours des mathémati(iues et de la propédeutique 
philosophique. VI. Les fondements d<> l'arithmétique l'étude du 
nombre entier sont particulièrement riches de questions sugges- 
tives et intéressantes au point de vue de l'enseignement prépara- 
toire de la philosophie. 

Nous ne croyons pas nécessaire d'insérer ici la liste de toutes 
les communications, et ne mentionnons que celles qui nous pa- 
raissent If plus importantes. 

M. BoGOMOLov St-Pétersbourg , parla des fondements de la 
géométrie en rapport avec son enseignement. 11 a insisté sur la divi- 
sion du cours de la géométrie en deux : al l'enseignement prépa- 
ratoire, intuitif et expérimental, ayant pour but d'accumuler des 
faits géométri(jues et le développement de l'intuition de l'espace, 
et bi l'enseignement systématique de la géométrie comme système 
hypothético-déductif; les matières traditionnelles de la géomètri<^ 
élémentaire pounaient être ranimées et coinph'tées par les théo- 



22'. CHIiONIQVE 

ries plus récentes do la ^ooniëtric pjojective et (lescri|)live dans 
le cours picpaiatoire. de la ^éouiétrie non-eucludiemie dans 
l'ensei<>;iUMnent scientifique . 

(le discours fut suivi dune coninuinication de M. i3oi,(;oLciiiM-: 
Kieir, qui expliqua comme il enseignait avec succès l'interpré- 
tation de M. Poincai'é des planimétries d'Ruclide, de L(d)at- 
chevsky et de Riemann par des faisceaux des cercles. Je ne 
puis pas dire (pie cette communication, en soi fort spirituelle et 
accompagnée de dessins fort élégants, m'ait convaincu : do pa- 
reilles matières doivent être familières au professeur de I Kcole 
secondaire, mais c'est à l'Université qu'il doit les 'apprendre. 

M. S.-.I. CHOKHou-'rrtoTSKi.!, uu des pédagogues les plus appré- 
ciés, a ntontré dans son discours : Ce que demande la psi/c/io/oo/c 
des niathéniatiqiies comme objet de renseignement, sur les avan- 
tages de l'enseignement « laboratoire » des mathématiques et sui' 
lindividualisation de l'enseignement selon les types psycholo- 
gi<pies dinÏMents qui se rencontrent parmi les élèves. Je passe 
plusieurs autres communications tpii visaient la même chose. s(»it 
r-n arithmétique, soit en algèbre et en géométrie. 

Dans un discours animé, qui dura presque deux heures. M. 
\V.-\V. BoBYxix a insisté sur l'introduction, dans l'enseignement 
secondaire, des notions historiques. 

M. le gén. M. -G. Pvtv>\\ov.\\'.yKu iXYtavXé de l'enseignement de l'ana- 
It/se infinitésimale à l'école moyenne, ayant en vue principalement 
son introduction récente dans les corps des cadets écoles secon- 
daires militaires , dont le vénérable rapporteur esl un des adeptes 
ai'dents. 

Le dernier jour. MM. K.-A. Possk et W.-B. SriiLVE ont donné 
tleux discours sur la coordination des programmes de 1 Rc(do 
moyenne et de IKoole supérieure. M. Possk regaide, comme le 
problème principal de l'organisation de l'enseignement, ré(|uilibro 
de deux buts de l'enseignement moyen : 1° l'Kcole moyenne doit 
donner une éducation complote; 2" l'Iù'ole moyenne doit préparer 
aux études supérieures. Il I louve à bon droit (pi'en ce qui concerno 
les math<'mati(pies. les plans et les |)rogrammos de l'onseignemoiit 
secondaire russe doivent élre coiisidérabloment modifiés. Pour 
satisfaire aux deux buts, il recommande que l'on adopte le système 
français de bifurcation de l'enseignement. Le nombre toujours 
croissant des jeunes (illes (|ui s'adonnent aux ("tudes supérieures, 
fait (h'siror que rcnseignemontsecondairo des jeunes filles devienne 
plus confoiino — en malhcMnaticpies, bien entendu — avec celui dos 
garçons. 

M. W .-H. Srm vi;, directeur de I Institut d Arpeiilago, ii Moscou, 
liont nous déplorons vivement la mort prématurée, survenue au 
lendemain du (Congrès, a prononcé un discours sur le même 
sujet, oii il rappela les idées <|u'il avait publiées il y a quinze ans 



CllliOMQUE 225 

dans la rovue russe l'Enseignement technique et coninienial ; il les 
a c'oiuplctces de remar<|iies l)as('es sur son expérience ef ses mé- 
ditations. .1 ai ajouté à ces discours cpielques mots pour commu- 
niquer les chilî'res exticmement remaicpiables sur la tVé(|uentation 
des dill'érentes sections des lycées français, qui mont été commu- 
niqués par M. NiEWENGLOWSKI. 

Parmi les autres communications, citons cell(îs de M. W. Ka(;a\ 
Odessa , Sur les transformations des polyèdres, illustrées par des' 
projections où l'auteur montrait l'impossibilité de diviser deux 
polyèdres symétriques non con<>Tuents en parties congrnentes, 
quelque grand que soit leur nombre; la communication de M. 
Chatounovskij (Odessa), Sur la grandeur, dans laquelle il dédui- 
sait la notion de la <>randeur de quelques prémisses tout à fait 
abstraites. 

N'oublions pas enfin une étude très documentée que nous a c(»m- 
muniquée M. ^V. K.vcan, Sur l'histoire de la préparation des maîtres 
de mathématiques en Russie. Il faudrait mentionner encore les 
communications de M'"* T. -A. Ehkenfest, Sur les nombres irra- 
tionnels, et une seconde Sur Euclide et l'Ecole secondaire ; celles 
de M. D. Tkxxer, Sur les moyens intuitifs et Sur les illustrations 
graphiques de la résolution d'un système d'équations. Bien d'autres 
seraient encore à mentionner. Les communications furent suivies 
de débats animés, souvent d'un grand intérêt par les complé- 
ments qu'ils apportaient parfois au sujet de la communication. 

Mais je n'insiste pas davantage. Nous reviendrons peut-être sur 
ce sujet quand les travaux du (Congrès seront publiés. Des télé- 
grammes, votés par acclamation, ont été envoyés à MM. F. Ki.kin, 
A. GuTZ.MER et C.-A. Laisaxi sur la proposition du (lomife d'orga- 
nisation. 

Voici enfin les résolution-^ i^otées à l'uiuinimité à la séance de 
clôture du Congrès, dont je dois le texte précis à l'amabilitc' de 
M. le général MAKCHEÏEir : 

1. Le Congrès estime (|u'il est nécessaire de relever l'iudixi- 
dualité et l'activité des élèves; il faut augmenter l'intuitivité de 
l'enseignement sur toutes ses étapes et développer en même temps 
l'élément logique dans les classes supérieures, en prenant toute- 
fois en considération les particularités psychologi(jues de l'âge 
des écoliers et l'accessibilité des matières enseignées. 

2. Le Congrès trouve à propos de supprimer, dans le couis de 
mathématicpies de l'école moyenne, (|uelques cpiestions de valeur 
secondaire; renseignement doit éclairer vivement l'idée de la 
dépendance fonctionnelle ; il faut rapprocher l'enseignement des 
exigences de la science et de la vie moderne, et faire apprendi-e 
les idées les plus simples et les plus accessibles de la géométrie 
analytique et de l'analyse. 

.î. Le Congrès émet le vo'u (jue les auteurs des manuels en cours 

L'Enseignoment malhéni.. li« anm^e : |yi2 !•> 



•226 CHRONIQUE 

et à taire prennent en considération les points de vue exprimés 
dans le n" 2 de ces résolutions. En particulier il est désirable 
d'avoir des recueils de problèmes qui soient conformes aux inté- 
j'èts de l'écolier à chaque étape de l'enseignement, et qui con- 
tiennent des données de physique, de cosmographie, de méca- 
nique, etc., une chrestomatie mathématique complète permettrait 
à l'écolier d'approfondir ses connaissances. 

4. Le Congrès émet le vœu de l'élaboi-ation d'un plan détaillé 
de l'organisation de l'enseiiiinement secondaire, d'une manière 
telle que, tout en conservant son caractère d'éducation générale, 
elle permette une spécialisation dans des classes supérieures, 
adaptée aux capacités individuelles des écoliers, et satisfasse aux 
exigences de l'enseignement supérieur. 

5. Le Congrès émet le vœu que l'Ecole tienne compte des be- 
soins des écoliers spécialement doués en mathématiques, et que 
des dii'ections leur soient données de la part du personnel en- 
seignant. 

6. Le Congrès émet le vœu que l'Université, sans nuire à sa 
destination principale, cultive la science et renseignement scien- 
tifique ; renforce son enseignement par des éléments nécessaires 
au futur maître d'école moyenne. 

7. Le Congrès estime nécessaire qu'après avoir achevé leurs 
études scientifiques, les candidats au professorat reçoivent une 
prépaiation pédagogique spéciale par un personnel enseignant 
bien choisi et dans des conditions matérielles aussi bonnes que 
possible. 

8. I^e Congrès trouve nécessaire qu'en dehors de ces cours per- 
manents, il soit organisé des séries de conférences et des réunions 
l)our rajeunir le bagage scientifique et pédagogique du corps en- 
seignant. 

9. En vue de faciliter aux professeurs de compléter leurs con- 
naissances spéciales et pédagogiques, les bibliothè([ues des écoles 
doivent être pourvues des ouvrages nécessaires dans les domaines 
scientifiques, didactiques et méthodologiques, ainsi que des jour- 
naux. 

JO. Le Congrès émet le vtpu ((uil soit accordé plus d'indépen- 
(hmce aux Conseils péflagogiques des écoles pour ce qui est de 
la distribution de la matière d'enseignement suivant les classes, 
ainsi que pour le choix des manuels. 

11. Le (Congrès émet le vœu que dans les établissements de 
jeunes filles le niveau de l'enseignement des mathématiques soit 
lelevé, en raison de la haute valeui' éducative des mathématiques 
et de la tendance bien répandue chez les jeunes filles à continuer 
dans l'enseignement supérieur. 

12. Reconnaissant les difficultés que jjeut présenter la réalisa- 
tion de ces vœux, le Congi'ès estime (ju'il est nécessaire de procé- 



CllHONlQL'i: 227 

«.1er avec beaucoup de prudence dans toutes les mesures qui con- 
cernent leur introduction dans l'organisation actuelle. A cet effet, 
le Congrès exprime les présentes résolutions sous une forme très 
générale, et charge le Comité d'organisation de former des com- 
missions qui s'occuperont d'élaborer avec soin des projets dé- 
taillés concernant tous ces vœux généraux. 

Les rapports de ces commissions devront être imprimés au plus, 
tard trois mois avant le II""' Congrès, et envoyés à tous les Co- 
mités scientifiques, aux Conseils et conférences des Ecoles supé- 
rieures, aux Sociétés et Cercles mathématiques, aux maîtres de 
mathématiques et aux organes de la presse pédagogique. La prin- 
< ipale mission du 11""^ Congrès sera de discuter ces rapports et de 
voter les décisions définitives. 

13. liC Congrès émet le vœu que ses membres présentent aux 
commissions qui vont être organisées leurs desiderata sur les 
<juestions mentionnées plus haut et sur des questions annexes. 

14. Vu que la question très importante des examens et des tra- 
vaux écrits n"a été discutée que par l'une des sections, le Congrès, 
tout en reconnaissant que l'état actuel n'est pas satisfaisant et 
f|u'il est nécessaire d'introduire des changements radicaux, charge 
le Comité du prochain Congrès d'organiser une commission spé- 
<iale, à laquelle doivent être renvoyées les résolutions émises par 
la H""' section. 

1.5. Le Congrès émet le vœu que le H""' Congrès comprenne 
aussi des sections spéciales pour les maîtres des écoles féminines, 
des écoles techniques et commerciales, et qu'à ces sections soient 
présentés des rapports sur les changements de programmes. 

1(). Etant donné qu'il existe h présent dans les différentes ré- 
gions de la Russie un nombre assez considérable de Cercles ma- 
thématiques, il est désirable de créer une organisation spéciale, 
qui, tout en laissant à ces Cercles une complète indépendance, 
les unisse sur le fond de leurs intérêts communs et de leurs aspi- 
rations. 

17. Le Congrès témoigne sa recounaissame aux organes de la 
piesse russe, qui servaient et servent à l'œuvre de l'enseignement 
des sciences mathématiques, et approuve le projet du Cercle ma- 
thématique de Moscou, concernant sa revue' dans laquelle il se 
propose d'accorder une grande place à l'information mutuelle 
des Sociétés et des Cercles qui se vouent à l'enseignement des 
mathématiques. 

18. Le Congrès trouve nécessaire de convoquer le 11""' Congrès 
russe des professeurs de mathématiques au mois de décembre 



' Celte revue du Cerile inatluiuati(iiie de Moï.ci.u porte le nom de MathimatiUheskoXf 
'j'»asnvaiiïe (L'Enseignement mMlhématique) : trois numéros sont parus. 



•J28 CHRONIQUE 

11113, à Moscou, et prie le Cercle inathénialiqiie de Moscou de se 
charger de l'organisation de la réunion. 

19. Le Congrès charge son Comité d'organisation de présenter 
ces résolutions aux ministres et aux directeurs en chef dans le 
l'essort desquels se trouvent des écoles moyennes. 

I). SiNTsoF Kharkof . 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Alleiiiag'ae. — La Société mnthéinatiq ne allemande Deutsche 
Mathematiker-Vereinigungi se réunira cette année à Munster i.^^'., 
du 15 au 21 septembre, sous la présidence de M. le prof, von Dvck 
I Munich). l-,es communications porteront prini'ipalement sur la 
Géométrie infinitésimale. 

La Société allemande pour le progrès de l'enseignement des 
Sciences mathématiques et naturelles \ erein zur Forderung des 
mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts tiendra 
sa Wr"*" assemblée générale à Halle a. S., du 27 au 30 mai 1912. 
sous la présidence de M. le prof. Thaer (Hambourg). Le Comité 
local est présidé par M. le prof. Waxgerix. 

Fondation Wolfskehl. — La Société scientifique de Gœttinguc a 
attribué une somme de 5000 Mk à M. le prof. Zermelo, pour 
ses recherches dans le domaine de la théorie des ensembles et 
comme contribution aux frais que nécessite le rétablissement 
complet de sa santé. 

Privat-docents. — M. U. Courant est admis en qualité de prival- 
docenl à ILniversité de Gottingue, et M. F. Pfeiffer à IFcole 
supérieure technique de Danzig. 

Angleterre. — M. L. N. G. Filox, F. R. S., est nommé pio- 
fésseur de Mathématiques appliquées et de Mécanicpie à l'Univer- 
sité de Londres. 

Autrîelie. — M. E. Czlber, professeur à l'Université de 
Vienne, est nommé membre de l'Académie des Sciences de Halle. 

M. L. ScnnuTKA de Rechtenstamm, assistant et privat-docent à 
IKcole technique supérieure à Vienne, est nommé professeur 
extraordinaire à l'Kcole technique supérieure allemande à Briinn. 

M. HosTixsKY est admis en qualité de privat-docent à l'inivei"- 
sité bohème de Prague. 

Prance. — Le Jubilé Camille Flammarion. — Le 2() février 
dernier, dans la grande Salle de l'Hôtel des Sociétés savantes, a eu 
lieu, sous la présidence de ^L H. Poincaré, une fête en l'honneur 
des 70 ans de M. C>amille Flammarion et du vingt-cintjuième an- 
niversaire de la fondation de la Société astionomique de France. 
A cotte occasion, une plaquette commémorative a été offerte au 
Jubilaire et des discours ont été piononcés par MM. H. Poincaré, 



ClIliONIOUi: 22t» 

1*1 isKi X, Feidiiiaïul Bcissox, Jean Mascakt, le eoiuinaiidant Paul 
Rexakd, Maurice Fouché, Kdmond HAnALCOLUx et (Ih. Riciikt. 

Cong/ès des Sociétés saiutntes (i)-13 avril). — Le (^oiii^rt's a éti' 
ouvert le 9 avril, à la Sorbomie, sous la présidence de M. (iaston 
Dakboix, président de la Section des sciences du Comité des tra- 
vaux historiques et scientiliques. 

Nous donnons ci-après la liste des communications présentées 
à la Section des mathématiques : 

Gékahdi.n : i Décomposition des grands nombres en facteurs 
premiers. »■ — • SicxonEi : " Transport d'énergie électrique d'Orlu 
Ariègei ». — E. Li:box : >< Facteurs premiers des nombres de 1 ;i 
100 millions ». — Lacocr : « Potentiels de simple couche ». — 
Fréchet : « La notion diirérentielle ". — Capitaine Johdax : « Ob- 
servations de l'Astrolabe ». — Riqlieiî : « Système particulier 
d'intégrales satisfaisant à des conditions déterminées le longd un 
contour ». 

M. P. Appell est nommé membre correspondant de l'Académie 
des Sciences de St-Pétersbourg. 

'SI. G. Darboux est nommé membre d'honneur de l'Académie 
royale d'Irlande. 

Gi'èce. — M. D. AE(;ixrris est nommé professeur d'Astrono- 
mie à l'Université d'Athènes. 

Italie. - Reale Istitiilo Veneto (Venisej. — M. G. B. Gcccia, 
professeur à l'Université de Palerme, a été élu associé national. 
MM. P. Di HEM, de l'Université de Bordeaux, et AV. Xernst, de 
l'Université de Berlin, ont été élus associés étrangers. 

Suisse. — La Société mathématique suisse tiendra sa réunion 
annuelle ordinaire à Altorf, les 9 et 10 septembre, à l'occasion de 
la 05""' réunion de la Société helvétique des Sciences naturelles. 



Nécrologie. 

M. {\. Arzela, professeur d'Analyse infinitésimale à l'Université 
•de Bologne, est décédé, après une longue maladie, le Ki mars 1912, 
•à Santo Stefano di Magra (Gênes], à l'âge de 65 ans. 11 y était ne 
le 8 mars 1847. Ses travaux ont résolu maintes questions fonda- 
mentales touchant aux piincipesde la théorie des fonctions d'une 
variable réelle. 

M. le prof. D' C. Farber est décédé le 22 mars 1912, à Berlin, à 
l'âge de 48 ans. 

J. PiLLET. — Nous apprenons avec regret la mort de M. .Iules 
Pillet, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers et à l'Fcole 
des Ponts et Chaussées; il était en outre Maître de Dessin de ma- 
chines à l'F^cole polytechnifjue. 



NOTES ET DOCLMENTS 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

Compte rendu de>> travaux des suus-coiiiinissious nationales^. 
(7e article.) 



ALLEMAGNE 

L'enseignement du calcul. 

Stoff u. Méthode des Rechenunterrichts in Deutschland'^. Ein Literatur- 
hericht von Dr. W. Lietzmann, Oberlehrer an der Obenealscluile in Barnien. 
— L ouvrage de M. le D"" \V. Lietzmann est une étude très complète, très 
approfondie de renseignement du calcul en Allemagne aussi bien dans les 
écoles primaires que dans les Mittelschulen (écoles primaires supérieures! 
et dans les écoles normales d'instituteurs. L auteui- spécifie bien qu'il s agit 
du calcul, c est-à-dire des opérations faites sur des nombres positifs, en- 
tiers ou fractionnaires, représentés par des chiffres. 

Pendant très longtemps on se bornait à donner au.x enfants les règles né- 
cessaires pour effectuer les opérations, sans essayer de les leur expliquer. 
C'est surtout Pestalozzi (1746-1827) qui introduisit le raisonnement. Mais 
en Allemagne les études dans les écoles supérieui'es ne sont pas régies par 
un programme commun. Certaines villes prescrivent des programmes an- 
nuels. U en résulte alors pour le maitre 1 obligation de répartir les matières 
de ce programme sur chaque semaine et même sur les différentes heures de 
son enseignement. On attache une très grande importance à ce mode de 
répartition ; le maitie inscrit d'ailleurs sur un cahier .spécial les matières, 
traitées pendant la semaine. L'auteur s'étend sur ces questions de pro- 
gramme et donne des exemples et des détails fort intéressants que je re- 
grette de ne pouvoir citer ici. 

Il insiste ensuite sur l'importance du calcul mental. On exerce à ce calcul 
les élèves de toutes les classes, même des classes supérieures et peut-èti'e 
quelquefois va-t-on jusqu'à l'exagération. M. Lietzmann a vu demander 
dans une école normale d instituteurs à faire de tète des exercices (|ui se 
résolvent par un système d'équations à plusieurs inconnues. 

Le maitre fait donc effectuer un nombre considérable d'opérations et 
d exercices ; sa besogne lui est facilitée par des livres de problèmes mis 
entre les mains des élèves ; le mol livre ne convient peut-être pas très bien. 



' Voir X'Ens. math., 1.3' année, l'.tll ; W" année, l'.M:J. 

* Ahhandtungen iiber dcti inathein. Unterricht in Dculschland. Hand V : Der iiiatheinati.tche 
Eleinentaruiiterrichl u. die Mathematik an den Lehrerhilduiigsanstalten, Heft 1. — 1 fa.sc. de 
VII et I2C. p , :< .\lk.. H. G. Teubner, Leipzig. 



NOTES ET DOCUMENTS 231 

il Faudrait dire des recueils d exercices. Les recueils de Koch parus en 
1855 ont atteint 552 éditions ; il a été vendu plus de dix millions d'exem- 
plaires du livre de calcul de Butiner. 

Quelques-uns de ces livres contiennent des théorèmes ou plutôt leurs 
t'iioncés ; la j)artie théorique ne dépasse pas I indication de quelques règles, 
de quelques siniplilications, de quelques exemples développés. Les livres 
existent en grand nombie, ainsi que les revues pédagogiques ; la biblio- 
thèque de 1 union des instituteurs allemands à Berlin en reçoit plus d uiif 
centaine. 

Ces considérations générales sont cont»?nues dans le premier chapitre. 
Le second chapitre est consacré aux opérations sur les nombres entiers. 
Tout d'abord il s'agit d'enseigner la numération parlée et pour cela on pro- 
cède en Allemagne, comme en France et comme ailleurs, au moyen d objets, 
de boules, de bâtonnets. On représente les unités décimales des divers 
ordres par des images distinctes ou des objets munis de points. 

Arrivant ensuite aux opérations, la question suivante se pose : Doit-on 
donner des explications et formuler des règles. « Nous n'avons en Alle- 
magne (dit l'auteur) aucune théorie du calcul numérique, cet intermédiaire 
entre noire calcul et notre arithmétique ou algèbre que les Fr;inçais dé- 
signent dans les programmes de leurs écoles par arithmétique. Aussi dans 
le domaine du calcul numérique un exposé systématique avec des démons- 
trations logiques basé sur des axiomes, n'existe pas chez nous. Même lors- 
qu'il est parlé de justification logique (Schellner), la règle n est autre chose 
(]ue le résumé d'un certain nombre d'exemples traités auparavant. » 

Je pense que M. Lietzmann a eu sous les yeux les livres d'Arithmétique 
de M. Bourlet. Il a vu sans doute avec quel soin et avec quelle clarté on 
sait expliquer aux enfants de France tout ce que leur âge les met en état 
de comprendre. 

Je ne peux pas citei- ici les nombreux détails donnés dans le livre sur 
l'addition, la soustraction, la multiplication, la division. Eu ce qui concerne 
la divisibilité, on n'étudie que les caractères les plus simples, quelquefois 
même on donne les caractères par o et par 9 sans les expliquer et on les 
applique à la preuve par 9. 

On enseigne la recherche des nombres premiers jusqu'à 20oujusqu à lOi) 
par le crible d'Eratosthène. On ne démontre jamais que la suite des nombres 
premiers est illimitée. 

Il est rarement question des diviseurs communs à plusieurs nombres et 
lorsqu'on en parle c'est sans démonstration. 

Les écoles supérieures seules enseignent la décomposition en facteurs 
premiers, peu de livres indiquent la recherche du plus grand commun divi- 
seui- par la méthode des divisions successives due à Ihiclide. 

L'auteur insiste ensuite sur les applications aux grandeurs, sur la néces- 
sité de bien faire comprendre aux enfants les dillérentEs espèces de gran- 
deurs et sur le choix des énoncés de problèmes. Ils doivent avoir un côté 
pratique et être empruntés le plus possible à la vie usuelle. 

Quant aux tractions, il paraît que les jeunes élèves ont quebiue peine à 
comprendre la multiplication des fractions; je crois <pie cela n est pas par- 
ticulier à l'Allemagne et à la France, il «loil eu être de même partout'. 



* Voir l'exposé tri-s simple cpi rn (lonni- M. I.msam (liin-< son Eiiicigiiciiniil du ca/i/// , Paris. 
Hachettei 



2.{-2 \ OTE S ET I) (> C V M E N F S 

Depiii.s 1872 les fractions décimales sont employées, mais sans aucune 
cousidéralion théorique. 

I-es règles de trois se résolvent par la réduction à iHnilé. « I^e cliapitre 
consacré à celle question indique un certain nombre de moditications et de 
simplilications, que je ne peux citer ici. 

L école primaire donne des règles pour l'extraction de la racine carrée 
et souvent aussi de la racine cubique. M. Lietzmann voudrait, je crois, que 

1 on séparât bien les deux questions «.-l peul-étre que 1 on se contcnlàl de la 
première. A la (in de son ouvrage, il s élève contre un abus des problèmes 
algébriques qu'on résout sans 1 emploi des lettres, il cite d ailleurs l'opi- 
nion de M. Bourlet qui, comme lui, regrette « celte gymuasiique terrible qui 
consiste à ti-aduire en langage vulgaire tout ce qui est condensé dans celle 
é(|Viation. w 

Le rapport de iSI. Lietzmann est un document précieux pour la Commis- 
sion internationale de renseignement matliémalique. C est un travail impor- 
tant : toutes les questions que peut soulever l'enseignement élémentaire y 
sont traitées dans leurs moindres détails, des détails que je n aurais pas 
soupçonnés avant la lecture de ce livre et qui ont leur intérêt. 

A. Lévy (Paris). 

Ecoles spéciales 

Die Matheiualik an Huchschulen fur hesondere Fachgehiele '. von D' 
M. J.\HNKE. Professor an der k. Bergakademie in Berlin. — Ce lapport est 
consacré à l'enseignement des mathématiques dans les écoles supérieures 
spéciales : écoles des mines, écoles militaires, écoles forestières, instituts 
agronoiniques. écoles de commerce. Pour terminer l auteur examine encore 
les cours académiques spéciaux donnés comme cours de perfectionnement à 
lécole supérieure des postes et télégraphes à Berlin, ainsi que les cours 
académiques publics organisés par certaines villes, notamment Hambourg 
et Berlin. 

I. Ecole des mines (Bergakademieui. Elle sont à Berlin, Clausthal, Aix- 
la-Chapelle, Freiberg. L'école d Aix-la-Chapelle est une section de l'Ecole 
technique supérieure. Il en sera prochainement de même avec celle de 
lîerlin. Les deux autres écoles ont une organisation indépendante. 

Les élèves de ces écoles doivent posséder la maturité et avoir fait un 
stage pratique de une année dans l'industrie minière. Pour le diplôme 
d'ingénieur des mines la durée des études est de 4 années. 

Le cours principal de mathématiques est un cours de mathématiques 
supérieures et mécanique de 7 ou 8 heures hebdomadaires pendant 

2 semestres, avec 1 ou 2 heures d'exercices ; ces heures sont comprises dans 
les précédentes. A côté de ce cours il existe encore un cours de géométrie 
desciiptive avec 2 oit 3 heures pendant deux semestres et nu cours de 
géodésie? de i heures, pendant un semestre. 

L école de Freiberg préseule une répartition quelque peu didërente pour 
l'enseignement des mathématiques. Les cours de mathématiques supérieures 
et de mécanique sont séparés. Le premier se répartit sur quatre semestres 
avec 6, 6, 3 et 3 heures, le deuxième sur deux semestres avec 3 et 3 heures. 



' Abhaiidliingen. iiber dcii niathem. Unierriclit in Deiitschland. Band. IV : Oie Mathematik 
un deii teihnischen Schnlen. Helt 7 ; I lasr. de VI et .î6 p., 1 M. 80 ; B. G. Toul)ncr, \.e\\t7.\^. 



A' O T I: S E I D () C C.)/ K N T S i\V.\ 

l']ii oiilrc la !j;t''C)iiK''(rii' (IcscriptivL- iignre avec 5 lieures pondant deux se- 
mestres. 

2. Ecoles militaires. Ce sont ; L Académie militaire royale de IJerlin 
( Kiiesîssclnile) ; 1 Académie technique militaire de Cliailoltenboiirg ; l'Aca- 
démie maritime impéi-iale de Kiel ; 1 Académie militaire royale bavaroise de 
de Munich et 1 Ecole d artillerie de Munich. 

Au début, l'enseignement des mathématiques à I Académie militaire de 
Berlin s'étendait sur les trois années d études. A llieure actuelle cet ensei- • 
gnement a été considérablement réduit et il ne compte plus que 6 heures 
hebdomadaires la l"' année, et 4 la 2'"e. Dans la !■■<" année on développe la 
trigonométrie sphérique, la géométrie analytique plane, le calcul diflérentiel 
avec les séries. Dans la 2"'« année, la fin du cours de calcul différentiel ei 
intégral puis quelques e.\emples de la mécanique analytique. L'auteur se 
plaint amèrement du recul de l'enseignement des mathématiques, de la 
physique et de la chimie. A l'Académie technique de Charlottenbourg, les 
odiciers sont répartis eu trois groupes : les officiers de troupe, les ofiîciers 
des services techniques (mécanique, électricité, construction) et les officiers 
du service des tiansports. Les cours durent de deux à quatre années. 

Les mathématiques comprennent un cours général, un cours de descrip- 
tive, un cours de mécanicjue et un cours de ballistique. Le premier cours 
dure trois ans |2 fois 4 heures et 1 fois 2 heuresl ; il embrasse la répétition 
du programme de maturité, puis les éléments du calcul différentiel et inté- 
gral avec applications. Le cours de descriptive s'adresse seulement aux" 
officiers de troupe, 4 heures la 2n»e année : projections orthogonales avec 
pénétrations des corps de révolution et d'autres corps importants. La 
mécanique figure dans tous les groupes pendant deux ou trois années avec 
2. 3 ou 5 heures hebdomadaires. Les cours ce ballistique ne sont prévus 
que pour les odiciers de troupe : 2, 3, 12 et 8 heures. 

A l'Académie de marine de Kiel, les cours de malhéniali(|ues forment 
deux cours annuels de 2 heures : calcul différentiel puis calcul intégral avec 
de nombreuses applications spécialisées. 

A l'Lcole de guerre de Munich, renseignement des mathématiques se 
répartit sur les trois anné.es d'études avec 3 heures par semaine : 1'"'= année. 
Algèbre supérieure et géométrie analyticiuc plane ; 2'"^ année. Géométrie 
analytique de lespace, calcul différentiel et intégral ; 3"'<= année. Répéti- 
tions, applications et mécanique analytique. 

Il nous reste à parler de lEcole d artillerie de Munich ; elle comprend 
deux sections : artillerie, avec 2 cours et services techniques, avec 4 cours. 
I.,a fi'c section a » heures de mathématiques et mécanicjue dans chaque cours 
et l'autre .5, avec en plus 2 heures de descriptive dans les deux premiers 
cours. 

3. Ecoles forestières. Les écoles spéciales sont à Eberswald, Miinden- 
Hannover, 'l'harandt et lusenach ; il y a en outre des sections forestières 
aux universités de Munich et Karlsruhe. Les deux écoles de Eberswald et 
Miinden n ont pas de cours spéciaux de mathématiques générales. On y en- 
seigne la géodésie |1 semestre, 7 heuresl. le cubage des bois (2 semestres. 
I heure), le calcul forestier (2 semestres, 3 heures). A 'J'harandl. il y a par 
contre deux cours semestriels de 4 heures pour le calcul infinitésimal et un 
de 3 heures pour la mécanique, avec en plus les cours spéciaux de géodé- 
sie, calcul forestier et dessin de plans. L école de Eisenach semble être 
dans une période de transformation. Les sections foreslières universitaires 



2-S 1 A' O T E S E T 1)0 C U M E N T S 

«le Munich el Karisruhe ont toutes deux des répartitions de cours assez 
diflérenles, mais dans chacunes d'elles figure un cours de mathématiques 
supérieures et de descriptive, à côté des cours spéciaux pour les sciences 
lor-estières. 

». Ecoles supérieures d'agriculture et instituts agronomiques. Aous trou- 
vons ces instituts à Berlin, Bonu-Poppelsdorf, Halle, Hohenlieini, Breslau. 
Giessen, léna, Kiel, Ktinif^sberg et Munich. Dans ces écoles, les niathéma- 
liques n occupent qu une place relativement restreinte. I^a trigonomélrie 
sphérique et la géodésie avec applications semblent les deux seuls domaines 
sur lesquels on s arrête. Ceci est du reste racilcmeut compréhensible, étant 
donné le but proposé. 

5. Ecoles supérieures de commerce et cours commerciaux unii'ersitaires. 
Ces institutions sont à FrancIbrt-s-M., Leipzig. Cologne, Munich et 
Mannheim. L'arithmétique commerciale et le calcul des assurances sont 
seuls enseignées dans ces écoles. Francfort fait exception. Il y a dans cette 
dernière ville des cours complets de mathématiques supérieures ^. mais 
nous devons ajouter qu ils sont suivis principalement jiar des mathé- 
maticiens. 

<i. Formation des employés supérieurs du sen'ice des postes et télégraphes. 
L Ecole des postes et télégraphes de Berlin donne des cours de calcul tlill'é- 
rentiel et intégral el de géométrie analytique. Le personnel supérieui' des 
services dont nous parlons peut encore étendre sa culture mathématique par 
des cours complémentaires organisés s])écialement pour- lui par les adminis- 
trations compétentes. 

7. Cours universitaires publics. Le rapport de M. Jahnke se termine par 
un aperçu sur les cours publics univei-silaires de Berlin el de Hambourg. 
Le personnel du corps enseignant moyen de ces villes, les techniciens et les 
ingénieurs en place, ont l'occasion d'étendre leur culture mathématique par 
des cours supérieurs de toute nature. Nous citerons les cours fie Schubert 
à Hambourg, ceux de Schvvahn el de Korn à Berlin. 

Parlant du mouvement antimalhématique qui s'est manifesté en Alle- 
magne, dans certains milieux techniques pendant les années 1890 à 1900. 
.M. Jahnke fait ressortir avec raison les conséquenses fâcheuses que pré- 
sente cette tendance à un moment où le technicien doit posséder une solide 
culture mathématique pour pouvoir suivre tous les progrès accomplis dans 
sa branche. 

L. Ckilier (Biennei. 



BELGIQUE 



La Sous-commission belge vient de faire paraître un volume de Ii'i8 pages 
intitulé liapports sur l enseignement des Mathémalif/nes. du Dessin et du 
Travail manuel dans les Ecoles primaires, les Ecoles normales primaires, 
les Ecoles moyennes, les Athénées et les Collèges helges. Bruxelles, .). Goe- 
maere, 1911. 

Pour I intelligence du compte rendu suivant, nous donnerons d'abord un 
tableau de renseignement primaire et moyen (secondaire) en Belgique, en 
indiquant entre parenthèses l'Age normal ou moyen des écoliers. 



' Donnés artuellenuînt pur M. )«■ prof. Soikk.nki.iks llUd.). 



.V O T E S ET DO C V M E N T S 235 

Enseignement primaire : 1" Ecoles gardiennes d"aj)i'ès le système Fiœbel 
(3 à 6 ans) ; 2" Ecoles primaires à trois degrés (6 à 12 ans), complété dans 
certaines localités par un ijuatriènie degré de une, deux ou trois années ; 
3" Ecoles d'adultes; 4° Ecoles normales primaires |15 à 19 ans), auxquelles 
sont annexées des écoles primaires d application. 

Enseignement moyen du degré inférieur : 1" Ecoles moyennes pour filles 
ou garçons' (12 à 15 ans) : 2" Sections normales moyennes (19 à 21 ans). 

Enseignement moyen du degré supérieur : 1° Athénées royaux (11 à 18 ans| 
pour garçons : 2" Collèges communaux ou libres à programme analogue à 
celui des Athénées. Les Athénées correspondent aux lycées français ou aux 
gymnases allemands; ils sont divisés en quatre sections: humanités grecques- 
latines, humanités latines, humanités modernes scientifiques, humanités mo- 
dernes commerciales. Leur personnel se forme à 1 Université ; il n en sera 
donc pas question. 

L'enseignement moyen du degi-é supérieur pour filles n'existe pas officiel- 
lement ; certaines écoles moyennes de filles sont complétées par une ou plu- 
sieurs années d études ; il existe aussi des établissements privés ou commu- 
naux, à programme variable, se rapprochant rarement des Athénées pour 
garçons. 

Cela dit, parcourons rapidement les quatre rapports du volunie. 

I. — Uapport sur l'enseignement des Mathématiques dans les Ecoles pri- 
maires et dans les Ecoles normales primaires, par M. Dock, inspecteur des 
Ecoles normales primaires, p. 5-33. — Le programme-type de 1887 pour 
les écoles primaires comprend : au l*"" degré, le calcul des nombres de 1 à 
100, les dixièmes et centièmes de l'unité, les fractions dont le dénominateur 
lie dépasse pas 100, le mètre, le litre, le gramme et le franc, le tout 1res 
intuitif; au 2« degré le calcul des nombres entiers, la formation des fractions 
ordinaires et leur conversion en décimales, le système métrique et des pro- 
blèmes : au 3^ degré la théorie des nombi-es entiers ; les fractions ordinaires 
et décimales. 1 application du système métrique à des évaluations d'aires et 
de volumes. 

Le but est à la fois utilitaire et formel, la méthode intuitive et progres- 
sive ; calculs mental et chiffré sont menés de front. Environ un septième du 
nombre total d'heures de cours est consacré au calcul. 

Les communes (jui organisent un '»'= degré ou des écoles d'adultes arrêtent 
un programme d'après les besoins locaux; il existe un mouvement séi-ieux 
pour donner au quatrième degré un caractère technique. 

Quant aux élèves des Ecoles normales primaires, outre un cours de mé- 
thodologie spéciale, ils voient larithmétique démontrée (nombres entiers, 
fractions, proportions, racine carrée et cubique, progressions, logarithmes, 
problèmes de la vie usuelle) ; l'algèbre (calcul des polynômes et des frac- 
tions, équations et problèmes du l*"" degré à une on plusieurs inconnues) ; 
la géométrie plane (enviion les quatre pi-emiers livres de Legendre). 

Les math(''mati(|ucs représentent à peu près 10 " o du total des matières, 
tant pour le temps qui y est consacré (jue pour la cote d'imporlance dans 
les examens annuels. Les institutrices ne voient pas d'algèbre ni de géo- 
méti-ic. 



' Une s<'ctii)ri prcpai-iiloirc comprenant les trois (lp<;rr'« priiiiain-s v «"it ^iniTiilenicnl 
annexée. 



•2-S6 y O T K S E T I) C U M E N T S 

II. — liappurt sur l enseignement du Dessin et du Travail manuel dans 
les Ecoles primaires, les Ecoles moyennes, les Athénées et les Collèges par 
L. MoNTFORT, Inspecteur de 1 Enseignement du Dessin, p. 35 à 187. — Xous 
devons, à regret, passer rapidement snr cet important Rapport dont le sujet 
inléi-esserait moins directement les lecteurs de l Enseignement mathéma- 
tique. Signalons toutefois le passage où l'auteur reproche avec raison au 
programme de dessin géométrique et de perspective de devancer le moment 
on les notions correspondaiiles sont étudiées dans les cours de mathéma- 
tiques. 

III. — Rapport sur l enseignement des Mathématiques dans les Ecoles 
moyennes, les Athénées et les Collèges, par H. Pi.olair.n, Inspecteur de ren- 
seignement moyen, p. 189-276. — Après un aperçu historique sur I organi- 
sation de renseignement moyen en Belgique, le Rapport détaille les pro- 
y;rammes de malhématiqaies. 

1" Athénées royaux. Les classes de 7^ et de 6^ sont communes à toutes 
les sections et voient les règles démontrées de 1 addition, de la soustraction, 
de la multiplication des nombres entiers, les caractères de divisibilité, le 
calcul des fractions ordinaires et décimales, des problèmes usuels. 

Dans la section greque-latine. on enseigne les compléments de l'arithmé- 
tique démontrée en 5« et en 4*^ : l'algèbre jusqu aux équations du second 
degré, logarithmes et rentes viagères, à partir de la i** ; la géométrie plane 
et solide de Legendre à partir de la 4*', l'arpentage en 3'' ; la trigonométrie 
l'ectiligne en 2* et en l'«. 

La section latine et la section moderne scientilique ont le même pro- 
gramme de mathématiques, comportant : l'arilhmélique démontrée, y com- 
pris les approximations numériques, la racine cubique, les différents sys- 
tèmes de numération, en o", 4*, 3<-" et 2^ : 1 algèbre jusqu au second degré, 
logarithmes, binôme de Newton, fractions continues dans les mêmes classes ; 
la géométrie plane en 5«, 4* et 3^ et la géométrie solide en 2" ; la trigono- 
métrie recliligne en 3^ et 2^; enfin, en l'"^, la trigouoniélrie sphérique, la 
géométrie analytique des coniques et la géométrie descriptive Ipoinl, di'oite 
et plan) ; de plus, en l""", On revoit les théories principales enseignées dans 
les classes inférieures. 

La section commerciale u a de programme distinct qu'à partir de la 3* ; 
on n y voit guèi'e plus de mathématiques que dans la section greque-latine, 
mais on insiste sur l'algèbi-e financière. 

2" Ecoles moyennes de garçons. A I inverse de ce qui arrive pour les 
Athénées royaux, les ti'ois classes successives des Ecoles moyennes sont 
désignées sous les noms de première année, deuxième année et troisième 
année; on y voit de 1 arithmétique démontrée dans les trois années ; le calcul 
algébrique et les é(|uations du premier degré en deuxième et troisième 
année ; la géométrie plane répartie sur les trois années. 

3" Ecoles moyennes de filles. I>e programme d'algèbre et de géométrie 
est moins étendu; la géométrie ne commence (ju'en seconde année. 

Le temps consacré aux mathématiques est en moyenne de 3 heures par 
semaine dans les sections grecques-latines ou commerciale des Atliénées 
l'oyaux. de 5 heures dans leurs sections latines u\i scientifujucs, de 4 heures 
dans les Ecoles moyciuies de garçons et de 3 heures dans les Ecoles 
moyennes de filles. 

Le Rapport examine ensuite le but et les méthodes de l'enseignement, la 
concentration de renseignement et les examens trimestriels et annuels; il 



.V <) r E s E r D () C LM E iV T S 



«''niinièro qucIqiK-s quoslions posôes aux ooncom-s jjénéranx enli'c Aihénées 
el lîcoles moyciHies. 

Les professeurs des Kcoles inoyeimes poi'letil le noui de régenls ou r(''- 
gentes el sont formés dans des sections norniitles moyennes à deux années 
d'études dont voici le proj^^ramme : 

1" hégents. Compléments d arithméti(jue démontrée, algèbre jusqu'au 
second degré el aux logaritlimes ; les huit livres de Legendre ; la topogra- 
phie; la trigonométrie reotiligne ; les pi-emiers éléments de géométrie ana- 
lytique, de géométrie descriptive el de mécanique. 

2" Régentes. Compléments d'arithmétique, algèbre jusqu au second degn- 
et géométrie plane. 

Ces programmes sont ceux de la section dite scientifique ; ceux de la sec- 
tion littéraire ne comportent de mathématiques qu en première année. 

Suivent quelques questions posées aux examens de régents el régentes : 

IV. — Les tendances actuelles de l'enseignement mathématique en Bel- 
gique et leur influence sur les méthodes et les programmes, par H. Ploumen, 
Inspecteur de renseignement moyen, p. 277-343. — L auteur passe en revue 
les diverses branches des mathématiques en examinant leur i-ôlt- éducatif el 
utilitaire, signale le besoin d une forte instruction mathémaliquc qui se fait 
sentir dans les diverses cari'ières libérales. Il propose l'introduction de la 
géométrie analytique, dans la section grecque-latine des Aihénées, du calcul 
différentiel et inlégi-al ainsi que de la géométrie projective dans les sections 
scienlilique el latine en indiquant les suppressions qui pourraient com- 
penser cet accroissement de matières. Il termine par une série d'observa- 
tions d'ordre méthodologique. 

M. Stuvvaert iGandK 



ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Les mathématiques dans les Ecoles élémentaires. 

La Sous-commission américaine, ainsi qu il a déjà été cxpli(|ué {L'Eus. 
Math., mai 1909i, procède par comités el sous-comités ; chacun d'eux rap- 
porte sur un lype d école aux divers points de vue indiqués par le rapport 
préliminaire du Comité central. 

Les comités 1 el II, cliargés respectivement des écoles élémentaires géné- 
rales el des écoles élémentaires spéciales, ont résumé leurs rapports en un 
fascicule de 185 pages, intitulé : « Les mathématiques dans les écoles élé- 
mentaires des Klats-Unis » '. 

Le fascicule débute par une exposition gén('-rale de I organisation de 1 en- 
seignement américain. Cet enseignement comporte deux divisions princi- 
pales : l'enseignement public et renseignement privé ; ce deuxième comprend 
des institutions religieuses, philanthropiques ou simplement financières. 

Le rapport du comité n" 1 embrasse les écoles élémentaires générales, 
publiques el privées. Il étudie renseignement des mathématiques tel qti'il 
est donné actuellement dans ces écoles : al le but de lorganisation : hi le 



' .. M.itlieni.itics in the Elemenl.irv Schools of the Iniled States v. Piil>li.- par Ips soins 
<lu -1 Inited States Bureau ol' ICdnoation •>, Washington. 



•238 NOTES ET DOCUMENTS 

plan d études mathématiques : ci la question des examens ; d i les méthodes 
d eiiseif^nement ; el la préparation des maîtres. 

Le travail est réparti entre six sous-comilés. Le premier présente un rap- 
port d ensemble sur les établissements d'ins.ruction. leur succession et leurs 
rapports. 

Le titre d école élémentaire a été interprété un peu différemment suivant 
les localités. Cependant, d une manière générale, dans les Etats de 1 Est, 
les écoles élémentaires comprennent 9 degrés, soit les 9 premières années 
d école, ceux du Sud 7, ceux du Nord et de 1 Ouest 8. 

L'année scolaire est en moyenne de 180 jours, la semaine scolaire de 5 
jours et chaque jour scolaire de 5 heures. 

Des statistiques établies sur 50 grandes villes américaiires ont permis de 
constater que létude de l'arithmétique emploie le 15,26 */o du temps de 
scolarité. 

Actuellement il y a tendance, pour le l^"" et le 2"'« degré, à supprimer 
I arithmétique comme étude formelle et, pour les degrés supérieurs, à la 
remplacer par l'algèbre et la géométrie. Pourtant on désigne encore par le 
nom de mathématiques plus spécialement l'arithmétique. 

A côté des sujets essentiels enseignés partout, le programme en comprend 
d'autres. Par exemple, les intérêts composés sont traités dans -61 '*/o des 
établissements considérés, lalgèbre dans 06 "/o . les constructions géomé- 
triques dans 28 "/o. les exercices graphiques dans 7 "/o- 

En ce qui concerne les méthodes d enseignement, le sous-comité conclut 
que de grands progrès ont été réalisés en donnant plus d'importance au 
point de vue psychologique qu'au point de vue logique, ce qui, en pratique, 
a rendu le travail plus objectif et a développé la méthode d induction. 

Il res.sort de statistiques que 1 augmentation du nombre des maîtres et 
maîtresses annuellement nécessaire dépasse de beaucoup le nombre des 
élèves sortant des écoles qui donnent un enseignement pédagogique : il n'y 
a ainsi guère que le '/s du corps enseignant qui ait reçu une préparation 
professionnelle quelconque. 

On peut se rendre compte du champ parcouru dans les huit degrés des 
écoles élémentaires en consultant les deux plans d'études mathématiques 
insérés dans ce rapport, f/un de ces plans d études est destiné aux écoles 
rurales et 1 autre aux écoles urbaines. Dans tous les deux, 1 étude de lalgè- 
bre et de la géométrie est jointe à celle de 1 arithmétique dans les derniers 
degrés. 

■ Le sous-comité 2 traite de l'enseignement dans les jardins d enfants, 
écoles qui reçoivent les enfants de » à 6 ans ; elles précèdent donc les écoles 
élémentaires. L'enseignement mathématique n'y est, bien entendu, repré- 
senté que sons une forme implicite ; les connaissances acquises par les 
enfants dans ce domaine sont le résultat inconscient de leur activité et de 
leurs jeux. 

Le sous-comité 3 consacre 52 pages à renseignement mathématique dans 
les six premiers degrés. Il présente un rapport général, puis quatre rap- 
ports distincts traitant respectivement de l'organisation des écoles, du plan 
d'études mathématiques, des examens et des méthodes d'enseignement. Les 
renseignements qu'ils renferment sont fréquemment le résultai d'enquêtes 
laites par la méthode des questionnaires. 

Chaque Etal étant maître de 1 instruction chez lui, il y a naturellement 
d assez jurandes diverjîences d'or(;anisalion. Le rôle du « United States 



NOTES ET DOCUMENTS 239 

Bureau ol Kducalion » est sculeuient de donner des renseiguemenls et des 
conseils qui aident à obtenir une cerliune unité dans l'espi-it de rensei- 
gne nient. 

Le rapport donne un exposé complet des méthodes en usaj^e ainsi que des 
rliangemenls à y apporter, le tout éclairé i)ar de nombreux exemples. 

Le sous-comité 4 résume en quebiues pages ce ijui concei'ue la prépara- 
lion du corps enseignant des six premiers degrés. L'arithmétique ne donne 
généralement pas lieu à une préparation distincte des autres branches. On 
exige du maitre de mathématiques des connaissances plus étendues que celles 
<iu progiamme qu il enseignera, mais I algèbre et la géométrie, par exemple, 
sont traitées de telle sorte que leur rapport avec l'enseignement et leur 
utilité dans celui-ci n apparaît en aucune façon. 

Le sous-comité 5 reprend, poui" les deux derniers degrés, les mêmes 
questions que le précédent, et il y ajoute quelques détails complémentaires 
sur les écoles paroissiales callioliques romaines Iparochial schools), ainsi 
qu'un plan d'études de ces écoles. 

En résumé, l'instruction élémentaire est obligatoire et gratuite de 6 à l'i 
ans. L'enseignement dans les deux derniers degrés est, pour le plus grand 
nombre des élèves, la lin de leurs études. Un petit nombre continuent dans 
les écoles supérieures (higli schools). La plus ou moins grande proportion 
des élèves visant lun ou l'autre but détermine des programmes assez diffé- 
rents dans lesquels on peut distinguer, pour les mathématiques, deux cou- 
rants : ceux qui n indiquent ni la géométrie ni l'algèbre, et ceux qui leur 
font une place. 

On tend de plus en plus à enseigner ces deux branches en appuyant sur 
leurs rapports avec l'arithmétique. 

Le sous-comité 6 étudie la question de la piéparation des maîtres pour 
les 7"'« et 8""^ degrés. Les élèves des écoles normales ont généralement 
accès aux cours mathématiques des collèges et universités. Le programme 
mathématique de ces écoles varie beaucoup ; il est généralement au mfiins 
égal à celui des « high schools ». 

Le comité no II s est occupé des écoles élémentaires spéciales, écoles de 
métier et écoles industrielles. Ces écoles peuvent être considérées soil 
comme des écoles élémentaires spéciales, soit aussi comme des écoles se 
condaires, puisque, pour l'admission dans la plupart d'entre elles, les élèves 
doivent justifier d'un minimum d'instruction équiviilent aux six premiers 
<iegrés élémentaires. 

Le programme niathénialique de ces diverses écoles varie naturellement 
<.'n étendue suivant le but qu'elles se proposent. Il donne toujours une place 
prépondérante à la partie pratique des malhémali(|ues, au détriment de la 
théorie. 

Ces différentes écoles spéciales peuvent se classer en : 

I" Ecoles intermédiaires industrielles et écoles de métiers, qui prennent 
les élèves à leur sortie du (i'"^ degic. Les études malhénialiques propre- 
ment dites y jouent un rôle plutôt effacé. 

2" Ecoles de métiers publiques et privées. 

."i" Ecoles techniques. Leur programme mathématicpie compoi'le les t'-tudo 
iK'cessaires au futur contremaître ou mécanicien-chef. 

V' Ecoles d apprentissage. L'enseignement théorit|ue y est étioitement li<' 
à la pratique. 

.')" Renies du soir. 



'2\0 yOTES ET DOCUMENTS 

6'^ Ecoles coniplémoiitaiies. 

7" Ecoles de métiers pour races de couleur. L'arilliniétiijue, l'algèbre et 
la géométrie y sont enseit^nées. 

8" Ecoles par corres])Oi)dance. 

Deux sous-comités étudient plus spécialement : l'un, les classes indus- 
trielles des écoles publiques, l'autre, celles des écoles privées ou corpora- 
tives. Dans ces classes on tend de plus en plus à obtenir la fusion des ma- 
lliématiques théoriciues et des travaux manuels et industriels. 

Ou est en général d'accord pour taire précéder renseignement de la géo- 
métrie déductive par l'algèbre, et l'algèbre par de la géométrie intuitive. 
Le programme d'arithmétique, d algèbre, de géométrie et de trigonométrie 
des écoles privées et corporatives est en général sensiblement le même que 
celui des écoles ordinaires. 

Un troisième sous-comilé rapporte sur la question de la prépaiation des 
maîtres de matJiématiques des écoles de métiers et des écoles industiielles. 
Les écoles normales ont toutes des cours de mathématiques appliquées, et 
presque toutes des cours de mathématiques théoriques. L'opinion la plus 
répandue est que pour le moment, après lacquisition d'une première base 
théorique, la meilleure préparation des maîtres s'obtient par plusieurs an- 
nées de pratique dans l'application des niathémaliques aux problèmes qui 
se présentent à 1 atelier. 

R. Masson ( Genève I. 

ILES BRITANNIQUES 

N" 6. — La corrélation de la géométrie pratique élémentaire 
et de la géographie. 

The Corrélation of Eleinentary Practical Geometry and Geography '. by 
-Miss Heleu Bartka,m, Head Mistress of the (London) Couuty Secondary 
School. St-Pancras. — La géométrie pratique étant devenue une partie si 
importante des mathématiques élémentaires dans les écoles élémentaires et 
moyennes, il est intéressant d'en étudier les rapports avec les autres 
branches du programme. Dans ce rapport, l'auleur étudie comment cette 
géométrie élémentaire peut servir de base à l'enseiguemenl de la géogra- 
phie sfientifique ([u on peut introduire à l'i'cole pour élèves de douze ans et 
demi environ. 

Mesure de lignes. Dès (jue la notion d'unité de longueur est connue, on 
peut l'utiliser à la mesure de la dislance entre deux villes sur une carte. On 
arrivera le plus rapidement possible à 1 idée de l'échelle et par suite à la 
détermination de la dislance réelle. L'utilisalion des horaires de chemin de 
fer présentera aussi un <'('i-laiii inlérél pour la vérification aj)proximati\i' 
des résultats. 

C'est aussi le moment d'apprendre aux élèves à évaluer grossièrement 
une longueur donnée, par exemple en connaissant la longueui" de leurs pas. 
ou en se servant d'autres moyens de comparaison. On leur fera mesurer la 
plus courte dislance de deux points d'une sphère à 1 aide d'un fil tendu et 
on leui- expliquera pourquoi un vaisseau ne suit ])as toujours cette ligne de 



' 8 pages: |)iix : 1 peiiiiy. Wvmiin iS; Sons. Londres. 



.\ () T E S E T I) <: U M K N T S 2 '* 1 

plus courte distance, lis pourront enfin <ii''lermincr la longueur d une ligne 
• onrbe et irrégulière quelconcpie à l'aitie diine roue traçant le conloni- |lra- 
ling wlieel), ils se rendront compte ainsi de la longueur de l'rontièie on de 
côte d'un pays. 

Mesure des angles. On étudiera les divisions de la boussoh- à 1 aide d un 
rapporteur en carton construit par les élèves eux-niènies. On pourra leur 
faire conslrnire une boussole en carton à l'aide de laquelle ils auront à dé- 
terminer les directions suivies pour aller de la maison à l'école ou inverse_- 
nient. 

Construction de cartes. Dès que lévaluation des longueurs et des angles 
est bien comprise, on peut l'appliquer à la construction de cartes, très 
simples d'abord. L élève apprendra à déterminer la direction du sud, soit 
eu trouvant la position du soleil à midi, soit à 1 aide de la boussole marine. 
]i.n se plaçant ensuite dans un endroit élevé et horizontal, il pourra dresser 
une carte, ou plutôt un panorama des objets environnants, en ne s'occupant 
que des directions. 

Comme exemple de combinaison de mesures linéaires et angulaires, le 
dessin à l'échelle de la classe ou du lieu de récréation est tout indiqué. On 
insistera sur le tait que la réduction à l'échelle ne modifie pas les angles. 
On pourra également introduii-e d'autres méthodes de construction de cartes 
(triangulation, arpentage) et imaginer des problèmes variés sur ce sujet. La 
flirection du vent offre une nouvelle application des mesures angulaires. Au 
besoin les élèves pourront eux-mêmes construire une girouette. Signalons 
encore la détermination dos hauteurs à l'aide d une base et d'un angle d élé- 
vation. 

Pente. On expliquera la notion de pente aux élèves qui pourront, à l'aide 
d'un simple clinomètre en carton, construit par eux-mèuies. déterminer la 
pente des routes voisines. 

Lignes de contour. Sachant déterminer les pentes, ils seront plus à même 
<l apprécier la signification des lignes de contour sur une carte, llspouirout 
représenter une coupe de terrain en utilisant, comme on le fait généra- 
lement, des échelles différentes pour les distances verticales et horizontales : 
il est bon aussi de dessiner la pente réelle, pour une partie de la coupe, 
poui- en avoir une idée correcte. 

Construction de cartes à l'aide des omhres. On peut considéier la j)Osiliou 
«lobjets sur la terre relativement au soleil. Par exemph.', la direction sui- 
vant laquelle un observateui' se déplace à midi peut être détei-minée par 
1 angle que forme cette direction avec celle de son ombre. On pourra donc 
faiie une carte du chemin parcouru par 1 observateui" tu se basant sui- les 
n)odifications apparentes de la dii-ectiou de l'ombre et en prenant comme 
unité de distance la longueur du pas. Jusqu à prést.-nt il a été tenu compte 
uniijuement de la direction de l'ombre : 1 opération suivante consistera à 
montrer comment la longueur de l'ombre varie avec la longueur de I objet 
et aussi avec la hauteur du soleil au-dessus de l'horizon. Les élèves poni'- 
rout alors calculer la hauteur d'objets inaccessibles par l'observation de la 
longueur de leurs ombres. On mesurera (Il la longueur de l'ombie d un 
bâton d un mètre toutes les demi-heuies dans une même journée, (2) la lon- 
gueur dé l'ombie à niitii pendant une année : les graphiques correspondants 
occasionneront d utiles observations sur les jours et les nuits et sur les 
saisons. 

Aires, l'n jjapier quadrillé', chaque carré représentant une unité He siir- 

I.'F.nseigneinent mathéin., l^'annnc; 1912 1~ 



242 N O I K S E T 1) O C LM E N JS 

lace, poiiiiii servir à csliiiier trrossièremenl la superficie d un pays, ou 
mieux, à couiparer les superlîcies de deux pays représentés à la même 
éciielle. On fera remarquer que lorsqu'on réduit 1 unité de longueur à sa 
dixième partie, par exemple, l'unité de surface est réduite à sa centième 
partie. 

Géoiiiélrie sphériqiie. Des considérations sur les propriétés des cercles 
j)euvent être déduites de l'observation d Une spiière. On peut faire consiruire 
aux élèves un modèle comprenant le cercle de léquateur et un certain nombi-c 
de cercles méridiens, le tout lîxé et donnant lapparence d'une sphère. On 
pourra y joindre les cercles des tropiques et les cercles polaires. 

Latitude et longitude. Le modèle en question pourra servir avantageuse- 
ment pour expliquer les termes de latitude et longitude. On remaïqnera 
que la longueur à parcourir sur la terre, parallèlement à l'équateur, pour 
que la longitude varie de un degré, décroît lorsqu'on se rapproche des 
pôles, tandis que la longueur dont on doit se déplacer le long d'un méridien 
pour que la latitude varie de un degré est constante (si l'on ne tient pas 
compte de l'aplatissement des pôles). Ces longueurs peuvent être mesurées 
approximativement en utilisant le grand globe de la classe. On déterminera 
ensuite la position d'un point de la terre par sa latitude et sa longitude. 
On expliquera plus aisément par une expérience concrète la rotation de la 
terre sur elle-même et sa révolution autour du soleil ainsi que toutes les 
conséquences qui en résultent relativement aux saisons, aux jours et aux 
nuits, aux heures des diflérents points du globe, etc. 

N'j 7. — L'enseignement de la mécanique élémentaire. 

The Teaching of Elementavy Meiiianics\ by Mr. U'. ï). I^kiar. Assistant 
.Master at Eton Collège. — Pendant longtemps les côtés ]Sratique et théo- 
rique de la mécanique se sont développés indépendamment l'un de l'autre. 
Ils ne se sont réunis que récemment, et c est à cette réunion qu'est due 
l'importance croissante de la mécanique considérée comme branche scolaire. 

La préparation des ingénieurs se tait dans les collèges d'ingénieurs (En- 
gineering Collèges) et les écoles techniques (Technical Institutions), mais 
beaucoup de ces établissements exigent un examen d entrée comprenant 
entre autres la mécanique élémentaii-e. 

L enseignement pratique de la mécanique dans les écoles est de création 
presque entièrement nouvelle. Actuellement ou trouve des laboratoires de 
physique dans un grand nombre d'écoles, et l'on y |)rati<]ue également un 
peu de mécanique. Mais, même à l'heure qu'il est. il y a très peu de rela- 
tions entre l'enseignement de la mécanique pratique et celui des mathéma- 
tiques. Dans la grande majorité des écoles-, la mécanique est enseigner 
par le maître de mathématiques, comme une partie du programme des ma- 
thématiques. Aucuiuf expérience n est faite, et les difficultés pratiques ne 
sont que très rarement mentionnées. Le maître de sciences est obligé d'or- 
ganiser un cours rapide de mécanique praticjne pour les plus jeunes de ses 
élèves afin qu'ils soient à même de le comprcndi-e dans ses auties leçons. 



' 13 p. ; prix : 1 penny. 

' The Corrélation of MatlieniJilical nnd Sciences Teachinj;. Heport oC a .loint Committee of 
tho .Mathcmatical As^^ociatiun and tlie Association of Public School Science Masters. (London, 
Ct. Bell and Sons, 1909.1 



NOTES ET DOCUMENT S 24:{ 

Los principaux (léfavils de cette organisation sont les suivants : 

1. Le cours très rapide de statiijue piatique que le maître de physique 
doit donner coiniiie préparation à l'étude du magnétisme et de lélectricité 
n a aucune relation avec renseignement des mathématicjues. 

2. Non seulement les élèves en mathématiques ne participent souvent 
même pas à ce cours rapide, mais ils n'ont que peu d'occasions d élargir 
leurs connaissances pratiques dans les domaines plus avancés de la méca- 
nique. 

La question de savoir si la mécanique doit être considérée comme une 
partie des mathématiques ou comme une partie de la physique ne rentre pas 
dans le cadre du présent rapport. Au Central Technical Collège, établisse- 
ment servant à la pr'éparation des ingénieurs, le laboratoire de mécanique 
est placé sous le contrôle direct du professeur de mathémati(|ues ; il est 
complètement séparé des laboratoires d ingénieurs que les étudiants suivent 
plus tard. 

Avant de considérer les « publie schools « proprement dites, citons encore 
les « Naval Collèges » à Osborn et Dartmouth poui- élèves de 12 Y2 à 
16 '/2 ans, se destinant à la carrière d'officiers de marine. A Osborne où se 
passent les deux premières années, les cadets commencent la trigonométrie 
et ont un cours de statique pratique suivi d'une étude théorique plus détaillée 
du sujet. A Dartmouth, pendant la seconde période de deu.x ans, les élèves 
suivent un cours plus complet de statique suivi de la cinématique, le tout 
étTjdié inductivement et expérimentalement. Le travail expérimental sert tou- 
jours de préliminaire à létude théorique. 

Dans les écoles publiques ou secondaires, exception faite du cours rapide 
«lont il a été déjà question, la mécanique ne fait pas partie de l'éducation 
générale de tous les élèves. Cela s explique par le fait que les mathéma- 
tiques ne sont généralement pas poussées jusqu'au point où la mécanique 
est habituellement introduite. Pour que cette branche trouve sa place dans 
les plans d'études, il serait nécessaire de modifier le programme de mathé- 
matiques, simplifier entre autres considérablement l'algèbre et introduire 
les éléments de trigonométrie. Il faudrait ensuite examiner les questions 
suivantes : 1° A quel âge le sujet doit-il être abordé .' 2" Quelles sont les 
relations à la trigonométrie .' 3° Doit-on commencer par la stati(jue ou la 
«inématique ;' 't" Quelle est la quantité de travail pratique désirable au 
point de vue mathémati()ue ? 5" La nécessité d'un laboratoire. 

Nous pourrons diviser les élèves en deux catégories : 1. ceux qui ont une 
tournure d'esprit prati(|ue' sans avoir de capacités spéciales eu mathéma- 
li(|ncs ; 2. ceux qui ont de la facilité poui" les malhématii[ues. La première 
partie de la discussion qui suit s adresse plus spécialement à la première 
catégorie. 

Le cours de physi([ue élémentaire comprend généralement la chaleur, la 
lumière, le magnétisme et l'électricité. Les deux premiers chapitres peuvent 
se passer de la mécanique, mais pas les deux derniers. Il est donc néces- 
saire qu'un cours élémentaire de mécani(iue pratique soit donné avant d'étu- 
<lier le magnétisme et l'électricité. Mais il vaudrait mieux que ce cours fût 
<lirigé par le maître de mathématiques ou en tout cas avec son concours, 
afin qu'il serve de base au cours de mécanique pratique proprement dit qui 
se donne plus tard. 

Il est, semble-l-il. préférable de débulti- par la stati(|ue plutôt que par la 
«inématique. C est du reste Tordre généralement ^.tlivi On commence habituel- 



244 ,V O TE S E T D () C U MENT S 

Icment par la vt'rilicalion du par:illélogr;iiiime des J'orces, l'élude du Iriaiitjle, 
du polygone des Torces et de la loi des moments. Or, il serait préférable de 
débuter par de simples expériences sur la transmissibilité des forces, sur la 
façon dont on peut les mesurer, sur les tensions et les pressions à l'aide de 
lessorts et de balances à ressort. Des expériences devraient être faites éga- 
lement sur le principe de I action et de la réaction, sur la tension des fils, 
etc. C est surtout à propos de la théorie des moments que le travail pra- 
tique est d une grande importance. De nombreux exercices sont à faire sur 
les leviers et sur les diverses conditions d'équilibre des corps. Selon 1 opi- 
nion de l'auteur, l'étude des forces parallèles devrait suivre celle des mo- 
ments. 

Des expériences directes sur le frottement ne sont pas très avantageuses. 
Au lieu de létudier à 1 aide d'un poids et d'un Hl passant sur une poulie, il 
est préférable de se servir d'une balance à ressort. Mais les exercices sur les 
machines simples sei'ont toujours d un intérêt plus léel pour les débutants 
et leur fourniront une conception claire de la notion de travail. La did'érence 
entre le travail théorique et le travail réel donne le travail perdu grâce au 
frottement. Les expériences rendront compte également de riuigmenlalion 
(lu Iroltemenl avec la charge de la machine. 

En cinématique, si l'on veut suivre 1 ordre historique, on débutera par les 
e.vjjériences de Galilée au moyen du plan incliné. Il faut que l'élève se fasse 
une idée claire des mots espace, vitesse, accélération, il a souvent beaucoup 
de peine à réaliser que ces grandeurs sont mesurées à l'aide d'unités dillé- 
renles. La notion de vitesse à un instant donné se prête particulièrement 
bien à l'introduction du calcul dill'érentiel. Vient ensuite la notion d'accélé- 
ration ou de changement de vitesse qui fournira l'occasion de nombreux 
exercices à l'aide de papier quadrillé. L'étude des accélérations produites 
par les forces peut se faire facilement à l'aide d'un appareil inventé par 
.M. VV.-C. Fletcher. Une bande d'acier- maintenue à l'une de ses extrémités 
est mise eu vibration, et les oscillations sont enregistrées sur une bande de 
papier mise en mouvement par le moyen d une certaine force. Les vibrations 
enregistrées seront plus ou moins espacées suivant la vitesse de la bande 
fie papier, et il sera facile d étudier les lois concernant les forces et les ac- 
célérations correspondantes. Citons encoie les expériences sur les moments 
et les moments angulaires, la transformation de lénergie potentielle eu 
énergie cinétique, l'énergie d'un volant, le mouvement harmonique simple 
illustré par les oscillations d'un ressort spiral, le pendule, le module de 
Voung, le module de torsion, etc. 

Le temps qui doit être consacré aux exercices pratiques varie suivant les 
élèves. Les bons mathématiciens saisiront plus rapidement la jjortée îles 
expériences que les élèves peu doués en mathématiques. 

En ce qui concerne la question du laboratoire, remarquons que la démons- 
tration de la plupart des expériences citées peut se faire dans la salle de 
classe habituelle, et que les appareils nécessaires peuvent y trouver place 
facilement. Cependant, pour les classes nombreuses, un laboratoire spécial 
est de toute nécessité. Les dépenses ([u exigerait son installation constituent 
pour beaucoup une sérieuse objection ; mais il ne faut pas oublier qu un bon 
appareil de mécanique dure très longtemps et que son entretien est lort peu 
coûteux. 



N () T K S F. T l)()( r M K NT S 2 'tô 



N" 8. — Géométrie pour ingénieurs 

Geometry for Ingeneers ' by I). A. Low, Professor of Engineering^ at tlie 
lîast London Collège (University of London). — J^a géométrie est poui- les 
ingénieurs une des branches les plus importautes des mathén)ati(|ues. Elle 
constitue en effet la base du dessin mécanique sans le(juel les grandes 
entreprises des ingénieurs ne pourraient être réalisées. Il est donc intéres- 
sant de se demander quels sont les chapitres de la géométrie qui concernent 
plus spécialement les étudiants qui se destinent à cette carrière, et comment 
cet enseignement doit leur être présenté. 

Insistons tout d abord sur 1 importance du dessin mécanique qui devrait 
accompagner dès le début 1 élude des principes géométriques. Par dessin 
mécanique nous n'enlendons pas dessin de machine, mais dessin de ligures 
géométriques et la résolution de problèmes de géométrie sur le papier, à 
laide des insiruments. Il est nécessaire d'exiger dès le début, la plus 
grande exactitude possible ; létudiant s'exercera tout d'abord à de nom- 
breu.x exemples très simples au point de vue géométrique, ayant unique- 
ment pour but de développer son habileté dans le maniement des instru- 
raenls. Ces exercices. 1" lui serviront de préparation à ses futurs dessins 
d'ingénieur. 2" le familiaiiseront avec d'importantes propositions de géo- 
niétrie. '•i'^ le rendront capable de vérifier certaines propositions qu'il n'a 
peut-être pas le temps ou la capacité de démontrer rigoureusement par un 
raisonnement déduclif. 

A propos de l'enseignement de la géométrie éléme7ilaire. l'auteur recom- 
mande aux maîtres de lire soigneusement la « Circular 711 » du Board of 
Education, intitulée « Teaching of Geometry and Graphie Algehra in Secon- 
(lary Schools » et reproduite dans \ Enseignement mathématiqite (N" du 
lô mai. 1910, p, 238-253). Les propositions qui y sont faites sont excellentes 

L auteur insiste sur l'importance que présente la résolution des problè- 
mes de géométrie. C'est un genre d'exercices très avantageux pour dévelop- 
per les facultés inventives des étudiants ; les démonstrations devront être 
ciinfirmées autant que possible graphiquement et les principes de géomé- 
trie tiouveront de nombreuses applications. 

A partir du cinquième livre d'Euclide. on ne devrait pas exiger la 
démonstration rigoureuse ,de toutes les propositions qui interviennent : en 
tous cas ces démonstrations devront être abrégées autant que possible, 
quelquefois même, il sera suffisant de se borner à une vérification giaphi- 
q'.ie. Il serait bon d introduire aussi rarithmétiquo gi-aphique, comprenant 
1 addition, la soustraction, les proportions, la tnulliplicatioii. la division et 
les racines carrées. 

De nombreux problèmes de géométrie peuvent se i-ésoudre aisément à 
laide de lieux géométriques. Ce procédé peut être plus rapide et tout aussi 
exact qu'une résolution directe. Dans certains cas. l'usage du papier à 
calquer est tout indiqué. Cette méthode présente un intérêt tout particulier 
pour l'ingénieur, car elle est rapide et évite l'emploi d'un grand nombre de 
lignes de construction qui rendent souvent la figure confuse. On IHtilisera 



' 1") p.. Prix : 1 ' 2 (I. ; \\'vman A: Sons. Londres. 



2 46 iV O TE S ET DOC U ME N T S 

par exemple pour le tracé des roulettes (cycloïde, hypocycloulo, épicycloïde. 
développante de cercle) si important pour les ingénieurs. 

On introduira de bonne heure les principes et les méthodes de la géomé- 
trie vectorielle qui s'appliqueront aux problèmes de cinématique et de 
statique. 

Insistons également sur l'étude géométrique des sections coniques qui 
fournira de nombreuses applications au dessin géométrique | construction 
d une conique connaissant le loyer, la directrice et l'excentricité). L élude 
systématique des propi'iétés des coniques pourra se faire comme suit . 
Propriétés généiales des coniques. Propriétés de la parabole. Construction 
de la parabole. Propriétés générales des coni(|ues à centre. Propriétés de 
1 ellipse. Construction de lellipse. Propriétés de 1 hyperbole. Construction 
de l'hyperbole. Centre de courbure en un point d'une conique. Développées 
des coniques. Pour l'étudiant ingénieur il suffira de ne considérer que les 
théorèmes les plus importants. Certaines propriétés de l'ellipse se démon- 
ti-eront en considérant cette courbe comme projection d un cercle. 

L auteur estime que les théories projectives modernes (involulion. 
rapport anharmonique, etc.) n ont pas encore été mises sous une forme leur 
permettant de remplacer avantageusement une étude géométrique détaillée 
des coniques. 

Après les coniques, il serait intéressant de considérer brièvement les 
principales propriétés de diverses courbes planes (spirale d'Archimède. 
spirale logarithmique, chaînette, traclrice, etc.). 

Le cours de géométrie descriptive devrait débuter par les projections 
orthogonales de points et de lignes sur les deux plans de projection ihoii- 
zontal et vertical] et les problèmes qui s y rattachent. On passerait ensuit»? 
à la représentation des solides, en projections orthogonales d'abord, puis 
en projections obliques. Ce dernier procédé est spécialement important pour 
les ingénieurs et Ion devrait y insister davantage. 11 est inutile en général 
de s'arrêter aux démonstrations rigoureuses des théorèmes qui servent de 
base aux diverses constructions de la géométrie descriptive, mais il est 
essentiel néanmoins que ces principes soient bien compris. Les chapitres 
de celte branche qui présentent ensuite le plus d importance pour les ingé- 
nieurs sont les suivants : Sections de solides. Projection horizontale d une 
portion de la surface terrestre et problèmes de coupes et de terrassements. 
Génération de suifaces courbes. Plans tangents aux surfaces courbes. Déve- 
loppement de surfaces. Projection d hélices et de filets de vis. Intersection 
de surfaces. La perspective, la projection isométrique et la détermination 
des ombres sont moins iniportanles sauf à titi-e d'applications des principes 
et méthodes de la géométrie descriptive. Les exemples à traiter ne (K)ivent 
pas être de caractère essentiellement technique car avant de se spécialiser 
il est nécessaire de posséder une base générale suffisante. 

I]n terminant. 1 auteur insiste sur limportance du dessin mécani(|uc dans 
1 étude de la géométrie. II reconnaît du reste que de louables efforts ont 
été faits dans ce sens, spécialement par le Board of Education. 



N» 9. — Ecoles secondaires de jeunes filles 

The organisation of the Teaching of Mathemalics in Public Secondan 
Schools for Girls^. by Miss Louisa Story, Hcadmistress of the Hoyal School, 



.V () r E s ET nor U M e n t s 247 

lîatli. — En 1867 parut un rapport de la Schools' Inquiiy Commission con- 
ilaninant la siiperJicialité et l'insudisancc de l'édncation dans les écoles de 
filles. 11 en résulta, quatre ans plus tard, la fondation de la « National 
l nion l'or iniprovin^ tlie Education of Woiiien of ail Classes » qui organisa, 
I année suivante, la Girls' Public Day School Company. Pour la première 
lois les mathématiques turent reconnues comme sujet d'étude dans le 
|)rogramme des écoles de filles, à commencer par les Higli Schools qui se 
développèrent rapidement dans tout le royaume, grâce à lactivité de cette 
société. 

Tout d'abord les difficultés furent nombreuses, étant donné lincapaciti- 
des maîtres ; du reste le champ d'études était très peu considérable : une 
teinture d'arithmétique et d'algèbre et quelques livres d'Euclide appris plus 
ou moins par cœur. 

A l'heure actuelle, les mathématiques sont enseignées, d'une manière 
remarquablement uniforme en ce qui concerne les programmes et les 
méthodes, dans toutes les écoles secondaires publiques de jeunes filles et 
dans les meilleures écoles privées. 

Pour obtenir des renseignements concernant le présent rapport, des cir- 
culaires furent envoyées aux directrices de 275 écoles. 180 réponses furent 
l'etournées, renfermant d utiles informations. 

Les écoles secondaires de filles adoptent en géuéi-a! la classification 
suivante : 

(Classes préparatoires (Kindergai'ten) pour enfants de 5 à 7 ou 8 ans 

Form l y » 7 ou 8 — 10 

Eorm 11 „ „ 10 — 12 

Form 111 pour filles de 12 — 14 

Form IV ,, » 14 — 15 "'/2 

Form V n I) 15^2 — 17 

Form VI „ „ 17 ' _ 19 

Dans la majorité des écoles, chacjue classe est sous la surveillance 
spéciale d'une maîtresse de classe iForm-mistress) qui enseigne dans sa 
pi'Opre classe un certain nombre de branches et dans d'autres classes le 
sujet qui constitue sa sjiécialité. 

Dans les 180 écoles qui ont envoyé des réponses aux circulaires, on ne 
compte pas moins de 681 maîtresses enseignant les matliématit|ues. Dans 
chaque école, la principale maîtresse dans celte branche (Senior Mathenia- 
tical Mistress) est chargée de renseignement des classes supérieures, 
i[uelqnefois aussi des débutants ; elle doit surveiller également l'enseigne- 
ment mathématique de toute l'école et possède un ceitificat de hautes 
études. 

Dans la grande majorité de ces écoles (98 "0), le champ d études coi-res- 
pond à celui (|ui est exigé à l'entrée de l'université (MatriculationI et 
comprend : l'arilhmélique généi-ale ; l'algèbre, comprenant les équations du 
premier et du second degré à une ou deux inconnues, les rajjports et les 
proportions, les i-ègles élémentaires concernant les puissances, et les pro- 
gressions ; les livres I à IV d'Euclide d'après les méthodes modernes. 
8 4 ",'0 des «'coles di-passent ce programme (logarithmes, binôme, lùiclide ^l 



IT p. : 1 'jd.; Wyiuoiiii \ Sons. Liindic' 



2'»8 iV O TE S E r 1) O C V ME .V TS 

et XI 1-21. tritconomctrii' éléinenlairel. lu pclit iiijmhre vont encore plus 
loin |niatiiéni;Miques appliquées (statique, dynamique, liy<li"Ostalique), eoor- 
(lonnées ijéogiaphiques, çéoniëtfie plane moderne, sections coniques, el à 
loccasion les éléments du calcul didércutiel el intégral], mais c'est 
1 exception. 

I/époque oii l'on commence les mathématiques proprement dites id antres 
branches que 1 arithmétique I diffère suivant les écoles. Dans la majorité 
c est dans la Form III. A pai-tir de cette époque, 1 arithméliciue, 1 algé})re 
et la géométrie sont enseignées simultanément et non pas consécutivement 
comnit! en Améiique. et récemment des tentatives de fusionnement des trois 
branches ont été faites. 

L arithmétique est enseignée dès les premières classes jusqu'il la Form V 
intérieure en tous cas. Quelques écoles l'abandonnent dans la Form V 
supérieure, mais la majoiité la maintiennent jusqu à la Form VI. Pour 
l'entrée à Cambridge et à Oxford, un des examens est encore spécialement 
réservé à I arithmétique, cela expliqvie on partie le grand nombre d'années 
dévolues à I arithmétique dans les écoles anglaises. L'ne antre raison, c est 
la grande complication du système des poids et mesures. On pourrait éco- 
nomiser deux années d étude en adoptant le système métrique quon ensei- 
gne du reste, à l'heure qu il est, en plus du système anglais. Une autre 
((uestion à l'ordre du jour, c'est celle de larithmélique commerciale ; bien 
des maîtres estiment que nombre de chapitres présentant un caractère 
|3ureinent commercial devraient être éliminés du progi'amme. De grands pro- 
grès ont été réalisés dernièrement dans les méthodes de l'enseignement des 
fractions décimales ; signalons aussi 1 introduction déjà dans les classes 
inférieures des méthodes abrégées donnant des résultats approximatifs. On 
peut se demander cependant s'il ne serait pas plus simple, dans le cas 
d'opérations compliquées, d'introduire l'usage des logarithmes à 4 décimales. 

Vax ce qui concerne l'algèbre, il faut reconnaître que beaucoup de temps 
est consacré à l'étude de sujets qui n'ont de lintérêl que pour le futur 
mathématicien, mais qu'il faudrait laisser de côté lorsqu il s agit de cultuif 
générale [facteurs et fractions de certains types inusités, racines (excepté 
lévaluation des racines arithmétiques), imaginaires, trinôme du second 
degré]. Par contre certains côtés présentant une plus granfle valeur éduca- 
tive pourraient être développés (mécanique, mesure, stéréométrie, calcul 
inliiiitésimal, trigonométrie numérique). Les méthodes graphiques sont 
actuellement d'un usage continuel dans les écoles de filles. P»emarquons 
enfin les progrès réalisés par certains manuels dans le choix de leurs exer- 
cices ([ui sont moins artificiels et plus pratiques. 

V.n géométrie, le mouvement eu faveur de l'abandon des méthodes pure- 
ment eticlidiennes n'a commencé que depuis une quinzaine d'années. Dans 
un grand nombre d'écoles, la première année de géométrie (généralement 
la Form III) consiste en un travail pratique conduisant à la découverte des 
principales vérités géométriques. Conformément à certaines idées émises 
par le Board of Education, on a essayé dans quelques écoles de commencer 
la géométrie théorique en établis.sant les propositions fondamentales et en 
les appliquant à de nombreux exercices. On n'envisage pas les démonstra- 
tions rigoureuses qui sont déplacées lorsqu il s'agit de débutants. Il n'est 
pas encore possible de juger de l'eflicacilé de cette méthode qui n'en est 
qu'à sa période expérimentale. 

Dans ipielques écoles la trigonométrie est commencée dans la Form \ 



.V T E S E r DOC U M E A' T S 1 \ 9 

stipôrit'uro. mais dans hi inajorilt- elle n'apparail ((lie dans la l'f>nn VI on 
est même complètement exclue du j>roe;ramme. 

Quelques écoles enseignent également les matliéniaticjnes appliquées. 
«|uelques-unes ont même un laboratoire à leur disposition. 

Au sujet de la corrélation des matliéniatiqnes avec d'autres blanches, on 
trouvera d intéressantes propositions dans un rapport du « Joint Comniittee of 
ihe Mathematical Association and tbe Association of Public School Scienci- 
Masters m intitulé « Tlie Corrélation of Mathemalical and Science Tea- 
cfiing ». 

I.,e système des e.xamens est assez compliqué. On peut cepandant adoplei- 
approximativement la classification suivante : 1. E.xamens scolaires qui ont 
lieu à certains intervalles durant la période scolaire. 2. Examens d'entrée 
aux universités. 3. Scholarsliips et autres examens plus avancés. 

Il ne nous est pas possible, dans ce bref résumé, d'entrer dans les détails 
concernant ces divers examens. Constatons simplement qu'une simplifica- 
tion du système complet s'impose et qu'il reste encore bien à faire poui- 
placer l'enseignement malliénialiipie sur une meilleui-e base pédagogique. 

J.-P. Df.MiR (Genève). 



ITALIE 

L'enseignement mathématique dans les Ecoles classiques. 

I. - — Les différents progiaiumes de l^lil ti UHO. 

I. insegnainento délia matematicn nelle scuole classiche. Relazione di 
î.'. S(:.\RPis, prof, nel R. Liceo Mingbetti di Bologna. — C'est en 1867 que 
furent publiés poui' la première fois des règlements applicables à toutes les 
écoles d'Italie, et des programmes pour toutes les branches d enseignement. 

Dans les programmes de mathématiques on reconnaît immédialemenl l'es- 
prit clair et profond de Belti et de Brioschi. 

Ils font commencer l'étude des mathématiques au 5« cours de gymnase 
par le l*"" livre d Euclide et l'arithmétique rationnelle des nombres entiers 
et des fractions avec un horaire de 5 heures par semaine. 

Le l<î'' cours de lycée avec 6 heures hebdomadaires comporte les 2"^ et 3^ 
livres d'Euclide, la théorie de la racine cairée et les nombres incommensu- 
rables puis les élén)euts de lalgèbre, jusiju au calcul des radicaux. 

Au cours suivant il s agit d étudier à raison de 7 heures et demie par se- 
maine les livres 4', 5«, 6"=, 11« et 12» d'Euclide. et la théorie de la mesure. 
Les proportions, les équations du l*"" et du 2'' degré, les progressions, 
enfin les éléments de trigonométrie. 

Les inconvénients de cette curieuse répartition des études de mathéma- 
tiques dans trois seulement des huit cours classiques se révélèrent bien vite. 
En I8()9 déjà on recommande d'introduire au 'M cours du lycée des heures 
supplémentaires de mathématiques. 

Le nouvel horaire de 1870 introduit une heure d'arithmétique pratique 
dans chacun des 3 cours du gymnase inférieur, et 3 heures dans les 2 cours 
supérieurs. En 2" cours du lycée il n'y a plus que 6 heures, mais le 3*' cours 
se voit attribuer 1 h. et demie pour permettre des exercices de récapitula- 



250 



.V O TE S ET DOC UMEN TS 



lion. Les 6 premiers livres <1 Euclide restent obligatoires, mais il devient 
facultatif de recourir à un auteur moderne pour la stéréométrie. 

Les e.\amens de mathématiques comprenant une partie orale et une partie 
écrite deviennent obligatoires pour chaque élève dans les 8 cours d'études, 
le choix du sujet est laissé aux maîtres pour les examens de promotions, 
mais le Ministore de l'Instruction l'impose pour l'examen final de licenza 
liceale. 

[^'insulfisance de l'enseignement au gymnase inférieur rendait la tâche 
bien difficile aux maîtres du gymnase supérieur et du lycée qui considé- 
raient le thème de l'examen tinal comme une épée de Damoclès. Les choses 
marchèrent cependant sans trop fortes secousses jusqu en 1878. 

Le sujet de l'examen linal, session de juillet, ayant été : 

«Trouver la relation qui doit exister entre p, q . p^, q^. pour que les 
2 équations .\* -{- p.t-\- q =. et x* + p^x -\- q^^ d aient une racine 
commune », il eu résulta une véritable débâcle ; dans certaines villes, aucun 
landidat ne fut reçu ! 

La presse s'émut, le Parlement entendit des échos de l'aventure et en 
avril 1879 le ministre Coppino charge une commission spéciale de présenter 
des propositions susceptibles d'obvier aux inconvénients constatés -sans di- 
minuer limportance des mathématiques dans renseignement des lycées. 

Après la chute du ministre Coppino et avec l'arrivée au pouvoir de son 
successeur Baccelli, commence une période où les mathématiques perdent 
«le leur importance dans les écoles classiques. 

Le ministre Baccelli introduit la géométrie intuitive et le ilessin géomé- 
Iriijue au gymnase inférieur, ne laissant que 1 arithmétique pratique au gym- 
nase supérieur. Il restreint les programmes du lycée et introduit l'horaire 
suivant : gymnase inférieur 2 heures, gymnase supérieur 1 heure et au lycée 
l»"" cours 5 heures, 2^ cours 4 heures et o« cours o heures par semaine. 

Plus d'épreuve écrite aux examens de promotions, et le sujet de 1 examen 
iinal n'est plus imposé par le Ministère, mais improvisé, quelques minutes 
avant la séance, par le maître en présence de toute la commission sur un 
sujet qu on détermine en ouvrant un livre au hasard ! 

Les résultats de ce système no furent pas heureux. La commission !«upé- 
rieure pour l'examen des travatix écrits émet chaque année de nouvelles 
plaintes. 

Un nouveau règlement vient en 188'! donner le droit au Ministère de rem- 
placer l'épreuve écrite de mathématique par un travail de physique ou do 
(|nol(|ue autre science, mais les rapports ne cessent d être lamentables. 

\\.n 1888 le Ministre donne aux candidats le droit de choisir entre une 
(•pi'euve écrite de grec ou une de mathématique. L'horaire est du même 
coup réduit à 2 heures par semaine au gymnase et 3 heures au lycée. 

Les candidats qui, durant les années suivantes, optent pour l'examen de 
mathématique, sont très peu nombreux lenviron 10 "/ol. mais les examens 
sont plus satisfaisants que |)ar le passé. 

En J889 la commission supérieure, constatant la déchéance où labsenco 
de sanction menace de jeter renseignement des mathématiques, conjure les 
autorités d'introduire de nouveau un contrôle suffisant sous forme d examens 
obligatoires, si bien qu'en 1892 le ministre Villari rétablit 1 éprouve écrite 
obligatoire. Mais l'année suivante déjà le ministre Martini la supprime dans 
tons les cours, restreint l'horaire et môme les programmes. 

Dos 189."{ ronsoignemenl des mathématiques dans toutes les écoles clas- 



NOTE S K T n () C U M ENTS 251 

siqut's décline, surlout lorsqu apparait une distinction entre matières d'en- 
seignement essentielles et secondaires qui place les mathématiques dans la 
2* catégorie. 

Le danger de ce lent travail de démolition suscita la société « Mathesis m. 
créée en 18y*i dans le but de défendre auprès du public renseignement ma- 
tliématiciue, mais il n'était plus possible de l'evenir à 1 ancien tilat de choses : 
de bons eflorts aboutirent à une modidcalion des programmes en 1901. 

Une partie du programme lycéen (l'équivalent des 4 premiei-s livres d Eu- 
clide) est avancé et prend place dans le programme du gymnase supérieur. 
Le l*^"" cours du lycée obtient 4 heures, le 2<^ cours 8 heures, le 3« cours 
2 heures par semaine. 

Les programmes lusionnent l'enst ignemeiit de la géométrie plane et de la 
stéréométrie. 

La situation ne se trouvait nullement améliorée lorsqu'en 190» sui-git à 
l'improviste le décret Orlando suivant lequel les élèves ont à opter entre le 
grec et les mathématiques à la (in de la l'* année de lycée. 

Nous voyons combien l'idée de l'efficacité éducative des mathématiques 
a perdu de terrain auprès des législateurs qui se sont succédés durant ces 
30 dernières années. 11 faut souhaiter que renseignement des mathéma- 
tiques réussisse à augmenter son prestige auprès du public en lui donnant 
la conviction de son utilité, non seulement pratique, mais surtout parce 
qu il donne une saine éducation philosophique capable de concilier les sen- 
timents les plus délicats de tolérance et les plus audacieuses aspirations 
<lu progrès. 

IL — Critiques et Propositions. 

f.'insegnamento délie Mateniatiche nelle scuola classiche. //. Critiche e 
pruposte. — ■ Relazione di G. Pazzari, prof, uel R. Liceo L'mberto I di 
Falermo. — Les maîtres enseignant les mathématiques dans les écoles 
moyennes ont constitué en 1895 la société Mathesis dans le but de perfec- 
tionner l'enseignement au point de vue scientifique et didactique ; son 
conseil directeur proposa au.\ membres diverses questions qui furent discu- 
tées en séances partielles dans différentes villes d'Italie et au congrès de 
Turin en 1898. 

Le ministre Gallo s'est adressé à la Mathesis au moment de déterminer 
les nouveaux programmes de mal ln'nialiijues, établis par décret d octobre 
190t). 

Ces programmes ajoutent, pour le gymnase inférieur, à l'arithmétique 
praticpie, quelques notions intuitives de géométrie et des éléments de dessin 
géométrique. Ils retardent la théorie des nombres premiers, de la divisibi- 
lité, des fractions périodiques du gymnase sujiérieur à la 3""' année de 
lycée, mais laissent en quatrième les opérations sur les nombres entiers, le 
plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple et, en cin- 
(|uième les fractions. 

L'enseignement de la géométrie rationnelle est attribué pour les trois 
premiers livres d'Euclide aux deux classes du gymnase supérieur, et poul- 
ie reste, dans les limites des- anciens prf)grammes aux deux premières 
classes du lycée. 

L algèbre est répartie entre les trois classes du lycée ; en o"'*" année on 
trouve les nombres irrationnels, les progressions, les logai-ithmes. 



252 NOTES ET DOC l MENES 

La trigonométrie rectiligne est enseignée en ;i"'* année. 

Ces progr-animes qui penvenl satisfair-e ceux qui considèrent renseigne- 
ment des nialliématiques dans les écoles classiques comme un moyen de 
culture générale, comme une gymnastique inleliecluelle ne permoticnl guère 
aux maîtres la vie dans renseigiicmenl eu inonlianl par de nombreuses 
applications que les mathématiques servent à d intéressantes recherches 
d ordre praticjue. 

Le pi'ofesseur Bkttazzi a exposé dans une note « l^es applications des 
uiaihématiques ' » quelques sujets qui pouri-aient être introduits à l'école, 
|jar exemple : Keprésentation graphique de nombres irrationnels. — Dévelop- 
pement de polyèdres ; — Réduction de dessins à des échelles données ; — 
Détermination de la hauteur d un édifice ; — Problèmes sur les cartes topo- 
graphiques, dislances, etc. ; — Usage du panfographe ; — Courbes repi'é- 
sentant graphiquement certains phénomènes, etc. 

Dans la pratique scolaire de grosses difiicultés s opposent à la réalisation 
de ces intentions intéressantes : les horaires trop restreints, la préparation 
insufiîsante des élèves qui en arrivant dans les classes supérieures ont trop 
oublié des connaissances acquises antérieurement, etc. 

Une des plus in)portantes d'entre les questions de méthode d!enseigne- 
ment soumises à la discussion de ses membres par la société Maihesis, est 
1 opportunité de la fusion de la géométrie élémentaire. 

Au congrès de Turin les membres convinrent d entendre par tusion la 
méthode didactique qui consiste à étudier simultanéncnt, dès le commence- 
ment, les question afilnes de la géométrie plane et de stéréométrie, pour 
appliquer ensuite les méthodes de l'une ou de 1 autre afin d'en tirer le plus 
d'avantages possible. 

Les professeurs secondaires se divisèrent en deux camps, pour et contre 
la fusion, malgré la défense enthousiaste du professeur De A.micis intitulée: 
Pro-fiisione. Le Congrès demanda que les programmes soient modifiés de 
manière à laisser aux maîtres le libre choix entre la méthode séparatiste et 
la méthode fusionuiste. 

Les programmes de 1900 permettent de suivre la méthode fusionnisfe dès 
la l""* année du lycée, c'est-à-dire après que les élèves aient étudié les trois 
pren)iers livres d Euclide, conformément à la méthode utilisée par Veronese 
dans ses Eléments de Géométrie. 

Au congrès de Livourne en 1901 la discussion se termina en proclamant 
la nécessité d introduire dans tous les examens une épreuve écrite de mathé- 
matique afin d'obtenir des élèves plus de travail et plus d'intérêt. Ce serait 
le moyen de mettre fin à rabaissement de niveau de la culture mathématique 
chez les jeunes gens qui passent des lycées aux facultés de sciences, abais- 
sement dénoncé de toutes parts, sans que les causes en soient bien 
comprises. 

I..e peu de profit que les élèves retirent de renseignement des mathémati- 
ques fut aussi le sujet de multiples discussions. 

Le Ministre Léonardo Bianchi comprit qu'on n'y pourrait pas remédier 
par quelques retouches de détail, mais qu'une réorganisation profonde de 
l'école moyenne s'imposait, il désigna en 1905 une commission d'hommes 
de lettres et de sciences pour étudiei- cette question. La commission a 
présenté son rapport, et c'est an Ministère et au Parlement que revient le 



1 I>>;/i.s-. iiialh. 2"" annre litOO, p. l'i-30 



y o T i: s K r u o c i m e n t s 25:i 

(Ifvoif ti en liior une létoiine ({iii l'iissc <ic I é( oie nioyeime un iiislinnicnt 
|(iiissaiil de ciillure et de progrès. 

Au coMu^i-ès de IN'aples de la société Matliesis en l'JOo le piolesseui- 
Enrico Nannki ii présenté un rapport sur les causes du peu de progrès des 
élèves en mathématiques. Il a dénoncé des causes générales, relatives à tous 
les enseignements : (trop grand nombre il'élèves dans les classes : — nom - 
bre d heures de leçons par jour trop élevé ; — vacances trop longues ; — 
changements trop fréquents des dispositions réglementaires ; — change-- 
menis de maîtres) ; — et des causes particulières, relatives seulement à 
l'enseignement des mathématiques : diUlculté particulière du sujet ; — 
répartition des ([uestions sans tenir compte du degré d'inlelligence des 
élèves, etc.|. 

Tandis que la société Mathesis s'efforçait d'améliorer refllcacité de ren- 
seignement mathématique dans les lycées, le décret de 1904 rendait cet 
enseignement facultatif dans les deux (dasses supérieures, où les élèves 
peuvent choisir entre grec et mathématiques. Le congrès de iMilan * se 
prononça sévèrement aii sujet de cette réforme. En 1906 les maîtres de 
113 lycées turent invités à exprimer leur avis à ce sujet : 13 se monti'èreiil 
favorables, 28 déclarèrent le temps d essai trop court jjoui- permettre un 
jugement, et 72 se prononcèrent contre l'option. 

Une question bien discutée par les membres de Matliesis est celle de 
choisir- la m(''thode la plus opportune pour inlrodtiire 1 étude des propor- 
tions. 

Les uns sont partisans de la méthode d'Euclide qui sans définir le rap- 
port de deux grandeurs homogènes, introduit le rapport comme notion 
nouvelle, indépendamment de la notion de nombre fractionnaire ou irration- 
nel. Les autres après avoir étudié la théorie des nombres irrationnels 
déduisent létude des proportions de la théorie de la mesure. 

M. le professeur I.^oria a répondu à quelques questions discutées dans 
\ Enseignement mathématit/ue^ et propose l'abolition de la méthode eucli- 
dienne. Le rapport se termine par quelques propositions que l'auteur croit 
susceptibles d améliorer la situation. Il demande d augmenter le nombre 
d'heures de mathématiques au gymnase, de supprimer les examens trimes- 
triels et de rétablir les examens de lin d'année, écrits et oraux. 

Il demande de commencer plus tôt l'étude des nombres fractionnaires, 
de la mesure des ligures pour qu il soit possible d'étudier abondamment la 
pioportionnalité en 2"'« et 3""^ année, ainsi (|ue le calcul avec un nombre 
déterminé de décimales exactes. 

Ii!n 4'"*= et 5""= année, en introduisant les (|uantilés négatives et le calcul 
littéral on mettrait les élèves en mesure de savoir résoudre les systèmes 
d'équations linéaires et l'équation du 2"'" degré à une inconnue. L'aritiimé- 
tique rationnelle serait retardée pour n'apparaître qu'au lycée, et ferait 
place aux arrangements, permutations, combinaisons, ce qui permettrait de 
développei" les puissances entières du binôme en l''^ du lycée. 

Au programme de géométrie du lycée il y aurait lieu d ajouter la théorie 
de 1 homofhétie, de l'inversion : — en S"'" année les éléments de la géomé- 
trie analytique cartésienne, la représentation graj)hique de fonctions. 

!•'. Chatei-ai.n (La Cliaux-de-Fonds). 



' Voir VEiis. math. '•<" anm-e, 10i>;> ; p. idO-'iOC. 
7"'« iinnéc. l'.Hi5. p. 11-2(1. 



BIBLIOGRAPHIE 



Hugo Broogi. — Versicherungsmathematik. Deutsche A'usgabe. — 1 vol. 
in-S", 360 j)., bi. : 7 Mk. : B. G. Tenbiiei', Leipzig. 

Nous avons déjà signalé, en 1908, la traduction française de ce traité des 
assurances sur la vie. L'édition allemande sera certainement la bienvenue 
dans un nouveau cercle de lecteurs et tout particulièrement dans l'enseigne- 
ment supérieur. Elle sera lue avec intérêt par les actuaires qui y trouveront 
des développements théoiiques présentés avec beaucoup de clarté. 

L ouvrage contient de nombreux développements sur le calcul des proba- 
bilités, des notions sur la statistique et l'établissement des tables de mor- 
talité, le calcul des primes d'assurances et des réserves, les systèmes de 
participation des asstirances dans les bénéfices, la théorie du risque. 

Rédigé par un mathématicien connaissant à la fois les besoins de rensei- 
gnement et ceux de la technique, ce Traité rendra de grands services à ceux 
qui désirent s initier à la théorie et à la pi-atique du Calcul des assurances. 

O.-D. Chwolson. — Traité de Physique, traduit par D.w.vux. — Tome III, 
fasc. 3. Propriétés des sapeurs. Equilihre des substances en contact. — 
1 vol. in-8t> de VI-260 p. avec 93 Hg. : 9 fr. ; librairie Hei-mann, Paris. 

Le troisième fascicule du tome troisième du Traité de Physir/tie générale 
de M. O. (>hwolson s'ouvre par un chapitre sur les propriétés des vapeurs 
saturantes. L'auteur expose d abord les mémorables recherches de Regnaull 
interrompues d'une manière si funeste peiidant la guerre de 1870, puis, avec 
la même riche.«se de documentation (|ue dans les précédents volumes, in- 
dique les mesures qui ont été faites depuis et qui se poursuivent encore 
anjourd hui. 

Dans l'élude des vapeui's non salui-antes, l'auteur envisage d abord les 
célèbres recherches expérimentales d'Amagal, dont l'étendtie et la précision 
peuvent être justement comparées à celles des travaux de Regnault. L équa- 
tion de van der Waals est présentée avec tous les détails nécessaires, ainsi 
que les nombreuses formules que l'on a proposées depuis pour exprimer 
plus complètement les données expérimentales. Des représentations gra- 
phiques nombreuses, puisées dans les travaux originaux d'Amagat. illuslrenl 
très heureusement tout ce chapitre. 

Parmi les nombreuses questions qui appartiennent au vaste domaine de la 
Chimie physique, lautcnr a choisi avec raison, comme devant faire partie 
d'une exposition générale de la Physique, la belle théorie de l'équilibre des 
substances en contact qui a été cr-éée par Gibbs ; nulle question ne pouvait 
en effet mieux donner une idée de la puissance de la Thermodynanji(|ue 
moderne. 



RI H I.IO C. H A l> Il I E 25Ô 

Dans un paiau;rapl)e (inal, ajouh- au toxti- do 1 auleur. les lois du dépla- 
leuieul de It-quilibre thermodynauiiqne, doul 1 (Hude a ôté réceuimcnt rcpiis(> 
pai- MM. Elircnlest cl C. Raveau, sout rallachées aux imporlaules considéra- 
lions mécaniques de M. H. Poincaré sur les analogies liydiodynaniiques bien 
connues, par lesquelles Lord Kelvin a proposé d e.xpliquer les attractions 
«•lectrodynaniiques. 

F. G. -M. — Exercices de Géométrie comprenant l'e.vposé des méthodes 
géométriques et 2000 questions résolues. 5'' édition. — 1 vol. gr. in-8'^ 
de XXIV-1300 p. et IGOO fig. ; 13 fr. ; Marne & fils, Tours, J. de Gigord, 
Paris. 

La quatrième édition de ce livre a été analysée dans V Enseigneineni nia- 
llit'iiHiliqiie |1908, p. 531|. Je commence par renvoyer en cet endroit pour ne 
l)as répéter la même analyse et les mêmes éloges, ces derniers étant dail- 
leni's bien superflus. 

Cet ouvrage esthétique et gigantesque dont je ne connais point d ana- 
logue, ni en France ni à I étranger, et qui, par son seul volume, pourrait 
sembler redoutable à plus d'un élève et même à plus d'un professeur, vient 
de s épuiser en quatre ans .' Je suis heureu.v d'avoir prévu ce succès, mais 
bien d autres que moi y ont naturellement contribué: c'est qu'on trouve là 
non seulement des exercices, mais Ihistoire vivante de la géométrie élé- 
meutaii-e. le rassemblement de tous les remarquables tiavaux qui n'ont que 
le défaut, capital pour le jeune géomètre, d'être extrêmement dispersés. 

Et personnellement Fauteur a montré une puissance synthétique éton- 
nante. Tout en commençant par reconnaître que les méthodes purement 
géométriques font souvent défaut et que le mieux est de résoudre beaucoup 
de problèmes, il en a réuni tant, et d'une façon si habile, que les méthodes 
ont fini, en bien des points, par apparaître comme par enchantement. Telle 
est par exemple sa méthode des maxima et minima dont je n'ai pas suffi- 
samment parlé en 1908. La méthode classique antique (à une époque où les 
dérivées n'étaient pas couramment employées dans l'enseignement élémen- 
taiie), consistait à discuter le discriminant d'équations quadriques. Or cer- 
tains problèmes sur la tangente au cercle conduisent à une discussion ana- 
logue et aussi générale. Il s ensuit donc que bien des problèmes de maxima 
et de minima sont résolus géomélrir/uemeiit par le tracé élémentaire d une 
tangente à un certain cercle. 

Quant aux questions spécialement ajoutées à cette cinquième édition, il 
est fort difficile de signaler les plus intéressantes, car elles le sont toutes à 
peu près également. Beaucoup sont curieuses, par leur énoncé même, puis, 
plus encore, par I extrême simplicité de la démonstration. Telle par exemple 
celle-ci : La sphère qui passe par les extrémités de la plus courte distance 
• le deux droites, et par les extrémités d'un segment glissant sur ces droites, 
a un rayon constant. 

D ailleurs une grande partie de ces nouveaux problèmes ou théorèmes a 
trait à la géométrie dans l'espace, à la division des aires et des volumes. 

D'importantes additions concernent les problèmes à constructions non 
géométriques. Tous ces derniers ont des énoncés des plus simples : ils offrent 
même des analogies apparentes avec d'autres à solutions à peu près immi'- 
«liates. Quelle extraordinaire différence entre le triangle déterminé par trois 
médianes ou trois hauteurs et celui (|ni I csl par trois bissectrices! 



256 B I H I.IO G It A P II l E 

Ces exemples sont tlioisis — f est le c;is de le dire sans métaphore — 
entre mille, mais ils le sont du moins complètemenl iui hasard. L'intérêt se 
soutient de même à toutes les pages de cette œuvre simple et grande dont 
la portée philosojjhiquo n est pas moindre que l'utilité pratique. 

A. BuHL (Toulousei. 



George Bruce H.msted. — Géométrie rationnelle. Traité élémentaire de la 
science de I espace. Traduction française par P. Bakbarin, avec une pré- 
face de C.-A. Lais.k.nt. — 1 vol. in-8" de lY-2% p. et 184 Hg. ; 6 fr. 50: 
Gauthier-Villars, Paris. 

Cet ouvrage, inspiré à un géomètre anglais par un géomètre allemand, 
nous revient traduit eu français. On ne peut que s eu féliciter et le cfuisi- 
dérer comme un monument fort beau et fort simple au point de vue logique. 
11 ne semble pas cependant qu on lo puisse imposer au.v enfants abordant la 
géométrie pour la première fois ; trop de notions intuitives, d'un usage im- 
médiat, sont abandonnées et sacrifiées à l'enchainemenl rationnel des pro- 
|josilions, mais beaucoup de ceux qui savent déjà quelque peu lagéomélrie, 
la sauront beaucoup mieux lorsqu'ils comprendront les méthodes de 
.M. Hilberl. 

Dans les débuts, les deux choses qui m'ont le plus frappé sonl. d uni- 
part, l'introduction du calcul segmentaire qui, une fois délini Inolammeul 
en ce qui concerne la uniltiplicationl. donne toute la théorie de la similitude 
et, d autre part, les constructions efTecluée.s sans compas à l'aide du fameux 
transporteur de segments ( Slreckenuhertiager ). Cet instrument peut être 
l'éduit à une simple carte de visite sur 1*; bord de laquelle on marque les 
longueurs à transporter. Les constructions ainsi effectuées sont éminem- 
ment intéressantes et certaines sont des merveilles d'ingéniosité. Après cela 
I usage du compas, c'est-à-dire de 1 instrument qui trace une courbe pour 
résoudre les problèmes sur les droites, paraît presque choquant au point 
de vue logique. 

Comme je l'insinuai t<jut à l'heure, il ne sera pas toujours très pratique 
et très simple de tout faire au transporteur, mais, au point de vue du seul 
ordre des choses, ce sera 1 instrument fondamental et unique du calcul seg- 
mentaire. 

Pour l'élude des volumes, la théoiie du prismatoïde domine tout : les 
lorps ronds, la sphère même sont comparés à des solides à faces planes. 
Un appendice enfin est consacré à la géométrie du compas. M. Laisant, 
dans sa prélace, a excellemment fait appel à lesprit d'imjjartialité, faisant 
lemarquer que les habitudes contrariées par le nouveau mode d'exposition 
pourraient bien avoir tort. Je ne saurais mieux dire. 

Soyons reconnaissant aussi au traducteur de cet ouvrage en espérant que 
bien des Français y puiseront non seulement des vues nouvelles sur la Géo- 
métrie, mais aussi le désir d aller plus loin... jusqu'aux grands travaux dr 
.VI. llilbert. A. Buhl (Toulousei. 

N. IsvoLSKi. — Géométrie plane, l vol. iu-8" de 2<i6 p. , l rcjuble 20 kopecks : 
Zalieski. Moscou, 1911. — Géométrie dans l'espace. — 1 v(jl. de 126 p. 
(en russe); 65 kopecks; Doumnuf, Moscou, l*JiO. 

Les ti-aités de géométrie se suivent et en général se ressemblent. Le non- 



RI RLlOr.RAPHlE TnZ 

vel ouvrage de M. Isvols-ki (ail excfplioii à ct'ltt! r<"'gle eoinimnie : il dilIV-re 
sensiblement des livres analogues 

Dans la plupart des géoniéiries élémentaires, on étudie les propriétés des 
figures dès qu'on a établi leur existence, et sans s occuper de leur construc- 
tion. Ainsi, au début, on définit l'angle droit, on démontre qu il existe, on 
recherche ses propriétés, et ce n'est que beaucoup plus loin qu'on apprend 
à construire deux droites perpendiculaires. 

M. Isvolski a renoncé à suivre cette méthode traditionnelle; il se refuse à 
étudier les propriétés d une figure avant de savoir la construire : de là de 
grands changements dans 1 ordre de l'exposition. 

Les premiers chapitres de la géométrie plane sont consacrés à la compa- 
raison des segments de droites, des angles, des arcs de cercle, à l'égalilé 
des triangles et aux propriétés des triangles isocèles. On n'y parle pas de 
l'angle di-oit, mais on y considère 1 angle dont les ccMés sont dans le pro- 
longement 1 un de l'autre, ce qui permet d établir l'égalité des angles op- 
posés pai- le sommet. 

Au chapitre IV l'auteur délînil les droites parallèles, et indique, pour les 
construire, un procédé fort ingénieux, reposant sur l'égalité des angles al- 
ternes internes. A la fin de ce chapitre, il établit que la somme des angles 
d un triangle est égale à l'angle dont les côtés sont en ligne droite. 

Le chapitre suivant traite des propriétés du parallélogramme, et c'est dans 
I étude du losange et de ses diagonales que nous rencontrons pour la pre- 
mière fois les notions de perpendiculaire, d'angle droit et de bissectrice 
<i'un angle. Viennent ensuite les pi-opriélés des perpendiculaires, des triangles 
rectangles,... puis 1 élude du cercle, des angles inscrits et des polygones 
réguliers. 

L'auteur a réuni dans un»; seconde partie tout ce qui concerne les mesures : 
mesures des longueurs, des angles, des aires, lignes proportionnelles, simi- 
litude des li'iangles, relations métriques dans le triangle el dans le cercle, 
l'^ulin la géon)étrie plane se termine par l'étude des axes radicaux, par la 
construction des cercles tangents à des droites et à des cercles donnés el par 
le calcul de la longueur de la circonférence et de laii-c du cercle. 

La géométrie dans l'espace est conçue sui* un plan analogue. Dans une 
première partie, l'auteur étudie les propriétés des droites et plans paral- 
lèles, des droites el plans perpendiculaires, des dièdres, des trièdres et des 
polyèdres réguliers convexes ; puis, dans une deuxième partie, il aborde la 
mesure des aires el des volumes. 

J'ajouteiai, en terminant, que les définitions sonl lonj(jurs très claiies, el 
les d(''inonslrations fori bien présentées. De plus, contrairement à la mé- 
ihofle, suivie habituellement dans les ouvrages élémentaires, ([ui consiste à 
énoncer chaque théorème avant d'en donner la dt-nionslration, ^L Isvolski 
préfère, dès qu il a défini el construit un être géométrique quelconque, ana- 
lyser ses propriétés, et, quand il a obtenu un certain ens(Mnble de résullals. 
il les met en ('vidence dans un résumé simple et concis, l-^l cela rend tori 
attrayante la lectnie de son livre. (^i. Papii.ikk (Orléansi 

(.. Loiii\. - Poliedri, Curve e Superficie seconde i metodi délia Geome- 

tria deSCrittiva. — I vol. cari, m'- l'iS-ri'.l des Mniiurts //ifjih: ; tr :! . 
Il<epli. .Milan. 

O volume est le coniplénniil naturel de celui que l'auteur a publié dans 
la même collection sous le lihe : Metodi délia Geoineiria desrritthn. La 

L'Enseignçinenl ni.«tht-m.. 14' aiint-«> 1912. 'S 



■25» Hl HLIOGRAPH I E 

première partie contient les problèmes classitjues lelalifs aux tricdres et 
aux polyèdres ; le mode de projection généralement employé est celui de 
Monge : quelques questions sont résolues à 1 aide de la projection centrali' 
DU des plans cotés. 

La deuxième partie est consacrée aux courbes et aux surfaces (courbes 
planes et gauclies, surfaces de révolution, hélicoïdes. cônes et cylindres, dé- 
veloppablcs et surfaces réglées gauches). 

L exposition est claire, concise et limitée aux problèmes essentiels ; quelques 
notions élémentaires de géométrie analytique permelleiit parfois de sim- 
plifier les démonstrations. L auteur insiste plutôt sur les principes que sur 
les applications : il est de ceux qui considèrent les exercices pratiques 
comme des produits secondaires qu il est inopportun d intercaler, en trop 
grand nombre, dans une théorie systématique ; c est une des raisons qui 
tout de sou manuel un excellent livre d'enseignement. 

L. Koi.LROs iZuriciii. 

H. V. Ma.ngoldt. — Einfùhrung in die hôhere Mathematik. Erster Bond : 

Anfangsgriinde der Inliiiitesimairechnung u. der analyt. Géométrie. — 
1 vol. in-8o, 477 p.; broché. 12 Mk.; Hirzel, Leipzig. 

L auteur s'est proposé décrire un traité d éléments de malhémati(|ues su- 
péiieures renfermant les notions indispensables aux physiciens et aux ingé- 
nieurs. Il n'a pas voulu faire un abrégé limité à un exposé sommaire, l^es 
démonstrations sont au contraire présentées avec beaucoup de soin et avec 
toute la rigueur désirable dans un pareil ouvrage. Professeur à l'Ecole 
technique supérieure de Danzig, l'auteur connaît les besoins des étudiants 
et fait preuve d une grande expérience. Son ouvrage sera un guide très utile 
à tous ceux qui ont à s initier aux éléments de mathématiques par des bases 
bien établies. Il comprendra trois volumes. 

Voici les principaux chapitres du premier volume : I. Analyse combina- 
toire. — IL P'ormules sonimatoires. — • III. Eléments du calcul des proba- 
bilités. — lY. Délerniinanls. — V. Nombi'es irrationnels. — VI. Racines, 
Puissances entières, logarithmes : mesure des angles. — VIL Noti(ms fon- 
damentales de Géométrie analytique. — VIII. V;iriables et fonctions. — IX. 
Droite et plan. — X. Limites et continuités. 

A signaler I exposé des notions de Géométrie analytique présentées d après 
la méthode de la fusion de la Géométrie plane et de la Géométrie dans I es- 
pace. (>e procédé offre de grands avantages sur la marche habituelle, sur- 
tout dans une école technique où les élèves sont appelés de bonne heure à 
utiliser les notions de coordonnées dans difféi'enles branches des mathéma- 
tiques ai)pliquées. 

R. .Nelkxuoki p. — Praktische Mathematik. I. Teil. Graphisches und nunu- 
risches Rechnen. — I vol. tie VI-1U4 p., 69 fig. et 1 tabl. (Collection Ans 
Natiir und (ii^istesivell.) Hiochc 1 M., rel. 1 M. 25: B. G. Teubner, 
Leipzig. 

Ce petit ouvrage mérite de ne pas passer iua]>erçu -, nous le signalons à 
tous ceux qui enseignent les mathématiques dans-les écoles de degré moyen. 
Il renferme une série de six conférences faites |jar M. Neueudorff à la Volks- 
hochschule de Kiel, conférences dans lesquelles il traite successivement de 
la représentation graphique, de la mesure des surfaces, de la mesure des 



Hll.l.ETlN m B LlOGllAPH KJUE 259 

volumes, du calcul abrégé, du calcul à l'aide de Tables, l'ufiii des uiachines 
à calculer. L'auteur, en taisant son expose; d'une façon tout à lait simple, vise 
surtout les applications pratiques et usuelles. I^e lecteur y puisera de nom- 
breux renseignements et de nombreux exemples sur la notion de fonction, la 
représentation graphique, la construction des tables et nomogrammes, leur 
emploi, l'interpolation, le calcul pratique cl mécanique en général. 

G. Bk.nz (Le Locle). 

.Iules Tax.nery. — Leçons d'Arithmétique théorique et pratique. B»-- édition, 

complètement refondue. — 1 vol. in-S", XVI-.5»5 p.; T tV. ; librairie Arm. 

Colin, Paris. 

Cet ouvrage, qui lait partie de la collection de cours pour la classe de 
inalliématiques publiée sous la direction de M. G. Darboux, a pris place au 
nombre des traités classiques consacrés à l'.Vrithniétique. Ce n est pas un 
manuel destiné à renseignement élémeutaire, mais un traité qui s'adresse 
aux professeurs et aux élèves de renseignement secondaire supérieur. Il 
suiiira, pour caractériser l'esprit de ce livre, de reproduire le début de la 
préface : « J ai essayé de faire ici un livre d'enseignement, (jui puisse servir 
à ceux qui commencent leurs éludes mathématiques et à ceux qui les pour- 
suivent, qui soit très élémentaire au début, où les démonstrations prennent, 
peu à peu, une forme plus abstraite, et qui, à la (in, touche à des sujets 
dOi'dre assez élevé. » 

Quant aux matières traitées, il n'est guère besoin d'en faire l'énuméralion. 
Elles vont des propriétés fondamentales des opérations jusqu aux éléments 
de la théorie des nombres et sont accompagnées de nombreux exercices. 
« Rien, peut-être, dit l'auteur, ne vaut pour la formation de l'esprit mathé- 
matique, les problèmes d Arithmétique et de Géométrie élémentaire- » 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Publication»^ p«'i'i4>ilit|ue^ : 

Atti délia Reale Accademia dei Lincei. Kendiconti. — Rome. 

".'e semestre 1911. — Mathématiques : A. Co.messatti : Sulle superficie ra- 
zionali reali. — C. -C. Evans : L'equazione intégrale di Volterra di seconda 
specie con un limite dell' intégrale infinito. — (In.) : Sul calcolo del nucleo 
dell equazione risolvente per una data efjuazioue intégrale. — (Id ) : Appli- 
cazione dell'algebra délie funzioni permutabili al alcolo dello funzioni asst)- 
ciate. — E. Laira : Sopra gli autovalori délie equazioni inlegiali a nucleo 
non sirametrico. — E.-E. Lkvi : Sulh; condizioni sudicienti per il minimi» 
nel calcolo délie variazioni. (Gli iulegrali sotto forma non pai-amelrica.| — 
(Id.I : Sulle condizioni sufficionti per il minimo nel calcolo délie variazioni. 
((ili intégral! in fornia paranietiiia. i — G. Scorza : Sopra una classe di va- 



260 HU I.LETl y H I B L I O il H A P II K) V E 

riela algobriclie a lie dimensioni cou un giiippo oc- di Iraslormazioiii bi- 
razionali iii se. — F. Sipikam : Su le fnuzioni ordinalrici delle funzioni reali 
di uua o più variabili reali. — L. Si.mgai.ua : Sulle funzioni peimulabiLi di 
seconda specie. — Y. Volterra : Sopra una propriela générale délie equa- 
zioni iulegrali ed inlegro-differenziali. — M. Abraha.m : Snlla teoria délia 
gra\ ita/.ione. — E. Almansi : Sulle de formazioni (îuite dei solidi eiastici 
isotropi. — G. Armei.lixi : Il problema dei due corpi nelle' polesi di niasse 
variahili. — U. Cisotti : Sogra il régime pernianaiile nei canali a rapido 
corso. — r. C^RiDELi : Sopra le det'ormazioni (inite. Le equazioiii de! De 
Saint-N cnaiit. — llo) : Sulle equazioni dclle De Saint-Venant relative aile 
(lelornia/ioni linile. — O. Tedone : Sulia torsione di nu cilindro di rotaziono. 

Bulletin de la Société mathématique de France. Tome XXXIX, Paris. 

Fascicules III et I\'. — .- H. Dulac : Solutions d'ordre imaginaire d'une 
équation différentielle. — L. Zoketti : Sur la représentation analytique d'un 
contenu irréductible. — A. Pellet : Des équations dominantes. — Z. De 
(ÎEO<:zE : Sur la fonction semi-continue. — P. Boutrou.k : Remarques sur les 
singularités transcendantes des fonctions de deux variables. — G. Remoundos : 
Sur le module maximum des fonctions algébroïdes. — S. Lattes; Sur les 
formes réduites des transformations ponctuelles dans le domaine d un point 
double. — \V.-B. Ford : Conditions suflisantes pour qu une série admette 
un développement asymptotique. — E. Cartan : Sur les systèmes en invo- 
lution d'é([ualions aux dérivées partielles du second ordre à une fonction 
inconnue de trois variables indépendantes. — H. ^ ii.i.at : Sur le problème 
de Diriclilet relatif au cercle. 

Bulletin of the American mathematical Society. — New-York. Vol. XVIII. 

Fasc J à 7. — M. BocHER : The Published and Unpublislied Work of 
Charles Sturm on Algebraic and Dilferential l-lqualions. — C.-.T. Keysek : 
A Sensnons Repi-esentation of Patlis thaï Lead from the Inside to the Out- 
sidc of an Ordinary Sphère in Point Space of Four Dimensions wilhout Pene- 
trating the Surface of the sphère. — N.-J. Lenxes : A Direct Proof of the 
ilieoreni that the Number of Terms in the Expansion of an Infinité Déter- 
minant is of the Same Potency as the Continuum. — (Id.) : A Necessary and 
Sudicienl Condition for the Uniform Convergence of a Certain Class o4 In- 
finité Séries. — O. Boi.za : A generalization of Lindelof's Theorems on the 
Catenary. — S. Chap.man : A Note on the Theory of Summable Intégrais. — 
W.-B. Fite : Irréductible Homogeneous Linear Groups of Order p'" and 
Degree/; ov p- . — Graduate Work in Mathematics in Universilics and in Other 
Institutions of Like Grade in the United States Commillee Report. — G. -A. 
B1.ISS : A New Proof of the Existence Theorem for Implicit Funclioiis. — 
H. Bateman : On a Sel Of Kernels Whose Déterminants Form a Sturmian 
Séquence. — R.-E. Moritz : On the Cubes of Déterminants of the Second 
Third. and Higher Ordcrs. — G. -A. Miller: Not on the Maximal Cyclic 
Subgroups of a Group of Order/»'". — T. Hayashi : An l^xprossion foi- the 
General Term of a Recurring Séries. — F.-N. Cole : The Eighieenlh An- 
nual .Meeting of the American Mathematical Society. — O.-D. Kellogg : 
The Fifih Regular Meeting of the Southweslern Section. — B.-H. Camp : 
Séries of Laplace's Functions. — A. -G. Webster: On a New Mixed Pio- 
blem of the Partial Difl'erential Equation of Telegraphy. — F. -H. Saeiord : 



H r 1. 1. 1-: T I y n i h i. i o <, it a i> ii i o u i: icy i 

An lilcnliral riMiisTorniiilioii of llio IMIiplir l'iliMiieiil in llie \\ cierslrass 
Forn». — C.-L.-E. .Moork : Surfaces in Hyperspace wliicli hâve a Tangent 
F.ine willi Tliree-Point Conlact Passing througli Kach Point. — W.-A. Hlr- 
^vnz : Note on Mixed Linoar Intégral Equations. — A.-O. Leusc.hnek and 
B.-A. Bernstein : Note on the Giaphioal Solutions oJ tlie Fondamental Equa- 
tions in llie Short Methods' of Determining Orbits. — A.-R. Schweitzek : 
On a Fnnctional Equation. — C.-F. Warner : Shop Matheniatics. — F.-IS'. 
<>OLE : The Februarv Meeting of the American Mathematical Society. — 
l-^.-H. MooRE : On llic Fouudations of the Tlu'oiy of Lineac Intégral Equa- 
tions. 



Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris. 

J*"' semestre 1912 — 8 janvier. - Tzitzkica : Sur les surfaces isother- 
mi([ues. — P. Lkvv : Sui- les équations inlégro-difï'érenlielles de M. Hada- 
mard. 

15 janvier. — E. Picard : Sur un théorème général relatif au.\ fonctions 
uniformes d'une variable liées par une relation algébrique. — E. Vallier : 
Sur la position actuelle du problème balistique. — L. Roy : Les équa- 
tions générales des membranes fle.vibles. — J. Hada.viard : Sur une question 
relative au.x fluides \isqueux. 

22 janvier. — S. Bernstein : Sur la valeur asymptotique de la meilleure 
approximation de | .» | . — E. Esclangon : Sur un régulateur thermique de 
précision. 

29 janvier. — G. Pick : Sur les notions droites, parallèles et translation. 
et sur la géométrie différentielle dans l'espace non-euclidien. — J.-E. Lm- 
LEWOOD : Quelques conséquences de l'hypothèse que la fonction 'Ç{s) de Rie- 
mann n'a pas de zéros sur le demi-plan Ris) > '/^ • — ^ Cotty : Sur une 
classe de formes quadratiques à quatre variables liées à la transformatiorr 
des fonctions abéliennes. — J. Tamarkine : Sur le problème des vibrations 
transversales d une ver-ge élastique hétérogène. 

5 fovi-ier. — Tzitzéica : Sur les équations de Laplace à solutions quadra- 
tiques. — H. Lebesgui: : Sur le pr-oblème de Dirichlet. — G. Cotty : Sur 
une classe de formes ([uadraliques à quatre variables liées à la transforma- 
tion des fonctions abéliennes. — E. Vallier : Sur la position actuelle du 
problème balistique. 

12 février. — E. Bor<EL : Srrr les théorèmes tbndameutaux de la théorie 
des fonctions de variables réelles. — J. Drach ; Sur les équations différen- 
tielles de la géométrie. — F. Enriqces : Sur le théorème d'existence pour- 
les fonctions algébriques de deux variables indépendantes. 

19 février. — M. Petrovitch : Allure d'une transcendante entièr-e. — 
A. Chatei.et : Sur- une représentation des idéaux. 

26 février. — Emile Borel : La classificatiorr des ensembles de mesure 
nulle et la théorie des fonctioirs monogènes uniformes. — E. Vessiot : Sui- 
les groupes fonctionnels et les équations intégro-différentielles linéaires. 
— Rodolphe Soreav : Sur l'équation à quatre variables d'ordre monogra- 
phique i. — E. FicriOT : Sur le décalage entre la force perluhatrice et h- 
nrouvement conti-aint. 

i nrars. — F. RrEsz : Sur qrrelques poirrts de la théorie des fonctions 
.-^ommables. 

Il mars. — C. GrrcirARD : Sur- les r-cr-cics osr-ulateitrs et les sphères os- 



262 



BU I. L i: T I y n i k i.io a hapiiiq u e 



culatrices aux lignes de courbure d une surfaie. — V. Jamet : Sur certiiiu;? 
complexes de droites. — E. Vessiot : Sur les (onclions permutables et les* 
i,'roupes continus de transformations fonctionnelles linéaires. — R. Soreau : 
(iénéralisation de la construction de Massau et abaque pour résoudre les 

équations de la forme c ' -f- ""• ' ~t~ Z'^' + </ =^ . 

18 mars. — H.-W.-E. Jung : Sur l'invariant de MM. Zeulhen et Segre. — 
J. Chazy : Sur une équation diflérentielle dont un coeflicient est une série di- 
vergente. — L. Rey : Les ondes de clioc dans le mouvement des meinbraiies 
flexibles. 

25 mars. — Ch. Plâtrier : Contribution à un théorème sur les équations 
intégrales de P'redholm de troisième espèce. — R. Sori: ai j Résolution gra- 
phique de I équation trinôme à exposants quelconques. — H. Poincaré : Sur 
la diffraction des ondes hertziennes. 

1*^' avril. — E. W.f,lsgh : Fonctions hipédiques, systèmes triples ortho- 
gonaux et efforts isOstatiques. — A. Den.ioy : Une extension de 1 intégrale 
de M. Lebesgue. — L.-E,-J. Brouwer : Sur l'invariance de la courbe fermée. 
— A. Friedmanx : Sur la recherche des sui-faces isodynamiques. 

8 avril. — Ch. Jordan et R. Fiedler : Contribution à la géométrie des 
courbes convexes et de certaines courbes qui en dérivent. 

15 avril. — J. Boussinesq : Sur la théorie géométrique, pour un corps 
non rigide, des déplacements bien continus, ainsi que des déformations et 
des rotations de ses particules. — E. Dei.assus : Sur les liaisons d ordre 
quelconque des systèmes matériels. — B. Mavor : Sur les déformations de 
certains systèmes élastiques. — E. Borel : Les bases géométriques de la 
mécanique statistique. 



Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, in Monatshefien 

hcrausgegeben von .\. Gutzmer. — B.-(î. Teubner, Leipzig. 

1911, IS'"* 7 à 12. — E. Salkowski : l'eber eine bemerkenswerte Klasse 
von Raumkurven. — - W. Burnside : The condition ihat an irreducible group 
of linear substitutions ou n variables of linite order may contain a substitu- 
tion with H— \ unit multipliers. — F. Engel : Wilhelm Thomé. — A. Bkill 
und M. NoTHER : Jakob Liirolh. — M. Brïtcrner : Zur Erinnerung an Oswald 
Hernies. — Erwin Papperitz : l eber das Zeichnen im Raume. — Rudolf 
Stlrm : Geschichte der malliemalischen Professuren im ersien Jahrhundert 
der l'niversitat Breslau 1811-1911. — P. Stackel : Ueber Extrême zusam- 
meugeselzter Funktionen. — Rudolf Rothe : Ueber die Flilchen konstanter 
mittlerer Kriimmung, auf denen die Krùmmungslinien ein Kurvennetz oline 
L'mwege bilden. — R. de Saussure : Réponse à larticle de M. Study sur ma 
« Géométrie des Feuillets ». — E. Study : Herrn de Saussure zur Erwide- 
rung. — Hermann Weyi, : Berichtigung zu meinem Aufsatz ; Zwei Benier- 
kungen libcr das Fonrier'sche Intograltheorem. — Paul Stackei. : l eber 
l-xtreme zusammengeseizter Fnnklionen. (Zweite Mitteilung.) — Arthur 
HosE.xTiiAi. : Uebei' Extrême zusammeugesetzter Fnnklionen. (Auszug aus 
einem Brief an P. Stackel.) — E.-D. Roe : A New Invariantive Fuuction. — 
ll.-W. Makch : Darsiellung ciner willkùrlichen Funktioii auf der Kugel 
(lurch ein Doppelintegral mit Kugelfunktionen. — A. Korselt : Ueber nia- 
ihcmatische Erkenntnis. — Yoshio Mikami : The Influence of Abaci on thc 
Chinese and Japanese Malhematics. — Gustav Kohn : Ueber die Erzeu- 
gung einer Kollineation, welche zwei windschiefe Geraden untereinander 



BU II, El I y li l li II OG HA l'Il I nUE -HVi 

vertaiisclit. — L. Schlesingku : l eber Gaiiss' Jugoiidarbeiteii /.uni aritliiiie- 
tisoli-geomelrisclien Miltel. — Kiulolt Hothk : Bemcrkungen zu ineiner Aibeit 
( l'eber die Fliichoii koustantci' mitllerer Kriimiming, aul" deneii die Kriiiii- 
inungslinien eiii Kiirvennelz oline Umvvege bilden. » — Angelegenheiten dei" 
Deiitscben Malheinatiker-Vereiiiigiing. — Spreelisaal ITir die Enzyklopiidie. 

— Milteilungcn uiid Xachrichtcii. — Lilerarisrhcs. 

Monatshefte fur Mathematik und Physik, horausgegeben von G. v. Esche- 
Ku.H, F. .Mektkns u. \^ . W'iiniNGER. — Eisenslein & G", VVieii. 
XXII. Jahrgang (1911): Helt 2 et 3. — G. Hvber : Die Ponsflache, eine 
Fliiche drilter Ordnung mil vier Doppeipunkten. — H. Hahn : Ueber Varia- 
lioiisprobleme mit vaiiablen Erïdpunklen. — E. Stamm : Bcitrag zur Algebra 
dei' Logik. -- R. \YeitzeiNB<)CK : l eber den Schnitt zweier quadratiscber 
Riiume im vierdimensionalen Raume. — H. B()heim : Ueber die Bestimmung 
(1er Kegelschnitte, welche durch drei gegebene Punkte gehen und einen ge- 
gebenen Kegelschiiitt osknlieren — O. Uanzek : Ueber Kurven, die sicb 
zykiographisch als Zykloiden abl)ilden. — L. v. Schkutka : Eine Mclliode 
der Bestimmung der Anzabl der Primilivzahlen fur einen Primzahlmodul. 

— A. Axer : Ueber einen ariltimctisrhen Satz von Gegenbauer. — G. Majc.en : 
Ueber eine Metbode zur Behandlung gewisser ebener metrisrher Problème. 

— R. Weitzexbock : Das Formensystem einer raumiicheu Kollineation. — 
M. Schechter : Ueber die Summation divergenter Fourierscher Reiiien. — 
S. Rossi : Ein Beitrag zur DifFei-entialgeomelrie der Strablenkongruenzen. 

Heft 4. — E. V. Wartburg : Ueber den Achsenkomplex. — A. Kanda : 
Lineale Erzengung von algebraischen Transformatiouen und Kurven. — 
A. Meder : Znr Herleitnng gewisser Formeln ans der Kurventheorie. — 
W. Gross : Zur invariauten Darstellung linearer DifTerentialgleichungen. — 
J. Plemelj : Der Exislensbeweis fur Lôsnngen linearer gowôhniicher Difle- 
rentialgleichungen. insbesondere an einer Fnchsschen singtilaren Stelle. 

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées par C.-A. Laisant. G. Boir- 
i.ET et R. Bkicakd. 4>= série. — (iauthier-Villars, Paris. 
1911, août-décembre. — : G. Fontexé : Semi-invariants d un polynôme. — 
iId. ) : Discussion des équations de degré 2, li. 4, 5. au point de vue des ra- 
cines multiples. - — Ch Plâtrier : Application du théorème de M. Appell 
sur le moment de la quantité de mouvement par rapport à un complexe d'un 
mobile soumis à une force appartenant à ce complexe. Généralisation de 
l'éqnaîion de Clairaut. — E.' Turrière : Sur ceitaines surfaces généralisant 
la chaînette de Coriolis. — A. Proszynski : Sur la résolution de léquation 
intégrale à noyau symétrique. — R. Bouvaist : Sur les triangles inscrits et 
circonscrits à une cartésienne. — M. -F. Egan : Xote sur les quadriques 
homofocales. — Pau! Slcuar : Sur les courbes planes qui sont à elles-mêmes 
leurs polaires réciprotjues. — G. Valiron : Sur les fonctions entières d'ordre 
nul. — E. Keraval : Surfaces engendrées par le déplacement d une courbe 
plane indéformable, de telle sorte qu'il existe un cône circonscrit le long 
<le la courbe. — G. Valiron : Sur la dérivée logarithmique do certaines fonc- 
tions entières. — Ch. Plâtrier : Une application de léquation fonctionnelle 
de Fredholm. — L. Qlantin de la Roere : Sur les coniques et les quadri(jues 
homofocales. — G. Fontené : Sur l'intégration des fi-actiuns rationnelles. 

— L. ZoRExri : Sur les Moments d une aire plane. — R. Boi vaist : Sur un 
itaisceau de sti-ophoïdes. 



lirti BULLE 11 y Hl HLlOiiliAPHl OL E 



:S. Livres nouveaux : 

K. d Adhkmak. — Leçons sur les principes de l'analyse. Tome 1 : séries. 
Déterminants. Intégrales. Potentiels. Equations intégrales. Equations diffé- 
rentielles et fonctionnelles. — 1 vol. in-8'\ VI-324 p.: 10 fr. ; Gaulhiei- 
Villars. Paris. 

P. Bachmann — Ueber Gauss' zahlentheoretische Arbeiten. Materialien 
Jùi- eine \vi.>ssens«harilicFie Biographie von Gaiiss. Gesammelt von F. Klein 
luul M. Brendel. Hett 1|. — 1 fasr. in-8«, 54 p.; 2 M. ; B. G. Teubner. Leipzig. 

C. Blrali-Fokti. — Corso di Geometria Analitico-Projettiva. — 1 vol. 
in-H". VIl-268 p.: G. Gallizio, Turin. 

E. Cakvallo. — Le calcul des probabilités et ses applications. — 1 vol. 

in-80, IX-169 p.; « fr. 50; Gaulliier-Vill;.rs, Paris. 

G.-C. Fagnano. — Opère Matematiche del Marchese Giulio Carlo 
de'Toschi di Fagnano, pnbblicate sotlo gli auspici délia Società Ilaliana per 
il pr-ogresso dolle Scienze dai soci V. Yoltkrra, G. Loria. D. Ga.mbioli. — 
o vol. in-8f, 474, 471 et 227 p.; les 3 vol. 40 lires: Albrighi, Segati e C. 
Milan-Rome-Naples. 

A.-R FoRSYTn. — Lectures on the Differential Geometry of Curves and 

Surfaces. — 1 vol. in-8", XXlV-526 p. : 21 sh. . (>anibridge Universily Press. 

I). Galtier. — Mesure des angles. Hyperboles étoilées et développante. 

— 1 vol. in-80, IV-Si p.; 2 fr.; Gautliier-Villars. Paris. 

Renée Masson — Du roulement et des épicycloides en Géométrie noii- 
(Miclidienne (Thèse). — 1 fasc. in-S", 60 p. ; A. Kiindig, Genève. 

O. Meissner. — Wahrscheinlichkeitsrechnung (Mathem. Bihliot/w/,. he- 

rausgegeben von W. Lll•;^z.\lA^^ uu<l A. W irri.\(;), X" 4. — 1 \<)l. p. in-8''. 
64 p.; 1 M. 80; B. G. Tenbi.er 

H. Metti.er. — Graphische Berechnungs-Methoden, in) Uiensie der Xa- 
lurwissenschaft nnd Terluiik mil Zeichiiungen. Il et III. Aeronieohanik. — 
2 vol. in-16, 78 el 130 p. ; Loemanu tV ('-.". Ziirich-Sclnau. 

Kolbjôrn Ode. — Das Pythagoreische Dreieck nnd Faktorenzerlegung 
der Gleichuug a" -\- ," =z a" , wenn /j ^ 2. — I fasc. in-8", 28 p. ; Kirsle 
À Sieberth, Kristiauia. 

H. Poi.NCARÉ. — Calcul des Probabilités. 2^ édii. — l vol. in-8", IV-336 p.-, 

12 fr. ; Gaulhier-Villars, Paris. 

J.-F. Stei iense.n. — Analytiske Studier med anvendelser paa Taltheorien. 
(Thèse.) — 1 fasf. in-8'^. XIV-I'i8 p . \'. (Ji>penliagne. 
E.-E. Whitford. — The Pell Equation. — I vol. in-8'>, 193 p. ; rhez 

l'anlonr. Collège of the (^ity of Xcw-York. 

Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 

française dirigée par .1. Moi.k. — Tome I, voinme 2, fasc. 4: Algéhre. 
Théorie des formes et des invariants, exposé d après I article allemand de 
F.-\V. .Meyer, par J. DRAcn. — 1 fasc. de 96 p. : Tenbnei-, Leipzig, et Gau- 
thier- Villars, Paris. 



I 



SUR LA GENERATION DES COURBES UNICURSALES 



1. — liii théorie des combes uiiicursales entre presque au début 
dans le champ d'étude du uiathéniaticien. La liyne droite et les 
conic[ues fournissent des exemples courants de ces courbes. 

Plusieurs des transformations géométriques les plus usuelles, 
par exemple celles qui donnent les courbes inverses, lespodaires, 
les développées transforment les courbes unicursales en courbes 
unicursales. 11 serait par conséquent utile d'avoir un exposé de 
leurs propriétés qui non seulement ne dépende pas de la théorie 
générale des courbes planes, mais qui au coiftraire soit une intro- 
duction à cette théorie. Cest le but que je me propose dans cette 
Note en traitant le problème par une méthode qui admet une gé- 
néralisation facile aux courbes unicursales de l'espace à trois di- 
mensions ou à plus de trois dimensions. 

L'étude des courbes planes du troisième et du ([uatrième degré 
suffit à mettre en évidence les points principaux de la théorie. 
Au détriment de la perfection logique j'emploie des coordonnées 
non homogènes et je suppose la courbe donnée par des équations 
de la forme 

/^ /.m , 

où f Ai] = a f -\- b t"~^ -\- ... -\- l ^\ t est un paramètre varial)le; 

les différentes fonctions /"n'ont pas de facteur commun. 
(]ette courbe rencontrera la dioite 

A.r + B, + C =: 
aux n points |)our lescjuels / satisfait à léquatiou 

kf^\l] + B/,(/) + C/ji/l = U . 

La courbe unicursale est donc généralement du /?''"'" degré. Les 
•cas faisant exception sont traités dans les paragraphes suivants, 
2. — La droite. — La droite est représentée par les équations 

(hl -\- hi (ijl + l>i 

■* ■" a^t + l>. ' ^ " (ht + /'s 
L"KnseiiîiuMneiit nuitluMii., 14" .iniiiM- l'.M2. 19 



266 



Cil. TWEEDIE 



Brill avait remarqué [Math. Aniialen, vol. 12) que lorsqu'on 
suppose /? = 2 dans les équations il) et que l'on considère le cas 
de la conique dégénérée, elle se décompose en une droite tracée 
deux fois. On peut généraliser ceci et chercher dans quels cas les 
équations J! représenteront une droite. 

Supposons la droite exprimée en coordonnées rectangulaires 
.V, 1/ par 

A.r + B_>- + C = . 

Nous aurons alors l'identité suivante pour t 

^l\\t\ + B/j,/) + C/3(<) = , 

d'où la valeur nulle des déterminants formés avec les éléments 



Oz 



(1) 



La récipro^iue est viaie ; de sorte que les conditions sont néces- 
saires et suflisantes. 

Dans cette représentation à cha(jue point sur la ligne corres- 
pondent n valeurs de /, et la courbe idégénérée) consiste en une 
ligne droite tracée n fois. 

.'3. — 11 est facile de se rendre compte qu'une courbe représentée 
par les équations (I) ne peut pas dégénérer en deux courbes algé- 
briques distinctes, 



«I> (.» 



= 



et 



En elïet, ces équations devraient alors pouvoir se déduire de (1) 
par élimination algébrique de t, ce qui nécessiterait qu'elles soient 
séparément vraies pour une infinité de valeurs communes de /, 
c'est-à-dire ([u'elles possèdent une infinité tie points communs; 
iiypothèse qui n'est possible que pour des courbes (^ = et *P = 
non distinctes. 

Par conséquent la courbe, lorsqu'elle est dégénérée, est du /;^'^"'^ 
degré, m étant un facteur de /?, et cette courbe est unique. 

Dans ce (pii suit nous supposerons que les équations (I) repré- 
sentent uiio coui'be proprement ditt; «lu z/''^'"'' degré. 

4. — Coniques. — Si nous posons 



/a''i 



,, /^ + h.l + c, , 



m' 



peut-on avoir l'identité en f 



i:i/>,./ + 7,)/,<'i = o? 



(3). 



C O U li BE s l'NICiR S A L E S 267 

La condition tle possibilité se traduit par quatre relations li- 
néaires homogènes entre les six (|uantités 

'A- 'U ' l\' % ' Pz' %^ ■ 
L'identité est par consécjuent possible, et si 

(/^, . 'A •■•) ' </V 'l[ •••' 

sont deux systèmes de solutions, les autres systèmes sont déter- 
minés par des combinaisons linéaires de ces deux. 
Nous sommes ainsi conduits à deux identités 

L + M = , 1/ + tM' = (4) 

où 

M = p^x + p^y + p^ ; etc. 

(L'équation en ./■, // de la conique est donc LM' — L'.M = Ou 

Il s'ensuit immédiatement la propriété projective de la conique 
comme lieu de l'intersection des rayons correspondants de deux 
faisceaux projectifs de droites. Le paramètre ^ a également une in- 
terprétation géométrique. 

On pourrait aussi remplacer les deux systèmes de solutions 

(p, , ...) et (/>;,...! 

par deux de leurs combinaisons linéaires; mais les faisceaux ainsi 
obtenus seraient les nièmes et cela ne donnerait lieu à aucun ré- 
sultat nouveau. 

5. — Cubiques. — Xous prenons ici 

f^Ul=a,t^ + ... ^ d^ . (5) 

Dans ce ("as la supposition 

détermine cin([ relations homogènes entre les six quantités 

i> . . . . </ ; 

I 1 '8 

leurs rappoits admettent alors une seule solution indépendante. 
Il existe par consécpient une relation 

L 4- /.M = (7) 



268 en. TWEEDIE 

dans laquelle 



L'hypothèse 






-'/\'^' + ^/a-' + ^'4''' = '^ 



déterminerait six équations entie les neuf quantités 

/'i ••••'•= • 

Il y a par conséquent trois systèmes de solutions indépendants 
et les autres systèmes de solutions en sont des combinaisons li- 
néaires. Nous pouvons prendre pour deux de ces systèmes les va- 
leurs 

- /\ • 7i : " • ï>^ . <U • '''^• 
et 

J\ - 7i • o ; /\ . '/, , ; elc. 

données par 

L + /.M = ei ]j + y\e- = . 

Supposons que/?', r/' , /' , etc.; soit un troisième système de so- 
lutions auquel correspond lidentité 

]/ -f w'i + X'/2 = , (8) 

dans laquelle 

L = ;• X -4- r r -\- r : elc. 

1 ' s- ' c 

Comme (8) représente une tangente à la section conique 

M'2 — 'd/.\' = . 

nous en tirons la conclusion : 

La cubique peut être envisagée comme la courbe engendrée par 

le point commun ii 

L + /M = . (9) 

1/ -j_ M'< -(- ,\'/2 — . (10) 

Enfin le théorème : 

La (i(bique uniciiisale peut être considérée comme le lieu de l'in- 
tersection des rayons d'un faisceau avec les tangentes à une conique. 

Ou encore : 

Etant données deux séries ponctuelles et un faisceau de droites en 
correspondance projective ; la droite joignant les points correspon- 
dants des deux séries coupe le rayon correspondant du faisceau en 
un point dont le lieu est une cubique unicursale. 



COL H li É S U N IC U H S A A E S 269 

0. — Le point double coi respoiul à 

L = , M = , 

autrement l'équalion 

L + «M = 

ne serait pas satisfaite pour deux valeurs de /, condition néces- 
saire pour le point double. 

I^e point double est donc le sommet du faisceau de dioites dé- 
terminé pai' 1) . 

L'équation de la cubique, en x et y, s'obtient par l'élimination 
de t entre (9) et ilOi. 

Aux deux tangentes à la conique enveloppée par 10) corres- 
pondent les droites du faisceau tangentes à la cubique passant 
par le point double. Ainsi le point double à deux branches réelles, 
est un rebroussement, ou un point conjugué, selon ([u'il est 'pris 
extérieurement à la conique, sur la conique ou intéi-ieurement à 
la conique. 

7. — Lorsque la coni([ue enveloppée par (iO) rencontre la cu- 
bique, elle lui est tangente. Rlle a donc généralement trois points 
de contact avec la cubique. 

La propriété du contact peut se prouver analytiquement comme 
suit. 

Supposons une courbe engendrée par un point satisfaisant aux 
équations 

*(/! = A.r + Bv + C = (11) 



V(M 



K'x + B'j + C 



(12) 



dans lesquelles les coefficients sont fonctions d'un paramètre t 
dont la variation détermine la courbe. 

Soit P un point quelconque [.r^, iff^) sur la courbe correspon- 
dant à /=^o et représentée par ^ = 0, *P = 0. 

La tangente en P ;i la courbe est en général doiuiée par 



<l'o 



»1- 



= u 



ii:^) 



. ^',11 f/'l' 
ou 0^ est la valeur de — pour .^• = .^„, i/ = i/^ , f ^ 'o • 

L'enveloppe de </> ^ s'obtient en éliminant / entre 

'h = <» tt '!>' = . 

Pour un point commun à la courbe et ii l'enveloppe de ill) 
l'équation ^lo se réduit a «/>=:- ; les deux courbes ont par consé- 



270 CH. TWEEDIE 

quent une tangente coinnume. La même propriété reste vraie pour 
tous les points communs à la.courbe et à l'enveloppe de (12). 

8. — I^es autres solutions de Téquation 

donnent 

L + fM = 

L' 4- Wt + ^'f^ + [S.t + B)(L + /Ml = 

où A et B sont des constantes arbitraires. On peut conserver le 
même faisceau et remplacer la conique enveloppe par une infinité 
d'autres coniques'. 

9. — Quartiques. — Supposons 

/•, = «,<*+ ... +e, , 
l'identité 

est alors généralement impossible. Nous reprendrons ce cas plus 
loin. 

Si nous supposons 

des sept équations, entre les neuf quantités qui en résultent, nous 
déduisons deux relations de la forme 

f'h + 2<M + N = (14) 

t-W + 2tM' + X' = . (15) 

Toute autre relation peut être réduite à la suivante 

/•■'iL + AI/) 4- 2<(M + AM'I + X + AN' = ; (16) 

où A est une constante. 



I II i-st facile de démontrer que si les points de la cubique correspondant aux valeurs t^. t^. 
t sont en ligne droite, alors il existe une relation 

F(<j, ^,, <,i = ^lUi + BS^i^, + CS/j + D = 

dans laquelle A, B, C, D sont des constantes. 

'à'x t z= t. est un point d'inflexion, c'est une racine de 

Kfi + .3B(8 + -iCt + D = (X) 

II y a donc trois inflexions et si ij , «j, ij sont les racines de |X), alors !■" ù'i . £j. 'j) = 
de sorte que les trois inflexions sont sur une même droite. 



COURBES UNICURSAf.ES 271 

(Deux équations de cette forme peuvent naturellement être subs- 
tituées aux équations (14) et (15 .) 

Or les deux équations (14) et (15) représentent des tanfjentes 
aux coniques 

M« — LX = : M'- — L'.N' = . 

On peut donc énoncer le théoreine suivant : 

Une courbe nnicnrsale du quatrième ordre peut généralement 
être engendrée par l'intersection des tangentes à deux coniques qui 
sont en relation homograp/iique l'une avec Vautre. 

Ou encore : Etant données quatre séries homographiques de 
points, la droite réunissant deux points correspondants de deux des 
séries coupe la ligne droite correspondante, joignant des points des 
deux autres séries, en un point dont le lieu est une courbe uni- 
cursale du quatrième ordre. 

10. — Points doubles. — Pour un point ordinaire (.r, t/] de la 
courbe, les équations (14) et loi admettent une racine commune 
en t : pour un point double les deux racines en / sont communes. 
D'où, pour un point double, les relations 

L _ M _ >• 
L' ~ Sr ~ V ■ 

Si nous représentons le rapport commun par g, l'élimination de 
X et y conduit à une cubique en g. Il y a par conséquent, en gé- 
néral, trois points doubles. 

L'équation ordinaire de la courbe du quatrième ordre en fonc- 
tion de .r et y s'obtient par rélimination de t entre les équations 
(14) et (15), soit 

4 (MX' — M'N) (I>M' — ]/iM) = 1X1/ — X'L)'' 
ou encore 

' C,C, = C," 

où C, , C, , C.3 sont trois conicjues passant par trois points com- 
muns ^les points doubles de la courbe du quatiiéme ordre s 

Nous arrivons ainsi à une autre génération connue de la courbe, 
c'est-à-dire comme intersection de 

Cl — XC, = , el ÀC, — C, = , 

où X est arbitraire. 

11. — Nous savons par le «^ 7 (pie cha(|ue conicpn' 

M- - 1,N = . M"'' — I/X' = 



cil. TlVEEniE 



coupe la courbe du quatrième ordre en quatre points. Nous trou- 
vons de plus ici la piopriété suivante. 

[.es tangentes génératrices !l4) et 15) peuvent être remplacées 
par deux autres du système (10) dont la conique enveloppe est 

donnée par 

(M + AM'i^ — (L + AL') |N + AN'i = 

c'est-à-dire 



M2 _ LN + A(2MM' — LN' — L'N| + A^M'^ _ L'N^ = 



(18) 



La variation de A dans 18) détermine un systènîe de coniques 
dont Fenveloppe est la courbe du quatrième ordre elle-même. 
12. — Revenons au cas 



^^Pj + 'L}f, 



(17) 



Cette identité n'est pas possible, en général, et la condition de 
possibilité s'exprime par l'équation 



«1 «i (I3 

l'i l'î l>z 

?! ei e^ 









a, fis fio 



II existe deux solutions pour 



S 1 p <- + 7 t -\- r I /■ = 



k ' k- 

correspondant à l'identité (17) multipliée par A^ + B et qui n'en 
sont pas indépendantes. 

11 y a ({uatre solutions linéairement indépendantes relatives à 

Trois de celles-ci sont données par l'identité (17) multipliée par 

A/« + B/ -f C . 

La (juatricme est une identité distincte, 

L'/* + M'^'' + N'/ -t- P' = . 

Nous avons ainsi comme génératrices les équations 

Li 4- M = ) 

(19) 
h't^ + MY- + N'< + P' = 



C OUR fi E s / ■ .V / C UKSA L E S 273 

L'élimination de t entre elles délerniine une courl)e ilii quatrième 
ordre ayant un point triple au sommet du faisceau de lignes et 
donné par 

T, = ; M = . 

13. — Xous pouvons maintenant (Mioncer les propriétés concer- 
nant les courbes d'ordres supérieurs et cela sans nouvelle dé- 
monstration, les développements qui y coiiduisenf étant sudi- 
samment illustrés par ce qui précède. 

Théorème. — Une courbe iinicursale C de degré n, peut être en- 
gendrée par l'intersection des tangentes correspondantes à deux 
courbes unicursales C, et Ç^.^ dont la somme des classes est n. 

Le cas normal pour n = Im est celui où chaque enveloppe géné- 
ratrice est de classe m\ et pour n = 2m -j- 1 où une des courbes 
enveloppes est de classe m et l'autre de classe m -\- i. 

Ce n'est que dans des cas exceptionnels que les classes seront 
respectivement m — a et m -\- a ou m — a ei m -\- \. -{- a. Les 
courbes enveloppes sont dans tous les cas unicursales et on peut 
également leur appliquer le même mode de génération. 

Un point de rencontre (juelconque de (] avec C, ou C; est géné- 
ralement un point de contact. 

14. — Espace à trois dimensions. — Les mêmes méthodes s'ap- 
pliquent aux courbes unicursales dans l'espace à trois dimensions, 
courbes pour lesquelles les coordonnées (.r, t/, z^ d'un point quel- 
conque s'expriment en fonction rationnelle d'un paramètre t, 

~ /<!') ' " ~ /<!'' ' /<"! 

La courbe est du n'"" degré lorsque les fonctions / sont du /î'""^ 
degré. 

Pour une courbe du second degré on a l'identité 

A.r + Bv + Ce + D = . (20i 

La courbe est alors plane, c'est une section conique. 

Pour une courbe du troisième degré, il y a trois relations 

L, + /M. = , \ 

L, + <M, = . I l21i 

T., + /M, = , ] 

correspondant à une génération projective bit-n connue de la cu- 
bique gauche comme inteiseclion de trois plans. 



274 CH. TirEKDIE 

et une troisième lelation indépendante 

l„ + <M, + <2.\„ = . (23) 

Pour la courbe du quatrième ordre nous avons deux, relations 

I,. + /M, = . I-. + ;Mj = (22) 

L'élimination de t détermine la courbe comme intersection par- 
tielle dune surface quadrique et dune surface cubique avec une 
ligne double tracée sur la dernière, et qui est aussi une génératrice 
de la quadrique ^. 

Théorème. — La courbe iinicnrsale dit xV^^*^ degré peut être consi- 
dérée comme engendrée par l'intersection des plans tangents à 3 
su/ faces déi'eloppables pour lesquelles la somme des classes est n : 

Lt/" + M,/"-' + ... = 

].,/' + .Ms(''~' + .. . = , 5> avec n + h + c = n .' 
. L3/' + M,<'— ' + .. = , 



1 



Korque n = \^m la classe de chaque surface sera ordinairement 
?n ; quand n = 3w + 1 elle sera respectivement m, m, m -j- 1 
enfin elle sera m, m + 1, /'« + 1 lorsque n = 3/?^ + 2. 

15. — Espace à n dimensions. — Nous pouvons énoncer les 
théorèmes suivants. 

I. Une courbe unicursale de degré m, m étant inférieur à n, 
appartient à un espace ai/antau plus m dimensions. 

II. Une courbe de degré n qui n'est pas contenue dans un espace 
inférieur est nécessairement unicursale. 

On peut la considérer comme engendrée paile point commun à 

!.. + /.M. = 
I.„ + /.M, = 

L,, + /M„ = 



* Le lecteur peut vérifier l'affiritiHtion suivante : 

H >• a deux sortes de courbes unicursales du quatrième ordre. La première a un point mul- 
tiple et est l'intersection complète de deux quadriques qui sont tangentes en un point de 
contact. 

La seconde variété ne peut être que sur une seule quadrique et n'a pas de point multiple. 

S'il y a un point multiple (x, »/. ~). les équations (22) doivent être compatibles par rapport 
à [x, y, z) pour deux vali-urs de t. Par conséquent 



M„ — 



et la quadrique 
est un cône. 



COURBES UNI C uns A LE S 275 

III. Une coitrbe de degré n + '> si elle est nniciirsale, peut géné- 
ralement être représentée, avec itn choi.v coni>enable de coordonnées 
homogènes, par les équations 

p.r, = (< - «,)"+' 



P-Ï'2 = (' — "î 



," + ' 



P-r„ + , = \t - «„ + i)" + ' 



IV. Une courbe unicursale du m'"'* degré peut être considérée 
comme engendrée par les n équations. 

f^ixi . .rj . ,»•, ... t\ = 

f'f,{-ri , .r, . .rs ... /I = 
etc. 

dans lesquelles les n fonctions f .vo/«/ ^(?s fonctions linéaires des 
coordonnées et sont de degrés a, b, c, en t, tels que a -|- b -{- ... =r /w 

Ch. TwEEDiE Edimbourg;. 

Traduction de M"-^ R. Masso.n (Genève). 



SUR LES DYADS ET LES DYADICS DE GIBHS 



1. — Les disciples de IIamilton et de Gibbs, dans leurs critiques^ 
à nos travaux sur la théoiie i^énérale des vecteurs et des honio- 
graj)hies vectorielles^, soutiennent que le système qu'ils ont 
adopté de IIamilton ou de Ginss) est complet, parfait et digne 
d'être considéré comme système universel. Or ces deux systèmes 
étant distincts et, encore plus, en contradiction entre eux, on doit 
donc conclure que les deux ijiroupes de partisans ont tort tous les 
deux. 

f^e système originel des quaternions de IIamilton avec les sym- 
boles I, I~'j est sans doute parfait pour sa généralité et sa préci- 
sion ; mais il est incomplet"^, car il ne peut donner que d'une ma- 
nière tachygraphique et au moyen de vecteurs de référence, les 
homofj-raphies (qui ont !) dimensions et les dérivées par rapport 
à un point à 9, 27... dimensions). 

Il est inutile de pailer des systèmes de pseudo-quaternions, 
dérivés du système de IIamilton; ils sont inexacts dans leur fon- 
dement; ils font usage de notations illogiques; ils ne peuvent pas 
amplifier le champ des vrais quaternions de IIamilton. 

Nous avons accepté le principe de Çf\\\?,f, (}i indiquer avec un signe 
ûf'oiMÎHAiTON (et non de fonction) le produit intérieur et vectoriel. 
Mais nous navonspaspu accepter les signes correspondants . , X, 
pour des i-aisons historiques et surtout parce que le /)om^ est signe 



' L'Enseignement mat/umatitpie, XI' aniK-e (l'J09), p. 4fi, lïit-l'S'i, 211-21", '159-460; XII" année 
aolOi, i>. 3y-.54; XIII' année (l!»lll, p. 138-ri8. 

The iinificatinns i>f vectorial ni-tati<ins bv E.-B. Wli.soN in Bull, nf thc American Math. So- 
ciety, 2'' séries, v. XVI, n« 8, p. '»1.-)-436, New-York |1910) : et un article de M. J.-H. Shaw in 
Bulletin itf the International Association for promoting the study of Quaternions and allied 
si/stems of Mathcniatics, p. 26-27, October lltlO. 

' Nos notations et l;i binliogniphie complète de nos travaux sont exposés dans notre livre : 
Elemenli di Calcolo vettoriale, Bologna, Zanichelli, 19(i9: Eléments de Calcul vectoriel, traduit 
de ritalicn par S. Lati i;s, Paris, Hermann, I9I0. 

On peut voir aussi : Omhgrafic vettnriaU, etc., Torino, Petrini. 1909. Les formules et les opé- 
rations (|ui se trouvent dans la première partie de cet ouvragi; suffisent pour aborder la plus 
grande partie des questions géométriques, iiu'caniques et physiques auxquelles le calcul vec- 
toriel minimum ne s'applique pas. C'est ce tpie nous avons prouvi' dans la seconde partie de 
notre livre et dans plusieurs autres publications, dont nous donnerons prochainement la liste. 
Il s'agit de prestpie quatre-vingt travaux de MM. Blrali, Bogoio, f.isoi ii. (^oi.onnktti, Gar- 
BASso, Lazzari.no, Li'.vi-Civit A, Maugi, MAHcot-ONoo, Pai.omhv, Santa.noixo, Vivanti. 

' Eléments de calcul vectoriel, p. 204. 



n I A I) s E T I) I A I) I C S 277 

Ae séparation ; et si <ni lui doiiin' d aiitics sii^iiilications, on j)('Ut 
faire naître des confusions. Nous avons adopté les siones X, A ' 
mais la forme du signe n'a pas d'importance, pourvu (pTclle soit 
pratique et soit toujours celle dune opération. On pourra choisir 
à plaisir, même parmi les sii>'nes astronomi([ues ! 

Nous avons fait une longue critique du v de (finns'. (le V, avec 
des signes à droite ou à gauche, est un opérateur; puis il devient' 
un vecteur sijinboliijue ; il finit naturellement par être un symbole 
inellicace, et bien dilTérent du nahla de llAMii/roN qui est un sym- 
bole parfait et puissant, mais seulement pour les (juaternions. 

Nous n'avons jamais parlé des chjads et des di/adics de Ciiiuis, 
qui forment la base de la théorie de la ti-ansformalion linéaii-e des 
vecteurs en vecteurs. 

Cette théorie de (iiinss, considérée comme une des premières 
tentatives, a eu certainement sa valeur; quoique nous croyons ([ue 
les méthodes fonctionnelles parfaites de Hamilton auraient dû 
faire suivre à Gibks une autre route. Mais leuj- valeur réelle est 
presque nulle; et le lecteur pourra aisément se convaincre de ce 
que nous avançons par l'exposition suivante, très rapide, des 
choses fondamentales de la théorie des dyads-. 

2. — Soit : r un vecteur, a^- , b^- [i = 1, '2, ••• n deux successions 
de vecteurs. Gibbs considère le vecteur r', fctnction linéaiie de r, 
au moyen des successions a , b : 

( r' = ai . bi X r + 82 • bj X r + . . . 

(1) 

( r' = r X bt ai + r X bo . aa + ... ; 

ces deux foi-ines * dérivent de ce (pu- l'on a «'crit à droite ou à gauche 
du vecteur a^ , le nombre b^. X r = r X b^ qui le multiplie. 

De ces formes effectives, Giiuis passe, tout court, aux foi-mes 
symboliques 

( r' = ra,bi + ajbî + . . .1 x.r 

(l'i 

( r' = r X ibiHi -f biBo + . . . i : 



1 L'Enseignement mathématique, Xlli- anm^e ilitlli. p. 1^3. 

» Celte théorie a été l'objet de la dernière partie des Elément.'! of Vector-Anatijsis dans les 
leçons de 1881-82, fqiii ont été imprimées dans The .tiientiflf l'apers of .1. Wiii.ahi) (limts, 
New-Vorli. mot'., V. II, p. 17-9(1. Mais ces reehendies ne l'nrent ronniies (pi'aprés la publication 
delà Veitor Analysis par M. Wii.so.x (New-York. tltii2: 2' édition liKllh dont elle occupe les 
derniers chapitres. C'est encore la partie la moins connue de l'ieuvre de (iimis; les auteurs 
allemands qui en parlent se limitent en elTet aux premières définitions et n'ont pas fait d'ap- 
pliiations — qui sont peu nombreuses aussi dans la Vector Auati/sis. Nous parlerons plus loin 
du livre de M. .J.\i:.\ian>-. 

3 Aux symboles d'opérations . X <le Omus nous substituons nos symboles X, A • Dans (1) 
les points sont des séparateurs: ainsi Ri • b, X r est la même chose que a, (b, X D, c'esl-à- 
dirc- le produit du vecteur a, par le nombre b, X F- 



278 C. tiU HA I.I-FORTI ET R. MARCOI.ONCO 

et avec les positions 

* = aib, + asbs + . . . . t = «l>^. = b,ai + bjaj + . . . , 

il donne aux I les formes 
(1*) r' = * X r , r' = r X *,, , 

GiBBs ne manque pas de donner un nom aux formes considérées : 
<2> est unedt/adic; <i>, est la di/adic conjuguée de (t>\ les parties 
a b ou b a sont des dijads. 

Mais il ne donne pas une définition formelle, logiquement pré- 
cise et absolue de la dyxid et des dyadics et le passage arbitraire de 
la forme effective (1) à la forme symbolique 1') ou (1") constitue 
LA sFA'LE DÉFINITION dcs dyad et des dyadics. Quelle différence 
avec la précision de Hamilton ! 

Si l'on fait usage de notre' symbole H les relations (il prennent 
la forme unique 

(2| . r' = j H ibi , ail + H ib, . Hj) -I- . . . I r . 

et il parait alors que la correspondance entre la notation de Gibbs 
et notre H soit exprimée par la formule 

(2i (a,bi + a^bî + . . . i x = H ibj , aii + H ibj , 821+ ... 

ou bien, pour un seul terme, 

(3) labl X = H(b . a) . ^ 

Mais GiBBs dit encore (p. 272 : « On the other hand the product 
ab is neither vector nor scalar — it is purely syniholic and acquires 
a determinnte physical meaning only vvhen used as operator. » 
Alors W parait qu'au lieu de (.3! on doit avoir 



(4) 



ab = H (bai. 



Il n'est pas possible d'imaginer une plus grande confusion. Le 
ab ([ue Gibbs appelle indeterminate product est en réalité une en- 
tité indéterminée ! 

3. _ Dans les formules suivantes, le premier membre donne la 



> Oinogra/ie vetloriaU, p. ao. H (O , V) est l'homographie tellp que si x est un vecteur arbi- 
traire on a 

Hlu,V!X = UXX.T • 

* Nous ne pouvons pas traduire la 2« forme (1). c-ar nous considt-rons seulement les opéra- 
teurs à gauche. Et nous n'avons pas besoin, comme Ginns, des opérateurs à droite, puisqu'on 
a \Omogr. vett., p. 2(l| 

K Hiu, VI = H IV. Ul . 



/> / .4 /) S E r /) I A ni C s 279 

notdtittn lie pioiliiit simple ou double des dyads et des vecteurs; 
le second est la définition du premier, suivant Gibbs; et le troi- 
sième établit la correspondance, d'après (4), entre le second mem- 
bre et notre H. 

(5) labi X icdi = b X c ad = H ib , ai . H id , c 

16) lab' A r = a'b A ri = — H If . ai . b A 

y d X ) Hic . di . H (b . ai I d 
(7i ab'cd = axc.bxd = ^ 

X Q 

(8) ab cd = a A CHb A d' = — a A • Hid . c . b A - 

La relation 5i dit que le produit intérieur de deux dyads n'est 
que \eur pioditit /bnctionnel. Xpvès l'usage magistral qu'Hainilton 
a fait du produit fonctionnel, le produit intérieur de deux dyads 
(ou de deux dyadicsi n'a plus de raison à être considéré. 

Les derniers membres de (6), (7) ... |9) démontrent l'inutilité 
des premiers, dès que l'on a introduit l'homographie H(u, v), si 
naturelle et si logique ; et ils démontrent aussi leur inutile com- 
plication, indépendamment de IL 

4. — La définition des trois membres des formules suivantes est 
analogue à celle des formules ,5) ... (8) suivant Gibbs ; <^s et ^^ 
sont respectivement le scalaire et le vecteur Ae <5 ; ^^ est le se- 
cond de fJ>. 

^ <l>s = ai X bi + . . . = h* 

{ 4'^ = a, A bi + ... =- 2V4. 

(lOi ♦î = -* * z= Kl» ' 

•1 A 

(11) 1*23 = I2* 

I X 

(12) 4>. = - *j * r= Ij* . 

' .! X 

Scalaire signifie nombre; pourquoi alors appeler scalaire de <î> 
seulement (t>^ : «ï^., s et fp.^ ne sont-ils pas aussi des nombres? A 
n«>s notations uniformes, (fui ont une définition très simple ef (pie 
nous introduisons dès le début de la théoiie : 

l,* , Ij* . U* 



* Pour cet opérateur H, voir: (Jmogr. i'ctt.. |i. 2'i. 
Il faut aussi se rappi^ler que 

IjHa = Ija 
llhidem. p. 2h. lorm. (6| |. 



280 C . H U I. A I. I -FOR T I E T R . M A R C I.ON G O 

correspoiuleiil les nolatioiis de Gii?»s : 

elles ne sont pas uniformes, et, ce qui est plus important, elles 
ont une définition très compliquée, il faut encore observer Vana- 
logie des deux notations <^._j , ^^ nialyrë leur grande diversité ! 

La <^., correspond à l'opérateur R ({ue nous avons défini d'une 
manière très simple, absolue et qui nous a été dune grande utilité 
dans les applications. 

5. — Suivant nos notations, nous avons identiquement 

a = Hji . ai) + H(j , aj) -f H (k , akl 
Ka = H lai . il -j- H(aj . j) + H(ak , kl : 

a est une h<»mo<^raphie, i, j. k est un si/st'cme orthogonal dc.vtror- 
su m. 

Gibus arrive aussi à une forme semblable pt)urune homooraphie 
générale au moyen de trois dyads ; ainsi jjour Giuiis toute homo- 
graphie dépend de neuf vecteurs, dont trois sont fixes; tandis que 
pour nous une homographie est indépendante de tout vecteur de 
référence. 

Nous réduisons une homographie à la somme de sa dilatation 
et d'une homographie axiale, qui sont d'un usage continuel dans 
les applications. Les mêmes éléments figurent aussi dans Gibbs 
(self-conjiigate ; anti-self-conJKgate dyadicj, mais sous une forme 
si compliquée que leur usage dans la pratique est impossible. Et 
c'est j)our cela que ces éléments constitutifs et essentiels d'une 
homogiaphie ne jouent pas un rôle bien important dans le livre 
de GiBiis. 

6. — En résumé, les notations de Gibus sont en contradiction 
avec les lois fonctionnelles, claires, simples et fécondes de Hamil- 
TON ; et les parties utiles et prati(jues de sa théorie des transfor- 
mations linéaires restent cachées sous un symbolisme incommode 
et incorrect. 

Ces défauts ai'rivent à un maximum dans l'ouvrage de M. Jau- 
MANN ^ Il ne paraît pas que M. Jaumann ait une idée bien claire du 
signe, =, d'égalité; car pour exprimer que deux vecteurs, deux 
dyads, etc., sont égaux, il croit bon de superposer au signe =: les 
noinbres li, 5, 9, ... 27. Par cela il veut signifier (jue rétpiation 
vectorielle considérée peut ètie substituée par i}, 5, 0, ... 27 équa- 
tions algébriques entre les coordonnées ; il fait donc aussi de la 
tachygraphie cartésienne et non pas du calcul vectoriel. 



I 



^ l)ic (irundlagcn dur Bcwej^itngslchre l'O" lincin iiiotlerneii Standpuitkle ans, Leipzio;, Biirth, 
1905. 



I) I A I) S i: T in A nies 281 

l.a notation ab clr ("iiiiiis poiii' une dyad pctuvanl se confondre 
avec celle dw hivecleur de Ghassmanx, M. Jai.maxx doit s'éloiniier 
des notations de Gibus; et il éciil a. b pour la dyad. Ainsi la c/V- 
f^iile a acquis le caractère diiti signe d'opération, ce (pii nest 
ceitainenient pas convenable. 

Mais M. Jau.manx trouve aussi nécessaire de considérer deux 
dyads ; la dyad scalaire a T b , qui est celle de Gibbs et la dyad de 
rotation a^b . Ne considérons pas le peu de précision des défini- 
ti»»ns et des notations de M. Jaimaxx ; observons seulement que 
a î* b correspond à notre opérateur vectoriel a /\ . b /\ ; c'est-à- 
dii'c au produit des deux hoiuo<iraphies a.viales b /\ , a A • Mais 
il est facile de vérifier que 

a A b A = llia . bi — a x b 

n'est pas une rotation et, par conséquent, la dénomination de 
M. Jaumaxx est inexacte; d'un autre côté a? b est un opérateur 
cpii dépend d'autres opérateurs plus simples au moyen d'opéra- 
tions fonctionnelles bien définies; il ne doit donc être pris comme 
opérateur primitif ! 

Le V de Gihbs est pour M. .Iaumaxn une bonne source de nou- 
veaux tachygraphes cartésiens. Pour bien voir leur inoppoi'tunité, 
même comme tachygraphes, il suffit de les confronter avec les 
formes qu'ils prennent avec notre opérateur absolu et bien défini 

■jp . La dérivation scalaire et sa cotijuguèe, que M. Jaumaxx écrit 
avec les notations symboliques 

axv^lJ^'ax^'b. axbfv = V}jaxb, 

correspondent à nos notations simples et absolues et (fui ont une 
sii^ni/ication fonctionnelle tr'cs précise ' ; 

rfb ,. f/b 

La dérivation de rotation et sa conji(i(uee sont exj)rimées par 
M. Jaimaxx par 

axb^?. (aAv)Ab 



I Los .uiteiirs allcniands font usage <le la notation (a grad)b [Oinogr. vett.. p. 51]. Cette no- 
tation a boaiicoup dr di'-faiits. Le vecteur qu'elle représente n'a rien à voir avec gradient. 

II parail qui- ce vecteur est obtenu en appliquant à b «" opérateur fonction de a: tandis que 
c'est le contraire qui a lieu; c'est-à-dire que ce vecteur s'obtient en appliquant à a "" opéra- 
teur fonction de b • 

Voilà les erreurs logiques qui di'rivcnt de la t'ormalion. par simple analogie, de tacliy- 
gi-aphes cartésiens. 

L'Enseignement niathéin., li' année; 1912. 20 



282 



//. SCI/iJJPP 



a /\ V est lin nouvel opcidletir si/mbulique'.\ -, elles cori-espondent, 
avec nos notations, aux 



— clivb.a+ ^pa 



iliv b . a + Iv tf; a 



H est bien entendu que M. .Iaumaxx obtient tout cela avec les 
coordonnées et ensuite ses opérateurs syniboliqucs font ressem- 
bler ses formules à de véritables hiéroolyphes égyptiens. Il n'y a 
rien d'absolu et de concret dans ces opérateurs; rien qui soit pra- 
ti(iue et qui réponde aux idées logiques précises tte l'œuvre ma- 
gistrale de Hamiltox. 

t!es opérateurs symboliques, semblables à ceux dont Gibbs et 
ses élèves font un si large usage, sont donc inutiles et ils ont 
beaucoup retardé le développement logique du calcul vectoriel. 
Nous espérons l'avoir démontré, d'après ce que nous avons dit. 

C Bi HAKi-Foirri Turin) et R. Maucolongo (Naples\ 



DEFINITION DES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 
PAR LEUR THÉORÈME D'ADDITION 



.M. Os(;ooi), dans son livre sui- la Théorie des fonctions', dé- 
montie (jue toutes les fonctions, possédant un théorème d'additiojî 
analogue à celui du sin, et cos, sont, au fond, idcnti(jues à ces fonc- 
tions. La démonstration dOsgood n'est pas très simple et conduit 
finalement à l'équation différentielle y" + y = 0. La démonstra- 
tion peut être sim])liriéc et comme l'exposé suivant ne suppose rien 
de l'analyse supérieure, cette détei-minalion des fonctions Irigono- 
métriques par une équation fonctionnelle pourrait être accessible 
à renseignement secondaire (dans un exposé un peu serré). 

Osgood établit d'une fa(,'on élémentaire, au début de son exposé, 
que la continuité en un point entraîne la continuité en tout point. 
Nous ferons donc à priori les hypothèses suivantes, qui n'impli- 
<|uent aucune restriction. 



' l.ckrbitch dcr t'unklinnenlhcorie, tome 1, p;t};e5Mlc'l suivantes. 



F O N C TION S T H l C <) .V O M R T H I Q U E S 



283 



Soient S .r ef C r 2 fondions dcfinies et continues, satisfaisant 
aux ('({nations fonctionnelles : 



in 



i Si.»- + V) = S IJ-) . Çjjl + C(.r) . S(r) 
1 C(.r + .,•) = C(.i-) . C(v) — Six) . S(v) 

|2) S(— .r) = — Si.*-) , C(— X) = C{x) . 

De i'I' résulte ponc .v = 

|3) S|0| = . 

D'où, d'après 1) 



on aura donc soit 



C(O) = C^iOi 



CiOi = ou C(0) — I . 



[>a V" valeur donne, en faisant y = dans 1 comnie solution 
du problème 

S[x) = U , C(.ri = . 

Xous ne considérerons donc dans la suite que le cas 

(4) CiOi = 1 . 

De la 2"" é({nation 1; résulte, pour // = — .<• , et d'après (2) 

(5) 1 = C'^i.rl + S'^l.rl . 

Les valeurs des fonctions sont donc comprises entre — 1 et + 1 . 
On déduit, ensuite, exactement comme en tritionoméf rie les 
formules 



|6) 2C-'(:l-\ = 1 + C\x\ et -S'( 9 ) = ' - ^'''•*'' • 

Si.i- = p est un zéro de S ri, .r = np est aussi un zéro; car de 
1 résulte pour ij ^ p el x = p, '2p. Ap, ... successivement : 

S ( 2p I = (1 Sr.ip\ = . ... Sinpt = , ... 

On peut donc déterminer un intervalle < .t;^ « , ne renfer- 
mant aucun zéro; car, sinon, f ('tant pris aussi petit qu'on le dé- 
sire, les zéros de Sui s'accumuleraient partout et S .ri serait 
identi(|uement 0'. 



' La marche suivie jusqu'ici est aussi celle d'Osgood. 



•28 'i //. SCHUEPP 

A cause de la coiitimiité, le signe de S r reijte constant dans 
l'intervalle. 

De plus, à cause de |4, et de la continuité de(J.^■^ on peut choi- 
sir f suiïisamnient petit pour que i\'.v reste toujours positif dans 
l'intervalle. 

Soit a un point quelconque de l'intervalle S// la valeur corres- 
pondante de S(.r). 

Puisque | S «^ | •<; 1 , on peut déterminer un angle a, 

— ^ < a < + 7 . tel (lue 

S|V/| r= siin a . 

D'après ^5 , et puis(jue i'.\a] >> , 



Cirti = + i/l 



Mil % zzr cos a 



De (6) résulte, puisque S .t i conserve dans tout l'intervalle le 
signe de sin a et que C(.r) reste positif, 

^ / a\ , /l — cos a . a 

et, par répétition, poui' un entier positif 

Si 1 on emploie successivement les équations il) pour 
a a 'la \n — 1) a 



^ 2"' ' ■' 2'" ' 2' 



on obtient 

Les points — sont partout denses. A cause de la continuité, on 
a d()nc poui" tout p positif, 

S[p . a\ = sin \p . j.\ , C\p . a\ = cos ip ai , 

et comme les fonctions S .f et sin ;.r , C(.^) et cos (.r) sont en 
même temps paires ou impaires, les relations sont vraies encore 
si p est négatif. 



FRACTION S DEC l M A I. E S 285 

Kn faisant enfin 

a 
pa zn X , — -=. \i. 

' a 

i)n a, pour tout .i , 

(7) S(.v| = sin la.r) C |.r) = cos (a.r| . 

Une vérification montre que cette forme îles fonctions cherchées 
est non seulement nécessaire, mais encore que toute valeur de ii 
fournit une solution. 

La méthode s'appli(iue aussi à la fonction ti^ (,r) . 

H. ScHLEi'p Zurich . 
|Tra<Iiiction de M. F. Lévy, Genève.) 



NOUVEAU PROCEDE 

porn LE 

DÉVELOPPEMENT DES FRACTIONS DÉCIM.KLES 

PÉRIODIOl ES SIMPLES 



1. — On sait qu'une fraction proprement dite %~ à dénominateur 

X premier relativement à 10 , fournit un développement décimal 
purement périodique.. On l'obtient par division décimale de R^ 
par N. Nous indi([Uons, dans ce (jui suit, un procédé beaucoup 
plus simple, qui n"a pas été signalé jusqu'ici, bien ((u'il soit élé- 
mentaire. Il s'appuie uniquement sur l'addition et la multiplica- 
tion, il est donc, cpiant au degré des opérations utilisées, plus 
simple que le procédé habituel. 

Nous supposons le d<>nominateur .\ de la forme 10/« — 1, ceci 
sans nuire à la généralitf", car dans les W autres possibilités 
10//Î + 1, ïi)m -\-'-^, lO/?i — ;>, on peut passer à la foinio choisie, en 
multipliant haut et bas par 9, .{ ou 7. 

Les équations suivantes traduisent le proc('dé usilt* par division : 

lOR = N . V + K . 

(I -Il 



KlH = X .y + W 



lOR — N .V + R 

A — 1 ■ k k 



1 , 2 , :i .1 



286 



/. . PA S TERN A K 



oi'i R, , R^... sont les restes des divisions successives et //, i/^... les 
chiflres du développement cheiché. 

Avec ces équations on peut montrer, sous Ihypothcse faite, N 
premier relativement à 10, que le développement est purement 
périodique ; et aussi que R^ est en même temps reste de la divi- 
sion 10^ R„ : N . 

Si Kt est le premier reste égal a Rq, / est la longueur de la pé- 
riode, dont les chiffres sont y^ y.2--- //,. 

Décomposons Ra en la somme de ses dizaines et de ses unités: 

K, = 103, + ., . 

On déduit de il , en faisant \ = 10/;^ — 1, 
10R,_, = (lOm - Iiv, + lOr,,. + e, = 10 (mv, + ..,1 + e, — r, • 



lien résulte que e, — //, est divisible par 10, ce qui ne peut 
être que si 



(3) 



puisque 



e, et V, ^. 9 



D'où réduction de l'équation ci-dessus à 



(4) 



R;._, = '»>•/ + 



K,_, = me. + z. 



On a donc le théoreine: Si le dénominateur de la fraction -;^ a la 

forme iOni — 1, la suite des chiffres de la période de son dévelop- 
pement décimal est la même que celle des unités des restes suc- 
cessifs. En particulie!-, de R, =: Rq résulte que le dernier chitTre 
de la période est le chiffre des unités du numérateur Rq = lOc,, 
-1- e^. Pour le procédé habituel, cette propriété reste sans emploi, 
puique les e^ se déduisent immédiatement après les yj^. 

Mais la formule récurrente '\U permet de calculer en sens con- 
traire la suite des restes, d'où se déduira la période renversée. 

D'abord nous avons de R^ = R^ la valeur e^. De (4) résulte 
^t-\ ^^ siïisi de suite. I.e calcul se termine sitôt fju'est obtenu un 
reste égal à R^. 

La simplicité de ce procédé ressort des e.reinjjles suivants: 

1" Développer '— ; 



H„ = R, = .{'i 






FRACTIONS DEC IMALKS 
l/on peut disposer le calcul daprès le schéma suivant 



287 



'fc-i 



34 



8 7 1 7 9 'i 



2 :; :{ i 



28 



28 36 1 (i 



2« 



31 37 19 



D'où ^ = 0,871794 . 

2 
2° Soit la fraction ^ . Pour donner au dénominateur la forme 

voulue, multiplier haut et bas par 7. Alois m = 5 et l'on obtient 



;=^= 0-28571 i . 

Les opérations, effectuées de tète, sont 

Ro = 14 Chiffre 4 

5 . 4 + 1 = 21 » 1 

5.1 + 2=7 » 7 

5 . 7 -f- ^ 35 » 5 

5 . 5 + 3 = 28 ). 8 

5 . 8 + 2 = 42 ). 2 
5.24- 4 = 1 4 =: Ro 

II. — Après avoir exposé très élémentairement le jjrocédé' 
donnons encore une deuxième démonstration moins simple, mais 
qui fait appaïaître la dépendance de la suite des restes de la forme 
du dénominateur, et enlève à la première démonstration ce que 
son début a d'arbitraire. 

[^orsque 

(i\i = 1 (inofi Ni , 

où a et b sont relativement pi-emieis à N, les nombres a et b 
appartiennent au même exposant ^(Kuler appelle a el b . nombies 
associés; Kkoneckeh, diviseurs conjuffués de l'unité . Ces nombres 
satisfont aux cont^ruenccs : 

a" = //~'|moil Ni 
c'est-à-dire que les puissances croissantes de (t 



288 /. . PASTERNAK 

donnent les niètnes restes que les puissances décroissantes du 
nombre associé /;, 

////-' ... ///>» . 

F. a justesse de cette propriété, qui est parfois utile lois de la 
détermination de racines primitives, se vérifie en élevant à la puis- 
sance .s, la congruence 

ab = 1 (mod N) . 

D'où, après multiplication par è'~\ 

a^ = h'-^mod N) . 
Mais 10 et m sont associés d'après 

10;h = I (mod N = 10m — 1) . 
Donc les restes de 

lo^ lo', 10-, ... 10' 

sont identiques à ceux de 

t t—l t—-2 

1)1 , m , m , • . • m 

Par exemple, pai' suite de 10 . 4 = l(mod39), les puissances 

10« 10' 10* 10^ 10* 10' 10» 
restes: 1 10 22 25 Ki 4 1 

et les puissances : 

/,o ',1 Y- 'i» 'i* '.» 'i« 
restes 1 i 16 25 22 10 1 

donnent les mêmes restes en sens contraire. 
De même, en général, les restes de 

lo'*!?^ 1()'h„ 10- n„ iti''H„ io'-'h„ 10' r„ 
et de 

m**n„ mU\., m"-^R„ /»''1L »/'-' H„ /»' H„ 



sont les mêmes, en ordre renversé. 

J—k 



Soit donc, H,^ r= lOc-^ + e^., le reste de 10 H^ , ou, d'après ce (jui 



précède, de m H^. Alors on a, poui- le module, N = 10//^ — 1, 



M É L A y G E S i: r c o it i< i: s i> o n d a y c e 289 

D'où 

De R^ < N , ou 10:.^. + ^^ < !<)//< — 1 , résulte 3^ < /« — 1 . Kn 
tenant compte, en plus, de e^. ^ i) , on a ine^ + ^fc <^ ^""^ — ^ ^'' 

ce (jui est la formule récurrente, retrouvée à nouveau. 

Le A''^°"' chifï're de la j)ériode, se déduit comme nombre entier 

de — - et comme 

10m — 1 

10Rj_, = IO(/He,^ + r^l = ilO/H — l)e^ + 10;^ + e^ 

on voit de suite qu'il est justement e^. 

La première démonstration, plus immédiate de la formule récur- 
rente, est due à mon fils P. Pasternak, ingénieur à Zurich. 

Mai 1911. Léon Pasternak Zurich). 

(Traduction de M. F. Lévy, Genève.) 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 



Sur l'axiome planaire de M. Peano. 

Parmi les axiomes adoptés i)ar M. Peano pour le fondement de 
la Géométrie fiouie une proi)osili()n (pic Ton peut exprimer de la 
manière suivante : 

A, B, C désignant trois jioinls (jtii n'appartiennent pas à une 
même droite, D désignant un point du segment BC, et K un point 
du segment .VU ; la droite BR eontjent un point V de la droite .\C ; 
ce point appartient au segment \{\, et le point V. appartient au 
segment BF. 

Je sépare, pour les distinguer, les trois piopriélé's ainsi postu- 
lées et dout la première seule est pioprcuiciit projectivc. tandis 
que les deux autres sont visiblt^nent des propriclt's de connexion. 

On sait (prun second axiome j)lanairc de M. Peano a été signalé 



•290 



MELANGES ET C O R B E S P O N I) A X C E 



par M. INlooHE ' comme superllu et est, en eflet, une conséquence 
du précédent. 11 est facile de reconnaître ciue la troisième des 
propriétés exprimées ci-dessus est aussi une conséquence des 
deux premières, et cest sa démonstration qui fait l'objet de cette 
Note. Il est d'ailleurs manifeste que l'axiome ainsi réduit ne sau- 
rait l'être davantas^e, car la première propriété constitue la condi- 
tion évidemment indispensable de Icxistence du plan et la se- 
conde définit sa connexion, soit : le plan est it/ie surface. 

On sait que l'une des propriétés de l'ordre linéaire ouvert peut, 
appliquée à la droite, être exprimée de la manière suivante : 

Parmi trois points d'une droite, il // en a toujours un, et un seu- 
lement, qui appartient au segment dé/ini par les deu.v autres. 

Il suffît donc d'établir que F ne peut pas appartenir au segment 
BE ni B au segment EF. 




Ee point D appartenant au segment BC, C ne peut appartenir 
au segment BD (propriété de l'ordre linéaire ouvert), et, par suite, 
aucune droite contenant A et un point de ce segment ne pourra 
contenir aucun point de la droite A(" distinct de A, deux droites 
ne pouvant avoir plus d'un point commun. Rn conséquence, F' 
désignant un point quelconque du segment BE, la droite AF', 
devant contenir un point du segment BD (axiome réduit), ne 
pourra contenir aucun point de la droite AC distinct de A, et, par 
suite, F', c'est-à-dire un point quelconque du segment BË, ne 
peut appartenir à la droite Ad. 

Si F" désigne un point quelconque du prolongement du segment 
EB, c'est-à-dire si le point B appartient au segment F"E, la droite 
F"D devra contenii' un point du segment CE axiome réduit) et 
devra aussi, par suite, E appailenant par hypothèse au segment 
DA, contenir un point G du segment CA (axiome réduit). La 
droite AC ne pouvant ainsi avoir avec la droite GD aucun point 



' K. H. MooRE, On the projective axiomes of geometry, Trans. of the Amer. Math. .Soc, 
vol. 3 (1907), p. 147. - Cf. SciiUR, Cnindlagen der limmctrif. Tetibner, Leipzig. 1909, p. 7-9. 






f 



M /■: I. A N C, K S E T C OH H E S /> O N D A NCE 291 

coinimin tlistinct de (i, ne j)ciil. en partieiilier, contenir ¥" , eest- 
à-dire un point quelconque du prolontjenient du segment KB. 

lici troisième des propriétés exprimées dans l'axiome planaire 
de M. Peano est donc bien démontrée en fonction des deux pre- 
mières et de celles qui sont exprimées par l'axiome d'ordre lap- 
pelé plus haut et par l'axiome d'après lequel (aie droite est définie 
par deii.v quelconques de ses points. 

(i. (loMiîKniAc (fiimoges). 



Sur la topologie des courbes interscendantes. 

Extrait d une lettre de M. G. Lokia à Gènes, 
à propos d'une Note de M. TiKRii;KE (Poitiers). 

...Les remarques très sensées de M. Turrière sur les « courbes 
transcendantes et interscendantes » U Enseignement mathéma- 
tique, T. Xl\', p. 205) m'entraînent de nouveau dans un champ de 
recherche où je me suis tenu pendant longtemps et dans lequel je 
reviens toujours avec plaisir. « J'y suis, j'y reste » pour observer 
qu'une phrase écrite par ce géomètre a besoin, si je ne me trompe, 
d'un commentaire pour être comprise à sa juste valeur. 

En elTet, M. Turrière dit que les paraboles ?/ = .7.'" , m étant un 
nombre rationnel, s'approchent de plus en plus de la courbe 

//=.r " ; or je dis qu'il faut se restreindre à ce qui arrive dans 
l'angle des coordonnées positives. Pour le prouver, il faut et il 
suflit de considérer ce (jui suit : 

i" Suivant que le nombi-e positif m ^ 1, et suivant la forme 
arithmétique de son expression réduite à ses termes moindre , 
les paraboles y := .r" se présentent sous une des SIX formes don- 
nées par les figures ci-jointes : 

2" Si on développe 2 en fractions continues on tiouve 

Les j)remières réduites sont 1 , - , '- , r-^ et les léduites sui- 
vantes ont alternativement les fuîmes 

21, + 1 2// + 1 

<'omme il s'ensuit de la loi de formation des réduites. 

Si donc on s'arrête à une réduite de rang impair on a comme 

" couibc approchante » de la courbe ,'/ = f ' une courbe (jui a la 



2Vt2 MELANGES ET C O H H E S P O N I) A N C E 

forme donnée par la fig. (i ; si au contraire on sariète à une ré- 
duite de ran^f pair on trouve que la « courbe approchante » a la 
forme donnée par la fio'. 4. Ces deux formes coïncident dans 

+ + 
1 annle X()"\ , mais sont tout à tait différentes dans les autres ré- 
gions du plan, de manière qu'on ne peut parler de limite de ces 




iFifî. I) : m = —r^ < 1 




(Fig. 2,:,«=^^>, 



■2h 



2h + l 





(Fig. 51 



2A+ 1 ^ 
2fe + 1 ^ 



2/i -4- 1 
(Fig- ••■1 "' = ]7^J-, >• 



courbes que dans l'angle de coordonnées positives. On peut gé- 
néraliser ce résultat à toutes les courbes j/ = v'" en remarquant 
que.i'", lorsque /;/ est un nombre irrationnel, est une « fonction 
bien définie » seulement pour les valeurs positives de .t. Cela 
prouve que la topologie des paraboles interscendantes est bien 
différente de celle des paraboles algébricpies, car celles-là, à dif- 



M E A ./ N a E S E T C O l{ H E S l> () .\ 1> A !S C E 



•2ya 



teience de cellt's-ci, préseutciil à l'oii^iiu; \\\\ point (Vdi-ii-t. .letiois 
que des phénomènes analogues, mais plus compliqués, se présen- 
teront en tlautres eouibes interscendantes, pat" exemple dans la 
courix' 

/T 1 






2j/2 



rappelée par M. l'urrièi-e et qui serait diyne d'une étude détaillée 
au point de vue de la forme. On peut dire même en général que, 
si les courbes interscendantes ont été peu considérées, leur to])o- 
logie est toute à faire... 

G. LoiîiA (Gènes . 



Une démonstration élémentaire du théorème fondamental 
de la collinéation centrale. 

A piopos d'un article de .M. !.. Ckelirr (Bicimo). 

Dans un article intitulé hes {\>fUYe% aAliuénu-Qs [L'Enseignement 
mathématique, XIV" année, p. lâl), M. Chelieu publie un chapitre 
de géométrie élémentaire avec le but de présenter la collinéation 
centrale dune manière élémentaire. Dans ce qui suit, j'exposerai 
une démonstration élémentaire du théoième fondamental de la 
collinéation centiale, que M. Clrelier avait aussi touché. 

Le théorème est le suivant : 

Deux figures eollinéaires restent coUinéaires si l'on fait tourner 
d'un angle quelconque le plan de l'une autour de l'intersection des 
deu.v plans. Le centre tourne en même temps cl en même sens du 
même angle autour du. premier a.ve secondaire. 




Soit (fîg) le i)oint A' du plan n comme proj»'cti<»n centrale du 
point A situé dans le plan P, relativement au centre (]. Faisons 
tourner P d'un angle 9) autour (h- /, ri (mi même temps et dans le 



29'» 



M i: L A N G E S E T C O R II E S l> O N I) A N C E 



même sons du même angle le centre C autour de y ; /, — l'axe de 
oollinéatioii — étant l'intersection de P et jr ; y le premier axe 
secondaire — étant l'intersection de n avec 1<' plan mené pai- C 
parallèlement à P. Supposons que, par le mouvement de rotation, 
A soit venu en A^ et C en C, . 

Kn désignant par M le centre de la circonférence décrite par C 
et par \ celui de la circonférence décrite par A, nous constatons 
que les triangles CMC, et AXA, sont semblables, parce que tous 
les deux sont isoscèles et par condition -=4:; CMC, = <t^ AXA,. I^t 
comme les triangles sont aussi semblablement situés, on a : 

CCxllAAi, (I) 

De la similitude des triangles A'XA et A'MC on a : 

A'A : A'C = i\A : M G. (a) 

De même de la similitude des triangles AXA, et CMC, on a: 
NA : MC = AA, : CCi. (fît 

De «1 et (jS on obtient : 

A'A : A'C = AAi : CCi, |2) 

f.a relation (2) avec -le résultat (1) dit (pie la ligne de jonction 
des points A, et C, passe par A'. Le théorème est donc démontré. 

L. Haxtos [Kecskemét, Hongrie) 



Sur un certain développement en fraction continue. 
A propos d une coinnmiilcalion de M. Baataiu). 

Au cours d'une communication présentée à Soleure \En.s. math., 
l!»12, p. '.^\-M , M. BAArAitoa signalé une propriété (Uirieuse d'une 
famille de fractions continues qu'il ne serait j)eut-ètre pas inutile 
de mettre en lumière. 

Soient <7q le terme initial et <i^, c/., , ... (i,,^ les <|uotients incont- 
plets d'une période dans le développement en fraction continue 
de VA; je rappelle <pie «,„ = 2<7q . 

A ce ter-me initial et à la suite infinie des (piotients incomplets 

Pn,+\ 



P ^'o Pi 

répondent les réduites — = - , - , 

V, _^ 7. 

gent de |)lus en plus' vers VA . 



V,„+i 



etc., (pu ('()n\er- 



M E L A N G E S E f C (J li H E s /> O N I) A N C E 295 

Aj)pli([ii()ns à rime des réduites — le |)i«Hctlé O)' de M. Baa- 

'■/„ 
fard'. 

Nous aurons une nouvelle valeur appioehée h de y X (jui sex- 
piinie ainsi 



h = 



-Pan,, 



Or. dans les exemples choisis par M. Baatard, on a, quel que 

soit /?, b ^ -^ ; en d'autres ternies, on a la relation 

'fm 

j ^ _ pI + Ayf, 

M. Baatard fait remarquer avec raison que ce fait ne se présente 
pas tonj()urs. 

Une (juestion se pose alois : quels sont les nombres A dont les 
développements en fraction continue fournissent des réduites vé- 
ii fiant la condition 1 ? 

Je rappellerai d'abord que la relation 1) a lieu pour tout A, 
lorsque l'indice ii est un multiple de m, m étant le nombre des 
termes de la période. 

On a, en eifet. quel que soit /, 

(2) p. — (1. /a = \p — (I /Â)' , 

' lin 'lin ' r ,n I m ' 

d Où 

— 2t 

P.,. — <l ,. t/A = (rt —a l/A) , 
' ziin ' liin ' ' m ' m ' ' 

et par consé(iuent Cf. Seriet, Cours d'alg. sup., .">'' édit., t. 1, 



■ Dans le cas gén<-ral <l'iine racine qiK'lcontiiii; v A . ce proo-clé consiste a remplacer une 
n 
preniiere valeur approchée a de \ S. par la valeur 

b = - — ■ , on /»' = 



c'est-.i-dirc par 

/•(al 
/■'(al ' 

en posant a:" — A = /'(X). On voit donc que le procédé («>>') revient à celui de Newton ap~ 
pliqué à l'équatiou x" — A = . (Cf. Encycl. des Sciences math., Tome 1, art. 23, p. 28J. et 
Toiue M. art. 2ii, p. 58 ) 



296 M E I. A N G E S E T C OR RE S P O N D A N V E 

p. 7() et 77t 
(^) p., — '/., /Â = [p. — (1. t/Â " , 

' ' lim 'Il/Il' r lin I tiii ' 



ce qtu donne lucu 



l^2iw _ pin + AyJ 
'2ùn "riin li/ii 



Mais la relation 1 n"a pas lieu pour tout A, lorsque l'indice n 
n'est pas un multiple de /n. Soit, pai- exemple, A = 7. Ici a^, = 2, 
la période contient quatre termes 1. 1, 1, 4. En appliquant (w') à 

pi ^ 7 11 , Pa ., ., , . Pî 

*— =r T ' ^>'i îi '^ =: T- et comme '— = o. on voit que o =zz'- . 
7, ^ ♦ 7, 7, 

Je dis que les nombres A qui vérifient la relation (l sont carac- 
térisés par la condition : 

(4) 2flp est divisible pai- A — a* . 

dette condition est nécessaire et suffisante. Elle est nécessaire. 
Kn effet, la relation il) étant supposée vraie pour tout n, on doit 
avoir en particulier 

Ih _ p\ + Ay' _ a\ + A 



et comme 



on en tire 



[h ^o^/i + 1 

2a,. z= « (A — rt?i . 



Donc 2/7q est divisible par A — a^ et le quotient de la division 
est précisément égal à «, . 

La condition (4) est suffisante. Supposons fjue 2<7q soit divisible 
par A — a\ et posons 



•^ =d . 



Va\ formant les (piotients complets i^ , .<\;, on trouve 



.r. = 'i^±llJ::li, = ,i + 



A — a'' 



A — «' 



lA — ^/" 



3^^ 



.)/ 1: 1. A N G !•: s E r ( o n ii /■: s p o x d a y r e 



Donc (1^ ^ d et comme .r, ^ d ^ -\- — , on en tire 



297 



Xi 



= XiiA — u\\ — 2a„ + - 
•'1 



Par conséquent a.^ = 2a^ et .r^ = :t\ . 

La période se compose donc de deux termes : 



2a„ 



A — a- 



et eu =: 2rt„ 



OU du seul terme '2a^. lorscpie A — a" =^ 1. 

Si donc la condition (4) est vériliée, la relation (1 a lieu, en 
vertu de 3 en posant m:=2K pour toutes les réduites de rangs 
pairs. 11 nous reste à la démontrer pour les réduites de rangs im- 
pairs. 

Or 

A — rt^ o^ + A // + An' 

La relation (1; a donc lieu pour n =z i et on peut écrire dans ce 
cas particulier 



(ô) 



p.-vVa = -——^^p^- qyA-^ . 



P2i-\ 



(lonsidérons maintenant une réduite (fuelconciue — de ranu' 

I 11 — 1 

impair. Soit 

a 1 2</„rti + 1 
- = "i- + .T~ = ~^ • 

On a, comme on sait {Sériel, |). ()2;, 

Pii-\ — 'i>i-\v A = ^Pt — '/y A) (ï — .5»i» 

et comme « — ji.r, = p.2 — ^2 VA , il vient 

P>i-\ — V2,_il/Â = (/?, — ^yAï ip„_ - r/j/X '"' 
d'où, en vertu de (2 et de (ô), 



I.'EnseignjMiient niathéni.. l'«' année; l'.il2 21 



298 CHU ON/OLE 

ce qui conduit à la relation ill pour n impair. Si donc la condi- 
tion 4 est vérifiée, la relation lllalieu quel que soit n. C.Q.F.D. 
Il résulte de là que les nombres A vérifiant la relation (1) sont 
de la forme 

° «1 

Oq étant un nombre entier quelconque et a^ un diviseur quel- 
conque de 'lûQ . Le nombre des nombres A compris entre al et 
(r/g + 11* est donc égal au nombre des différents diviseurs de 'la^ . 

Pour «Q=l, le diviseur a^ = 'l ou 1, d'où A = 2 et 3. 

Pour Oq = 2, le diviseur (/^ = 4, 2, 1, d'où A ^ 5, 6, 8. 

J'ajouterai que les nombresA ont déjà été rencontrés par Euler 
Cf. Tarticle de M. Aubiîv, Ens. math., 1012, p. 204, exerc. 24). 

Bien que ces résultats se déduisent très simplement des pro- 
priétés classicpies des fractions continues, j'ai pensé qu'il y avait 
quelque intérêt à les rappeler, d'autant plus qu'ils se rattachent 
au travail de M. Aubry (pie je viens de citer. 

D. Mir.iMANoii' Genève). 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

I. — Rkl.mon de Camkiîidge. 21-28 août 1012. 
Piîo(;ra.m.mk céxérai.. 

Mercredi 21 août, h. du matin : Séance du Comité central. 

;; h. de laprés-midi : Séance des délégués. Elle aura lieu dans 
l'une des salles du Laboratoire des ingénieurs, au siège du 
Con<rrès. 

Jeudi 22 août, 10 h. du matin. Séance d'ouverture du .")' Congrès 
international des mathématiciens. Sir George Greenhill, Vice- 
président de la Commission, parlera des travaux de la Commission. 

Vendredi 23 août, 9 h. du matin, 1'* séance, en commun avec la 
section denseignement du Congrès: Présentation des tra\>aux dea 



( II Il(>.\ KJUE 299 

soiis-coniinissions nnlioïKiles. I^oui' chaque pays le délégué <le|)()- 
sera un rourt rapport écrit destiné à faire ressortir les points 
(•aractéristi(iurs des travaux de sa sous-coniniission. L'exposé oral, 
limité à ciiuf minutes, sera un résumé de ce rai)port. 

Lundi 26 août, à ;> h. de lapiés-midi, 2""' skanck: The inat/ie- 
nidtival Ediicdtion of tiio Phijsicist in the L niversilif {La prépani- . 
tiiin nialhéinatiqne des physiciens à l' Université i. Rapport de M. le 
Prof. C. RrxcE Gœttingue'. — Discussion. 

Mardi 27 aoiit, à 9 h. du matin. '.V''" séaxck : 1. Intuition and E.v- 
pei inient in the matheniatical Teavhing in the secondary School. 
I L'intuition et Ve.vpèrienee dans l'enseignement mathèniatiqne des 
Kcoles nioi/ennes.i Rapport de M. le Prof. l)av.-F!ut;-. Smith \e\v- 
^ Ork . — Discussion. 

11. Rema/hs on a Ljihliographi/ on the Teaching of MatheniaticSy 
par M. le D' (1. Goldziheiî Budapest . 

m. Les travaux de la (Commission durant la pr(>chaine période. 

Ces trois séances auront lieu dans la Salle de dessin du Labora- 
toire des Ingénieurs (Ura^ving Office, Engineering Laboratori/ 1, 
(pii a été réservée au.x séances de la section d enseignement du 
Congrès. 

Les changements éventuels seront annoncés par le Bulletin 
quotidien du Congres. 

Le Secrétariat de la Commission sera installé, dès le 20 a(nit, 
dans les salles B et C du Laboratoire des ingénieurs. MM. les délé- 
gués et les représentants des sons-commissions nationales sont 
priés de déposer leur adresse dès leur arrivée à (Cambridge. 



IL — SOLS-COM.MISSIONS NATIONAl.KS. 

Autriche. — La Sous-commission autrichienne vient de pu- 
blier le 12*' et dernier fascicule de ses rapports. C'est celui de 
M. A. Hœi-i.eh sur la préparation des maîtres des écoles moyennes. 
L'ensemble des rapports forme un volume de XXXV-T.S.') p. in-S". 

Heft 1-2 fier fierichte iiher den matheni. Unlerrickt in Oeslerreich Die 
neuesten Kiitiiclditngen in Oeslerreich fur die Vorhildung der Mittetsclml- 
lelirer in Matliematili, Philosophie i(. Pddagogik, von Dr. Al. H.miik. Wi.ii, 
do:} p.; 2 Mk., Holder, Vienne.! 

Iles Ki'itaiiiii«iues. — Trois nouveaux fascicules viennent 
depaïaître; ils traitent des objets suivants: les mathcmati(pn's 
dans les écoles écossaises n'^ 19 ; Le premier enseignement du 
Calcul dillerentiel et intégral n*^ 20 ; Les mathéniati(incs «t la 



300 



CHROMO U E 



science de riiigénieur ii'- 21). Vax oiitie ciiKj Aiscicules sont sous 
presse. 

N" l'J. — Mdthenuitics ni Scotch Scitools. By Prof. George A. Gibsox, 
Glascow. 1 49 p., 'i d. ; ^^ yman & Sons, Londres.) 

rS" 20. — T/ie Colcalas as a Schnol Siih/ect. By M. C. S Jackson, Londres 
'18 p.-. 1 72 d ) 

X" 21. — The lielulion of Matheinatics io Engineering fit Camlnidge, 
by Mr. B. Hopkinson, Cambridge. |13 p , I '2 d.) 

Sous presse : 

]\o 22. — The Teaching of Algehia in Schoots. By Mr. S. B.^knakd. 

>"" 23. — jResearch and Ad\anced Studr os a Trnining for Matheniatiral 
Teochers. By prof. G. -H. Bryan. 

N" 2i. — The Teaching of Motheniatics in E\-ening Technical Institutions. 
By Dr W.-L. SuMPXEK. 

IV° 25. — The Undergradiiate Course in Pass Mathematics Generalh . 
and in relation nnd Economies and Stalistics. By Prof. A.-L. Bowley. 

IS'o 26. — The Preliniinary Matheniatical Training of Technical Sludents. 
Bv .Mr. P. Abbott. 

Italie. — La Sou s-coni mission italienne a chaigé M. 1\vi)oa 
(Gènes de i-éunir en nn rapport les principales observations et 
propositions concernant lenseionement mathématique dans les 
écoles élémentaires, les écoles moyennes et la préparation des 
maîtres. Ce fascicule est publié sous le titre : 

Osserva^ioni e proposte circa t insegnaniento délia mutenintica nelle 
scuole elementari. niedie e di niagistero. Relazione di A. Padoa, Gènes 
(22 p.). 

•Japon. — Xt)us venons de recevoir les rapports sur l'ensei- 
onement mathématique au .lapon. Ils forment deux volumes inti- 
tulés : 

lieport on ihe Teaching of .yJalheniatics in .lapan. jjrepaied by ibe Liler- 
nalional Commission ou the Teai-bing of Malliematics rj'okiol. 

Suniniary Report on the Teaching of Mathematics in .lapnn. By H. l-'iji- 
SA\\A ( Tokio). 

Le piemier volume, qui comprend 7)7-,i) pages, renferme les rap- 
ports spéciau.v, au nombre de quinze, concernant les divers types 
d'établissements depuis l'enseignement primaire jusqu'aux écoles 
su|)érieures, universitaires et techniques. [>e second volume '2'-{cS 
pages a été rédigé par M. Fcmsawa, délégué du .lapon. Il donne 
un aperçu généial de renseignement mathématique au .lapon. 
Nous reviendi'ons sur ces rapports dans les comptes rendus. 

llouiiianic. — La Sous-i-ommission roumaine consacre un 
fascicule aux mathématiques dans l'enseignement secondaire, par 
M. G. r/rrzEicA, profcsseui- à la Faculté des Sciences de Bucarest, 
délégué JG p. . 



cunoNKjri-: 301 

5® Congrès international des mathématiciens. 

C<imbrid>:;c, du J'J an \'s aont. l'JlJ. 

Piu)(;i!A.MMi; (;i;m;iîai.. 

Mercredi ?/, soir, !) h. .'^0. Keceplion des coiigrcssislcs par Sir 
G. -H. D.vinvix. président de la Société de pliilosopliie de Cani- 
bridiife ; et présentation à Mr. U.-F. Scott, vice-chancelier 
de l'Université. Grande salle de St-.lohn's Collège.] 
Jeudi 2?, matin, 10 h. Séance d'ouvertnre, clans la Salle dexa- 
mens Exaniination Hall . 
Soir, 2 h. 30. 1''' séance générale. Election dn Bureau, o h. .30, 
i'''' conférence; h h., 2'' conférence. 
Vendredi 33, matin, h. oO. Séances de sections. 
Soir, .3 h., 2*^ séance générale, 3" et 4'' conférences. 
II. Réception au Musée Fitzwilliam par Lord Ravlkkmi, chan- 
celier de rUniversité. 
Samedi 'J'i, matin, 9 h. Séances de sections. 

Soir, 3 h. 3'' séance générale. Ô*" et ()'' conférences. 
Dimanche ?!), soir, 3 h. Réception dans les jardins de C.hrisfs 
Collège, par le Président du (Congrès. 
9 h. Récital d'orgue, dans la chapelle de King's (^dlege. 
Lundi '2ii, matin, 9 h. .30. Séances de sections. 

Soir. Excursion à Ely cathédrale, etc.. Visite des divers col- 
lèges. 
9 h. Réception à Trinity Collège, par le Master et les Fcll(»\vs 
du Collège. 
Mardi 'Jl, matin, 9 h. 30. Séances de sections. 

Soir, 3 h. 4'' séance générale, 1" et 8'' conférences. 
9 h. Séance de clôture. Fixation des lieu et datiî du (i' Congrès 
international. 
Mercredi JH. Excursion à ()xford et excursions diverses. 

Les Coxi KP.KNCEs qui seront jirésentées aux ([uatre s<''ances gé- 
nérales sont an nombie de huit, 5 en anglais, 1 en allemand, 1 en 
français et i en italien. Eu voici les titres, par oi'die alphabé- 
ti<pie : 

M. BôcfiEi! Harvard . Bonndaii/ problenis in one dimension. 

E. BoitKr. Paris:. Définition et domaine d'existence des /'onctions 

m o n og'en es n n ifo i -m es . 
E.-\\ . Browx Yalei. Periodicitif in the solar sijstem. 

F. ExFUQLEs BoJogna . l problenii relativi ai principii délia (ieo~ 

nietria. 



302 



c n R o M Q c i: 



Prince B. Gai.uzin (St-Pétersbourg . The prinriples of instrumen- 
tal seismolog!/. 

E. F^AXD.vr Gottiiiyen. Gelôste und ungelôste Problème ans der 
Théorie der Prinizahh>erteilung und der liiemannsclien Zet<i- 
f'iin/xtion. 

SirJ. Larmor Cambridge . The iJijnaniics of liadiation. 

Sir W. H. White, K.C.B. formerly Director of Naval Constriic- 
tioiV. The phice of Mathemdtics in Engineering Prcutire. 

I>e Congrès sera divisé en quatre sections, subdivisées elles- 
mêmes en autant de sous-sections que le nomlire des communi- 
cations l'exioeia. 

I. Arithmétique, Algèbre, Analyse. — II. Géométrie. — 111. Mé- 
canique, Physique mathématique. Mathématiques appliquées. — 
IV. Questions philosophiques, historiques et pédagogiques. 

En ce qui concerne cette dernière section, trois séan<'es seront 
spécialement consacrées à la Commission internationale de ren- 
seignement mathématique. Le programme de ces séances a été 
pnlîlié dans la revue du 15 janvier et du 15 mars. (\'oir ci-dessus). 

Lieu de réunion du Congres. Toutes les séances auront lieu dans 
les salles d'examen et les salles de conférences attenantes. (En- 
trées : Benêt Street, Free School Eane et Downing Street.) Le 
bureau du Secrétaire se trouveia dans le même bâtiment. 

Facilités de voyage en chemin de fer. Des billets aller et retour 
pour Cambridge seront délivrés aux congressistes par les princi- 
pales compagnies de chemin de fer de Grande-Bretagne, sur pré- 
sentation dune carte justificative signée du Secrétaire-général. 
Ces l)illets, calculés à raison des ^,3 du billet simple ordinaire, 
seront valables du 20 au 29 août inclusivement. 

Des billets d'aller et retour spéciaux à prix réduits' de Paris à 
Londres seront délivrés sur présentation de la carte de membre 
du Congres. 

E.iposition. La Mathematical Associatiini organise une exposi- 
tion de livres, dessins et modèles mathématiques. 

l'n Comité de Dames se tiendra à la disposition des congres- 
sistes dames pour leur donner tous les renseignements désirables. 

Il sera publié un bulletin quotidien du Congrès contenant les 
procès-vei'baux des séances jour par jour, le programme du len- 
demain, les renseignements sur les réceptions, excursions, etc. 

Les Rapports et communications faits au Congiès seront imprimés 
dans le volume de procès-verbaux publié par les secrétaires, à la 
Cambridge Lniversity Press. I>es auteurs de communications sont 
priés de faire parvenir leurs manuscrits le 27 août au plus tard. 
Les mémoires en français, en allemand ou en italien devront 



' Voir le programiiK; gi-néral du (hongres. 



ClIIiONlOl'E H0:{ 

ètie dactyl()i>raj)hiées ^à l'exception des lorinnles . Il serait à sou- 
haiter que les clichés des diagrammes accompagnassent les ma- 
nuscrits. Les auteurs ont droit à 100 exemplaires tirés à pari de 
leurs rapports ou communications. 

Les droits d'insciiption en (jualité de membre du (Congrès sont 
de une livre (25 IVancs' par personne, payable à Sir J. Lahmor, 
Trésorier du Congrès, à St-Johns Collège, Cambridge (Angleterre); 
Moyennant une cotisation de 12 shillings il5 fr/, toute personne 
de la famille dun des membres a droit aux mêmes privilèges que 
celui-ci, à l'exception de l'envoi d'un exemplaire des rapports et 
procès-verbaux. 

Les membres du Congrès sont priés d'informer les secrétaires 
de leur adresse, dès leur arrivée à Cambridge. 

Four tous renseignements concernant le Congrès, s'adiesser au 
Secrétaire-général, Prof. E.-W. ITousox, Christs Collège, (Cam- 
bridge, Angleterre. 



A propos des congrès internationaux des mathématiciens. 

Au moment où les mathématiciens s'apprêtent à participer à 
leur 5"" Congrès international, il peut être intéressant de repro- 
duire ici quelques documents et chiffres concernant les précé- 
dentes réunions et de rappeler quelques critiques qui ont été faites 
quant à l'organisation des congrès. 

Fondation. — On sait que la question des Congrès internatio- 
naux des mathématiciens a été mise à l'ordre du jour par MM. 
Laisant et Lemoixe Paris dans V Intertnédioire des inatliématiciens 
(Tome 1, 1804, p. 1131, qui en propagea l'idée au cours des années 
1894-1896. A peu près simultanément M. Georges Caxtor, le créa- 
teur de la Théorie des ensembles, en conçut l'idée de son côté. 
Grâce aux bonnes volontés qui s'associèrent à leur initiative, le 
premier Congrès pût avoir lieu à Zurich, en 1897, sous la prési- 
dence de M. le Prof. C. Geiskh. 

Bit des Conçues. — Le (Comité international chargé de l'organi- 
sation du premier (Congrès a établi comme suit le but des Congrès 
internationaux des mathématiciens : 

.Vrt. 1. Le Congrès a pour but : 

a) De provoquer des relations personnelles entie les mathéma- 
ticiens des (lilfércnts pays. 

bi De donner, dans des rapports ou des conférences, un aperçu 
de l'étal actuel de diverses branches des mathématiques et d'offrir 
l'occasion de traiter certaines questions d'importance reconnue. 

c) De délibérer sur les problèmes et l'organisation tles Congrès 
futurs. 

di De traiter les questions de bibliographie, de terminologie. 



;itii 



C n H O N I (} LE 



etc., au sujet desquelles une entente internationale paiait néees- 
saire. 

Oiu;anisatiox des C<)X<;Ki-;s. — Késolulions adoptées par le pre- 
mier Congrès : 

1. A l'avenir les Congrès internationaux des mathématiciens 
succéderont à des intervalles de 3 à 5 ans. Il sera tenu compte, 
dans le choix du siège, des vœux légitimes des difïerents pays. 

2. On choisira, à la fin de chaque (.ongi-ès, la date et le siège 
du Congrès suivant, ainsi que les organes ou les associations 
chargés de le préparer et de lorganiser. 

.'). Si, par suite de circonstances imprévues, un Congrès ne pou- 
vait siéger à la date et au lieu choisis, le Comité du dernier Con- 
grès aurait la faculté de prendre les dispositions nécessaires à la 
convocation d'un Congrès nouveau. A cet effet il s'entendra avec 
les organes mentionnés à l'article 2. 

4. Chaque Congrès peut, lorsqu'il le juge utile pour l'étude de 
certaines questions de nature internationale, nommer des commis- 
sions permanentes dont le mandat dure d'un Congrès au Congrès 
suivant. Les compétences et les attributions de ces commissions 
sont fixées lors de leur nomination. 

Statistique. — Les quatre premiers Congrès ont eu lieu comme 
suit : 



!• 



.>n..' 



3.n.. 



Ziiîicn 


18<)7 


Paiîis 


1900 


Hkidei.heiu; 


1904 


Rome 


1908 



C. F. Geisek, Président. 

F. HiDio, Secret. généraL 
H. PoixcAitÉ, Président. 

M. DcpoRCQ, Secret, général. 
H. Weber (Strasbourg), Président. 
A. KnAZER (Carlsruhe), Secret, gén. 
P. Blaserxa, Président. 

G. Castelxuovo, Secret, général. 



Nous avons réuni dans un même tableau les chiffres concei'nant 
la participation aux 4 (>)ngrès, et le nombre des travaux pré- 
sentés. 





Zurich 


Pakis 


11 


lilDKI.BKRG 


Rome 




1897 


1900 




1904 


1908 


Membres effectifs 


204 


2()2 




330 


535 


Pays représentés 


10 


27 




21 


23 


Conférences générales 


4 


5 




5 


10 


(communications 


:w 


32 




78 


125 


Comptes rendus 


31.4 p. 


454 p 




700 p. 


1122 p 


expositions: 












a) librairie 


— 


— 


59 


exposants 


— 


b) modèles, instrument 


s — 


— 


24 


exposants 


— 



( n no \ Kj il K :jo5 

lli:.MAiK)L ES. — Taiulis (jiie le iiombic (.les membres elleelils a 
plus que doublé, celui des eommuuications a quadiuplé depuis le 
second Couyrès. Ceux {[ui ont suivi les quatre (^lonorès ont en 
ellet constaté (jue tandis qu'il était relativement facile d'assister 
au\ séances de sections à /nricii et à Paris, cela n'c'fait plus pos- 
sible à ileidelbei'^" ni îi Kome. 

Cette augmentation du nombre des cominiiiiiealions a amené- 
une dispersion très grande dans les travaux des Congrès. Les cri- 
tiques, dans ce sens, ont déjà été faites non seulement à propos 
des deux précédents "^ Congrès, mais à propos de la plupart des 
Congrès- qui sont oi-ganisés sur des bases analogues. On ne pour- 
rait donc y remédier qu'en modifiant Torganisatiotl des Congrès. 
Hn ellet, malgré tout l'intérêt ([ue présentent les communications 
individuelles sur des sujets particuliers, il est indispensable, pour 
le succès même des futurs Congrès, d'accorder plus de temps aux 
rapports et aux discussions sur des questions d'intérêt général et 
sur des sujets pour lesquels une entente internationale paraît 
désirable. 

Nous signalerons à titre de point de comparaison le Congrès 
intei-national de rKnseignement mathématique tenu à Milan en 
sej)tembre i911'^). Pour chaque s<''ance un objet déterminé long- 
temps à l'avance avait été mis à l'ordre du jour et les l'apporteurs 
ainsi <pie les principaux orateurs avaient été désignés par le Co- 
mité central. De cette manière la discussion a pu être limitée à des 
points bien déterminés. C'est sur ces mêmes bases que sero.nt or- 
ganisées les séances que la dite Commission tiendra à Cambridge. 

On a pu constater également un ceitain manque de suite dans 
les travaux d'un Congrès au suivant. Certaines fpiestions mises à 
l'ordre du jour du Congrès ne sont pas reprises par le nouveau 
Comité. A(in de remédier à cette dispersion et à cette stérilité 
relative, il conviendrait d'instituer un Comité général permanent 
qui serait chargé de veiller tout particulièrement à la coordination 
et à la continuation des travaux entrepris par les Congrès. De 
celte manière la valeur scientili(|ue et iiilellfcluclle des Congrès 
ne ferait qu'augmenter. 

.lusqu'à ce jour les Congrès ont tlésigné, non pas des Commis- 
sit>ns permanentes, mais deux commissions chargées de rapporter 
d'un Congrès à un autre; elles ont été nommées toutes les deux à 
Rome. L'une a été chargée d étudier la cpiestion d'unification des 
notations vectorielles, tandis ([ue l'aulie a été institu»'e pour étu- 
tlier les questions concei-nant l'enseignement mathémali([ue ; ces 
deux Commissions rappoi'teront sans doute à Cambridge. 



' \'oir V l'.iiscigucnieiil malhc/iiatique du lô sept. l'.KIi. p. ioo ot <lii 15 itihi 1'J(I8. p. 2e'«-2i.5. 
' Vuir par exemple le compte rendu <le>i (loiijjtres de Philosophio, (tenéve, l»05, p. III; 
Heidelberg, l'.KlS, Hevue de Melh.ipli .1 de .Momie, I9I)S. p. 9JS el siiiv. 
' Voir l'EinicifffiCfiunt riuithérnaliquc, n« du |.> uov. Iflll. 



•.^06 



C H liONI () LE 



l*oui'ce qui concerne la Commission internationale de rensei- 
gnement mathématique, elle présentera un ensemble d'au moins 
150 rapports sur des questions d'enseignement mathématique dans 
les principaux pays. 

Quant au Congrès qui va s'ouvrir, il semble que le nombre des 
communications dans les séances de sections sera relativement 
limité. Tenant compte des critiques relatives à la surabondance 
des travaux, le Comité d'organisation n'a pas fait mention dans ses 
circulaires d'une invitation générale à présenter des tiavaux. Les 
inlrotlucteurs des dillerentes sections se sont adressés individuel- 
lement à un certain nombre de savants. On ne saurait trop féliciter 
le Comité de Cambridge de son initiative tendant à limiter le 
nombre des communications. Les participants pourront ainsi 
suivre plus facilement et avec plus de profit les travaux du Con- 
grès. 

H. Fi: un Genève). 



Société suisse des professeurs de mathématiques. 



Réunion de Zurich, l'J mai 191'J. 



La Société suisse des professeurs de mathématiques s'est réunie 
à Zurich le li> mai 1912 en une séance qui était spécialement con- 
sacrée à une discussion sur la préparation pédagogique des pro- 
fesseuis de niathémati(iues. Après le discours d'ouverture du 
président M. le professeur D' C. Brandenbehgeu (Zurich , les rap- 
porteurs M. le professeur K. Matter (Frauenfeld) et M. le recteur 
R. Flatt (Bille) ont introduit la question par des exposés très 
documentés sur ce qui se fait actuellement dans les pays voisins 
et sur ce qu'il y aurait lieu de faire en Suisse. Leurs études étaient 
basées sur les rapports rédigés pour la Sous-commission suisse 
de l'enseignement mathématique par M. Biiaxdenbekger igymnase 
et école réalej et M. Grossmaxx (Lcole polytechnique fédéi-alel. 

Fin Suisse la préparation pédagogique des professeurs de l'en- 
seignement moyen est actuelletnent à peu près nulle. Il n'existe 
gu<'re d enseignemenl olliciel donné dans ce but'. 

Il ressort du iaj)port de M. Bhandenbeuger que la plupart des 
maîtres de malhéniati(iues regrettent l'absence d'une préparation 
prati<pie bien approj)riée. 

.M. Matter indique brièvement ce qui se fait dans ce domaine 
dans quelques pays en utilisant les documents si pi'écieux réunis 



' A rUiiiversiti' de HAlo M. le h' ï\. Flati fait un S('iiiiniiire pédiijçogiqiie pour les étudiants 
en sciences mathématiques et naturelles. A l'Université <le (îenove M. le prof. H. Fi;iir 
consacre depuis plusieurs années, sous le titre de séminaire de mathématiques élémentaires, 
une heure par semaine aux questions d'enseignement. Elles sont suivies par les candidats au 
certificat d'aptitude à l'enseignement des sciences. 



V 11 HOM()U E :{07 

par la (lointnissioii liileriialionale de rKnseii^nenicnt Mathéma- 
tique. 

M. le recteur Flatt fait ressortir à s(ni tour les inconvénients 
que présente actuellement l'absence pi-esque totale d'une préj)a- 
ration rationnelle des candidats à l'enseignement moyen. 11 l'ait 
une série de propositions qui servent de base à la discussion ii 
la<iuelle ont pris j)art .MM. 11. Feiiiî Genève . Laf.m.mci. Zurich),. 
Chkliek Bienne , Fikdleh Zurich,, Gross.maxx Zurich , .Iaccottkt 
(Lausanne), ainsi que le président et les rapporteurs. 

Tous les orateurs ont insisté sur la nécessité d'obtenir une 
meilleure organisation dans la préparation pédagogique. Ils ont 
entièrement appuyé les conclusions des rapporteurs tendant à 
inviter les autorités à prêter une attention toute spéciale à la pré- 
paration pédagogicpie et pratique des professeurs de l'enseigne- 
ment moyen. 

L'assemblée a elle-même adopté à l'unanimité une résolution 
cpii a été transmise au Conseil tie l'Fcole polytechnique et aux 
Gouvernements des cantons universitaiies. 

Nous pouvons ajouter que ces vœux ont trouvé le meilleur ac- 
cueil à l'Lcole polytechnique. Le Conseil de IKcole a en effet 
décidé d'organiser, à titre d'essai, dès l'hiver prochain, un cours 
de méthodologie mathématique pratique. Les conférences seront 
faites par un professeur de l'enseignement moyen et elles seront 
accompagnées de leçons faites par les participants devant les 
élèves du gymnase et de l'école réale supérieure. 

C'est là un premier résultat des travaux de la Sous-commission 
suisse qui, dés le début, a rencontré une collaboration active 
au sein de la Société suisse des professeurs de matliémati([ues. 

Association allemande pour l'avancement de l'enseignement 
des sciences mathématiques et naturelles. 

La XXL" assemblée générale de l'Associai ion allemande |)our 
l'avancement de l'enseignement des sciences mathématiques et 
naturelles a été tenue à Halle, du 27 au 'M) mai, sous la présidence 
de M. le Prof. Th.kh (Ham])ourg . MM. W an(;eiiix. professeur à 
l'Université, et Schottex, directeur de l'Ecole réale supérieure, 
s'étaient chargés de l'organisation des séances. Elles ont eu lieu 
dans le bâtiment de l'Université et ont été suivies par environ 
200 personnes. 

Parmi les rajjports et discussi(»ns. au nombre de 20, nous si- 
gnalerons les sui\ants concernant les malhéniati((nes : 

M. Schottex, directeur à Halle : Sur les pul)lications de la 
Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

M. MoMi.K, direcfeui' à Hagen : L enseignement mathématiipie 
dans les écoles supcrieui-es de jeunes filles. Le contVronciei- dé- 



;{o.s i:iiRoyi()UE 

plore le nombre liop restreint des heures accordées à cet ensei- 
irtienient.) 

-M. Brx(;Kiis. Olîl.. llalle : De la réforme de renseii;nemenl du 
calcul. 

M. MixcH, Dr.. Darmstadt : De l'emploi du cinématoi^raplie 
dans l'enseignement de la géométrie. Signalons les objets sui- 
vants : le théorème de Pythagore, du pùle et de la polaire par rap- 
port au cercle; les lieux géométriques dans le problème d'Apollo- 
nius, les rapports des diverses courbes passant par 9 points, etc. 

M. ScnnADEH, professeur à llalle : Géométrie synthéti([ue et ana- 
lytique des sections coniques. 

Dr. Ki,L(;r:, Lissa: Kquations de Diophante du 2'' degré. 

\\ . LiETZMAXx, Barmen : De runification des notations en ma- 
thématiques élémentaires. 

Lue commission a été instituée à cet eil'et par la (lommission 
allemande de renseignement scientifique iD. A. M. \. U. . Cette 
commission s'est réunie à Halle à l'issue de la réunion, sous la 
présidence de M. le prof. Ti.merdixc;, Braunschvveig. 

La prochaine assemblée annuelle aura lieu à Munich. ;i Pente- 
côte 1*113. 



Machine à écrire pour mathématiciens et ingénieurs. 

A l Occasion de la réunion ci-dessus, la maison .Vtlier-\\ eike 
vorni. Heinrich Klevkk à Francfort s. M. avait exposé et fait 
fonctionner une machine à écrire, d'un modèle spécial, permettant 
d écrire aussi les formules de mathématiques, de chimie, de phy- 
si([ue, etc. 

Cette nouvelle machine Adler permet d'écrire loH signes dont 
un grand nombre de symboles mathématiques. Elle sera sans 
doute bien accueillie non seulement des mathématiciens, des 
physiciens et des ingénieurs, mais aussi dans les séminaires de 
mathématiques. 

On trouvera, encarté dans ce fascicule, un spécimen de quelques 
f(»rmules éci-ites à l'aide de cotte machine. 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allciiiagiic. — M. W. Gaxs, privat-docent à l'Université de 
Strasljourg, est nommé professeur de Physique à ITniversité de 
La Plala. 

Aii«;-Ietci'i*c. — Unii'ersiti- de Londtes. — M. Henri Poixcahk, 
membre de l'Institut de France, a fait au mois de mai dernier nue 
série de conférences sur la Philosophie des Mathématiques. La 



Clin OM o r !•: ;:o9 

in- 



leroii (rouveiture avait pour ohjct » la Ionique de l'iiifitii ». I/a 
hassadeiir de France et de iioinhreiix savants étaient venus en- 
tendre Téniinent niatliëtnatii'ien français. 

— M. le D' \\ .-}|. Kccî.KS est nommé an nouveau lilie (!'« Uni- 
versity Readershij) in (Traphics» à II niversity (Collage de I^ondres. 

— M. M. PowEii, (( lectuier » en mathématiques à lUniversity 
Colleoe de Dublin, est nommé professeur de Mathématiques à 
ri iiiversity (loUege de Galway. 

Autriche. — M. Ph. Fiitrw a\(;i.i:iî. professeur a 1 Académie 
d agriculture de Bonii-l'oppelsdorf, est nomme piofesseui- à ILni- 
versité de Vienne. 

M. (r. KoHx, professeur extraordinaire à nUiversité de \ ienne, 
est promu au titre de professeur ordinaire. 

M. J. KoLxowsKV est admis en ([ualité de prival-docenf pour la 
géométrie descriptive et la géométrie projective à IFcole tech- 
nique supérieure de Prague. 

M. Kvcui.iK est admis en (pialilé de j)rivat-docent de Matliéma- 
fi(|U('s ;i ri iiiversité bohème de Prague. 

IScl^'icfue. — M. INI. Stuyvaeiît est chargé de faire à lUnivcr- 
silé de Gand le cours de Méthodologie mathématique ainsi qu'un 
cours facultatif sur la théorie des grandeurs algébriques. 

M. .1. Thfkiîiîy est nommé répétiteui- à 1 Univeisité de Gand. 

France. — Académie des Sciences. Prix Poncelet !2(KI0 ï\\; 
mathéniaticjues pures). Le prix a été attribué à .M. Ed. Mah.lkt, 
professeur k lEcole des Ponts et Chaussées, pour ses travaux ma- 
th<'mati(pies. 

Le Prix Francœur lOOO fr. a été atliibiic à ro'uvre de feu 
Lkmoixk pour l'ensemble de ses travaux mathemalicpies : le mon- 
tant a été versé à la veuve de ce savant. 

l'A'oIe pob/techtiiqiie. M. Bori.AXCiiii est nomme examinateur de 
mathématiques: M. M. Ha.mv, répétiteur titulaire et M. le ca])itaine 
.\(ni!i:i. répétiteur adjoint d'astronomie. 

Wissociatioii française pour C Avancement des Sciences tiendra 
son Congrès annuel à Nîmes, du i'"'' au 7 août. Les sections 1 et 2 
(mathématiques, astronomie, géodésie et mécani({ue sont prési- 
dées par .M. P'rnest Lkbox (Paris!. 

Italie. — M. R. Ai.maxsi (''lorence , ancien professeur de Phy- 
si((ue mat hématifpie à ll'niversité de Pavie, vient d être appelé à 
la chaire de Mécanicpie rationnelle de l'Université de Kome. Il lui 
a ('té décerné la médaille de la Société italienne des Sciences 
dite des XL pour l'ensemble de ses travaux de Mécanicpie et de 
Physitpie malhemati(pie. 

M. G. ScoitzA, j)rivat-docent à l'Université de Palerme, a été 
nommé professeui' extraordinaire de Géométrie projective et des- 
«•liplive à IL' niversité de Cagliari. 



310 CIlKOyiOUE 



K. von der Miihll. 



Les mathématiciens suisses viennent dètre douloureusement 
épiouvés par la mort de M. K. von der Miihll-IIis, professeur à 
l'Université de Bàle. Né dans cette ville en 1841, il étudia succes- 
sivement à Bàle, à (li'Utinoue et à Koniosherg où il prit le grade 
de docteur en 1860. Protésseur à l'Université de Leipzig de 1868-88, 
il fut appelé en 188i) à la chaiie de Physique mathématique à 
l'Université de Bàle à laquelle il consacra jusqu'à sa mort le 
meilleur de ses forces et de son esprit. 11 remplit les charges de 
recteur en 189") et en 1910. lors du centenaire de l'Université. 

Membre et à diverses reprises président de la Société bàloise 
et de la Société helvétique des Sciences naturelles, il s'était ac- 
quis un renom universel par ses travaux scientifiques épars dans 
des revues spéciales : sur la réflexion et la réfraction de la lumière 
à la limite de milieux cristallins, sur l'état de température slà- 
tionnaire, etc. Il publia, en les mettant au point et en les com- 
plétant par ses propres travaux, les cours de son ancien profes- 
seur de Kônigsberg, F.-L. Xeumann. Il fut enfin la cheville ou- 
vrière de la commission cpii a rendu possible la publication des 
œuvres d'Ruler et présida en 1907 à sa fête commémorative. 



Nécrologie. 

(Ih. AxDJîi':. — M. Ch. André, professeur d'Astronomie à la Fa- 
culté des Sciences de Lyon, est mort le 6 juin dernier. Né à 
Chauny fAisnei le 14 mai 1841, il était ancien élève de l'Ecole 
normale supérieure. Il fut chargé en 1876, du cours d'astronomie 
à la Faculté des Sciences de Lyon et ncMumé, en 1879, le piemier 
directeur de l'Observatoire dont il fut en même temjjs le fondateui-. 

M. K. Facnaut, professeur de Méthotlologie mathématique ii 
l'Université de Gand, est décédé à l'âge de 46 ans. 

.M. Frédéric Webeij, professeur de Physique à l'Kcole polytech- 
nicjue fédérale de Zurich, est décédé à l'âge de 69 ans. Il appar- 
tenait au corps enseignant de cet établissement depuis 187."). 



I' 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Compte rendu des travaux des sous-coinmissions nationales. 
18'' article.) 

AUTRICHE 

Les mathématiques dans l'enseignement de la Physique 
des Ecoles moyennes. 

Die Matlieniatik ini PliYsikunterriclit dcr ôsterreicliischen Mitlelschulen ', 
von Schulrat D'' A. Lanniîr. — Cet opuscule forme le lime fascicule des 
rapports sur l'enseiguement uiathéuiatique en Autriche. Il débute par une 
introduction de 10 pages où l'auteur reproduit en partie les instructions 
officielles autrichiennes relatives à 1 emploi des mathématiques dans l'ensei- 
gnement de la physique. Celles-ci réduisent l'usage des mathématiques à 
celui d'une branche accessoire, destinée à abréger certains raisonnements 
et à formuler d'une façon particulièrement brève tout un ensemble de résul- 
tats. Ce n est pas la démonstration mathématique qui doit prendre le pas 
dans l'enseignement de la physique, mais bien la compréhension des phé- 
nomènes. Les problèmes posés doivent exiger, non pas des artiHces de 
calcul, mais I emploi raisonné des principes généraux enseignés au cours. 

Les 28 pages suivantes sont consacrées à une quinzaine de paragraphes 
traitant chacun un des chapitres de la physique, en indiquant les notions 
mathématiques qu ils mettent en application, ainsi q»ie les problèmes qn ils 
suscitent. Comme le dit l'auteur dans sa conclusion (p. 39) il a voulu grouper 
et préciser les sujets pour lesquels, à côté de l'enseignement expérimental, 
il convient d'admettre des démonstrations ou des exercices fl'ordre mathé- 
matique. Cette partie de l'ouvrage est tout particulièiemenl intéressante 
pour le professeur de physique. 

Le fascicule se termine par les [)lans d'études physi([nes des gymnases et 
des écoles réaies en Antriche. 

!■>. Stein.mann (Genève). 

ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Les mathématiques dans les Ecoles secondaires ^. 

L'enseignement mathématique dans les écoles secondaires publiques et 
privées, fait lobjet de deux rapports de 111 et .58 pages réunis en un même 



' Berichtc iihcr dcii niatkcin. UnlcrrUhl in Ocsterrciih, HeCt II. 1 l'asc. in-S», .">(; p., A. Hnldcr, 
Vienne. 

' « M.-ithoinatics in the public and private Sccondarv S?cliools of ihi; United States .1, pulilic- 
par les soins du « United States Hureaii of Ediu-alion ■>, Washington. 



:n-2 



.V () 1 1: s E r DOC r m /■: y / s 



fascicule. Le preinior de ces ra|>|)Orls jcomilé I1I| concerne les écoles pu- 
bliques et le second (comilé IV) les écoles privées. 11 y est adjoint eu appen- 
dice des renseignements relatifs à quelques écoles qui sans être des écoles 
secondaires se rattachent pourtant à l'instruction secondaiie. 

De même que pour les écoles élémentaires * lintérèl piincipal de celle 
élude réside dans les détails qu'ils fournissent sur les programmes suivis, 
suiles méthodes d enseignement adoptées, les lacunes et les succès qu'elles 
accusent. Ceci ne pouvant guère être résumé nous nous bornons à indiquer 
en quelque mesure 1 organisation générale de renseignement mathémali(jue 
secondaire des lîtafs-Unis ainsi que le champ mathématique parcouru. 

R.\ppoRT DU COMITÉ III. — Ce rapport débute par un exposé général de 
l'oi'ganisation, du programme nialhémalique, des méthodes employées et du 
but à atteindre. 

Les écoles secondaires publiques des Etats-Unis appelées écoles supé- 
rieures M high schoois », font suite aux écoles élémentaires, elles reçoivent 
par conséquent les élèves depuis l'âge de 14 ans. Les études y sont en 
moyenne de 4 ans. Le but poursuivi est double dans la majorité des cas : 
préparer les élèves pour le collège (université) et donner une instruction 
générale suffisante à ceux qui ne pousseront [las plus loin des études régu- 
lièes. 

Il y a actuellement un mouvement tendant à porter le nomhi-e des années 
d'études secondaires à 6 en ajoutant 2 années inférieures (|ui remplaceraient 
les 7""' et 8"'e degrés de l'école élémentaire. Cela permettrait une corréla- 
tion plus complète entre I arithmétique et l'algèbre ainsi ([lie 1 introduction 
de la géométrie intuitive à l'âge qu'il convienl. 

L'oi'ganisatiou des diverses écoles supérieures présente une variété con- 
sidérable car elle est souvent laissée dans une grande mesure à l'initiative 
personnelle du principal de l'école Dans quelques-unes on applique le sys- 
tème du choix libre soit pour certains cours, soil pour des groupes de 
cours. 

La préparation des maîtres de mathématiques est, règle générale, très 
insuffisante, ils ont. pour la plupart, à peine les notions mathématiques 
correspondant à celles d'un cours dune année de calcul différentiel. 

Les écoles supérieures des li!tats du Sud n'admettant pas les nègres dans 
les mêmes élablissements que les blancs, certaines localités ont des écoles 
qui leur sont spécialement destinées, mais les études y sont la plupart du 
temps notablement inférieures. 

Les plans d'études mathématicjiies sont conçus en accord avec les condi- 
tions d'admission des collèges. Ils contiennent toujoui-s de l'algèbre élémen- 
taire et de la géométrie. Très souvent on y fait aussi de la géométiie dans 
1 espace, de la trigonométrie et de « 1 algèbre avancée », c est-à-dire entre 
autres la r.eprésentation graphique des solutions des équations du 2'"« degré 
ou de degrés supérieurs et les déterminants. Le programme ordinaire d al- 
gèbre comporte les équations numériques et littérales et les problèmes à 
plusieurs inconnues du 1*'" degré, les opérations algébriques, carrés et cubes 
de polynômes, radicaux, équations du l""" degré avec radicaux, la théorie 
des exposants, les équations du 2">c degré à 1 inconnue el à plusieurs 
inconnues dans des cas simples, les progressions arilhm(''ti(|ues et géonié- 



' \'oir L'Kiis. nialh. du 15 mai ]'.M2, p. 237-2'iO. 



y O T K s ET I) C U M E N T S • J 1 ;{ 

tri(|iies, le hiiiùnie. En géométrie plane l'ordie suivi est 1 Ordre ordinaire de 
Legendre. Pour la géométrie dans l'espace on traite les propriétés d égalité, 
de similitude, d équivalence des divers solides et la mesure de leurs volumes 
et surfaces. En trigonométrie on applique la représentation des fonctions au 
moyen du cercle unité. Les calculs logaiitlimiques sont introduits, ainsi que 
l'applicatioa au calcul des triangles (juelconques. Quelques écoles supé- 
rieures ont un cours d'un semestre daritliméti(jue soit au commencement, 
soit à la (in du cycle scolaire, la portée n'en est guère différente de celle 
des cours d'écoles élémentaires. 

Le rapport donne une étude comparative de l'enseignement d il y a 60 ans 
et de l'enseignement actuel en prenant comme base les conditions d'admis- 
sion au collège Harvard alors et maintenant. Il en découle qu'il a été fait 
des progrès considérables pour les mathématiques ; c'est en géométrie que 
les cliangements sont les moins consé(|nents. 

Au sortir de certaines écoles supérieures dont les plans d'étude et les 
méthodes d'enseignement ont été officiellement agréées par une univer.sité 
les élèves sont admis à l'université sans e.vameu. Cette faveur n'est continuée 
à chaque école que tant que ses élèves se montrent suflisamment préparés 
dans leurs études subséquentes. 

Le but de l'instruction des écoles supérieures est, soit la cultui-e géné- 
rale, soit la préparation au collège et il semble généralement admis par 
les comités chargés de la direction des écoles que le même plan d'études 
doit satisfaire au.\ deux buts; il n'est pourtant pas évident que les pro- 
grammes soient conçus de façon à satisfaire l'un et l'autre ou même l'un 
ou l'autre. 

Viennent ensuite les rapports des 9 sous-comités chargés d'étudier plus 
particulièrement les divers sujets. 

Le sous-comité I traite des écoles supérieures de jeunes gens, leur orga- 
nisation, leurs plans d'études mathématiques, les examens, les méthodes 
d enseignement et le but poursuivi par 1 instruction mathématique. 

Le sous-comité II considère les mêmes questions pour les écoles supé- 
rieures de jeunes filles. Leur but est aussi la culture générale et pour un 
certain nombre d entre elles la préparation partielle ou complète pour le 
collège et parfois pour les écoles techniques et normales. 

Le sous-comité III étudie les écoles supérieures coéducati^es de l'Est. 
Les élèves se préparant au collège ont en i'"" année un coui-s d algèbre dont 
le programme comporte entre autres sujets les permutations et les combi- 
naisons, delà théorie des équations de la trigonométrie et l'usage des tables 
et logarithmes. 

Le sous-comité IV rapporte sur les écoles supérieures coéducatives du 
Middle West. Les branches mathématiques qui y sont enseignées sont 
1 arithmétique, 1 algèbre et la géométrie; quelques-unes y adjoignent la tri- 
gOTiométrie et de « l'algèbre avancée ». Les desiderata de 1 université ont 
une grande influence sur la détermination des plans d'études. Le rapport 
indique la notion de fonctions comme un sujet (jui devrait être introduit 
dans le champ des études. 

L enseignement mathématique dans les écoles supérieures coéducatives 
du Sud fait l'objet du rapport du sous-comité V et cela aux mêmes points 
de vue que les précédents. Sur les écoles ayant répondu au questionnaire 
envoyé, 58 "/o enseignent la trigonomélri(! plane, une d entre elles mentionne 
l'arpentage, trois la trigonométrie sphérique et une la géométrie analytique. 

L'Enseignement mathém., 14» annt-e ; 1912. 2i 



31» 



NOTES ET DOCUMENTS 



La physique y est iréquemment considérée comme du domaine des niatlié- 
miitiques. 

Des associations de maîtres de mathématiques permettent à ceux-ci de se 
rendre compte des réformes à apporter à renseignement mathématique et 
des meilleures méthodes pour les réaliser. 

Le sous-comité VI rapporte sur les écoles supérieures coéducatives des 
côtes du Pacifique. L unité y est relativement grande. Le programme mathé- 
matique est basé sur les exigences de luniversité de l'Etat. 

Le sous-comité VII expose la question de la préparation des maîtres de 
malhéinatiques des écoles supérieures publiques. On tend de plus en plus à 
amélioier l'enseignement en exigeant des maîtres une meilleure préparation. 
Actuellement le baccalauréat est presque toujours demanda. Plusieurs uni- 
versités ont créé des « collèges pour maîtres » et des « écoles poui- la prépa- 
ration des maîtres ». 

Le sous-comité YIII examine les écoles supérieures ayant 6 années 
d étude, c est-à-dire prenant les élèves à leur sortie du 6™* degré élémen- 
taiie. Le champ d'études parcouru est sensiblement le même que celui des 
autres écoles supérieures. 

Le sous-comilé IX expose les défauts de la technique de l'enseignement 
mathématique secondaire et les moyens d'y remédier. 

Rappokt du comité IV. — Il est intitulé « Les mathématiques dans les 
écoles secondaires privées des Etals-Unis ». Comme pour les précédents, 
des sous-comités ont rapporté sur chaque sujet et le rapport qui nous occupe 
est un résumé de leurs travaux. Etant donné 1 indépendance de ces écoles 
entre elles les résultats obtenus accusent de fortes différences. Les écoles 
secondaires privées peuvent cependant être réparties en : 

I. Académies ou écoles du même genre, comprenant aussi des écoles à 
organisation religieuse. Ces écoles donnent une instruction générale assez 
étendue: l'écolage y est très faible ou même nul. 

IL Ecoles privées à écolage élevé, généralement pour un seul sexe, ce 
sont des externats dans les villes el des internats dans les petites villes et 
la campagne. 

III. Division préparatoire des collèges. 

IV. Division secondaire des écoles élémentaires y compris plusieurs 
écoles catholiques romaines pour jeunes filles. Il y a également quelques 
grandes écoles coéducatives en relation avec les plus importantes des uni- 
versités. 

Parmi les écoles privées secondaires 21 '/o sont pour jeunes gens seule- 
ment, 28 °/o pour jeunes filles seulement et 51 "/o pour les deux sexes. 

Parmi les divisions préparatoires au collège (celles qui dépendent de 
l'Etal exclues) 21 "/o sont pour jeunes gens, 21 "^ o pour jeunes filles et 58 "/o 
sont coéducatives. 

Au sujet des plans d'études remarquons que lalgèbre élémentaire el la 
géométrie plane sont obligatoires presque partout. La géométrie dans l'es- 
pace est enseignée dans 80 "/o des écoles de jeunes gens, 40 "/« ^*^^ écoles 
de jeunes filles et 65 "/o des écoles coéducatives. La trigonométrie plane 
respectivement dans 75 ''/o, 18 "/n et 35 '/o L'algèbre supérieure est ensei- 
gnée dans environ la moitié des écoles de jeunes gens, rarement dans les 
autres. La géométrie dans lespace, la trigonométrie et lalgèbre supérieure 
sont fréquemment des études facultatives. Quelques écoles donnent des 
cours sur la trigonométrie sphérique, la géométrie analytique el le calcul 



àà 



yV T /•: S E T D O C U M E NT S :{15 

diUV'ceiiliol. I>e plan d'ûludc est au reste déterminé assez exactement par les 
connaissances exigées pour l'admission dans les collèges. 

L enquête faite au sujet de la séparation des sexes donne en résumé ceci : 
La majorité des maîtres esl d'accord pour trouver qu il existe une différence 
dans les aptitudes matliémaliques des jeunes gens et des jeunes filles, ils 
estiment pourtant que ces différences ne sont pas suffisantes en général pour 
nécessiter une instruction séparée. 

L'unification des divers éléments des cours et l'application des principes 
nialhénialiques à la vie de tous les jours font partie des idées directrices 
d'un certain nombre d'écoles. 

A ce sujet le rapport reproduit 5 exposés donnant des renseignements 
tirés de l'étude d tin établissement délei-miné pris comme exemple. I]n voici 
les titres : 

1. Les principes à la base des cours de mathématique. (l"]cole privée de 
jeunes filles de Détroit Mich.). 

2. Unification des mathématiques élémentaires. (Internat pour jeunes gens, 
Morris Heights School, Providence R. L). 

3. Plan d'étude. (Etude expérimentale dans l'école supérieure de l'univer- 
sité de Chicago. 111. |. 

4. La géométi'ie plane dans lécole préparatoire polytechnique de Broo- 
klyn N. Y. 

5. Problèmes à applications réelles. (Francis W. Parker School, Chi- 
cago). 

6. Un club mathématique d une école secondaire. (Shatdick School, Fari- 
bault, Minn.). 

Les sujets traités dans ra[)pendice sont : 

A. L'instruction matliématicjiie dans les écoles techniques du soir. 

B. L'Enseignement des mathématiques dans les écoles privées, par cor- 
respondance. 

C. L'enseignement des inalliénialiqiies dans les écoles et collèges pour 
nègres. 

R. .Masson (Genève). 

FRANCE 

Sur l'ensemble des établissements dans lesquels se donne, en France, 
un enseignement mathématique. 

La Sous-commissioii frani^aise a fait précéder les rapports spéciaux, consa- 
crés à lexposé des programmes et des méthodes, d une énumération rapide 
des ilivers types d établissements dans lesquels se donne en France un 
enseignement malhémalique. Ce tableau', que nous reproduisons in extenso, 
a été établi |)ai- M. Ch. Biochk, d après les renseignements fouiiiis par 

AI. H. VulBKRT. 

1']nsi:igm-;ment prima ikic. 

Enseignement primaire élémentaire et moyen. — Le premier enseigne- 
tnent des malhéuiali{|ues est donné aux enfants jusqu'à l'Age de 11 ans 



' i:xtrait (lu vol. I, l'.n.u-igiii-meiit primaire. i>iil)lir sous l;i direction de M. Ch. BlocilK. 1 vol. 
— in-S", 85 p.. 3 l'r. ."lO : librairie Hachelte, Paris. 



:! 16 NOTES ET n OC U MEN TS 

environ, soit dans les écoles primaires, publiques ou privées, soit dans les 
classes élémentaires des lycées, des collèges et des établissements libres 
d'enseignement secondaire. 

Les enfants qui poursuivent leurs études entrent ensuite, soit dans l'en- 
seignement primaire supérieui-, puis quelquefois dans les écoles profes- 
sionnelles tecliniqucs ou pratiques, soit dans les établissements d'enseigne- 
ment secondaire. 

Enseignement primaire supérieur. — Les écoles primaires comportent 
un cours supérieur que les élèves doivent suivre au moins un an avant d être 
admis dans les cours complémentaires (un au d études) ou dans les écoles 
primaires supérieures (au moins 2 ans d études, normalement 3 et quelque- 
fois 4). 

La plupart des écoles primaires supérieures et un assez grand nombre de 
cours complémentaires ont un internat, de façon que les élèves dont les 
parents n'habitent pas la localité' correspondante puissent bénéficier de 
l'enseignement donné dans ces cours ou ces écoles. « L enseignement pri- 
maire supérieur, dit une circulaire de 1893, doit avoir un caractère fran- 
chement pratique et utilitaire ; en ce sens général il est professionnel. Mais 
il n'en reste pas moins un enseignement véritable, il ne se confond pas avec 
l'apprentissage. » 

Après la pi-emière année d enseignement primaire supérieur, les élèves se 
divisent en deu.x sections ; pour les garçons : section industrielle où on 
enseigne la mécanique avec travaux d'atelier, et section commerciale où on 
enseigne la complabilité ; pour les filles: section commerciale et section 
ménagère. 

On peut rattacher à l'enseignement primaire supérieur des cours, dits 
cotirs d adultes, faits dans diverses écoles, ou organisés en dehors des écoles 
par des sociétés privées, des syndicats professionnels ou des municipalités. 
Les programmes sont très var-iables, ainsi que le niveau de renseignement ; 
car on peut ti'ouver toute la gamme depuis l'enseignement le plus modeste 
jusqu'à celui qui est donné au Conservatoire des Arts et Métiers, véritable 
université d enseignement technique comptant parmi ses professeurs des 
membres de l'Institut et nombre de savants distingués. 

Sans entrer dans l'énumération des écoles primaires supérieures il semble 
à propos de mentionner parmi celles-ci les écoles primaires supérieures 
professionnelles, les écoles pratiques d'industrie et de commerce ei les écoles 
d enseignement technique non classées quant à présent parmi les écoles 
manuelles d'apprentissage ou les écoles pratiques de commerce et d'in- 
dustrie'. 

E.NSKrC.NEMENT SECONDAIRE. 

L enseignement secondaire est donné dans les lycées et collèges de garçons 
Ou de filles, et dans divers établissements libres analogues. Certains de ces 
établissements particulièrement intéressants parce qu'ils se différencient 
notablement des lycées et collèges seront l'objet d'une monographie spéciale"''. 
Nous nous en tiendrons donc ici à ce qui est relatif aux lycées et collèges. 

* On trouvera des détails sur ces diverses écoles dans les rapports spéciaux, et pour ce qui 
comporte leur organisation, on trouvera des renseignements très complets dans V Annuaire 
de la jeunesse, de M. Vuibert. 

• Voir rapport (H) dans le volume H. 



NOTE S ET IX) f U M E N TS :{ 1 7 

Pour caractériser renseijj;nemcnl donné actuellement dans ces établisse- 
ments, nous reproduirons quelques articles du décret du 31 mai 1902. 

« L'enseignement secondaire est coordonné à l'enseigneinenl primaire de 
manière à faire suite à un cours d'études primaii-es d'une durée normale de 
quatre années. » 

L enseignement secondaiie est constitué par un cours d études d une durée 
de sept ans. et comprend deux cycles : lun d une durée de quatre ans, 
l'autre d'une durée de trois ans ; l'âge normal des élèves est de 11 à 14 ans 
pour le 1«"" cycle, de 14 à 17 pour le second. 

Dans le premier cycle les élèves ont le choix entre deux sections. 

Dans I une sont enseignés, indépendamment des matières communes aux 
deux sections, le latin à titre obligatoire dès la première année (classe de 
6^1 : le grec à titre facultatif à partir de la troisième année (classe de 4«). 

Dans l'autre, qui ne comporte pas renseignement du latin et du grec, plus 
de développement est donné à l'enseignement des sciences, du dessin, etc. 

Dans les deux sections les programmes sont organisés de telle sorte que 
l'élève se trouve, à l'issue du premier cycle, en possession d'un ensemble 
de connaissances formant un tout et pouvant se suffire à lui-même. 

Dans le second cycle, quatre groupements de cours principaux sont offerts 
à 1 option des élèves : 

1" Le latin avec le grec (section A) ; 

2» Le latin avec une étude plus développée des langues vivantes (section B) ; 

3° Le latin avec une étude plus complète des sciences (section C) ; 

4" L'étude des langues vivantes unie à celle des sciences sans cours de 
latin (section D|. 

Cette dernière section, destinée normalement aux élèves qui n'ont pas 
fait de latin dans le premier cycle, est ouverte aussi à ceux qui, ayant suivi 
les cours de latin dans le pi-emier cycle ne conliiuient pas cette étude dans 
le second. 

Ajoutons que la 2^ section du premier cycle et la 4« section du second 
cycle reçoivent des élèves ayant fait des études dans les établissements 
d enseignement primaire supérieur. 

Les classes terminales du cours normal des éludes secondaires sont la 
classe de philosophie et la classe de mathémati(|ues dans lesquelles entrent 
les élèves après avoir passé la première partie du baccalauréat à l'issue de 
la classe de l'^. Ces classes constituent la 3<= année du second cycle. 

Dans un assez grand nombre de lycées, il y a, outre les classes mention- 
nées ci-dessus, des classes -dites de mathématiques spéciales dans lesquelles 
se donne un enseignement mathématique supérieur comportant des cours 
d algèbre supérieure, de géométrie analytique de calcul» difl'éreutiel et in- 
tégral, de mécanique rationnelle : un rapport particulier' est consacré à ces 
classes. 

Ecoles primaires supérieures de la ville de Paris. — Il importe de faire 
une mention spéciale de divers établissements, existant à Paris, qui sont 
classés olllciellement comme dépendant de l'enseignement primaire, mais 
qui ont un caractère à part et comportent des classes analogues à certaines 
classes de lycées, avec un personnel pourvu des mêmes titres ou grades 
que le personnel des lycées. Ce sont ; 



' Voirie rappurl iHi volume II. 



318 



y on: S ET DOCUMENTS 



1° Les écoles Tnrgot, Lavoisier, Colbert, Arago, J.-B. Say pour les 
garçons ; 

2° Les écoles Sophie Germain et Edgar Quiuet pour les jeunes filles ; 

3° Le collège Cliaptal. 

Ces établissements reçoivent des élèves sélectionnés dans l'enseignement 
primaire, qui se destinent aux carrières n'exigeant pas d'études classiques. 
Les écoles de garçons ci- dessus mentionnées pi-éparent aussi leurs élèves 
au baccalauréat, série D (sciences. langues I, à l'école Centrale, aux cours 
préparatoires de 1 Ecoles des Mines et de l'Ecole des Ponts et Chaussées 
et aux divers emplois de la banque, de la finance, du commerce et de l'in- 
dustrie. Le collège Chaptal a des classes préparant à toutes les grandes 
écoles scientifiques y compris l'Ecole Polytechnique et 1 Ecole Normale su- 
périeure (section des sciences). 

Ecoles techniques. — Les écoles techniques présentent une grande variété 
tant au point de vue de l'organisation qu'à celui du but à atteindre. Les 
unes dépendent de l'Etat; d'autres des départements et des communes; 
d iiulres enfin de particuliers. 

Certaines de ces écoles préparent leurs élèves à entrer, dès la sortie de 
l'école, dans l'exercice d'une profession très définie ; d'autres donnent une 
préparation plus générale à diverses carrières industrielles ou commercialefe. 
C est d'après ce dernier point de vue que nous avons classé les écoles en 
question. 

Ecoles préparait a une profession déter.mi.née. 

1° Ecoles dépendant des différents ministères : 

Ecoles nationales professionnelles | Armentières, Nantes, Vierzon, Voi- 
ron), formant des ouvriers instruits susceptibles de devenir contre-maîtres 
ou chefs d'ateliers. 

Institut agronomi(jue. 

Ecoles nationales d'agriculture (Grignon, Montpellier, Rennes) et écoles 
pratiques d'agriculture |42 écoles, sans compter les fermes-écoles et divers 
établissements libres). 

Ecoles vétérinaires lAlfort, Lyon, Toulouse). 

Ecoles des mécaniciens de la marine (Toulon, Brest, Lorient), 

Ecoles d'horlogerie i Besancon, Cluses). 

Ecoles d'hydrographie et navigation (16 écoles de l'Etat) formant des offi- 
ciers pour la marine marchande. 

Ecolo navale et Ecoles spéciales militaires. 

2° Ecoles privées : 

Ecole spéciale d architecture de Paris. 

Ecoles d horlogerie de Paris et d'Anet (Eure-et-Loir). 

Ecole de papeterie de Grenoble. 

Ecole d'apprentis mécaniciens du H:ivre. 

Ecoles d hydrographie et de navigation organisées par des chambres de 
commerce (7 écoles), 



E 



COLKS PREPARANT AUX CARRIERES D INGENIEURS. 



1° JLcoles dépendant des différents ministères : 

Ecoles des Arts et Métiers (Aix, Angers, Chîllons, Cliiny, Lille, Paris) 

Ecole centrale des Arts et Manufactures. 



;V o TE S Ë T nor U M E N r s 319 

lîcole des Mines de Saint-Etieiiiic. 

Hcole des Ponls et Chaussées. 

Ecole des Postes et Télégraplios. 

Ecole du génie maritime. 

Instituts techniques dépendant de diverses facultés 

Ecole Polytechnique. 

2" Ecoles privées : 

lilcole spéciale de travaux publics. 

Ecole Centrale Lyonnaise. 

Institut industriel de Lille. 

Ecole d ingénieurs de Marseille. 

Ecole pratique d'électricité industiiello, rue Belliard (Paris). 

Ecole théorique et pratique d'électricité, rue Falguière | Paris). 

Ecole supérieure d électricité. 

Ecole de physique et chimie de Paris. 

Ecole d'aéronautique. 

Ecoles préparant au professorat. 

Pour exercer les fonctions de professeur dans un établissement d ensei- 
gnement public il faut avoir obtenu certains diplômes, dont la nature dépend 
des fonctions à exercer. Il n'est pas néces^saire pour obtenir ce diplôme de 
passer par une des écoles qui vont être mentionnées; celles-ci ne lont que 
préparer leurs élèves aux examens permettant d'obtenir les diplômes en 
question. 

Ecoles normales d instituteurs : Age d'entrée, 16 à 18 ans; temps des 
études, 3 ans. 

Ecoles normales d institutrices : mêmes conditions. 

Sections normales annexées à des écoles d'arts et métiers ou à des écoles 
de commerce et d'industrie prépai^ant au professorat dans les écoles de ce 
genre: âge d enti'ée 19 à 26 ans; temps des éludes : 2 ans. 

Ecoles normales primaires supérieures de Saint-Cloud (garç;ons) et de 
Fontenay-au.x-Roses (fîlleg) préparant des professeurs pour les écoles nor- 
males primaires, âge d'entrée de 19 à 25 ans; temps d'études : 2 ans à 
Saint-Cloud et .'{ à Fontenay. 

Ecole normale supérieure I i'j. rue di'lni\, préparant des professeurs 
pour l'enseignement secondaire et renseignement supérieur; âge d entrée 
de 18 à 24 ans, temps d',études 3 ou 4 ans. Les candidats admissibles à 
l'Ecole normale qui ne sont pas reçus défîuitivement ont droit à des bouises 
de licence leur permettant de suivre les cours des Facultés. Reçus licenciés 
ils peuvent obtenir des bourses d'agrégation; le titre d'agrégé étant celui 
qui est requis pour être titularisé dans les fonctions de piofesseur de lycée 
(des professeurs non agrégés peuvent être tiluhwisés au bout d'un certain 
temps d'exercice). 

École normale supérieure de Sèvres : préparant des protesseurs femmes 
pour les lycées et collèges de jeunes lllles : âge d'entrée de 18 à 2* ans; 
temj)S d études 3 ans. 

1''nsEIG.NK.\!ENT SVPÉRIKIR. 

L'enseignement supérieur des mathéniati(|ues est donné dans les Facultés 
des Sciences des diverses Universités. L étendue des matières enseignées 



320 



NOTES ET DOCUMENTS 



est très variable d une l'invcrsité à l'autre. Certaines de ces universités ont 
organisé des instituts techniques dont l'organisation sera exposée dans un 
rapport spécial '. 

Dans quelques villes c|ui n'ont pas d Université, il existe des 1-lcoles pié- 
paratoii-es à l'enseignenieat supérieur des Sciences où se font des cours 
analogues aux cours des Facultés. 

Il faut mentionner enfin les cours de niatliématiques faits au Collège de 
France, et faire obser-ver que certaines grandes écoles que nous avons déjà 
citées, ri-]cole Polytechnique pai' exemple, auraient pu être classées parmi 
les établissements d enseignement supérieur. 

En terminant ce rapide exposé il est peut-être à propos , de faire remar- 
quer que l'enseignement des mathématiques en France présente, surtout 
depuis les derniers temps, une variété de types de programmes et de mé- 
ihodes beaucoup plus grande qn on ne le croit communément. 



Enseignement primaire. 



f 



Les rapports consacrés à renseignement primaire-' fiançais sont les sui- 
vants : 

Les écoles primaires élémentaires, par ^L J. Lkiebvke. 

Les écoles primaires supérieures, par M. G. Tallent. 

Les écoles normales primaires d'instituteurs, par M. A. Yakeii.. 

L Ecole normale supérieure d'enseignement primaire de St-Cloud, par 

M. GOLRSAT. 

Ecoles pki.maikes ÉLÉ.MENTAiRES |j). 9 à 15i. — L organisation des écoles 
primaires est fixée par l'arrêté du 18 janvier 1887. La durée des études se 
divise comme suit : 

Section enfantine : enfants de 5 et 6 ans. 

Cours élémentaire : deux ans, de 7 à 9 sans. 

Cours moyen : deux ans, de 9 à 11 ans. 

Cours supérieur : deux ans, de 11 à lo ans. En réalité ce cours n'existe 
pas dans toutes les écoles et la majorité des élèves ne suit que le cours 
moyen. 

La sanction des éludes consiste dans l'examen du certificat d études pri- 
maires que les candidats peuvent subir dès Tàge de 12 ans. 

Le programme de mathématiques est reproduit entièrement dans le rap- 
port de M. Lefebvre ; il est accompagné de quelques problèmes posés à 
1 examen du Certificat d'études. 

Ecoles primaires supérieures (p. 17 à 50). — L'instruction primaire su- 
périeure est donnée dans les classes dites Cours complémentaires et dans 
les Ecoles primaires supérieures. 

L'école primaire supérieure se distingue du cours complémentaire en ce 
qu'elle est, en général, distincte de l'école élémentaire et placée sous une 
direction différente, tandis que le cours complémentaire est annexé à une 
école primaire élémentaire et placé sous la même direction. D'autre part, 



* Voir (D), volume III. 

* Vol. I, p. !t-85. Librairie Hachette, Paris. 



.V O T K S E T DOC U M E NT S M 2 1 

taudis ([ue la durée des études est d un an dans les cours coniplénieutaiies, 
elle est de deux ans au moins dans les écoles primaires supérieures, (|ui 
sont dites de plein exercice quand la durée des études est de ti'ois ans on 
plus. 

l/enseiguement est commun à tous les élèves en première année. Cet en- 
seignement commun a surtout pour but de coordonner, de mettre au point 
et de compléter les coimaissances acquises au cours supérieur des écoles 
jirimaires. 

Dans les écoles de plein exercice, les élèves sont, dès le début de la 
deuxième année, réparti.s en sections dillerentes, selon la profession qu ils 
ont choisie, ce choix étant déterminé par les aptitudes manilestées par 
chaque élève dans le cours de la première année, et par les désirs exprimés 
par leurs Familles. 

La section d'enseignement général comprend les candidats aux divers exa- 
mens du degré primaire, c est-à-dire u exigeant pas un baccalauréat (écoles 
normales, écoles d'arts et métiers, postes et télégraphes, voirie, ponts et 
chaussées, chemins de ter, contributions, douanes, marine) ; en outre, les 
jeunes gens désireux et capables de poursuivre leurs études dans un collège 
ou un lycée (■2e cycle D). 

Les sections spéciales, dont la création est autorisée par le Ministre de 
l'Instruction publique, .sont : la section agricole, la section industrielle, la 
section commerciale et la section maritime.' 

Les programmes de l'enseignement scientifique dans les écoles primaires 
supérieures sont précédés des directions générales suivantes : 

« Les programmes doivent être considérés comme des tables de nialière à 
enseigner dans les différentes classes ; toute latitude est laissée au profes- 
seur pour adopter tel ordre qu'il lui conviendra, pour employer les mé- 
thodes qui lui paraîtront les plus profitables aux élèves qu'il dirige. 

« Le professeur ne devra pas jjerdre de vue le caractère de renseigne- 
ment primaire supérieur, l'âge et la destination des élèves. Les exercices 
pratiques devront être multiples et porter sur des données réelles et non 
factices ; les théories seront réduites à des explications portant le plus sou- 
vent sur des exemples concrets. Ce qu'il convient surtout d'assurer, c est 
la précision dans les connaissances acquises; assez souvent une vérification 
expérimentale sera substituée à une démonstration rigoureuse ; il suMiia que 
l'élève distingue bien ce qu'il admet de ce qu'il établit à l'aide du raisonne- 
ment. 

« Les élèves seront, à toiiteoccasion. exercés à la pratique du calcn! mental. 

« Le professeur fera fréquemment appel à 1 emploi de graphiques. Ce 
procédé rend de précieux services aussi bien dans l'étude des problèmes de 
physique que dans celle de nombreux problèmes d'arithmétique, celui des 
courriers par exemple, et il iin|)orte de familiariser les élèves avec un mode 
de représentation très général et de plus en plus répandu de deux grandeurs 
qui sont fonction lune de 1 autre. » 

Les notions d algèhre proprement dite se bornent à des notions de calcul 
algébrique permettant de résoudre des problèmes simples, à I étude de la 
résolution des équations du premier degré et de l'équation du second degré 
à une inconnue. Toutefois il est permis au professeur de s'altranchir de 
cette réserve dans les applications, pour certaines discussions tiès simples, 
s il y trouve un réel avantage. 

« L enseignement de la géométrie doit être essentiellement concret . il a 



y O T E s ET DOC U M E N T S 



pour bul de classer et tle préciser des iiolioiis acquises par lobservalion, 
d'en déduire d'autres et de montrer leurs applications à des problèmes qui 
se posent dans la pratique. Une grande liberté est donc laissée aux profes- 
seurs dans le choix des méthodes et même dans l'ordre de succession des 
chapitres à exposer ». 

La méthode euclidienne est abandonnée dans un certain nombre d'écoles 
primaires supérieures où Ion enseigne la géométrie d'après la méthode 
Mérav. Telles sont les écoles de Dijon, de Lyon (rue Neyret), de Montbard, 
de MonIceau-ics-Mines, de Chalon-sur-Saône, de Charmes, etc. 

Beaucoup de vérités géométriques importantes peuvent aussi être mises 
en évidence au moyen des exercices de « géométrie expéiimentale » figurant 
an programme des travaux manuels. La démonstration rigoureuse des théo- 
rèmes qui traduisent ces vérités se trouve tort simplifiée. 

« Il est recommandé aux maîtres de relier entre eux les enseignements 
de la géométrie, du dessin et des travaux manuels. » 

Les élèves des écoles primaires supérieures ayant accompli les trois an- 
nées de cours peuvent obtenir après examen le certificat d'études supé- 
rieures. 

A Paris, l'enseignement primaire supérieur est donné dans les écoles mu- 
nicipales i\\.\\ sont, pour les garçons, les Ecoles Arago, Colbert, Lavoisier, 
,I.-B. Say et Turgot. 

Ces écoles durèrent notablement des écoles primaires supérieures de pro- 
vince. Elles comprennent loules quatre années d'études, ce (|ui est l'excep- 
tion dans les écoles primaires supérieures de province. Elles donnent des 
connaissances générales plus étendues en même temps (jue des connais- 
sances plus spéciales. 

Ecoles nor.males primaikes d instititeurs (p. 51-75). — L enseignement 
comporte trois années d'études. L instruction générale occupe plus spécia- 
lement les deux premières années et 1 instruction pratique et professionnelle 
la troisième année. Les candidats doivent avoir seize ans au moins et dix- 
huit ans au plus et être pourvus du brevet élémentaire. L'enseignement est 
fixé par un arrêté du 4 août 1905. Le rapport de M. Vareil reproduit le pas- 
sage concernant les matliématiques. On y trouvera d'intéressantes remarques 
relatives à renseignement de la géométrie. Les programmes de 1905 aban- 
donnent lancienne division de Legendre. Un des principaux avantages de 
celte modification est de faciliter l'application du programme de dessin géo- 
métrique qui comprend des notions sommaires sur les projections. 

Les directions otficielles sont muettes sur les méthodes nouvelles qui 
mettent la notion de mouvement à la base de la géométrie, bien que, depuis 
1901, un certain nombre de professeurs d'école noi'inale aient adoj)té les 
idées de M. Méray et obtenu des résultats encourageants. 

Chaque professeur peut choisir en toute liberté et sous sa propre res- 
ponsabilité les livres qu'il met entre les mains de ses élèves. Avec raison 
les cours dictés sont formellement interdits parce qu'« une classe où l'on 
dicte le cours est mortellement ennuyeuse et sans utilité ». Le maître doit 
se borner à mettre en relief les points essentiels de la leçon et à en déve- 
lopper les parties les plus difficiles ; le livre donnera des détails complé- 
mentaires. 

Ecole i\OR.MALE supérieure d'e.nseic.ne.me.nt pri.viaire de St-Cloud (p. 77- 
79). — Cette école est actuellement dans une période de transition, par 
suite de la création d'une nouvelle section, dite industrielle, dont les élèves 



.V O TE S E T J) O C U M E .\ T S 323 

se destinent plus spécialement à renseignement des branches industrielles 
dans les écoles primaires supérieures. Pour ce qui est des mathématiques, 
l'enseignement consiste surtout en une revision méthodique du programme 
des établissements primaires supérieurs. 

Appendice. — Le volume se termine par une liste des principaux ouvrages 
employés dans les enseignements primaire et primaire supérieur (année 
1 y 10- 1911). 



Enseignement technique. 

Les rapports consacrés à l'enseignement technique' ont été publiés sous 
la direction de M. P. Rollet. directeur de l'Ecole municipale protéssion- 
nelle Diderot à Paris. Ils fournissent une représentation très complète de 
l'enseignement mathématique dans les écoles techniques-. Celles-ci ont été 
réparties comme suit : 

Ecoles pratiques de coninierce et d industrie (Rapports de M.M. H.\r.\.ng 

et L.\GNE.\LXl. 

Ecoles nationales professionnelles iMM. Larivière et Trip.\rd). 

Ecoles nationales d Arts et Métiers iMM. J. Rou.m.\jo.n, Bezixe et Bazard). 

Ecoles de Commerce l^L P. Mineur i. 

Conser\-atoire national d'Arts et Métiers (.M. C. Bouri.eti. 

Ecole centrale des Arts et Manufactures (M. P. Appell). 

Pour les trois premières catégories d écoles les rapports sont précédés 
des programmes ofliciels et des instructions pédagogiques qui les accom- 
pagnent. Les programmes de mathématiques sont suivis des programmes de 
dessin industriel, car ces deux enseignements doivent nécessairement se pé- 
nétrer et se compléter dans renseignement prolessionnel. 

Afin de taiiliter la lecture de ces rapports, M. Rollet donne dans 1 intro- 
duction quelques renseignements sur locganisation générale de l'enseigne- 
ment technique et sur l'esprit dans lequel les mathématiques y sont pré- 
sentées. Nous en donnerons quelques extraits : 

<< L enseignement technique industriel et commercial est donné dans des 
établissements appartenant soit à l'Etat, aux départements ou aux munici- 
palités, soit aux Chambres de Commerce, à des syndicats ou à des sociétés 
privées. Tous ces ('tablisseinents sont rattachés à des titres divers à l'action 
du Ministre du Commerce et de l'Industrie. 

« Le premier groupe des , établissements ap[)artenant à I Etat, et relevant 
par suite de la direction du Ministère du Commerce, comprend les soixante- 
huit Ecoles pratiques de Commerce et d Industrie, les quatre Ecoles na- 
tionales professionnelles, les Ecoles d'Horlogerie de Cluses et de Besan(;on, 
les cinq Ecoles nationales d'Arts et .Métiers. l'Ecole Centrale des Arts et 
Manufactures, le Conservatoire des Arts et Métiers. 

X Le second groupe, sur lequel le .Ministère exerce une simple action de 
contrôle et do surveillance, comprend les diverses Ecoles do Commerce ap- 



' Vol. IV (les Itupports de la ^ous-coinmission française : Enseignement lethnique. — 1 vol. 
in-S". 212 p.: prix : 5 fr. ; librairie Hachette. Paris. 

* Pour ce qui concerne l'enseignement professionnel élémentaire, on consultera dans le 
tome I. Enseignement primaire, le rapport consacré aux Koolcs primaires supérieures. Tandis 
que pour l'enseignement technicjue supérieur certains établissements ont été étudies dans le 
tome 111. Enseignement supérieur. 



32 i 



NOTES ET DOCUMENTS 



piirlouaul aux Chambres de Commerce à Paris et dans les grandes villes de 
province, 1 Ecole de Physique et Chimie à Paris, les Ecoles professionnelles 
de la Ville de Paris, dont certaines ont un caractère à la t'ois industriel et 
artistiijue, l'Ecole Centrale de Lyon, 1 Ecole d'ingénieurs de Marseille, 
l'Institut industriel du Nord, les Ecoles appartenant aux municipalités ou à 
des sociétés privées telles que 1 Ecole supérieure d'Electricité, 1 Ecole 
Bréguet. deux Ecoles de Mécanique et Electricité à Paris, lEcole prolés- 
sioniielle de lEst, lEcole La Martinière de Lyon, de nombreux cours orga- 
nisés par les municipalités, les syndicats ou sociétés à 1 intention des ou- 
vriers des diverses professions. 

« Dans leur ensemble, ces cours et établissements correspondent aux 
trois ordres d enseignement technique primaire, secondaire et supérieur; 
ils s'adressent à tous ceux qui se destinent à une profession relevant du 
commerce ou de lindustrie, depuis l'ouvrier ou 1 employé de commerce jus- 
qu au futur ingénieur ou directeur d'une exploitation industrielle ou com- 
merciale. Un tel ensemble est toujours perfectible et sans cesse il se trans- 
forme ; mais même dans l'état présent il rend des services réels et de plus 
en plus appréciés. I^e rôle de la Commission n'est pas d'étudier le fonction- 
nement de cette organisation dans ses détails et même, en se bornant au 
seul point de vue mathémati(|ue, le nombre et la variété des établisse- 
ments ne permettent pas des études individuelles qui amèneraient le plus 
souvent à des répétitions de peu d'intérêt. Les rapports publiés sont rela- 
tifs à un certain nombre d'établissements généraux et leur lecture suffira 
pour indiquer les conceptions actuelles de renseignement technique et le 
but poursuivi sous linflucnce de lAdministration du Ministère du Com- 
merce et de l'Industrie. 

« L'enseignement mathématique dans des établissements techniques, sur- 
tout dans ceux d'ordre primaire et même secondaire, ne saurait être ce qu il 
est dans un lycée ou un collège, les mathématiques n'étant pas une fin ni 
le but, il y a lieu d'écarter toutes méthodes et toutes démonstrations qui ne 
concourent pas à la lîn cherchée ou au but poursuivi, c'est-à-dire à la for- 
mation de l'ouvrier, du contremaître ou de l'ingénieur. 

(( Sans entrer dans des développements qui sont du domaine des cours tech- 
niques spéciaux, le professeur doit, chaque fois qu'il en a l'occasion, assu- 
rer la pénétration des divers enseignements en signalant les applications 
immédiates et utilisables des théories exposées. Elles sont nombreuses ces 
applications et, s'il eu est de généralement connues comme celles offertes 
par la géométrie descriptive dans la coupe des pierres et la charpente, 
ou bien les questions de mécanique appliquée, il en est d'autres pou- 
vant encore intéresser même des mathématiciens non prévenus ; la chau- 
dronnerie fournit en géométrie descriptive un nombre inépuisable d'exemples 
d'intersections et de raccordements de surfaces ; il n est pas jusqu aux théo- 
ries d arithmétique, d apparence abstraite, qui ne soient susceptibles d'être 
appliquées et utilisées et ce n'est peut-être pas sans surprise que certains 
des meilleurs élèves des lycées et collèges veri'aient des ouvriers tourneurs 
manier avec aisance les nombres premiers, les fractions génératrices des 
fractions décimales périodiques et s'efforcer de trouver une valeur appro- 
chée d'une fraction donnée par la méthode des fractions continues, et la 
détei-raination des réduites. Les procédés graphiques fournissent aussi des 
solutions élégantes ce problèmes parfois délicats aussi bien dans l'ensei- 
gnement industriel que dans celui qui se rattache aux questions commcr- 



y () T E s E T n () C U M EN JS :{25 

ciales. luiliii l'usagt; constant et rêf^iilier do la régie à calcul permet d ob- 
tenir pratiquement des résnilals |>récieiix. 

« Les maîtres enseignant les matliëniali([ues dans les écoles techniques 
ont des origines très diverses; malgré cette variété, et peut-être même à 
cause de cette variété, l'ensemble donne toute satisfaction ; dévoué à sa 
tâche, le corps des prol'esseui-s est pénétré des nécessités de sa missiou. 
Acceptant I influence du milieu technique dans lequel ils vivent, les profes- 
seurs de mathématiques ont su caractériser nettement leur enseignement et 
lui donner son adaptation j)rati(|ne, tout en no perdant pas de vue le rôle 
éducatif qui reste le propre des mathématiques. 

« Les résultats obtenus par les écoles techniques sont tels que de nou- 
veaux besoins se font sentir chaque jour: aussi le Ministre du Commerce et 
de l'Industrie, d'accord avec le Parlement, étiidie-t-il en ce moment les 
rnoyens les plus propres à favoriser et améliorer encore la préparation des 
professeurs. La mise à exécution du projet d'ouverture j)rochaine d'une 
Ecole Normale technique à Paris permettra de grouper et de centraliser 
les efforts sous une même direction et dans un milieu éminemment favorable 
à la formation des jeunes maîtres : ceux-ci auront alors et sans peine à leur 
disposition tous les moyens d'études qu il est parfois plus difficile d'assurer 
dans les sections normales actuelles, ils bénéficieront des ressources variées 
et multiples que Paris leur offrira pour assurer leur préparation et encou- 
rager leur initiative. » 

HOLLANDE 

r^es rapports sur l'enseignement mathématique en Hollande ont été pu- 
bliés en un volume ' de 155 p., sous la direction de M. le prof. J. Cardinaal,. 
avec la collaboration de M\J. J.-A. Barrau, J. Campert, D. Cœlkngh," R-.H. 
van DoRSTE.N, H.-J. de Gnoor, N.-C. Grotendorst, Th. Lancée, il.-i. Yin- 

KISTEV.X, p. ZeE.MAN. 

Ils fournissent un aperçu très clair de l'organisation de l'instruction 
publique en Hollande et de la place qu'y occupent les mathématiques. 

Voici la liste des établissements qui ont été pris en considération. 

Ecoles primaires ; « Burger avondscholen », écoles professionnelles, écoles 
de dessin, écoles professionnelles pour filles et écoles techniques ; écoles 
de marine ; écoles moyennes à 'i années d'études ; écoles moyennes à 5 
années d'études ; écoles moyennes pour jeunes filles : gymnases ; universités ; 
académie technique, instituts militaires de larmée de terre dans les Pays- 
Bas ; écoles de machinistes pour la marine à HellevœtsHns ; institut Royal 
de marine Willemsoord. 

H n'est guère possible de résumer encore ces rapports déjà très con- 
densés. Nous nous arrêterons plus particulièrement aux gymnases et aux 
établissements d'enseignement supérieur. 

L eco/e moyenne à .')' années d'études a pour but de fournir à ses élèves 
les connaissances générales nécessaires dans le commerce, dans l'adminis- 
Iralion, dans l'exercice d'une profession, et dans les divers emplois de la 
vie sociale à notre époque. Il est donné dans chaque classe (i heures de le- 
çons de mathématiques par semaine; 2 h. d arithmétique, "2 h. d algèbre et 
2 h. (le yé()nii''li'ie. 



> Librairie .1. WHltni.in. D.-lft: prix : ;i fr. 



326 



.V OTE S ET 1)0 C UMK N T S 



h école moyenne à 5 années d études prépare plus spécialemonl à 1 Aca- 
démie technique, à lAcadémie Royale militaire, à l'Institut Royal de 
marine, à létude des sciences médicales. 

L àu^e d entrée est de 12 à 13 ans. Le programme mathénialiqne comprend 
l'arithmétique, l'algèbre, la planimétrie. la stéréométrie, la gonioniéirie, la 
trigonométrie et la géométrie descriptive. 

En Hollande il n'y a pas d écoles moyenues officielles pour jeunes 
filles. Le pays tout entier ne compte que 11 écoles communales et quel- 
ques écoles particulières ; par contre tous les gymnases ofliciels ainsi que 
les gymnases protestants et la plupart des calvinistes admettent les élèves 
féminins. 

Les gymnases sont des établissements conduisant aux éludes universi- 
taires. La durée des études y est de 6 années ; les 2 dernières années sont 
divisées en 2 sections, l'une prépare aux facultés de théologie, de droit, de 
philosophie et de lettres, l'autre. au.\ facultés de médecine et de sciences 
physiques et mathématiques. 

Les élèves qui le désirent doivent pouvoir suivre les 2 sections à la fois. 
Le nombre d heures consacré aux mathématiques est de 4 dans la J '*= classe, 
3 dans les 3 suivantes et 2 ou 5 dans les 2 dernière^, suivant les sections. 
Le rapport indique les modifications reconnues désirables à la suite d une' 
enquête. En général on souhaite une diminution du nombre des heures 
attribuées aux mathématiques dans la section a (littéraire). La réduction 
j)ourrait porter principalement sur la géométrie dans 1 espace, les exposants 
fractionnaires et négatifs, les quantités irrationnelles. Par contre, actuel- 
lement, on considère la connaissance de la représentation graphique comme 
nécessaire. 11 est de même utile an futur avocat d étudier les progressions, 
les intérêts composés et les logarithmes. 

Pour la section [i iscientiflquel il serait bon d'introduire renseignement 
de la géométrie descriptive, surtout que depuis quelques années cette sec- 
tion permet d entrer à 1 Académie technique, autrefois Ecole polytechnique 
de Delft. 

De lavis de quelques-uns, ces adjonctions pourraient se faire sans aug- 
menter le nombre des heures, en supprimant seulement la trigonométrie 
sphérique dont lutilité n est guère apparente que pour l'étudiant en astro- 
nomie. 

L'enquête relative à la question de 1 opportunité d enseigner le calcnl 
différentiel et intégral au gymnase, a été en majorité positive. 

Ce calcul permettrait en effet de traiter simplement bien des questions de 
mécanique et de physique qui semblent aulremcnl, compliquées et peu natu- 
relles. 

Les Pays-Bas ont trois uni^'eisilés de L'Etat, à Leyde, Utrecht et Gro- 
ningue, une université communale à Amsterdam et une Université Libre ; 
cette dernière ne possède pas encore de Faculté des Sciences mathématiques 
et physiques. 

L'organisation générale est sensiblement la même dans toutes. Le pro- 
gramme d'algèbre comprend pour les 2 premières années de l'algèbre supé- 
rieui-e, du calcul différentiel et intégral, de la géométrie analytique dans le 
plan et dans l'espace et de la géométrie descriptive. Pour les années sui- 
vantes les principaux cours, dont quelques-uns sont traités à tour de rôle, 
comprennent le calcul intégral, les équations différentielles, la théorie des 
fondions, la théorie générale des courbes et surfaces algébriques, la 



A^ O TE S E T l)0( V M E N T S :i27 

géométrie difTérciiliollt'. le calcul des [irobjihililés, le calcul des vaiiatiôiis. 
la niécaniijue lliéorique et la pliysitjue nialli('mati(|ue. 

]j Académie technique qui a remplacé l'aMcieiiue Ecole polyletlmique, elle- 
même précédée de l'Académie Royale, prépare les ingénieurs des diverses 
sériions: ponts et chaussées; architecture; mécanique, constructions navales 
et électrotechniques; technologie chimique et des mines; sciences générales. 
Les études y sont de 5 ans. Le rapport concernant l'Académie technique 
consacre une 2'ne partie aux « idées modeines en matière d'enseignement 
mathématique ». Il existe de grandes divergences d'opinion au sujet de 
l'étendue du rôle que les malhématiqnes ont à remplir flans les études 
techniques supérieures. 

Cependant l'extension prodigieuse de la technique depuis la 2'"'- partie du 
XIXc siècle a été accompagnée d'un progrès considérahle dans les sciences 
physiques lui-même inséparable du développement des mathémaliijues et de 
la mécani(|ue. (^ela demande par conséquent pour l'ingénieur des connais- 
sances mathématiques plus étendues qu'autrefois. L enseignement n)athé- 
malique à l'Académie technique devra donc satisfaire à diverses conditions : 
Etre scientifique ; initier les auditeurs aux méthodes de la haute science 
afin d élargir leurs vues et développer leui* intérêt pour chaque science. Il 
ne doit cependant pas perdre de vue les applications techniques, soit daus 
le choix des sujets, soit dans celui des problèmes. Les applications géo- 
métriques du calcul difrérentiel et intégral, -la résolution de problèmes de 
géométrie analyti<jue et descriptive, le tracé personnel des constructions 
doivent avoir pour but de développer limagination. 

La Commission d'Etat pour la réorganisation de l'enseignement, créée en 
1903, n ayant publié ses résultais qu'après ceux de la Sous-commission 
nationale, il a été adjoint à la fin île ce volume un rapport complémentaire sur 
ce sujet. 

La Commission d'Etat avait surtout pour mission d obtenir un « meilleur 
enchaînement » des divers degrés de 1 enseignement. La Sous-commission 
donne un aperçu des réformes proposées par la Commission d'Etat. 

Entre les six doctorals de la Kacullé des Sciences physiques et mathéma- 
tiques deux seulement donnent complètement le droit d'enseigner les 
mathématiques dans les lycées, ce sont celui des Sciences mathématiques et 
astronomiques et celui des Sciences mathématiques et physiques. Aux 
auti'es, doit être adjoint, soit une autorisiition d'enseignei* les mathéma- 
tiques, soit un certificat de capacité des Sciences mathémalico-astronomiques 
ou des Sciences mathiMnatico-physiques. 



L'intuition et l'expérience dans l'enseignement mathématique 
des écoles moyennes hollandaises. 

A propos du Congrès de Milti/t. 

L'intéressant rapport [)résont('- par M. Caslolnuovo au Congrès de Milan 
sur la queslioti de la rigueur, identique au fond à celle du rôle d intuilion 
et expérimcntaliou, donne lieu, en ce qui concerne les lîcoles moyennes 
néerlandaises, aux remarcjues suiv;inles (|ue nous adressant MM. Caroinaai, 
et Barrovv : 

" La mélliode d"cnseignenn:Til en mal hémali(|nes est généralomenl celle 



328 



.V O TE S ET DO C UME N T S 



indiquée par Bb «ians le rapport de M. Castelnnovo, comme est déjà cons- 
taté brièvement dans notre rapport (p. 50). En effet, tous nos manuels sont 
écrits dans cet esprit et on doit admettre que les professeurs suivent h». 
méthode du manuel choisi de plein gré, rien ne les empêchant d'en écrire 
d'aiitres. Il existe actuellement une production abondante de manuels 
nouveau.x. mais ils ne différent point par la question de la rigueur. Tous 
partent d'un système d'axiomes, mis plus ou moins en relief, de fondement 
empirique et quasi-complet |BbI et en développent les conséquences par 
enchaînemeut logique. 

« On pourrait même dire que l'opinion pnhli(|ue attend de renseigne- 
ment nialhématique qu'il apprenne en premier lieu à k raisonner juste «. 

« Tel qui, entré en carrière, a peut-être oublié tous ses théorèmes et à 
fortiori leurs démonstrations, s'imagine pourtant que, des mathémati(|ue& 
faites en classe, il lui reste le sentiment de « ce que c'est qu'une preuve 
rigoureuse », et ces heures de géométrie ne lui semblent pas perdues. 

« Certes il voit bien que quelques-uns de ses camarades de classe, tou- 
jours faibles en géométrie, sont pourtant devenus des gens très raisonnes 
et très raisonnables, ou bien que d autres, forts résolveurs de problèmes, 
ne valent pas autant devant les problèmes de la vie. Mais ces observations 
n ébranlent pas sa conviction que, généralement, 1 enseignement mathéma- 
tique développe les facultés logiques de 1 élève. Et. pour lui, c est là la seule 
et suffisante raison d'être de cet enseignement pour tous ceux qui. comme lui,, 
n'auront pas ultérieurement à appliquer les théorèmes appris et. par suite, 
les oublieront. Et il semble que c est bien précisément la méthode Bb (on 
tout an plus B) qui convient au représentant de I opinion commune que 
nous avons indiquée plus haut. La méthode A — ou déjà Ba — lui sem- 
blerait bonne et nécessaire pour les futurs professionnels dès qu'ils se sont 
spécialisés comme tels, mais trop argutieuse et trop prolixe pour l'élève 
ordinaire de l'école moyenne. Les méthodes C et D — quoique comptant 
dans le corps des professeurs quelques adhérents isolés qui n'ont pourtant 
jusqu à présent pas fait école — lui arracheraient sans doute cette critique 
■< les sujets sont malhémati(|ues, la méthode ne l'est pas ». 

« Et puisque, selon l'avis du rapporteur, l'école moyenne, tout comme 
l'école primaire, doit bien se garder de vouloir trop différer en tonalité 
scientifique du » milieu ambiant », afin de ne perdre la confiance publique 
dont elle a besoin avant tout, il en résulte que. chez nous, il serait indési- 
rable et de mauvaise stratégie pédagogique d imposer des réformes dans 
un sens ou dans un autre. 

<( Cela ne veut pas dire que 1 intuition et la tentative d expérimentation ne 
joueraient pas de rôle dans l'enseignement! Surtout en géométrie les pro- 
fesseurs font leur possible non seulement pour donner l'énoncé correct 
des théorèmes, mais surtout pour les rendre vivants, palpables, familiers. 
Et ceux (jui y réussissent le mieux, sont réputés les meilleurs. 

<( Récemment dans le domaine de la stéréométrie, une réaction s'est faite 
contre les problèmes de cubature : volumes de prismes et pyramides tron- 
qués, secteurs et calottes sphériques ; on ne voulait plus de positions de 
droites et plans, constructions d'angles Irièdres, propriétés de tétraèdres, 
afin de développer la faculté de voir dans l'espace. Aussi un certain nombre 
de traités ont paru, préconisant plus qu'auparavant, ces matières. Mais 
pas un n'a quitté le point de vue qu'un théorème conçu par voie intuitive ou 
pai- vision directe n est pas vraiment théorème avant d être dûment prouvé- 



31^1 



A' o T i: s i: T i> oc f M i: y r s 329 

pjir voie clccluolivi'. El — ce qui esl l'ànie do la (jiieslion — l'élève aussi est 
pénétre du même esprit. Si, |)ar exemple, il \oit que dans un problème la 
droite / est perpendiculaire au plan v , il a pleine conscience qu'il s'aj^it 
maintenant de découvrir dans v deux liffues non parallèles dont il peut 
prouver la perpendicularilé à /. S il n'y réussit pas. il ne se sent pas sur 
que la perpendicularilé perçue ne soit pas due au clioix parliculier de la li- 
gure qu'il a devant les yeux. 

« Si donc, en concluant, nous exprimons les deux vœux suivants, nous- 
constatons en même temps que pour les écoles moyennes néerlandaises ces 
vœux sont généralement exaucés. 

« 1. Les programmes prescrivant les matières mathématiques à traiter 
dans les diverses classes des Ecoles moyennes doivent laisser aux profes- 
seurs pleine liberté de choisir la méthode d'enseignement qu'ils jugent con- 
venable. 

« 2. Il est désirable que le prolessenr d école moyenne, tout en choisis- 
sant la méthode d enseignement mathématique qui satisfait le mieux possible 
ses préférences individuelles et les exigences de sa conscience scientifique, 
se garde de forcer trop la capacité logique et la disposition générale nor- 
male et naturelle du milieu d où proviennent les élèves. 

J. Cardinaal, président. Barrow. seci'étaire. 



ILES BRITANNIQUES 

N» 10. — Les examens. 

Kxaininatiuns jrom tlie Srliool point of I7ph'. by .Mr. Cecil Hawki.ns, late 
Senior Mathematrcal Master at Haileybury CoUege. — Dans les grandes 
•écoles publiques d'Angleterre et dans d'autres établissements de renom, les 
élèves qui s'approchent de la tin de leur carrière scolaire et qui ne pensent 
pas pousser plus loin leurs éludes, se contentent souvent de passer leurs 
«xameus scolaires proprement dits sans se présenter à d'autres examens 
spéciaux en vue d'obtenir un certilical d'études. Le rang qu'ils occupent à 
lécole leur esl une garantie suffisante. Ceux, par contre, qui ont 1 intention 
de continuer leurs études à l'université ou d'embrasser une profession libé- 
rale, sont tenus de passer un examen préliminaiie comme gaiantie d études 
générales suffisantes. 

Dans tous ces examens préliminaires, les mathématiques figurent comme 
branche obligatoire. Dans certains, on trouve les mathéinatitincs |)lus avan- 
cées j.More advanced Mathematics) comme lun des sujets spéciaux pou- 
vant être choisis par le candidat. Larilhmélique est toujours exigée, ainsi 
qu'un peu d'algèbre et de géométrie, exception faite cependant pour l'uni- 
versilé d'Oxford où le candidat doit choisir entre l'algèbre et la géométrie. 

En Angleterre, le nombre des examens auxquels peuvent se présenter les 
candidats ayant quitté ou quittant les écoles secondaires esl considérable. 
L'auteur les divise en quatre classes suivant les exigences matliématiques. 



1 104 p. : t'ricp nini' pence; Wyman i\c Sons, Londres. 
L'Enseignement mathém., 14' anniie ; 1912. 



330 



.YOTEs ET nocuMEyrs 



1. Oxford lli^lier Local.s. Camhridge Higher I.oculs et Preliininan E.ra- 
minution of the Institute of Civil Engineeres. 

2. Les Oxford Senior f.ocats, Camhridge Senior Locals, Cambridge Pre- 
vious, diOérenls Matriculation Examinalions. quelques Preliminary Exanii- 
nations parmi les plus difficiles, le Collège of Preceptors de Ire Classe et 
les examens pour School Certificats, Higher School Ceriificates, Senior 
School Ceriificates el School Leasing Ceriificates. 

3. Les Junior Locals, Junior School Ceriificates. Collège of Preceptors 
II">e Classe et les autres Preliminary Examinalions. 

». Oxford Responsions. 

11 u est p;ts possible ici d entrer dans les détails concernant tous ces examens. 
Dwne façon générale, ils sont à peu pi-ès du même type, ils diffèrent cependant 
par certains de leurs détails et leur orjjanisation est telle que la réussite de 
l'un d eux dispense le candidat des autres examens de la même catégorie. 

Les certificats qui sont délivrés eu cas de succès sont suffisamment expli- 
cites pour qu on puisse se rendre compte du degré de capacité corres- 
pondant. Malheureusement il semble (jue bien peu de personnes se font une 
juste idée de la valeur respective de ces différents examens; on exagère 
parfois l'importance de certains certificats qui ne représentent en somme 
que des connaissances très resli-eintes. 

(Citons comme exemple la London Unis'ersily Matriculation. Les malhé- 
mati(|uès élémentaires, qui constituent un sujet obligatoire, y figurent sous 
la forme de deux épreuves, 1 une d'arithmétique et d algèbre, l'autre de 
géométrie. L algèbre comprend les trois progressions, mais exclut les ra- 
cines et puissances, rapports, proportions et variations. En géométrie, 
lînclide de I à IV, avec déductions simples, lieux géométriques faciles, aires 
de triangles et parallélogrammes (on n'insiste pas sur les démonstrations 
d Euclidel. Les mathématiques iplus avancées! y figurent comme l'un de.s 
dix-huit sujets non obligatoires; le candidat doit en choisir deux. L'épreuve 
comprend lalgèbre (puissances, logarithmes et binôme à exposant positif) 
la géométrie (ligures semblables, mesure du cercle et géométrie analytique 
élémentaire de la droite et du cercle) et la trigonométrie, y compris la ré- 
solution des triangles. En tenant compte du fait qu une très faible propor- 
tion de candidats choisissent cette branche, on voit que 95 "/o enviion des 
f.ondon Matriculation certificales ne représentent, en ce qui concerne les 
mathématiques, que les deux branches de mathématiques élémentaires citées 
plus haut; ce qui est évidemment insuffisant dans le cas où le candidat se 
destine à l'enseignement ou à une profession quelconque dans la(jnelle les 
mathématiques jouent un rôle important. 

Un autre inconvénient concernant les examens de cette catégorie, c'est 
qu il est presque inutile d y envoyer un candidat sans préparation spéciale. 
Il doit consacrer des mois, quelquefois plus d'une année à cette préparation 
artificielle n'ayant pour but que de Ihabituer au genre de questions qui 
pourraient lui être proposées à lexamen, et cela au moment même où il 
serait beaucoup plus important pour lui d'avancer ses études et spéciale- 
ment les mathématiques. 

Dans le système actuel des examens, un grand nombre d'entre eux sont 
organisés de façon à éliminer environ 50 "/o des candidats. Or, les exa- 
mens peuvent être divisés grossièrement en trois catégories : 

1. Concours en vue de l'obtention de certains postes et rendant possible 
le choix des meilleurs candidats. 



.V OTE S E r l) () C U M E N T S Xi 1 

2. Exjtraeiis permetlaiil la sélection de candidats (|ui sont vraiment au- 
dessus de la moyenne pour une certaine branche ou pour certains sujets. 

3. Examens destines à garantir la bonne éducation générale des candidats 
et à exclure ceux qui sont décidément incapables. 

On conçoit bieu que la ligne de démarcation entre les candidats qui 
pourront être acceptés et ceux qui devront être refusés doit dépendre de la 
catégorie d examens considérée. Les conditions ne sont pas les mêmes 
quand il s agit de choisir les meilleurs ou d'éliminer les plus mauvais. On 
devr-ait donc en tenir compte d'une taçon plus sensible dans les questions 
d'examens. L auteur estime que dans le cas de la troisième catégorie 70 à 
80 " des candidats devraient réussir. Par contre, quand il s'agit d'une sé- 
lection des candidats les j>lus capables, ce pour-cent devrait être beaucoup 
plus faible, 2.5 " o par exemple. Des statistiques et des diagrammes viennent 
à lappui de ces propositions. 

L'auteur s'occupe plus spécialement des examens concernant le service 
militaire et le service civil i Army and Civil Service i. Les autorités se plai- 
gnent constamment de ce que leurs candidats ne possèdent pas toute l'édu- 
cation voulue. S il en est ainsi, c est en grande partie parce que les places 
de ce genre sont insufTisamment rétribuées si l'on tient compte du genre de 
vie qu'elles exigent. 

Les examens de Woohvich et de Saudhurst ont été continuellement trans- 
formés quant à leur organisation et les derniers règlements ne leur sont 
guère favorables. Ces examens sont d'un type beaucoup trop spécial et les 
différents sujets beaucoup trop nombreux. Ici encore le candidat est obligé 
de consacrer un temps précieux à leur préparation exclusive, ce qui nuit 
considérablement à son développement général. 

L'auteur critique encore bien des points qu il n'est pas possible de si- 
gnaler dans ce bref résumé. De nombreuses remarques seraient à faire con- 
cernant les questions mêmes d'examen qui souvent s écartent par trop des 
programmes. inan([uent de clarté et de simplicité et dont la solution exige 
parfois de fastidieux artitices. Il ne faut pas oublier (|ue les examens ont 
pour but d'éprouver la solidité des connaissances du candidat, de se rendre 
compte s'il est vraiment caf)able de se tirer d affaire en présence de certains 
problèmes qu il pourra rencontrer plus tard. Lorsque les examinateurs sau- 
ront mieux se conformer à cette façon de voir, il est certain que le système 
entier des examens s'améliorera d'une manière sensible. 

A la suite du rapport on trouve la reproduction des questions d'examens 
proposées en 1910 dans plusieurs des établissements cités. Dans certains 
cas. celles de 1900 ont été également reproduites à titre de comparaison. 

J.-P. Du. MUR ( Genève |. 



Cours universitaires. 
Année 1!I12- 191.3. 

ÉTATS-UNIS 

Columbia University New- York |. — Prof. C. J. Kkysfr : Modem théories 
in geomctiv. :> Hi>tory and signilicance of central mathematical concepts. 
3. 1_ Piof. T. S. FisKE : Introduction lo ihe theory of functions of a real 



o32 NOTES ET I) O C V M E y T S 

variable, o : Fiiiictioiis defiued by liiiear difTiTeutial equalioiis, 3. — Prof. 
F. X. (^oLE : liitioduction to tlio lliporv of functioiis, 3; Tlieory oï plane 
ourves. 3. — Prof. James Maclay : Theoi y of iiumbers, 3, (îrst half-yeai- ; 
Differential équations. 3, second half-year. — - Prof. D. E. S.mith : Hislory of 
malhenialics, 3. — Prof. Edward Kksnek : Intégral équations, 2: Seminar 
in differenlial geometry, 3. — Prof. W. B. Fitf. : Calculus of variations. 3. 

— Prof. H. E. Hawkes : Modem highei' algebra, 3, second haif-year. — IJ"" 
H. \V. Reodick . Differential équations. 3, first half-year. — D"" N. .1. 
Lennes : Projeclive geonietry. 3. — llu- niatliiMnatical colloquium will nieet 
al iotervals of about two wecks. 

Cornell University illhacai. — Prof. .1. Me Maho.n : TheDry of probabi- 
lities. 2; Vector analysis. 2. — Prof. J. I. Hlt'.hixson : Linear differential 
équations, 2 ; Elliptic intégrais, 2, (iirst term). — Prof. V. Snyder : Aualytic 
geometry of space, 3. (second termK Prof. F. K. Sharpe : Introduction to 
niathematical physics. 3: Prof. W. B. Carvek : Theory of équation, 2 : Des- 
criptive geometry. 3, (Iirst termi. — Prof. A. Kaxu.m : Differential geometry, 
2. — Prof. D. C. GiLLESPiE : Principales of niechanics, 3. — D"" C. F. Craig : 
Elementary differenlial équations. 2. — D"^ ¥. W. Owexs : Projeclive geo- 
metry, 3. — D"^ J. V. Me Kelvey : Algebraic curves, 3. — D^" L. L. Silver.man :. 
Advanced calculus, 3. — D'\V. A. IIirwitz : Tlieory of functions of a coni- 
plex variable. 3. 

University of Chicago. — Prof. E. H. .Mooke ; Integra! équations in gêne- 
rai analysis : General seminar on mechanical quadrature, continued fractions, 
and boundary pioblems (throughout theyear). — Prof. G. N\ . .Myers : His- 
lory of maliienialirs iwinteri. — Prof L. E. Dickson ; Theory of invariants 
(aulumu and winter) : Theory of numbers (winterl -, Theory of équations and 
linear algebras ispring). — Prof. J. W. A. Yov.ng : Limits and séries (win- 
lerl. — Prof. H. E. Slaught : Differential équations (autumn). — Prof. G. 
A. Bliss : Theory of functions |autumni : Definite intégrais and abelian 
(winleri. Hyperelliplic functions (springi. — Prof. E. J. Wilczynski : Selec- 
led lopics in geomeliy (auturau and winter); Projeclive diflerenlial geometry 
(springK — Prof. A. C. Lu.nx : Graphical analysis and theory of attraction 
and potential (autumn) ; Fourier séries and Bessel's functions and vector 
analysis i springi. 

Clark University iWorcesler, .Mass. . — Prof. N\ . E. Stoky : Analylic 
geometry of higher plane curves, higher surfaces, and twisled curves, 3 ; 
Calculus of opérations and finite dillerences. 3 ; Theory of errors, (3 hours 
firsl half-year) ; Infinitésimal geometry (3 h. second half-year) ; Seminar. 
Prof. Taber : Theory of functions. 5; Intégral équations (2,1); Hypercom- 
plex number Systems (2 h. II), Seminar. — M. de Perrot : Theory of num- 
bers i2 h. (it>t lialf-year) ; abelian intégrais (2 h. second half-year). 

Harvard University (Cambridge .Mass |. — Prof. W.-E. Byely : Advanced 
calculus, 3 : Dynamics of a rigid body, 3 ; Trigonométrie séries, introduction 
lo spherieal harmonies and ihe potential function., 3 witli Prof. B. O. Peirce. 

— Prof. \V. F. OsGOOD : Advanced algebra. 3 (second half year) ; Theory of 
functions. 11,3. — Prof. M. Bôchkr : Ordinary linear differential équations. 3. 

— Prof. C. L. BoiTO.N : Elementary theory of differential équations. 3 (Iirst 
half yeari ; Géométrie iransforinalions, 3. — Prof. E. V. Huntingtox : Funda- 
mental concepts of mat hématies, 3 (second half year). — Prof J. L. Coolidge : 



y (JTK s E T D O C LMEN T S XV.i 

Inlrodiulion lo niodcru geomcliy aiid modem algebra, 3; Gcoiiictry ol the 
circle, 3. — l'rof. G. D. Birkhoff : Theory of fiinctions, lirst course, 3 ; 
(>al('uliis ot variations, 3 (Jîrsl half year). — D'" D. Jackson: Inlinite série 
and produrls. 3 ((Irst liai F year | ; Deliiiite intégrais, 3 (second half year|. — 
Varions courses in reading and researcli are also odered on spécial topics, 
and Prof. Osgood and Bihkiiofk will conducl a forlnightly seniinar in ihe 
ihcorv ot fnni't ions. 

University of Illinois il liiana, 111 l. l'rof. E. J. Tuw.nsenu : (^omplex va- 
riables, 3. — Prof. G. A. Miller: Elemenlary group theory, 3. — Prof. H. 
]j. RiKTz. : Actuarial theory. 3 hours((irst terni). — Prof. G. H. Sisam : l)if- 
ferential geoinetry, 3. — Prof. J. B. Shaw : Fourier séries, 3. — Prof. A. 
E.MCH : Elliplic functions, 3. — D'" A. R. Ckathokxe : Linear differential 
équations, 3. — D'" R. L. Borger . .Modein algebra, 3. — I)"" E. B. Lytle : 
Hislory of mathematics, 3. 

Indiana University (Bioomingtonl. — Prof. S. G. Davisso.n : Ordinary 
diflerential équations (a, w|, 3 ; Fouriers séries (s), 3 ; Theory of functions 
|a, w, SI, 2. — Prof. D. A. Rothrock : Advanced calculus (a, w, s), 3; Higlier 
geonietry (a, w). 3. — Prof. U. S. Hanna : Theory of errors (a), 3 ; Substi- 
tution groups and Galois theory (w, s), 3. — Prof. R. D. CarviichvEL : .Func- 
tions of an infinité numbcr of variables (a, w), 3; Partial differeiifial équa- 
tions (a, \\\, 3 : Theory of numbers (si, 5 ; Seniinar in différence équations 
(a, w, s), 2. (a. w, s =r autumn, winter, spring quarters). 

Johns Hopkins University (Baltimore). — Prof. F. Morley : Higher geo- 
meliy. 2; Dynamics, 2 (second termi ; Serainar 2. — Prof. A. B. Coble : 
Theory of correspondences, 2 : Theory of probabilities, 2 (second term). — 
Prof. A. Cohen : Theory of functions, 2 ; Differential équations, 2 (hrst term) ; 
Theory of numbers, 2 (second terni). — M. H. Bate.man : Intégral équa- 
tions, 2. 

Princeton University (Princeton X.-J.l. — Prof. H.-D. Tho.mfson: Analy- 
tic geomelry 3; Iniinitesimal geonietry, 3. — Prof. L.-P. Eisenhart : Dilfe- 
rential geometry, 3; Mechanics, 3. ^ Prof. O. Veblen ; Algebra, 3; 
Seminar, 3. — Prof. J.-G, Hux : Analytic projective geometry (second term) 
3. — Prof. E. Swift: Calculus of variations (second terni), 3. Piof. 
J.-H. McL. ^^'EDDERBlR^• : Theory of functions of a coniplex variable, 1 
(lirst term), 3. 

ITALIE^ 

Bologna ; l'niversità. — Blrgatti : .Molo porlurbalo <loi pianoti : leorie 
classiche e tcorie moderne, 3. — Donati : Termodinamica nelle sue attinen- 
/.e coir eleltroniagnetismo, 3. — Enriques . Funzioni algebriche, 3. — Pin- 
<;herle : Complementi di analisi iiilinitesiniHle ; Teoiia clenientare dclle 
e{|ua/.ioni integrali, 3. 

Catania ; Universith. — De Fhancuis: Superficie iporellitliche. 'i. — 
Lalricella : Funzioni ortogonali ; Sviluppi in série di funzioni orlogonali : 
Applicazione aile equazioni integrali. 3. — Pen.naccuii-tti : Teoria <l<lle 



* Les cours fundniiientaiix, ayant programme nécessairement fixe, ou presque lixo. ne 
fi);ureDt pas dans la liste. Ce sont les cours d'.'Vnalyse algébrique et iDlinitesiniale. de géo- 
métrie analytique, projective, descriptive, de mécanique rationnelle et de géodésie. 



•SS i XOTES ET DOr U M E A' T S 

tun/.ioni ellilticlie coii p;»rlicolare riguardo aile applica/.ioiii alla nieccauica, 
4. — Sevkri.m : Equazioni integiali, 4. 

Genova ; Universith. — Levi : Equazioni diflV'reuziali. 4. — Lokia : Geo- 
mclria diUerenziale délie curve e délie superficie, o. — Tkdone : Acuslica,^. 

Napoli ; Universilà. — Amodeo : Storia délie niatemaliche : Da Galilei a 
Newlou. ;i. — Del Re : Aualisi générale di Grassniann ad n dimensioni con 
applicazioni alla geonietria ed alla meccaiiica degli spazi a curvalura coslante 
(II parleU 4 '/î- — Gallucci : Teoria délie conligurazioni, 2. — Makcolongo : 
Teoria dell'elasticila : Vibrazioiii dei corpi elastici ; Menibraue elasliche, 3. 
— MoxTEsANO : Teoria générale délie superficie ; Superficie di 0° ordine, 
4 '/s. — La geonietria degli elementi inimagiuari, îî. — Pa'scal : Le super- 
ficie di Rieniann e le funzioui su di esse. 3. — Pinto . Teoria di propaga- 
zione del calore. 4 '/î- 

Padova ; Università. ■ — D'Akcais : Fuuzioni di variabile complessa ; Appli- 
cazioni classiche, 4. — Cisotti : Teoria niatematica dellelasticità con appli- 
cazioni tecniclie, 3. — Gazzaniga : Teoria dei numeri, 3. — Levi-Civita : 
Meccanica analilica con applicazioni alla lennodinamica e aile leorie del 
molo sorte dalla relativita elettromagnetica, 4 '/a. — Ricci : Teoriadel polen- 
ziale con applicazioni, 4. — Severi ; Geonietria non euclidea, 4. — Veronese :' 
Principi délia geomclria, 3. 

Palermo ; Università. — Baguera : Teoria délie equazioni iutegrali e le 
loro applicazioni in analisi, 3. — Gebbia : Teoria dei canapi vettoriali ; 
Teoria deU'elettricità e del magnelismo, 472. — Guccia : Teoria générale 
délie cnrve e délie superficie algebriche, 4 '/2. — Ventuki : Movimenti di Iras- 
lazione e di rotazione dei pianeti ; Perlurbazioni generali e speciali ; Cicio 
euleriano e movimenti del polo terrestre. 3. 

Pavia ; Università. — Berzoi.ari : Geonietria diflerenziale, 3. — Gerbaudi : 
Fuuzioni di variabile complessa; Funzioni ellitliche, 3. — Vivanti : Teoria 
dcUe trasformazioni di contatto, 3. — N. N. : Fisica matematica, 3. 

Pisa ; Università. — Bkrtim : Geonietria proiettiva degli iperspazi, 3. — 
BiANCHi : Funzioni di variabile complessa ; Funzioni ellitliche, 4 '/a. — Di.m : 
Série di Fourier; Sviluppi délie t'uuzioni di una variabile reale, date arbilra- 
mente, in série d'integali di equazioni differenziali lineari del 2» ordine, 
4 '/2. — Maggi : Pi-incipi délia diuamica analitica ; Teoria elettronica del campo 
elettromagnetico, 4 '/s- — Pizzetti : Nozioni generali di astronoinia sferica; 
Principi del metodo di delerminazione délie orbite ; Teoria générale délie 
peiturbazionni, 4 '/s- 

Roma ; Università. — Bisconci.m : Applicazioni geoinetriclie del calcolo 
diflerenziale e intégrale, 3. — Castelnuovo : Geometria diflerenziale, 3. — 
Voi.TEKRA : Equazioni diflerenziali délia fisica matematica, 3. — Funzioni 
dipendenti da altre funzioui ed applicazioni alla meccanica, 3. — N. N. Analisi 
su[)eriore. 3. 

Torino ; Università. — Boggio : Idrotlinamica, 3. — Fubim : Geonietria 
euc'lidea e non euclidea ; Divisione del piano e dello spazio, euclideo o no, 
in parti congiuenli ; Funzioni di variabile complessa ; Funzioni automoife, 
3. — Sanma : Geometria diffcrenziale, 2. — Segre : Enti geometrici legati 
ai sistemi lineari di curve e superficie di 2" ordine, 3. — Somigliana : Teoria 
df'U'elasticità cou applicazioni, 3. 



m 



bibliograpuif: 



Catalogue international de la littérature scientifique, publié par une 
C^ommission internationale sous la direction de H. Forstek Morley. 
A. Mathématiques, vol. 8. — 1 vol. in-S», 240 p. ; 18,50 fr. ; Gauthier- 
Villars. Paris; Harrison & Sous. Londres. 

La présente pnblication est une table par nonas d auteurs et par sujets 
de la littérature scientifique publiée depuis le !«'' janvier 1901. Chaque 
pays a entrepris la table de sa littérature : les matériaux ainsi réunis sont 
envoyés au Bureau central de Londres qui est organisé pour publier des 
volumes annuels contenant les documents fournis par les différents pays. 

Une explication de la classification et de la table est jointe à chaque 
volume, en allemand, en anglais, en fran^>ais, en italien. Ces langues, ainsi 
(pie le latin, sont le.s seules employées pour les traductions, mais dans le 
catalogue par noms d'auteurs le titre de chaque publication esl donné dans 
la langue oi'iginale. 

Le prix de chaque publiialion annuelle complète est de 450 fr. Chaque 
année comprend 17 volumes. Un nombre limité de volumes ont été imprimés 
sur papier mince et sur un seul côté de la feuille. Ces volumes sont destinés 
à ceux qui veulent préparer des catalogues sur fiches. Le supplément pour 
ces volumes est de 2 fr., mais il est nécessaire de s'informer auj)aravant 
pour le cas où ils seraient épuisés. 

Le Volume contenant les titres des journaux dépouillés pour la prépara- 
tion du (catalogue est aussi publié. Cette Liste des Journaux sera d'un 
grand secours aux bibliothécaires et bibliogi'aphes qui ont souvent de la 
difficulté à trouver le titre exact des périodiques qui ne sont pas dans les 
bibliothèques. 

[jC présent volume donne les fiches réunies de mai 1908 à avril 1909 pour 
les sciences mathématiques. 

MathematiSChe Bibliothek. Gemeiuverstiindliche Darstellungen aus der 

Elementar-Mathematik fur Schule uud Leben. heraiisgegeben von D"" \V. 

LiETZMANN und D'" A. \N'iTTiNG. Petits volumes cartonnés de 70 à 90 p.. à 

M. 0,80; B. G. Teubner. Leip/ig. 

\. E. LoFVLEK, Ziffern und Ziffernsysteme der Kultursidker iii aller und 
neiier Zeit. 

2. H. WiELEiT.NKK, der he^riff der /.alil in seiner lugischen und histori- 
schen Enluicklung. 

'A. W. LiETZM.^NN, der jnthagoreische l.ehrsatz mit eiuem Aushltck auf 
das Fermatsclie Prohlem. 

I. O. Mkissm;k. H'ahrsc/ieinliclikeil.sreclinuns. nehst An^iendunsen. 



336 BIBLIOGRAPHIE 

Peiulant lonj^lemps les malhémaliques oui eu la répulalion de science très 
sèche, faisant il est vrai appel au développement du raisonnement, mais ne 
pouvant par elle-même intéresser qu'un cercle très i-estreint de spécialistes. 

Actuellement, elles tendent de plus à plus de prendre leur rang comme 
science à la base des sciences exactes et de la technique. 

La Mathenialische Bihlothek vient à propos pour répoudre au besoin nou- 
veau qui se développe dans le cercle toujours croissant des gens cultivés. 

Elle présente sous une forme compréhensible dans de petits volumes de 
80 Pfennig des problèmes détachés et des aperçus sur quelques domaines 
des mathématiques; les uns ayant pour but la culture générale, d'autres 
avant une importance mathématique spéciale. Le lecteuc est ainsi rais à 
même de s instruire en dehors du domaine généralement réservé à l'école. 

Le premier de ces petits livres est Ziffern und Ziffernsysleme der Kulliir- 
vùlker in aller und tieiier Zeit, par E. Loffler. Il traite des chiffres, indis- 
pensables aux mathématiques, en les plaçant au centre de considérations 
intellectuelles et historiques, non seulement pour leur forme et leur repré- 
sentation extérieure, mais surtout, en considérant les principes qui ont 
contribué chez les différents peuples au développement de la représentation 
des nombres par les chiffres et à la formation d uu système de chiffres. Il 
montre que les chiUres et leurs systèmes sont en corrélation étroite avec le 
développement intellectuel d'un peuple, et constituent un des liens entre les 
divers peuples et les diverses époques. 

Le second volume Der Begriff der Zalil in seiner logischen und historis- 
chen EnhK'icklung, par H. Wikleitner, expose le développement de la notion 
de nombre, depuis le nombre entier absolu, jusqu'aux nombres complexes 
habituels. Le côté historique de ce sujet est traité simultanément avec le 
développement logique de 1 extention de la notion de nombre. 

Dans le troisième volume Der pvthagoreische Lehrsatz mit eineni Ausblick 
auf das Fermatsche Problem, M. \V. Lietz.mann n'a pas 1 intention de faire 
un exposé complet des démonstrations du théorème de Pylhagore. Il veut 
suitout montrer quel nombre considérable de relations il existe entre les 
divers domaines des mathématiques et qu en réalité les faits mathématiques, 
pour employer une figure, forment un filet et non une chaîne. Il choisit pour 
cela cet exemple soit en raison de son importance au point de vue histo- 
rique et au point de vue de renseignement, soit en raison de son caractère 
élémentaire. 11 cherche dans la mesure du possible avec un cadre aussi 
étroit à amener le lecteur à la réflexion mathématique personnelle. Ce but 
pénètre tout l'ouvrage, il est encore accentué par 1 introduction, dans le 
cours de l'exposition, d'un grand nombre de questions connexes. 

Le quatrième volume donne les notions du calcul des prohabilités et de 
la théorie des erreurs, par M. O. Meissner (Potsdam). 

G.-W. EvA.Ns. — The Teaching of High School Mathematics (Riverside 
Educalional Monographs). — 1 vol. in-lG;X-94 p., Houghlon Mifflin Com- 
pany, Boston, New-York, Chicago. 

Le but de ce petit volume est de servir de guide dans le chaos amené, 
dans renseignement mathématique en Amérique, par les discussions des dix 
dernières années; il donne pour cela des indications sommaires sur les ma- 
tières et les méthodes à employer. 

L'organisation scolaire est actuellement en transformation. Le j)oint de 



h I H I. I o <; I{ A P II I E :{37 

vue pratique a intluo sur le but cl le poiul île vue psychologique sui- les 
méthodes de I enseignenienl. Il y a maintenant une tendance marquée à ac- 
corder plus d'importance au développement de la maîtrise des tacullés qu'à 
rcmmagasinemeiit de connaissances toutes faites. 

M. Rvans considère dans nu premier chapitre le point de vue moderne. 
Les l'éformes apportées à l'enseignement ont eu pour but de faciliter l'ap- 
plication immédiate des connaissances ac(|uises, de manière à rendre utile 
même une instruction non terminée; ce qui est d'autant plus nécessaire que 
la majorité des élèves ne poussent pas leurs études très loin. 

L'auteur donne un aperçu historicjue de l'origine et des modifications des 
termes et des symboles mathématiques et de leurs définitions. 

Le second chapitre traite de l'ordre à suivre dans l'enseignement des ma- 
thématiques avec, à titre d"exem|:)le, un programme pour la l'"" ann<;e d études 
secondaires. 

Les chapitres suivants contiennent des considérations sur la manière de 
présenter les équations et de mettre en lumière, dès le début, leur utilité, 
ainsi que des remarques sur les méthodes d approximation dans diverses 
opérations, divisions, extractions de racines. 

Au sujet de l'application de la géométrie à l'algèbre l'auteur insiste sur 
l'importance d'une bonne uolalion. 

Il consacre ensuite un chapitre à la question de la mesure, dans laquelle 
il faut faire usage de la démonstration déductive, et des bases sur lesquelles 
il faut I appuyer. 

A propos de la méthode des limites M. Evans montre comment on peut 
présenter les quantités incommensurables rencontrées eu géométrie eu com- 
binant la clarté à la rigueur. 

La règle de Simpson fait I objet d'un chapitre. L auteur estime qu'il est 
bon de 1 enseigner, car c'est le seul moyen, à la portée de l'élève, qui lui 
permette d obtenir l'aire d'une surface plane limitée par une courbe quel- 
conque avec une approximation relativement grande. Elle peut, de plus, 
servir à la démonstration du principe de Cavalieii sur I é(juivalence de deux 
solides à bases et sections équivalentes, iùifin dans le dernier chapitre 
M. Evans donne quelques conseils au corps enseignant en lui rappelant que 
le succès des réformes de l'enseignement quoique pouvant être favorisé par 
les manuels dépend surtout du maiti-e. R. .Masson i Genève). 

D. Gautier. — Mesure des angles. Hyperboles éloilées et fiévcloppanlc. — 

1 vol. in-8<\ 1V-8j p.. l U\ ; Ganlhier-Villars, Paris. 

.M. le commandant D. (iautier se propose de donner pour la mesure pra- 
tique des angles un appareil plus pratique que le rapporteur. Voici sa mé- 
thode : construisez en coordonnées rectangulaires la courbe (hyperbole dé- 
veloppante) V = X cotg x; une droite passant par l'origine et faisant langle 
6 avec ov coupe la courbe en un point dont l'abscisse est 0. La mesure des 
angles est ainsi ramenée à celle des longuetirs. Sans insister plus on voit 
que pour la mesure des angles l'appareil équivaut exactement au rapporteur 
ordinaire: la division des angles serait un peu simplifiée, an moins théori- 
(|uement. L'auteur fait remarquer (mais sa démonstration doit être rendue 

rigoureuseï que. pour les valeurs de inférieures à — , on peut rempla- 
cer pratiquement la courbe par le cercle osculateur, de rayon — , eu son 



338 BIRI.l O C, I{ A PII I E 

sommet. Celte pi-opriélé assez remarcjuablc pourrait servir de justification 
à la raélliode de l'auteur, dont lexposition gagnerait certainement à être 
dégagée de la théorie inutile et peu intéressante des hyperboles étoilôes, 
théorie qui occupe la majeure partie de l'ouvrage. 

G. A'.vi.iRON (Besançon). 

E.-E. Whitfokd. -- The Pell Equation. — 1 vol. in-H", W6 p.; chez lau- 
teur, Collège of the City ol IS'ew-Voïk. 

\. auteur de cette savante monographie de la célèbre équation en monlie 
les lointaines origines dans les essais faits par les Anciens, en vue de repré- 
senter les racines carrées des nombres non carrés. Les tentatives de repré- 
sentation exacte de ces irrationnelles par des fractions rationnelles ayant 
échoué, à leur grande surprise, ils auront essayé de déterminer celles de 
ces fractions qui s'en rapprochaient .le plus : soit en elTel h'^n ^ a'^ -\- r . la 

fraction — représente la valeur de j/ n avec d'autant plus d exactitude que r 

est plus petit. Il était donc naturel de chercher à déterminer a et b de ma- 
nière que r rr: + 1 . Les pythagoriciens avaient ainsi déduit de considéra- 
tions géométriques, les solutions de l'équation .r^ — 2v^ =1, ce qui les 
avait conduits aux récurrences arithmo-harmoniques bien connues : les ap- 
proximations de \/ - , de |/ 3 et d'autres racines fournies par Platon, Ar- 
chimède, Héron et Théon de Smyrne autorisent ces suppositions, admises 
d'ailleurs aujourd'hui. 

Le célèbre problème des bœufs d Archimède et les questions de Diophante 
seraient les premiers problèmes numériques connus se rattachant, au moins 
comme forme, à l'équation de Pell ; mais c'est surtout chez les Hindous qu on 
en voit étudier les propriétés et les applications : M. Whitford expose avec 
détails leur méthode cvcUf/iie de solution, qu'il serait désirable de voir 
mieux connue. 

On voit ensuite les travaux des Arabes et des Italiens relatifs à cette 
théorie ; puis vient l'énoncé formel de Fermât, qui le premier en a compris 
l'importance comme clé de la solution de toutes les équations indéterminées 
du second degré ; les essais de ^^'^allis, qui donne lalgoiithme de la solu- 
tion ; ensuite les nombreuses recherches d'Enler, qui l'expose entièrement ; 
les démonstrations de Lagrange, qui la généralise de la manière la plus 
complète; Gauss, qui en fait voir la haute portée dans la théorie des formes 
quadratiques; Lejeune-Diriclilet enfin, qui en dén.onlre la solubilité de la 
façr)n la plus élémentaire, l'utilise dans nombres de théories, l'étend aux 
nombres complexes et — en même temps que Jacobi — appi'end à la ré- 
soudre à 1 aide des fonctions cyclotomiques. 

La partie didactique du sujet est suffisamment complète ; mais peut-être, 
au lieu de lexposer chronologiquement avec Ihistoire, cùl-il mieux valu la 
traiter à part. 

La partie bibliographique contient, non une sèche énumération d'articles, 
mais, quand il y a lieu, un court résumé du contenu. 

Quand j'aurai dit que la table des noms d'auteurs en cite 263, on com- 
prendra quelles consciencieuses recherches a dû faire M. Whitford pour 
réunir les matériaux de cette importante étude, el l'intérêt qu'elle présente 
pour les arithméticiens el la généralité des amateurs qui, avec raison, 
veulent connaître ce qui se fait en dehors de leurs études habituelles. 



liU I.I.K r I y m H Ll ()(, H AU H KiV E ;{.{9 

L ouvi'iiire comprend la solution des équations .*- — A)'^ =z + 1 et les 
quatients de |/A pour les valeurs de A comprises entre 1500 et 1700: on 
sait qu'elles sont connues jusqu'à A = 1500. 

Me permettra-t-on de terminer par le resjret (|ii(' 1 auteur de cet excellent 
travail ne lait pas intitulé le prohtènie de Fermât, an lieu de continuer à 
appeler cette théorie du nom de celui (]ni — suivant son expression — en a 
été I Americ Vespuce .' A. Aibry (Dijoni. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. PultlicatiouiBi périodiques : 

Acta Mathematica, dirigé par Mittag-Leffler, Stockholm. 

Tome 35, fasc. 4. — Z.^remba : Sur le principe de Dirichiet. — Jean Chazy : 
Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre supérieur dont 
l'intégrale générale a ses points critiques fixes. 

Tome 35, fasc. 1 à 3. — H. Poincaré : Rapport sur le Prix Bolyai. — 
Mittag-Leffler : Zur Biographie von Weierstrass. — L. Fejer ■: Eine 
Bemerkung zur Mittag-Leffler schen Approximation einer beliebigen analy- 
tischen Funklion innerhalb des Sterngebietes. — A. Buhl : Sur la repré- 
sentation des fonctions méromorphes. — C.-W. Oseen : Sur les formules 
de Green généralisées qui se présentent dans l'hydrodynamique et sur quel- 
ques-unes de leurs applications. — C. Posse : lîxposé succinct des résultats 
principaux du mémoire posthume de Korkine, avec une table des racines 
primitives et des caractères qui s'y rapportent, calculée par lui pour les 
nombres premiers inféiMeurs à 4000 et prolongée jusqu'à 5000. — C. I'osse : 
Table des racines primitives et des caractères qui s'y rapportent poifr les 
nombres premiers entre 5000 et 10000. — M. Rncsz : Sur la représentation 
analytique des fonctions définies par des séries de Dirichiet. — L. Landau : 
Ueber einige Snmnien die von den Nullstellen der Ricmann'schen Zctafunk- 
tion abhiingen. 

Annaes scientificos da Academia polytechnica do Porto, dirigées par 

Gomez Tfixeiua. — \'(j1. ^'I. 

IS'"** l et 2. - Niels Nielsex : Note sur les fonctions de Beruouilli. — 
L. GoDEAux : Sur le lieu des points de contact double des surfaces de deux 
systèmes linéaires. — G. Pirondim : Essai d'une lliéoric analytique des 
lignes non-euclidiennes. — L. Orlando : Quelques observations sur les 
groupes d'homograpiiies dans un plan. — Lfrcu ; Sur quebjues formules 
concernant les formes (juadralicpies binaires d'un discriminant négatif. — 
C. Sf.rvais : Propiiétés des tangentes communes à doux (|uailiic|Ui's honio- 



:i 'lO HU I. I.KTI y B I h I.IO a // APII I Q L E 

focales — A. Avhky : Sur lliisloir»' du calcul inlinilésiiual eulce les années 
1620 et 1660. 

N»*' .':! et ». — l"]. I^A.NDAu : Ueber die Zahleu uiit einer gegebeueu Teiler- 
anzahl. — M.-C. Skkvais : Sur les cubiques gaucbes. — A. Kempe : Sur 
rapproximatioii des racines complexes des équations algébri([ues. — D.-J. 
DiRAN-LoKiG.^ ; Sobre una curva Iranscendente, generalizacion de la tractriz 
do Leibniz. — G. Pikondim : Essai d'uue théorie analytique des lignes nou- 
euclidiennes. — M.-L. Orlaindo : Sur la continuité des séries. — C Servais : 
Analogies dans la courbure des courbes et des surlaces du second ordre. — 
M"'" V. Gkadara : Sur les équations à racines réelles. 

American Journal Of Mathematics, ediled by Kr. Moklf.y, Baltimore. 

Vol.XXXIII, A'os 3 cl 4. — J.-R. Connek : The Ralional Plane Quartic 
as Derived frora the Norui-Curve in Four Dimensions by Projection and 
Section. — W.-H. Young : On the Analytical Basis of Nou-Euclidian Geo- 
metry. — N.-J. Lennes : Curves in Non-Melrical Analysis Situs wilh an 
Applic.ition in the Calculus of Variations. — V. Snyder : The Involutorial 
Birational Transformation of the Plane, of Order 17. — A. -M. Hii.tebeitkl : 
On the Problem of Two Kixed Centres and Certain ofits Generalizations. — 
G. -A. Miller : Abslract Définitions of ail the Substitution Groups whose 
Degrees do not exceed Scven. — G. Greenhill : The Attraction of a Homo- 
geneous Spherical Segment. 

Annals of Mathematics, l^ancasler and Princelon. 

A partir de ce fascicule, les Annals of Matliematics sont piibliés sous les ï 

auspices de la Princeton l'niversity par MM. Ormond Stone, Maxime Bôcher, »' 

G.-D. Birkhoff, L.-P. Eiseahakt, Elijah Swift, Oswald Veblen, J.-II.-M. 1 

Wedderburn. 

Vol. XIII, fasc. 1 et 2. — P. -A. Lamkert : A Method of Solving Linear ^ 

dilferential Equations. — N.-J. Lk.nnes : Duality in Piojective Geometry. — V 

L.-P. EisENHART A Kundamental Parametric Représentation of Space _> 

Curves. — M. Sanderson : Generalization in the Theory of Numbers and 
Theory ol Lineai- Grou])s. — W.-C. Bre.nke : Transformation of Séries 
by Means of Functions adinilliiig a récurrent Relation. — L.-I. Neikirk : 
A Theoreni on {m, n] Correspondences. — W.-R. Longley : Points of Inde- 
terminate Slop on liie Discriminanl Locus of an Ordinary Differential E(|ua- 
tion. — M. Bôchek : Bonndary Problems and Green's Fnnclions for Linear 
rjilferonlial and Différence E(]uations. — C.-L.-E. Moore : Conjugale Direc- 
tions on a Hypersurface in a Space of Four Dimensions and Some Allied 
Curves. 

Archiv der Mathematik und Physik, herausgegeben von E. Lampe, \V. 
.Meyer. ]•]. Jamnke, 19. Band. — B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin. 

Hefl 1. • — Th. Reye : Ueber ein Kriterium der gescharten Kollineation. — 
G. GKEENHii.r. : l'llij>lic Funclion Palh of a Particle sliding on a smooth 
surface. — H. Blh.viester : Unterstichung der senkrechten Projeklion der 
Dnrchdringunskurve /.weicr Drehflachen zweiter Ordnung mit sicli schnei- 
dcnden Drehachsen auf die Drehachsenebene. — R. F^othe : Ueber die Inler- 
fereuz reellperiodischer Funktionen. — K, Schweri.ng : F^ine Eigenschaft 



I 



RI LIE TIN H l lil.l () t: HAPHI O UE WW 

der Biiunnialkoellizieiiteii. — 1''. Sai.kowski ; Kleiue liemerkungen zur Kiii- 
venlelire. — F. Rogkl : Graphostalische Fliichenmcssiing. — H. Bkklimk ; 
Ueber das Fermaische Hrobleni. 

Hefl 2 u. 3. — R. Stukm : Ueber die ge^t'iiseitige Bezieliuim des Hiiscliels 
iind der Schar. welclie diiich zwei Kreise oder Kiigolii beslimnit werdeii. — 
Y. SwvAYAMA : l'eber Kreise, die eiiien Kreis nnd zwei ihn durchsohnei- 
dende Sekaiilen beruliren. — O. Bi.ume.miial : L'eber asymptoliselie Inté- 
gration linoarer Diirerenlialgleichuugen, mit Anwendnugen aut eino asyiiij>- 
lotisc'he Théorie der Kngelfnnklionen. — E. Loffi.kk : Zur Gescbicble der 
indisrlieii Zill'ern. — G. (îkkenhili. : KIliplic Funclion Palh of a l'article 
sli(1iug on a smoolli surlace. — .1. Sommir : L'eber die Définition der Kriim- 
muiigskreises in eineni Pnnkl einer allgemeinen ebenen Kurve. — D. Konig : 
L'eber Ein- und Zweiseiligkeit inelirdiinensionaler Mauuigfalligkeiten. — 
1). PoMPEiu : Sur une relation d inégalité dans la théorie des fonctions holo- 
uior plies. 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von 
K. HiNSKL. Baud CXL. — Georg Reinier, Beiliu. 

Hefl 3. — J. HuR.N : Volterra'.sche Integralgleichungeu und Summeu- 
gleichungen. Zweiter Teil : L'eber die Losungeu gewisser Suminengleichuu- 
gen und ihr asymptotisches Verhalteu. — R. Nkukndokff : L'eber die Kur\en 
au! eiuer Flache, deren spharisclie Bilder griissle Kreise siiid. — E. Hii.b : 
L'eber Reihenenlwicklungen. welche ans spezielleu Raudwerlprobleuieu bei 
gewohnlicheu liuearen inhomogeiien DifTerentialgleichungen enlspriugen. — 
P. KoKOTT : Elemeutar-geouielrisclie Ableilung dc.v Additioustheorenie der 
elliplischen Funklioneu. 

Heft 4. — H. KoBEK : Bcitriige zur Behaudiung spezieller Variajions- 
problerae ; Uulersuchung konjugierler kinelischer Brennpuukte. — D. Grave : 
Déujonslration d'un théorème de Tcliébychef généralisé. — !>. v. Schrutka : 
Ein Beweis fur die Zerlegbarkeit der Primzahlen von der Form 6 n + 1 in 
ein einfaches und ein dreifaches (^uadrat. — E. Jacobsthal : Zur Théorie 
der Funktionale. — L. v. David : Reihenenlwicklungeii und Konvergenz- 
unlersuchuugen betreflend die Schapira sche Itération. — Prcisaufgabe der 
Fùrsliich .lablonowski'schen Gesellschaft fiir das Jahr 1913. 

Proceedings of the London Mathematical Society. Séiie 2, vol. lo. 

\V. H. Yor.Nc; : On the Fundainental Theoiem in the Theory of Funclions 
of a Complex Variable. — H. Bateman : The Transformation of a Parlicular 
Type of Electromagnelic Field and ils Physical Interprétation. - Miss 
Hilda P. Hldson : On the 3-3 Birational Tiansformatiou in tliiee Dimen- 
sions. — \V. E. H. Bkiovk.k : On ihe Réduction of Arithmelical Binary 
Cubics which bave a Xegative DelcrininanI . — G. II. Hardy : Properties of 
Logarilhmico-l]xp(niential Funclions. — H. .M. Macdonald : The Intégra- 
tion of the lùpiations of Propagation of Electric Waves. — H. Bateman . 
On certain Veclors associated wilh au F^leclromagnetic Field and the Redec- 
lion of a Disturbance al ihe Surface <»f a Perfect (>onductor. — E. Cuxm.nt.- 
HAM : The Application of ihe Malheuiatical Theory of Relativity lo ihc Elec- 
tron Theorv of .Matter. — G. B. .Mathews : Ou the Re<luction and Classili- 
calion of Binary Cubics whicli bave a Négative Disciiminant. — \V. F. Shkp- 
PARD ; The Accuracy of Interpolation by l'iiiitc Dillerences (Second Paperi. 



3'»2 KU l.l.ETl y H l B I.IOGR A P II IQU E 

— G. B. Mathews : A Cartesiaii Theoiy of Coniplex (ieoraetrical Eléments 
ot Spaee. — J. M. Hill : Ou the Proofs of ihe Properlies of Riemaniis 
Stii faces discovercd by Lùrolli and Clcbscli. — W. P. Mii.ne : A Symmelri- 
cal Metliod of Apolarly Generaling Cubic Curves. — G. \V. \\'atson : Tlie 
Solution of the Hoinogeneous Linear Différence Equation of the Second Oi- 
der. — Lt-Col. Allan Cumvixgham : Nuinber of Primes of given Linear 
Forms. — \V. H. Young : On the Convergence of a Fourier Séries and of 
its Allied Séries. — H. Hilton : On Properlies of certain Linear Homoge- 
neous Substitutions. — W. Bur.nside : 'l'he Détermination of ail Groups of 
Rational Linear Substitutions of Finitc Order which contain the Symmetric 
Group in the Variables. — G. T. Bennett : Deformable Octahedra. — 
W. H. YouNG : On the Nature of the Successions formed by the Coeffi- 
cients of a Fourier Séries. — H. F. Baker : On the Zéros of Jacobian 
F"unctions. — Hardy : On the Multiplication of Dirichlet's Séries. — J. E. 
Campbell : The Invariants of the Linear Partial Differenlial Equation of the 
Second Order in two Independent Variables. — H. Hilton : On Invariants 
of a Canonical Substitution. — W. P. Milne : A Method o( Establishing 
the 27-Liiie Configuration of a Cubic Surface. — G. H. Hardy : Some Re- 
sulls concerning the Behaviour at Infinity of a Real and Contiiiuous Solu- 
tion of an Algebraic Differenlial Equation of ihe First Order. — W F. 
Sheppard : Sumniatiou of the Coefficients of some Terminating Hypergeome- 
tric Séries. — G. T. Bennett : The System of Lines of a Cubic Surface. — 
Index. 

American Journal of Mathematics, edited by Fr. Morley, Baltimore. 

Vol XXXIV (1912). no I. Elisabeth H. Bennett: Primitive Groups wilh a 
Détermination of the Primitive Groups of Degree 20. — D.-N. Lehmer : On 
the Arithmetical Theoiy of Pencils of Birnary Quadratic Forms. — A. Ra- 
NU.M : On the Principale of Duality in the Geomelry of the Sphère. — ^• 

R.-K. MoKLKY : On the Fuiidamental Postulate of Tamisage. — S. Epsteen : 
Derivative Domains of Rationality. — E.-W. Sheldon : Critical Revision of 
de Hann s Tables of Definite Intégrais. 

N" 2. — J. Vaiice McKelvey : Groups of a Birational Trauformations of 
Aigobraic Curves of Genus 5. — R.-D. Car,mich.ï:l : The General Theory of 
Linear ^-Différence Equations. — A.-R. Schweitzer : Concerning Linear 
Projective Order. — F.-R. Moulton : On Certain expansions of EUiplic, 
Hyperelliplic and Related Periodic Functions. — Hilda-P. Hudson : On 
Cubic Birational Space Transformations. — O. Veblen : On the Définition 
of .Vlnltiplication Irrational Numbers. 

Bibliotheca mathematica. Zeitsch. f Geschichte der mathem. Wissens- 
chaften herausgegcFjen von G. Enestrom. — o. Folge, Teubner, Leipzig. 

12. Band., 1. Heft. — G. Enestrom: Ueber die Bedcutung von Quellen- 
stndien bei mathematischer Geschichtsschreibung. — E. V^'^iedemann : Die 
Schrift ùber den Qarastùn. — L.-C. Karpinski : The algcbra of Abu Kamil 
Shoja' ben Aslam. — A. Witting : Zur Frage der Erfindung des Algo- 
rithmus der Newtonschen Fluxionsrechnung. — G. Enestrom ; Kleine Bemer- 
kungen zur letzten Auflage von Cantors « Vorlesungen iiber Geschichte der 
Malheniatik > 

Heft 2. — A. -A. B.ioHNBO : Die malhematischen S. Marcohandschilïen in 



I 



li U I. I. E T l y H I /.' A / OC, H A P II I O U E 3'i3 

Floieu/. — V . Cajoki ; Ou llie SpaiiisI» symbol V for « thousiinds ». — 
G. E.NKSTKci.M : Zur Geschichte der uiiendlichen Reilieii uni die Mille des 
siebzehnteu Jahi'Iuinderls. 



!S. Livres nouveaux : 

W. M. Bakek. — TheCalculus f or Beginners. — i vol. in-8", \'I1I-I66p.; 
G. Bell (k sons, Londi-es. 

H. BiETTGEK. — Physik. Zum Gebiauch bei physikaliscben Vorlesuiigen 
in holieien Lehranstalten, sowie zuin Selbslunterricbt. — I. Band : Mecha- 
nik. Wai-melehre, Akustik. — 1 vol. gr. in-8'J, Xn[-98o p. : 15 .M., relié 
M. J6.50 : F. Vieweu; & Soliu. Bianiisclnveig. 

G. Dakbov.x. — Eloges académiques et discours. Volume publié par le 
Comité du jubilé scienlifique de M. G Darboux. — 1 vol. iii-16, 525 p. avec 
un portrait. — 5 tr. ; A. llennann & (ils, Paris. 

G. Davison. — Higher Âlgebra for Collèges and Secondary Schools. — 

1 vol. in-8", 320 p.: 6 sli, ; Cambridge University Press. 

A. R. Forsyth. — Lehrbuch der Differential-Gleichungen, mit den Aut- 

losungen der Aufgaben von Herinaiiu Maser. 2'^ antorisierte Auflage, uach 
der 3'e" des englischen Originals besorgt und mit einem Anhang von Zu- 
salzen verseheu von Waltlier Jacobsthal. — 1 vol. gr. in-8°, XXII-921 p. ; 
20 M., relié 21.50 M. : F. Vicweg & Sohn, Braunschweig. 

F. G. -M. — Compléments des Exercices de Géométrie descriptive, édi- 
tion de 1909. — 1 fasc. in-8". 64 p. ; A. Mame & lils, Tours , J. de Gigord, 
Paris. 

C. GoDKREï and A. \V. Siddons. — Algebra for Beginners. — l'vol. 
in-16, XII-272 p. ; 2 sh. , willi Answers 2 sh., 6 d. ; Cambridge University 
Press. 

M. Gross.mann. — Einfùhrung in die darstellende Géométrie. — Zweite 
ueu bearbeilele Auflage, mil 80 Uebungsaul'gabcn und 118 Figuren in beson- 
derem Heft. — 1 vol. in-8'>, 92 p. . 2.80 Fr. : Helbing t'<: Lichtenhahn. Bàle. 

J. GuioT. — Le calcul vectoriel et ses applications à la géométrie réglée. 

— 1 fasc. in-8", 128 p. ; A. Hci-mann. l'aiis. 

Willford Ki.NG. — The Eléments of Statistical Method. — 1 vol. in-S", 

250 p., 1 doll. 50; thc Macmilliin (^onipany, >i'c'\v-York. 

L. Levvent. — Konforme Abbildung. I.VIatbematiscli-pbysikâlische Schrif- 
ten fur Ingenieure und Studiercndt-, Coll. Jahnke.) — 1 vol. in-8o, \I-I18 p.; 

2 M. 80, relié 3 .M. 20. B. G. Teubner, Leipzig. 

VV. LiETZMAXN. — Bericht ûber die Tàtigkeit des deutschen Ausschusses 

fiir den malliematisriuMi uinl nalMrwis.scnscliaflliclifii l ntf iriilit im .laluM' 
1911. (Heft X" 13). — 1 lasc. in-S". :!'. |. : iî. (i. r.'iibncr. Leipzig. 

H. von Mangoldt. — Einfiihrung in die hohere Mathematik fm- Studie- 

rende und zum Selbstslu<iium. Zweiler Band : Differentialrechnung. — 
1 vol. in-8o, XI-566 p. ; M. I'.,'i0, relié .M. 15, '.0: S. llir/.l. Lcip/ig. 
.J. NV. Mërcer. -- Numerical Trigonometry. — 1 vol in-lG, X-157 p.; 

2sh. Ijd.; Cambridge l 'ni\ei'sily Pies,-;. 

.I.-J. ,MiL.\E. — An Elementary Treatise on Cross-ratio Geometry, «ith 

historical notes. — 1 vol. in-S", .\.\I\-2.SK p.; Cambiitlge Iriivrisity Press. 
A. R. .Mokejon. — Casos en que los Conos y Piramides deben cousiderarse 



344 H V l. LE ris H l H I. 10 en A PHI Q LE 

Rertos y Oblicuos illièsel. — 1 fasc. iii8-". 27 [>. : Avisadoi- Conicrcial, 
Hahaiia. 

Nlcls NiKLscN. — Beretning om den anden skandinaviske Matematiker- 
kongres i Kjobenliavn 1911. — l vol. in-H", XVl-192 p. ; 6 Ki-. -, Gyldeii- 
dalske Boghandel, Copenliaijuc cl Clnistiauia. 

A. Pensa. — démenti di Geometria ad uso délie Scuole Secondarie Iiife- 
riori. Pretazione di C. Blrali-Forti. — 1 vol, iii-8"', 175 |). ; l.HO L. ; G. B. 
Pelriiii di G. Gallizio, Turin. 

E. PicAKD — Œuvres de Charles Hermite, publiées sous les auspices de 
l'Académie des Sciences. Tome III. — I vol. gr. in-8", VI-52'i p., avec 

un portrait; 18 If.; (iM^ltlli^■^-^'illal•s, Paris. 

E. A. Price. — Examples in Numerical Trigonometry." — 1 vol. in-16, 

90 p. ; 2 sb. ; Canibi-idge Univecsity Press. 

K. SuppANTscHiTscH. — Lehrbuch der Arithmetik und Algebra tin' die 

V. bis VU. Klassc der Realscluilen. — 1 vol. in-8o, 368 p ; 5K.; K.Tempsky, 
Vienne. 

Paul Tan.nf.ry. — Mémoires scientifiques, publiés par J -L. Heibkrc et 
H. A. Zeuthen. Tome 1, sciences exactes dans lantiquité. — 1 vol. in-4", 
XIV-466 p., avec un portrait ; 15 Ir. ; Gauthier-Villars, Paris. 

H.-E. TiMFKDi.\G. — Die Erziehung der Anschauung. — 1 vol. in-8", 
VIlI-241 p. ; B. G. Teubner, Leipzig 

H. Weber und J. VVeli.stein. — Encyklopàdie der Elementar-Mathema- 

tik, ein Handbuch fur Lelirer und Stndierende. 111 : Angewandte Elemen- 
tar-Mathematik. 2'"^ Teil : Darslellende Géométrie. Graphisclie Statik, 
\\ alirsclieiniiclikeitsrechnung, Poîitische Arilbmelik und Astronomie von 
J. W'ei-lstei.n. h. Weber, H, Bleu:her, J. Bauschiîvger. — 2'<' Auflage. 1 vol. 
in-S", XIV-671 p. ; l't M. : B. G. Teubner, Leipzig, 

H WiEi.EiTiNEK. — Die Sieben Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen. 
— (Mathematisclie Bibliotheki. 1vol. in-lfi. 72p.; 0,80M.; B. G, Teubner. 
Leipzig. 

E, B. WiLsoN. — Advanced Calculus, a te.xt upon sélect parts ot dill'e- 
rential calcuins, difFerential équations, intégral calculus, theory of functions, ^ 

with numerous exercices. — 1 vol, in-8", lX-566 p., 20sh.; Ginn &Co,, î 

Boston, New-Yoi"k, Chicago, Londres. I 

Catalogue international de la littérature scientifique, publié par une ^ 

Commission inlcinalionale sous la dii-eclion de M, Fokstek Morley. — 
A.Matiie.matics. 8n>e volume (mai 1908-avril 1909). —1 vol.in-8o, VIIl-240p, ; 
15 sh. (18,50 fr,); Gauthier-Villars, !>aris. 
Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 

iraïKaise dirig('c par .1. Moi.k. — rame II, volume 5 : Dé^'eloppeinent en 

sérifs. Fasc. 1 : l'(|uations et opérations fonctionnelles ; exposé par .'i 

S. PiNCHERi.E. — Inteipolation tiigonométi-ique ; exposé, d'après l'article -^j 

allemand de 11. Burkuarot, par E. EscLANca.N, — F'onctions sphériqucs ; .-^ 

exposé, d'après l'arlicle allemand de A. Wangerin, par A. Lambert, avec .-P( 

une note de P. Appeli. et A. Lambert. i^ 



l'o/ne IV, volume 2 ; Mécanique Générale. I'"asc. 1 ; Fondements géomé- 



%- 



3U 



triques de la statique ; exposé, d'après l'article allemand de H. E. Timer- 5 

DiNG. par Lucien Levy. — Géométrie des masses ; exposé, d'après l'article 
allemand de G. JtNG. par E, Carvallo. — Cinématique; exposé, d'après 
1 article allemand de A, S(;hœ,nft.ies, par G. K(KMGs. 



X. 



-Jt'.. 



SIR LES DETERMINAiNTS A PLUSIEURS DLMENSIONS 



1. Le jour est proche, semhle-1-il, où les déterminants à plusieurs 
dimensions entreront dans renseignement supérieur, les éléments 
de leur théorie venant légitimement compléter celle des détermi- 
nants ordinaires. On commence à s'apercevoir, en efl'et, de divers 
oùtés, que cette étude aurait une réelle valeur éducative, et cette 
seule raison serait déjà suflisante; mais il y a cette autre considé- 
ration à lappui, que les déterminants de classe supérieure cons- 
tituent un puissant instrument de recherche, dont le mathémati- 
cien, qu'il soit algébriste, analyste ou géomètre, doit pouvoir se 
servir à l'occasion. 

C'est à l'illustre Cavley que revient le mérite d'avoir posé les 
bases de la théorie; les deux ou trois pages qu'il lui consacre 
mettent hors de doute son intérêt et sa fécondité. Les complica- 
tions qui surgissent, quand on passe de 2 à A et ensuite à n di- 
mensions, montrent que la généralisation est loin d'être banale, 
et qu'il en est pour les déterminants tout comme pour la théorie 
des fonctions ou pour le calcul des variations, parexemjile, quand 
on passe du cas oii il n'y a qu'une seule variable à celui où il y 
en a plusieurs, et comme en mécanique céleste, où le problème 
des deux corps est puéril à côté de celui des trois corps. Ortains 
tliéorèmes, extrêmement élémentaires, sur les déterminants ordi- 
naires, peuvent être étendus dans une foule de directions au cas 
de plusieurs dimensions, et la complexité (juasi-inextricable ([ui 
en résulte presque toujours, réside le plus souvent, non pas dans 
les résultats, qui sont des plus élégants dans leur simplicité, mais 
dans les laboiieuses démonstrations (|ui les foui-nissent. 

Nous voudrions, dans le j)r('sent travail, où nous avons cherché 
à éviter tout ce (pii serait de nature à rendre la lecture pénible', 
montrer, au moins dans les grandes lignes, d'où proviennent les 
diflicultés, quels sont les principaux résultats acquis ou a obtenir, 
et comment s'affirme l'ampleur de cette théorie. Nous n'indi<[n()ns 



1 Pour les démonstrations et tout ce qui exige un grand usajjo de notations spi-ciales, ron- 
sulter les Mémoires originaux ou notre ouvrage intitulé l.rçoiis sur la théorie tlr.i dctcrminanls 
à n dimensions. Gand. 1910, ou encore notre Abrégé, Gand, l'.ill. 

I.'F.nseifîncment malhéui., 14' année: 1912 -'« 



346 M . LEC A T 

pas les sources', ce ({iii ne serait d'auciiiie utilité, eu égard au 
point de vue auquel nous nous plaçons; quant à la terminologie, 
nous la réduisons au strict nécessaire. Par contre, nous ne pour- 
rons passer sous silence les permanents, dont létude est intime- 
ment liée à celle des déterminants. 

2. Soit un système de p" éléments représentés par une même 
lettre affectée de n indices /, , 4 prenant chacun p valeurs en- 
tières, par exemple les p premiers nombres. Le nombre k est le 
r<in^ de l'indice /a. On peut supposer ces éléments placés aux 
points de coordonnées /,,...,/« , dans un espace à n dimensions 
pourvu d'un système daxes orthogonaux. On a ainsi une matrice 
de liasse n et d'ordre p. 

Lorsque la classe est supérieure à 2 et qu'on désire représenter 
la matrice en plan, on la décompose en tranches planes que l'on 
juxtapose convenablement, de manière à obtenir un carré ou un 
rectangle, suivant que n est pair ou impair. Les matrices cubiques 
peuvent se représenter en perspective. 

Ua.re est formé de l'ensemble des vertèbres, éléments dont toutes 
les coordonnées sont égales. Des éléments sont dits transversaux 
si l'on ne peut trouver deux d'entre eux dans une même tranche 
(à n — i dimensions). L'n espace ortJioa.iial est un espace à « — 1 
dimensions, perpendiculaire à l'axe et contenant un certain nombre 
d'éléments. On considère aussi \cs files, qui, pour « = 2, se con- 
fondent avec les tranches (lignes et colonnes). 

Dans la matrice que nous venons de détinir, choisissons p élé- 
ments transversaux et ellectuons le produit de ces éléments. La 
somme des /?!/'"' ternies que Ion peut ainsi former est appelée 
permanent de classe n et d'ordre p. Si, dans chaque produit, on 
dispose les facteurs par ordre de grandeur croissante des indices 
(formant une rangée) d'un rang déterminé, appelé rang de l'indice 
fixe, et si l'on affecte alors le produit du signe -|- ou du signe — 
suivant que la somme des nombres des inversions dans toutes les 
rangées «st paire ou impaire, hi somme algébrique des termes 
obtenus est appelée déterminant à «dimensions etdordre/?. 

On peut ramener la recherche du signe dun terme à la détermi- 
nation du nombre des intersections se trouvant dans un graphique '^ 
composé de lignes droites. 

Pour simplifier lénoncé de ceilains tliéorèmes, il est utile d'in- 
troduire le grade; c'est la classe diminuée d'une unité, ou encore 
lexposant de la puissance à lacjuelle il faut élever p\ pour avoir 
le nombre des termes du permanent ou du déterminant. 



^ 



• Elles sciiit toujours iiKli(|u<}('S dans les ouvrages cités; voir en particulier la notice liisto- 
ri(|uc, de préférence dans l'Abicgc. La l>il>liograpliic donnée dans ce travail doit être com- 
plétée par trois notes (|ui ont paru récemment dans V Intermédiaire des mathcmaticieiis (l'Jll, 
p. 283-28'») et dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles (1!H1-1'J2, première 
partie, p. 110-12'»: seconde partie, p. 280-297). 



Di-m: /{ M I N A y rs a pr.r s- ihin s u i m e n s i o y s ;{ 4 7 

Kien n'empr-che de considérei- des permanents ou déterminants 
de classe ou d'ordre infinis, mais les ((uestions de convergence 
sont assez épineuses, surtout quand c'est la classe (jui tend vers 
linlini. Il ne faut pas perdre de vue, toutefois, que les propriétés 
géométriques des espaces convergent quand le nombre des dimen- 
sions s'accroît indéfiniment; on sait, d'ailleurs, qu'on a fait ré- 
cemment de l'analyse à un infinité dénombrable de variables in- 
dépendantes. — Les déterminants norinaii.v et noiinaloïdes ordi- 
naiies ont été généralisés au cas d'un nombre fini de dimensions. 

l.a méthode symbolique de définition des déterminants ordi- 
naires a été étendue pour n dimensions, en considérant, non 
plus un seul, mais n — 1 systèmes indépendants d'unités alternées 
d'ordre />. Cette représentation a l'inconvénient d'être indirecte, 
mais elle se prête admirablement à la démonstration de certains 
théorèmes. Son avantage dépend de la nature de la question; il 
est difficile dénoncer une règle, seule la pratique peut indiquer 
au chercheur s il convient d'employer cette méthode dans tel ou 
tel cas. 

.i. Examinons quelles sont les propriétés fondamentales des dé- 
terminants et des permanents. Les déterminants se divisent, à ce 
point de vue. en deux catégories bien distinctes : ceux de classe 
paire et ceux de classe impaire. Les permanents de classe quel- 
conque jouissent de certaines des propriétés des déterminants de 
classe impaire; par contre, tout permanent, comme tout détermi- 
nant de classe paire, « n'a qu'une seule valeur». C'est ce qui ré- 
sidtera de ce qui va suivre. 

Du fait (pie la parité du nombre total des inversions dans les n 
rangées d indices d une permutation d'éléments à n indices change 
ou non, lorsqu'on permute deux facteurs entre eux, suivant que n 
est impair ou pair, il résulte que le choix de l'indice fixe a ou n'a 
pas d'importance, selon que n est impair ou pair; d'où l'on con- 
clut (pie, dans les déterminants de classe impaire et dans ceux-là 
seulement, un lôle spécial est attribué à l'indice fixe, et (pi'un 
déterminant iféAîé/Y// de classe impaire possède autant de valeurs 
distinctes ([u'il y a d'unités dans sa classe. 

Appelons indice régulier tout indice autre (|ue l'indice fixe d'un 
déterminant de classe impaire; files et tranches criticjiies ou régu- 
lières, celles qui correspondent respectivement à un indice régu- 
liei' ou non. les tranches criti([ues, ou strates, étant perpendi- 
culaires aux files critiques. Par définition donc, toutes les files et 
tranches d'un déterminant de classe paire sont régulières. Un 
espace diagonal est criti(pie ou régulier suivant qu'il contient ou 
non la direction (d'une file criti<nie. En particulier, dans un déter- 
minant cubi((ue, il y a, passant par Vélément-origine, deux plans 
didgonati.r /rgnliers et un pla/i diagonal critique ([u'on appelle 
parfois plan diagonal principal, plan axial «ui plan-permant-ut . 



348 M. l.ECAT 

Tout dèterniiiKint chani^e de signe si l'on é.chonge entre elles deu.v 
tranches parallèles régulières, tandis que (principe de commuta- 
tion la permutation de strates entre elles conserve la s'aleur avec le 
signe. Un déterminant yénéral de classe impaire ayant deux ou 
plusieurs strates identiques nest pas nul. Dans les déterminants 
de classe impaire, toutes les directions ne sont donc pas équiva- 
lentes, ce qui justifie les distinctions établies dans les définitions: 
suivant la direction critique, les déterminants de classe impaire 
se comportent comme des permanents. 

On peut passer d'une valeur dun déterminant de classe impaire 
aux autres valeurs, en utilisant la notion de section. On appelle 
ainsi la somme des termes, pris dans le permanent, oii les rangs des 
seules rangées négatives rangées dont le nombre des inversions 
est négatif sont assignées. 11 y a une section permanente, con?,ûiy\ée 
par la somme des termes permanents, dont les n rangées sont po- 
sitives. Les f'ormnles qui expriment les n valeurs du déterminant 
permettent d'écrire aisément, en fonction des sections (il y en a 
2"~'), la valeur moyenne du déterminant, moyenne arithmétique 
de ses n valeurs, et la moyenne géométrique, pins compliquée. 11 
est assez légitime de considérer cette valeur moyenne dans certains 
problèmes notamment dans la recherche de déterminants unisi- 
gnants) qui cessent d'avoir un sens lorsque la classe est impaire, 
à moins qu'on ne considère qu'une des valeurs. 

4. 11 est évident cjue si les éléments satisfont à des conditions 
convenables, le nombre des valeurs distinctes du déterminant de 
classe impaire peut être inférieur à la classe'. On voit de suite 
quel champ fécond et vaste est ainsi offert au chercheur! 

Si le déterminant a même valeur v lorsque le rang de l'indice :.". 

fixe est choisi parmi m nombres distincts, on dit que v est une va- * 

leur d'ordre de multiplicité m; les m rangs en question, ainsi que », 

les indices occupant ces rangs, sont équivalents. Le déterminant est { 

uniforme'- s'il n'a (juune seule valeur (d'ordre de multiplicité n\, 
tous les indices étant équivalents. L'uniformisation d'un détermi- ^ 

nant de classe impaire est l'opération qui consiste à soumettre les S 

éléments à des conditions rendant le déterminant uniforme. Le ^ 

premier exemple de déterminant unifoi-me qui se présente à l'es- «f 

prit est celui qui est troué suivant une tranche; un tel déterminant / 

est uniformément nul, c'est-à-dire uniforme et nul. Un exemple ^ 

de déterminant ayant en général, pour n impair, deux valeurs '^ 

distinctes, l'une, d'ordre de multiplicité n — 1, étant nulle, est 



* Dans notre Abrégé, nous disons qu'un déterminant de classe impaire est holninnrphe ou 
niéromorphe, suivant qu'il a ou n'a pas toutes ses valeurs distinctes. Nous y employons di- 
verses autres dénominations qui simplifient singulièrement le langage, mais nous ne pouvons 
songer à introduire ici tout ce cortège de termes, dont certains peuvent n'être que provi- 
soires. 

' On pourrait aussi adopter le mot iiiiivnqiie qui présenterait peut-être certains avantages. 



D /•:/•/■:/{ M f.\,i NT s A Pf.USIEUHS DIMENSloys 3',9 

loiinii par la tnatiice ji^énérale ayant au moins doux tianclies j)a- 
lallcles i(lenti(nies. 

Les foiinules qui expriment, en fonction des sections, les di- 
verses valeurs dun déterminant général de classe impaire, per- 
mettent d'écrire les relations existant entre les sections d'un déter- 
minant donné, dont toutes les valeurs ne sont pas distinctes, et 
notamment d'un dc'terminant uniforme. Ces relations sont assez 
simples si le déterminant est uniformément nul; en particulier, 
pour n=r'^, les quatre sections sont égales entre elles. 

Les conditions qui égalisent deux ou plusieurs valeurs peuvent 
être de diverses natures, mais les deux plus intéressantes con- 
sistent à rendre des indices permutables (des éléments devenant 
ainsi égaux entre eux), ou bien à annuler certains éléments, les 
autres restant quelconques et sans relation. 

5. Entrons dans quelques détails au sujet des dcternihiants à in- 
dices permutables. Une matrice ordinaire est dite symétrique 
quand les deux indices peuvent être rangés par ordre de grandeur 
croissante, c'est-à-dire quand ils soni pei- mit tables. Cette notion 
peut être généralisée de diverses manières pour les matrices de 
classe supérieure. Dès que n est supérieur à 2, il devient possible 
de permuter certains indices, tout en en laissant d'autres immo- 
biles. Si l'on place entre parenthèses les groupes d'indices non 
permutables dans le groupe, et entre crochets les indices permu- 
tables entre eux, les trois cas les plus typiques peuvent être repré- 
sentés ainsi : 

m j** ... |i* ===*...,, i**:, — ...j I , 

(II) I ** .. >* ...]. [*=.* ...I. ... I . 

(III) I *:S ... Il*** ...| , U** ...1 . ...Il . 



chaque astérisque représentant un indice, et les points ayant la 
signification habituelle. Les indices <{ui ne sont ni entre paren- 
thèses ni entre crochets sont non-p<'rmutables ou immobiles. 
Pour (II), les nombres des indices dans les divers crochets peu- 
vent être inégaux. 

Le non)bi'e des valeurs distinctes la classe étant impaire est 
égal au nombre des indices immobiles, augmenté du nombre des 
indices d'un groupe dans le cas du type (I), de celui des en- 
sembles d'indices permutables dans le type (II), de l'unité dans 
le type III i. Si donc, dans le troisième cas, il n'y a pas d'in- 
dice imm(»l)ile, le déterminant est uniloi-me. Quant aux ordres 
de multij)li(if(>, on voit qu'ils sont égaux : I au nombre des 
ensembles compiis entre paienthèses, (Il aux nombres des in- 



350 M. LECAT 

dices compris entre crochets. IIT au noiiilîre des indices permu- 
tabl 



es '. 



Les déterminants I, II, III comprennent tous, comme cas par- 
ticulier, le déterminant actinoinorphe'- 



où tous les indices sont jiermutables entie eux, et, plus générale- 
ment, le déterminant 

(T) |.=;: ... [**. ...| i . 

dit actinomorphe d'espèce c, s il y a c indices entre crochets. Si les 
indices permutaîjles sont tous réguliers, le déterminant est dit 
orthoactinomorphe ; si ces indices comprennent l'indice fixe pour 
ji impair, le déterminant est mètactinomorphe . 

Bon nombre de déterminants de classe impaire qui se présen- 
tent dans les applications, sont, ou bien actinomorphes, ou bien 
du type T' à un seul indice immobile; dans le premier cas, la 
nature du problème n'indique pas quel est l'indice fixe et n'a pas 
à le déterminer ; dans le second cas, cet indice est, au contraire, 
imposé par les conditions mêmes de la question : c'est le plus 
souvent l'indice immobile. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour 
le déterminant des dérivées d'ordre quelconque d'un système de 
formes /â'«= 1, 2, .... et, en particulier, pour les déterminants qui 
représentent les composés de deux formes binaires. Nous y revien- 
drons. 

6. L'étude des déterminants de classe impaire, qui doivent unique- 
ment à des zéros la propriété d'avoir des valeurs multiples, est dif- 
ficile et très peu avancée. Le problème général à résoudre est de 
trouer, en utilisant le moins de zéros possible, ou en conservant 
le plus grand nombre de termes, un déterminant de classe im- 
paire, de manière à ce qu'il n'ait plus qu'un nombre donné de 
valeurs distinctes, et, en particulier, soit uniformisé. 

A la dernière question se rattache la représentation de sommes 
de puissances par des déterminants ou par des permanents; il 
s'agirait de trouver la plus haute valeur (jue l'on puisse donner à ^ 

dans l'expression ^ c/f de la valeur d'un déterminant à n dimen- 

; = 1 

sions et d'ordr<; p dont les éléments sont nuls ou égaux aux a, et 



1 La recherche de tous les d<-torminants des trois t.vpcs ayant n dimensions et seulement N 
valeurs distinctes est un problème purement arithmologique dont la position est très simple, 
m.iis dont la solution l'est moins. 

* Ce terme, qui est emprunté à la Botanique, trouve sa justification dans la manière dont se 
présentent les figures formées parles éléments conjugués, à un observateur qui serait place 
à lëlément-origine et regarderait dans la direction de Taxe de la matrice cubique. 



DÉTERMlNAyrs A P l.[ SIKURS DI M UNS IONS :J51 

de savoii' comment il faut j)Iaceiles zéros'. 11 est évident que les a 
ne peuvent se {vou\ev i[v\e sur (\es trans^>ersales permanentes' sans 
éléments communs, les a d'une même transveisale ayant même 
indice; le nombre // est donc éiial au nombre de ces transver- 
sales. Le déterminant obtenu est uniforme et égal au permanent 
correspondant. 

Sio-ualons quelques autres ri'sultats lelatifs à l'uniformité. Etant 
donnés, dans le plan, trois systèmes de tiois points, le déteimi- 
nant dont les éléments sont les aires des triangles ayant pour 
sommets un point dans chaque système, est uniformément nul. 
On peut généraliser au cas de 2i' -|- f systèmes de 'Iv -f- l points 
situés dans un même espace à 2r dimensions^. Le déterminant en 
question est donc, comme les déterminants actinomorphes. uni- 
forme quelle que soit la classe. 

7. 11 n'en est pas toujours ainsi : luniformité peut être subor- 
donnée à la classe on connaît des déterminants dont l'uniformité 
cesse d'exister pour n = 3), à l'ordre, ou simultanément à lordie 
et à la classe (il y a une catégorie de déterminants dont l'unifor- 
mité a lieu sauf pour n =^ 3, p = 2, auquel cas ils ont leurs trois 
valeurs distinctes). 

Un problème, intéressant mais difficile, serait de trouver et 
étudier les déterminants dont l'uniformité n'a lieu, ou ne cesse 
d'exister, que pour des valeurs déterminées de la classe (par 
exemple pour tous les carrés impairs), ou de l'ordre, ou pour des 
relations données auxquelles doivent satisfaire l'ordre et la classe, 
et en particulier pour les solutions, entières et positives, en 
nombre fini ou infini, dune étiuation indéterminée du premier 
degré, de la forme 

ap -j- hn = (■ . 

Il l'audrait aussi considérer les couples de déterminants ayant 
même ordre et même classe, et dont l'uniformité est liée aux rela- 
tions 

a/) + hn = f , an + l>p z=z i- , 

a, b, c étant des nombres entiers. 

En ce qui concerne les déterminants d<»nt lunifoiinilé est indé- 



' Le même problème se pose pour les stipcrdcterminants. dont il ser;i (piostion plus loin. 

s Une transversale est dite permanente lorsque le U-rnu- auquel elU; tlonne lieu est un terme 
permanent, c'est-à-dire a le signe -|- quel que soit Tindice fixe. Si les transversales u étaient 
pas permanentes, on aurait une somme algébrique de puissances, tout au moins pour une des 
vali'urs du déterminant. 

3 Nous avons indiqué ailleurs plusieurs sujets d'étude se rattachant à ce résultat, qui est 
analogue au suivant : étant donnés, dans l'espace, trois svstemes de trois directions, est uni- 
formément nul le déterminant dont les éléments sont les sinus des angles solides formés par 
trois droites appartenant aux trois svstemes. Ces relations se démontrent très aisément en 
utilisant les propriétés fondamentales des déterminants. 



:J52 V l.ECAT 

pendante de la classe, tout en étant subordonnée à Tordre, on a le 
théorème suivant : .s/ l'élément général d'un déterminant est, par 
rapport à un seul indice, fine fonction rationnelle et entière de 
degré inférieur à l'ordre diminué d'une unité, le déterminant est 
nul si la classe estpaire; il a deux valeurs, distinctes en général, si n 
est impair, l'une, égale à zéro, est d'ordie de multiplicité n — • J, 
l'autre, simple, est réalisée quand Vindice considéré est l'indice 
fixe- Si l'élément général est, par rapport à deux indices au moins 
(considérés séparementi, une fonction satisfaisant aux mêmes condi- 
tions que plus haut, le déterminant est uniformément nul quelle que 
soit la classe. Si Tordre n'est pas supérieur au degré de la fonc- 
tion augmenté de Tunité, le déterminant a, dans les deux cas. 
toutes ses valeurs distinctes. On suppose, bien entendu, que la 
fonction, considérée par rapport à un quelconque de ses argu- 
ments, n'a pas de zéro parmi les p premiers nombres, sinon le 
déterminant serait toujours uniformément nul. 

8. Si Ton /«»///yD//e tous les éléments d'un déterminant uniforme 
par une même quantité, l'uniformité est évidemment conservée. 
Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit 
de même si la quantité, déterminée ou cpiclconrjuc, est addition- 
née? 

Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour l'uni- 
formité d'un déterminant dont les éléments sont formés par les 
sommes ou par les produits) des éléments correspondants de plu- 
sieurs déterminants uniformes de même classe et de même ordi'e !* 

Rnfin, un dernier sujet d étude que nous tenons à signaler serait 
celui des systèmes de déterminants de classe impaire ayant tous 
les mêmes valeurs, mais à des ordres de multiplicité diflerant 
d'un déterminant à un autre. 

9. .\vant de continuer l'étude des déterminants proprement dits, 
il convient de signaler deux généralisations des notions de per- 
manent et de déterminant. Dans leur définition, on dit qu'il n'y a 
([uun seul élément première condition) d'un même terme dans 
une même tranche à n — [ dimensions (seconde condition). En 
modifiant ces deux restrictions, on est conduit à deux extensions. 

Nous n'insisterons pas sur la première, qui ne présente (jue 
peu d'intérêt : elle consiste, étant donnés des éléments en nombre 
Px- Pi-- P'^ ^^ situés dans un parallélipipède à n dimensions, à 
prendre plus d'un élément d'un même terme dans une même 
tranche à n — i dimensions. La question du signe est assez com- 
pli(iuée, nous la passerons sous silence. 

La seconde généralisation est j)lus importante. Ltant donnés yj" 
éléments disposés en cube à /i dimensions, elle consiste à rem- 
placer par^ — l le nombre n — i intervenant dans la seconde 
restriction, c'est-à-dire à exiger que tout terme ne puisse avoir 
qu'un seul élément dans toute tranche à^ — 1 dimensions, mais 



DirrEHMlNANTS A PI.l'SIEUKS DIMENSIONS ;{53 

les éléments diin terme quelconque devant se trouver dans une 
m«''me tranche à ^ dimensions. Tous les produits ('tant pris avec 
le sii,^ne -)-• o" à'wn qu'on a un pernidiienl de genre i^; on aura un 
déterminant de o^enre g {siiperdéterniinant pour g <^ nj, si l'on 
donne à chaque terme le signe obtenu en comptant les inversions 
où il y en a, c'est-à-dire dans les g rangées formées d'indices dif- 
férents. Si le génie est impair, il faut prendre jjour indice fixe un 
indice dont le rang, compté en faisant alîstraction des rangées 
autres que les g rangées considérées cette condition est essen- 
tielle , a une valeur déterminée; le nombre des valeurs distinctes 
d'un superdéterminant de genre impair g est donc égal a g. La 
plus grande valeur du nombre »• est évidemment /«, cas des perma- 
nents et déterminants proprement dits. (Uiant h la limite infé- 
rieure, c'est l'unité, valeur pour laquelle les éléments d un terme 
sont pris sur une même file. Dans le cas où /7=: 2, le déterminant 
n'est distinct du permanent que si le genre est égal à la classe, 
et, par conséquent, les superdéterminants ont au moins trois di- 
mensions. 

La notion de section d un déterminant, ainsi que lexpression 
des diverses valeurs à laide de ces sections, peuvent être étendues 
au cas du genre quelconque; mais, dans le cas de déterminants 
spéciaux de genre impair, la recherche du nombre A' des valeurs 
distinctes, et des degrés m de multiplicité de ces valeurs, est beau- 
coup moins aisée que pour les déterminants proprement dits. Ces 
nombres A et m dépendent en général du genre, et. en paiticu- 
lier, un suj)erdéterminant peut être uniforme poui' certains genres, 
sans l'être pour les autres. Mais, si la matrice est actinomorphe, 
l'uniformité a lieu pour tous les genres, quels que soient l'ordre 
et la classe; il y a, dans ce cas, en tout, n valeurs, d'ordres de 
multiplicité 1,3. .... r, eu désignant par v le plus grand nombre 
impair compris dans n. Il peut arriver qu'un superdéternunant ne 
soit uniforme pour tous les genres, que si la classe, ou Tordre, ou 
les deux, satisfont à cei'taines conditions. Ici, plus encoi-e que 
précédemment, on voit combien est vaste le champ ollert au cher- 
cheur! 

10. Mais revenons aux perinanents et tlélerminants j)roprement 
dits. On peut les développer de deux manières : par abaissement 
de la classe, ou par abaissement de Tordre. 

Voyons la première manière d'opérer. On démontre que tout 
permanent de classe n et d'ordre p est égal à une somme de 
[p !) permanents de même ordre p et de classe v inférieure à n ; 
et que tout déterminant de classe n et d'ordre p est égal à une 
somme algébrique de permanents ou de déterminants, ou à une 
somme de déterminants, de classe v et d'ordre p, en nombre p\, 
En particulier, tout déterminant cubique peut se développer en une 
somme de déterminants ordinaires, le signe sommatoire sappli- 



354 M . f.EC A 7 

quant à Tindice fixe, ou bien, si le signe JS" ne s'a])plique pas à Tin- 
dice fixe, en une somme (ilgéhrhjue de permanents contenant la di- 
rection critique, ou de déterminants ordinaires ne contenant pas 
cette direction . 

De ces propositions, on déduit une foule de conséquenees, dont 
la plus importante est que tout di'terminant de classe impaire et 
d ordre j), dont toutes les strates sont identiques, est i'gal à pi fois 
le déterminant de classe immédiatement inférieure f'ornié par une 
strate. 

Le développement par abaissement de Tordre est une évidente 
g-énéralisation de celui qui est bien connu poui- les détei-niinants 
ordinaires. Le mineur d'un élément est le coetlicient de cet élé- 
ment dans le développement; i.l est éi>al, au signe près, au sous- 
déterminani obtenu en supprimant, dans le déterminant donné, 
les tranches se croisant sur l'élément considéré. Ces définitions 
posées, les théorèmes sont tout à fait semblables à ceux qui ont 
lieu pour /* = 2 ; citons le premier d'entre eux : tout déterminant 
(permanent est égal ii la somme des éléments d'une tranche quel- 
conque multipliés respecti^'ement par les mineurs (sous-perma- 
nentSj correspondants. On en conclut immédiatement que si tous 
les éléments d'une tranche quelconque sont nuls, la matrice (dé- 
terminant ou permanent! est nulle. 

Le développement par abaissement de l'ordre permet de géné- 
raliser la pr<q)riété du déterminant à strates identiques, en con- 
sidérant plusieurs groupes de strates égales, et de représenter la 
somme des carrés des mineurs d'ordre k d'un déterminant or- 
dinaire B d'ordre p à l'aide du déterminant cubique de même 
ordre p. dont k strates sont formées par B, les autres strates ayant 
toutes pour éléments les premiers mineurs de B. Ceci montre que 
la théorie des déterminants ordinaires ne peut être légitimement 
séparée de celle des déterminants à plusieurs dimensions. 

Le principe de décomposition des permanents ou déterminants 
à éléments polynômes, qui résulte immédiatement de la théorie 
des mineurs, est tout analogue à celui qui a lieu pour // = 2. Nous 
rappellerons \ç principe de distribution. 

11. Lexamen des analogies existant entre les principes fonda- 
mentaux de l'algèbre (produits ordinaires) et des déterminants de 
classe impaire ou des permanents, la commutation et la distribu- 
tion, montre que tous les théorèmes sur les permanents ii n dimen- 
sions et sur les déterminants de classe 2v -\- 1 se réduisent au.r pro- 
priétés des produits ordinaires pour n = 1 ou v = o, et inverse- 
ment. 

On voit aisément la fécondité de celte impoitante remar(|ne, au 
point de vue de l'obtention de propriétés nouvelles. 

Une relation d'analogie semblable existe entre les déterminants 
de classe paire et les déterminants ordinaires; en d'autres teinies, 



DI-:TI:1{ MINANTS A Pl.l'SIEUIiS /) f M E NS / () \s :{55 

/a ihcorie des déli'iinintints de classe pai/e généra //se Vdlgehre des 
nomhies (il ternes '. 

12. Une des propriétés les j)Iiis importantes que Ion déduit de la 
théorie des niineuis, est \g principe de l'addilion des tranches ré- 
gulières, en vertu duquel on peut, dans un déterminant ii n dimen- 
sions, ajouter aux éléments d'une tranche (à n — 1 dimensions) les 
éléments correspondants d'autres t/anches parallèles, multipliés 
par des constantes f/uelconcjues, pouri'u que, si la classe est impaire, 
ces tranches ne soient pas des strates. 

Ce principe admet une foule de conséquences fort élégantes. 
En voici quelques-unes : 

Si, dans un déterminant de classe paire, la somme des éléments 
de chaque file est nulle, tous les premieis mineurs sont égau.v. 

Si un déterminant est nul, il existe une même relation linéaire 
entre les éléments d'une tranche régulière, parallèle à une direction 
donnée, mais la réciproque n'est vraie C|ue pour les déterminants 
ordinaires, et les mineurs des éléments correspondants de tran- 
ches parallèles, régulières dun déterminant nul ne sont en général 
prop(»rtionnels que si n = 2. 

Tout déterminant cyclosymétrique de classe et ordre pairs (dé- 
terminant oii deux éléments sont éoaux dès que 2A- indices de 
l'un additionnés respectivement aux indices des mêmes rangs de 
l'autre, donnent des sommes toutes égales à /:» + 1) est décompo- 
sable en un produit de deux déterminants de même classe, mais 
d'ordre inférieur de moitié. 

La dérivation des permanents et des déterminants est aussi 
aisée pour « quelconque que pour n = 2\ la dérivée /v'^''"*^ s'exprime 
symboliquement de la même manière-. 

J3. La notion d'uniformité peut être étendue aux mineurs. Le 
problème qui se pose d'abord est de trouer, avec le moins de zéros 
possible, un déterminant général de classe impaire, de manière à 
assurer l'uniformité pour tous les mineurs d'un ou de plusieurs 
ordres donnés, par exemple 1, 2, ..., /• ou p, p — 1, ..., /•, et en 
particulier pour tous les mineurs. Plus généralement, on pourrait 
exiger que les mineurs d'ordre /• aient /(-, valeurs distinctes. Pour 
quelles valeurs de n, p, r, k,- le problème est-il possible.' 

On peut aussi demander de trouer un déterminant à indices 
permutables suivant une loi définie, de manière à réaliser les 
mêmes conditions; ou bien d'établir entre les éléments des rela- 
tions conduisant au même but. 

Les déterminants où exclusivement certains mineurs mineurs 
axiaux, diagonaux, mineurs correspondant aux éléments d'un ou 



' Et ceci peniiot de ilonnoi- un nouvi-aii sens, plus hirge et plu^ prcdiiiid, .lu ci'U-lire ir.ol di 
JSylvester : » Algebra upoii algcbra <> . 

" Cf. YEitneigiiemeiU niathématiqiic. IDd'i. \i. \7t' . 



356 M. I. EC A T 

plusieurs espaces orthoaxiaux, aux éléments d'un mineui', etc., 
etc.) sont uniformes, méritent (rètie aussi considérés. 

On voit aisément qu'à un déterminant D de classe impaire n^ 
correspondent n- déterminants formés au moyen des premiers mi- 
neurs de D : on peut, en elï'et, choisir l'indice fixe de n manières, 
non seulement pour le déterminant, mais aussi pour les mineurs. 
La condition que le déterminant soit circiilanl^ cubique est suiïi- 
sanlo \)oi\v (jue les n'^ valeurs soient égales entre elles, cest-à-dire 
pour (juil n'y ait qu'un seul adjoinL. Cela a encore lieu pour d'au- 
tres déterminants, mais on ne connaît pas les conditions néces- 
saires et sulfisantes. Quant à la valeur elle-même, les conditions 
pour qu'un déterminant cubique D, d'ordre/^, soit circulant ou à 
strates identiqxies, sont chacun^î sutlisantes pour que l'adjoint soit 
égal, à un facteui' numérique près, à la puissance p — 1 de D. 
Cela n'a pas lieu en général, contrairement à ce qu'on croyait 
avoir démontré. Quelles sont les conditions nécessaires et sutli- 
santes? Quelle relation y a-t-il entre un déterminant généial et 
son adjoint? Ces questions ne paraissent pas simples à élucider. 

14. Arrivons maintenant à la multiplic'ation des déterminants 
de classe supérieure. C'est un chapitre des plus diflicilos mais 
aussi des plus intéressants. 

Le produit de deux délerniinants, Inn de classe n,, l'autre de 
classe n,,, peut, si le produit n|.n.-, est pair'^, se mettre sous forme 
d'un déterminant de classe n, -f- i\^ — 2, les éléments étant des 
poli/nonws d'un nombre de termes égal ii l'ordre commun aux trois 
déterminants. Une importante restriction est que le signe som- 
matoire (qui figure dans l'expression de l'élément général du dé- 
terminant produit! ne peut s'apjîliquer (ju'aux indices réguliers. 

Ce théorème, (jue nous appellerons règle Ji, généralise celui 
de Cauchy sui- les déterminants ordinaires, et nest qu'un cas par- 
ticulier de 1 extension, au cas d un nombre quelconque de dimen- 
sions, du théorème de Binet-Cauchy sur les déterminants multiples. 

Comme cas particulier du théorème souligné, on a le sui- 
vant ; le produit d'un déterminant ordinaire par un détermintint de 
classe quelconque peut toujours être mis sous forme d'un détermi- 
nant de cette classe. Cette règle, (|ui est très utile dans les applica- 



' La di'finition d'un circiiliint à n dimensions est an:ilogiie à celle d'un circulant ordinaire j 
le déterminant est aclinomorplie et dépend de p cléments distincts, disposés sur une file. On 
a considéré un déterminant (que nous appel(ms ii/cliqiici (\\\\ généralise le cir<-uiaiit à ii di- 
mensions et C|ui est réductible ri un déterminant de classe inférieure d'une unili^, dont les- 
éléments sont des fonctions linéaires et homogènes des éléments du détermini,int primitif, 
multipliés par des racines de l'unitc Ce <léterminant n'est qu'un cas très particulier d'un 
autre, dont l'étude serait intéressante, mais hérissée de grandes dil'li<'ultés. 

' Déjà Cavi.kv avait découvert cette importante restriction. Hien (pi'asse/. évidente si l'on 
songe au rôle de l'indice tixe, celle condition est passée inaperçue de tous les mathématiciens 
ultérieurs, sauf d'un seul. Aussi, presque tous les travaux écrits sur les déterminants à plu- 
sieurs dimensions sont-ils entièi'ement ou partiellement erronés. — II est essentiel d'observer 
que la restriction doit être maintenue, en gi'néral, si le déterminant n'a pas toutes ses va- 
leurs distinctes. 



DirrEHMIiX.iNTS A Pif SIEURS DIMENSIONS :{57 

lions, compieiul oUf-riKMiie, coinnu' cas plus paiiiciiliei', celle-ci : 
lepioditit (litn délcrniiunnt oïdinaire par un détciniiiuiiit cubique 
peut se nu'ltre sons forme d'un déterniinanf cubique; précisons cet 
énoncé' en assimilant, pour la conmioclité du langage, une strate à 
un déterminant ordinaire : il faut multiplier le délerminant ordi- 
naire par chaque strate selon la règle de Cauchy . Cette loi s'ap- 
plique à la multiplication des normaux, n)ais elle cesse d'avoir 
lieu en général pour les normaloïdes. 

On sait (pie le carré d'un déterminant ordinaire est un déter- 
minant symétrique (ou symétrisable . En général, le carré d'un 
déterminant de classe paire peut se mettre sous forme d'un déter- 
minant spécial où àe\\\ groupes d'indices sont permutables'-. On 
sait aussi que tout déterminant symétrique gauche est, en valeur 
absolue, le carré d'une fonction entière des éléments, et que le 
carré de tout déterminant peut être mis sous forme d'un détermi- 
nant symétrique gauche spécial. Le théorème lui-même a été gé- 
néralisé pour 2/i dimensions'', mais on n'obtient plus la réci- 
proque, pour w ^ 1, si l'on effectue le carré en procédant comme 
pour démontrer la propriété soulignée. 

Si l'on exprime, d'après la règle 1 , le produit d'un déterminant 
■de classe paire //, par un déterminant de classe impaire n.^ ayant 
.V valeurs distinctes, le déterminant de la matrice obtenue possède 
n^ -\- s — 1 — ô valeurs distinctes, ô valant o ou 1 suivant que l'indice 
auquel s'applique le signe sommatoire a ou n'a pas d'indice équi- 
valent dans le déterminant-facteur de classe impaire^ Kvidemment. 
une seule de ces valeurs représente le produit à effectuer. En parti- 
culier, si /?., z= 1, le déterminant a «, valeurs distinctes, dont l'une, 
d'ordre de multiplicité n^ — 1, représente la valeur du produit. 

Au sujet de la règle il , ajoutons qu'elle permet de généraliser, 
pour plusieurs dimensions, le théorème de Kronecker sur les dé- 
terminants ordinaiics. 

15. La règle \\\ est la suivante: le produit de deu.v déterminants, 
liin de classe n,, l'autre de classe ji.^. peut toujours se niettre sous 
forme d'un déterminant de classe n, -|- n., — 1, à éléments monômes: 
en particulier, le produit de deux déteiniinants ordinaires peut se 



' Nous ne le faisons |)as pour lo chs général, car cela exigerait des notations compliquées 
qui nous entraîneraient beaucoup trop loin. 

' Le principe i\r l'addilion des tranches régulières montre que si. dans un déterminant, la 
«omme des carrés des éléments est égale à l'unité sur rliaquc file régulière d'une direction 
donnée et si la somme des produits des éléments correspondants de deux files quelconques 
de celte direction est nulle, le déterminant est égal à un mineur quelconque divisé par l'élé- 
ment correspondant. Kn utilisant le résultat du texte, on voit en outre que le déterminant 
n 

vaut ziz ip '.<- 

•* Il est probable qu'on peut encore l'étendre au cas de rit dimensions. D'autre part, il y 
aurait lieu de généraliser pour plusieurs dimensions les recherches faites sur les déterminants 
bi symétriques ordinaires. 

* Nous avons cru devoir donner ici cet énoncé, bien qu'il ne soit peut-être qu'assez diflici- 
Jement coii\préhcnsible. Nous prions toutefois le lecteur de le passer au besoin. 



358 M. I.ECAT 

mettre sous forme criin déterminant cubique. Ce théorème, géné- 
ralisé au cas du produit d'un nombre quelconque de détermi- 
nants, peut s'énoncer en disant que le produit de plusieurs déter- 
minants peut se mettre sous forme dun déterminant de grade égal 
à la somme des grades des facteurs. 

En supposant que tous les facteurs sont de même classe, on arrive 
à ce résultat : tout déterminant de classe kc -|- i peut être considéré 
comme étant le produit sijmboliijue de k déterminants de classe ff -f- 1 . 
En particulier, tout déterminant à n dimensions est assimilable à 
un produit symbolique de n — 1 déterminants ordinaires. 

La puissance k d'un déterminant quelconque, elï'ectuée suivant 
la règle illl, a une structure remarquable; ainsi, pour le carré 
d'un déterminant ordinaiie, on aura, de deux manières, un déter- 
minant cubique symétricjue par rapport au plan diagonal criticjue, 
dont les éléments seront tous des carrés. 

Le produit des n valeurs d'un déterminant de classe n impaire, 
a également une structure remarciuable. 

L'étude des déterminants exprimant les produits et puissances 
de déterminants à indices permutables présente un certain in- 
térêt. A lemarquer surtout le déterminant (jui est égal au produit 
d'un déterminant orthoactinomorphe par le déterminant meta 
correspondant. 

Le produit de deux déterminants uniformes de classes impaires 
n^ et «2, elTectué par la règle IL. donne un déterminant uniforme; 
en effet, la position de l'indice fixe dans le déterminant-produit 
correspond aux diverses positions de l'indice fixe dans les fac- 
teurs; or, dans ceux-ci, par hypothèse, cette position n'a pas 
d'importance en ce qui concerne la valeur. 

La règle illi est vraie pour les permanents. 

16. Il existe, pour le produit de plusieurs déterminants, une règle 
mixte combinant les règles (I) et (II) ; nous ne l'énoncerons, ainsi 
que divers corollaires, que pour les produits de déterminants ou de 
permanents ordinaires. Le produit de 2v déterminants ordinaires 
peut se mettre .sous forme d'un déterminant de classe 2v à éléments 
poli/nômes. Cette règle a lieu poui- le produit de plusieui's déter- 
minants dont les éléments sont des nombres alternés, à condition 
de prendre comme pioduit le permanent au lieu du déteiininant. 

La loi s'applique d'ailleurs au cas du produit de plusieurs déter- 
minants multiples, et, en particulier, tonte puissance paire 2v d'un 
déterminant multiple ordinaire peut se mettre sous forme d'un dé- 
terminant aclinomorphe de classe 2v et à éléments poli/nômes. S'il 
y a /• déterminants-facteurs identicpies entre eux, le détei'minant 
produit est actinomorphe d'espèce /•. 

Comme application de la règle mixte, il y a notamment Vinté- 
gration d'une équation aux dérivées partielles, mise sous forme 
d'un déterminant remarquable. 



DÉTERMINANTS A P L U S I K U H S DIMENSIONS 359 

La rè^le niixte est aussi applical)le au produit d'un permanent 
par des déterminants : le produit d'un permanent ordinaire par 
2»' déterminants ordinaires peut se mettre sous forme d'un déter- 
minant de classe 'Iv -\- [à éléments pohjnômes. Va\ parlieulier, le 
produit d'un permanent ordinaire par une puissance paire 'Iv d'un 
déterminant ordinaire peut se mettre sous forme d'un déterminant 
orthoactinomorphe de classe 2i' + J. Si /• facteurs sont é<>aiix 
entre eux, le déterminant pi-oduit est orthoactinomorphe eles- 
péee /■. Si la matrice du permanent est égale à celle de /• déter- 
minants, le produit est métaclinomorphe d'espèce r -\- i -^ en 
particulier, le produit d'un permanent ordinaire par la puissance 
2v du déterminant correspondant peut se mettre sous forme d'un 
déterminant actinomorphe de classe 2r -)- i. Plus spécialement, le 
produit d'un permanent ordinaire par le carré du déterminant 
correspondant peut se mettre sous forme d'un déterminant cubique 
actinomorphe. 

17. Arrivons maintenant à une notion qui comprend, comme cas 
particuliers, celles de permanent et de déterminant ; nous voulons 
parler des déterminants-permanents. Le déterminant ordinaire où 
les vertèbres sont les seuls éléments ditférents de zéro a été gé- 
néralisé par la considération dun déterminant à n dimensions 
troué d'une certaine manière nous n'insistons pas sur ce point 
qui nous conduirait trop loin!, et qui est égal à l'expression qui 
résulte d'un déterminant de classe impaire N, lorsqu'on remplace, 
dans ce déterminant, chaque terme par un certain permanent cor- 
respondant i\. g dimensions. Cette expression porte le nom de dé- 
terminant-permanent de classe N et de genre g. On a un détermi- 
nant simple en donnant à g une valeur particulière convenable; 
un permanent de (-lasse of en faisant X = 1; la réciproque de ce 
dernier point peut s'exprimer ainsi : tout permanent de classe n peut 
se mettre sous forme d'un déterminant ou d'un permanent troués 
de classe 2n ou 2n — 1. Poui- le déterminant cubi(|ue, précisons 
ce qui précède: si tous les éléments extérieurs au plan diagonal 
criticjue, passant par l'élément-origine, sont nuls, le déterminant 
est égal au permançnt des éléments non nuls c'est pourquoi le 
plan en fpiestion est parfois appelé plan-permanent) ; si les élé- 
ments différents de zéro se trouvent dans un plan diagonal r(''gu- 
lier, le déterminant cubique est é-gal au deteiniinant ordinaire 
des éléments non nuls. 

La classe minimée du déterminant représentant un déterminant- 
permanent de classe N et de genre g est N -f- 2^; — 2. nombre 
impair, car \ est toujouis impair; la classe paire minimée est 
\ -|- 2,1,' — J. Ces deux déterminants sont eu quehpie sorte les 
formes canoniques du déterminant-permanent. Llles servent avan- 
tageusement il démoniier ([ue les genres des dis'erses formes du 
produit de deu.v déterminants-permanents de genres g et y sont 



360 M . r.EC A T 

g -|- ;' + 1, «; + /. g + y — 1, les deux premiers n étant réalisa- 
bles que pour des déterminants-permanents proprement dits le est- 
à-dire ne se réduisant pas à de simples permanents ou détermi- 
nants); les éléments sont polynômes si le genre est g -j- y. 

18. A part différents cas absolument banaux, celui dti déterminant 
troué suivant un espace diagonal et en particulier celui du déter- 
minant invertébré, la question de la recherche du nortibre des 
termes d'un déterminant particulier à fi dimensions présente de 
grandes dillicultés <pii nont pas été vaincues. Le cas où la matrice 
généi'ale est trouée potirrait être considéré comme cas particulier 
de celui oii la matrice possède des éléments égaux entre eux, mais 
il est préférable de séparer ces deux problèmes. Dans le premier 
cas, en effet, le nombre tp des termes ne dépend pas du signe, et il 
n'y a pas lieu de distinguer le permanent du déterminant. Dans 
le second cas, il n'en est plus de même. Dans le cas du détermi- 
nant, il faut tenir compte de la pai ité de la classe, et de la position 
de l'indice fixe si n est impair. 

Les problèmes sur le nombre y des termes d'un permanent 
troué se divisent en deux catégories, la premièi-e comprenant les 
questions oii il s'agit de calculer ^p le permanent étant donné, la 
seconde celles où l'on demande de trouer le permanent avec un 
nombre donné de zéros de manière à extrémer y. 

On peut imposer diverses restrictions; l'une d'elles consiste à 
fixer des limites entre lesquelles doit se maintenir la distance 
des zéros pris deux à deux; une autie à devoir trouer suivant un 
lieu géométrique défini; par exemple : un permanent est inver- 
tébré, le trouer suivant une seconde transversale à choisir de 
manière à extrémer y. Ces problèmes sont encore à lésoudre. Un 
résultat qui se démontre assez facilement et que le nombre minime 
de zéios annulaiU le permanent général est p"—^, ces éléments for- 
mant une tranche. 

La détermination du nombre cp d'un déterminant à indices per- 
mutables suivant une loi donnée, est un problème qui présente un 
certain intérêt, notamment au point de vue de l'invariantologie 
des formes algébriques; mais il n'est pas aisé. Ce qui est certain, 
c'est (jue la théorie des fonctions génératrices doit jouer un rùle 
important dans sa solution. 

19. Arrivons aux applications des déterminants à plusieurs di- 
mensions. Nous ne dirons rien des applications géométriques et 
arithmologiques, pour ne considérer que la théoiie des foi-mes 
algébriques. 

Le déterminant — ()rlhoactinomorphc — d'un si/stème de formes 
de degré n est un in^utriant simultané d'indice n. 11 est visible que ce 
théorème n'exige aucune restriction quant au nombre des formes, 
à leurs degrés et aux nombres des vaiiables. Par exemple, si l'on 
donne des formes distinctes en nombue inférieur à /? et supérieur 



DETERMINANTS A PLUSIEURS DIMENSIONS 361 

à l'unité, on pourra obtenir un certain noml>re d'invariants si- 
multanés. Si les p formes sont toutes identiques, on est conduit à 
dire que le déterminant — actinoinorphe — d'une forme de degré 
pair n est un invariant d'indice égal au degré n. Toute forme de 
degré pair possède donc un invariant dont le degré est égal au 
nombre des variables, et toute forme binaire de degré pair /«, 

un invariant d'indice n et du second degré, ayant -r 4" 1 termes : 

l'intermutant. 

Tout hessien de classe paire v déterminant actinomorphe des 
dérivées d'ordre r d'une forme est un covariant de cette forme. — 
Si une forme se réduit à une puissance d' une forme linèairey tous 
ses hessiens sont nuls à partir de celui de classe 2 hessien ordi- 
naire . I.a réciproque de ce théorème présente un grand intérêt : 
pour quelles valeurs de r, n, p la réciproque est-elle vraie? 

La méthode symbolique se prête admirablement à l'application 
des déterminants de classe supérieure à l'étude des formes. Elle 
permet de démontrer tiès aisément qu on obtient un covariant si- 
multané d'indice n, en prenant le déterminant à n -\- 1 dimensions 
formé par les dérivées d'ordre n de plusieurs fonctions, les élé- 
ments d'une même strate étant les dérivées d'une même fonction; 
on a un covariant d'indice /• si les fonctions sont représentées par 
une même lettre affectée de « — '" + 1 indices, dont l'un est l'in- 
dice fixe, le déterminant étant alors orthoactinomorphe d'espèce 
/■ et à « + 1 dimensions. 

On voit aisément que le â:'^'"" composé de deux formes binaires 
est un déterminant orthoactinomorphe de classe \i.-\- i et du second 
ordre, ce qui explique le fait que tous les composés k'^'"*'» d'une 
forme avec elle-même sont identiquement nuls si /.• est impair. On 
voit aussi (jue tout covariant d'une forme binaire peut être repré- 
senté par une somme de déterminants orthoactinomorphes du second 
ordre et dont les éléments sont des dérivées de la forme. (>e théo- 
rème peut être étendu au cas de plusieurs variables. 

Certaines relations remarquables entre composés de formes bi- 
naires s'expriment à l'aide de déterminants do classe supérieure, 
généralisant des propriétés, (-onnues depuis l<Migtemps, exprimées 
par des déterminants ordinaii-es. 

Quant aux contrevariants et divariants, il est clair que les dé- 
terminants de classe supérieure en fournissent autant qu'on veut. 

Ce qui précède permet de faiie entrevoir le rôle important que 
les déterminants tie classe supérieur(> sont susceptibles déjouer en 
géométrie analytitpie. Qu'il sullise de citer cet exemple : /<7 condi- 
tion nécessaire et suffisante pour qu'un plan soit tangent à une qua- 
drique s' exprime par un déterminant cubique orthoactinomorphe- 

Maurice Lecat fWatermael, Bruxelles . 



L'Enseignement luathém., 14* .-innée ; 1912. 



QU'EST-CE QU'UN VECTEUR 



Le calcul des vecteurs ofï're de grandes ressources. Dans les 
applications géométriciues ou mécaniques notamment, il permet 
d'obtenir d'importantes simplifications et une plus grande clarté. 
Non seulement les écritures sont sensiblement abrégées, mais 
l'instrument analytique qu'on emploie représente d'une façon di- 
recte les choses auxquelles il s'applique, et que lusage des coor- 
données fait trop souvent perdre de vue. 

Depuis de longues années, en Grande Bretagne surtout, l'em- 
ploi des vecteurs a permis d'en constater tous les avantages, et de 
grands efforts ont été faits pour les mettre en lumière. En France, 
non sans peine, le mot « vecteur » a fini par prendre droit de cité 
dans l'enseignement. Il figure dans une foule de programmes, et 
aussi dans la plupart des livres classiques contemporains. 

Je dis le ?not, avec intention, car il n'en est pas de même de la 
chose. Du mot, on use et je pourrais dire on abuse. La chose reste 
dans une sorte de pénombre mystérieuse. Fait pour ainsi dire in- 
croyable, on ne trouve à peu près nulle part une définition pré- 
cise d'un vecteur, même dans d'excellents ouvrages, ou dans les 
cours des plus éminents professeurs; et je n'ai jamais rencontré 
un seul candidat capable de répondre à cette question : « Qu'ap- 
pelez-vous un vecteur?», alors que depuis un quart dheure au 
moins, il m'exposait une foule de considérations sur les vecteurs 
et se livrait à des développements de calcul assez étendus à ce 
sujet. Jamais non plus je n'en ai tenu rigueur aux candidats; ce 
n'est pas en effet leur faute, mais bien celle d'une mauvaise tra- 
dition, contre laquelle il serait utile de réagir. Le manque de pré- 
cision est toujours funeste en matière d'enseignement. 

La statique élémentaire va me permettre d'indiquer plus nette- 
ment la confusion que je constate et que je critique, car c'est 
là peut-être que les résultats ont été les plus funestes. On y défi- 
nissait jadis une force, appliquée en un point A, par un segment 
AB, dont la longueur AB mesurait l'intensité de la force; la 
demi-droite indéfinie AB indiquait la dii-ection et le sens de la 
force; on l'appelait sa ligne d'action; et on admettait comme pos- 
tulat qu'une force peut être transportée où Ton voudia le long de 
sa ligne d'action. 



QU'EST-CE QU'UN VECTEUR? 363 

Celte terminoloiiie a été criti<jiiée, parce qu'on ne peut pas éta- 
blir a priori l'identité entre les forces en question et les foi-ces de 
la dynamique. On a fait remarquer avec raison que la statique 
élémentaire n'est au fond qu'une géométrie particulière, prépa- 
ratoire à la mécanique ; mais c'est à tort qu'on a cru sortir de 
peine et tourner la diificulté en remplaçant le mot force par le 
mot vecteur ; et le tort est d'autant plus gi-and qu'on l'a fait saiis 
le dire. On a surtout appelé i>ecleiir ce qui n'est pas un vecteur, ni 
dans le langage des inventeurs, ni dans celui des géomètres qui 
ont fait usage de ce nouveau mode de calcul géométrique. 

Il y a trois façons de comprendre le symbole AB. Ou c'est un 
segment géométrique ; l'origine A, l'extrémité B sont fixées ; et 
nul segment CD n'est égal à AB, si (] ne coïncide pas avec A, et 
D avec B. En second lieu, on peut considérer l'élément AB, tel 
que pour qu'on ait AB = CD, il faut que les deux segments AB, 
CD aient même longueur, même sens, et qu'ils soient appliqués 
l'un et l'autre sur la droite indéfinie AB ; à cet élément, on pour- 
rait à mon avis donner sans inconvénient et avec avantage le nom 
àe force géoniétriqiie, qui exclut toute équivoque; en tout cas, je 
le répète, ce n'est pas là un vecteur. Enfin \ç vecteur K^ est défini 
par sa grandeur, sa direction et son sens; c'est-à-dire que AB = 
CD si les deux segments AB, CD sont parallèles, de même sens 
et de même longueur, que le point C soit d'ailleurs situé n'im- 
porte où. 

Hamilton a dit que le vecteur est le symbole dune translation ; 
Grassmann, que c'est la différence de deux points. Ces modes de 
langage sont également justes et repi'ésentent bien l'idée. Dans un 
déplacement de translation, tous les points du coips décrivent des 
vecteurs identiques. Et la difféi'ence géométrique des points B et 
A sera bien la même que celle de D et C si AB = CD, de même 
que 3 = 7 — 4 =3 20 — 17 = (12 + 2/) — (9 + 2^'). 

Cette déviation de l'emploi de l'expression « vecteur », et son 
application aux forces géométriques ont conduit à cette mons- 
truosité, devenue pour ainsi dire classique : « le moment lésul- 
tant d'un système de vecteurs ». On j)arle aussi de « systèmes de 
vecteurs équivalents », ce qui n'a pas ])lus de sens. Comme à plai- 
sir, on a jeté la confusion dans le langage, et, dans le seul but de 
s'affranchir du mot « force », on a fait un j)rogrès à l'envers. C'est 
d'autant plus déplorable qu'en statique justement, le vecteur re- 
présente exactement le couple. 

Ea vérité, c'est que pour définir un segment, il faut six condi- 
tions ou, pour mieux dire, deux groupes de trois conditions. Pour 
définir une force gèométri(iue, il en faut cinq. Et pour définir un 
vecteur, il en faut trois. 

Le calcul vectoriel fait chac|ue jour l'objet de travaux intéres- 
sants et se prête à d'utiles applications. Soit qu'on se serve de la 



364 r.-A. rAfSAxr 

méthode des quaternions dHamilton, soit quon suive Grassmann, 
on peut se heurter à des difficultés inhérentes à la nature des 
choses, comme la non commutativité de la multiplication, qui a 
rehuté un certain nombre d esprits, bien (jnelle soit la traduction 
d'une vérité géométrique à peu près évidente. On pourra peut- 
être apporter des perfectionnements, des simplilications ; c'est 
même probable. Depuis plusieurs années, des tentatives sont faites 
pour unifier les notations dans la mesure du possible. Mais je crois 
que personne n'a proposé de bouleverser arbitrairement la termi- 
nologie, et c'est cependant ce qui a eu lieu en P'rance, par une 
sorte de spontanéité fatale, .l'estime qu'il n'est pas trop tard pour 
essayer de réagir, et c'est ce qui m'a déterminé à jeter ce cri 
d'alarme. 

Me sera-t-il permis de profiter de l'occasion pour indiquer, en 
dehors des applications à la Géométrie, à la Mécanique ou à la 
Physique, une extension de l'idée de nombre qui est une consé- 
quence assez naturelle des méthodes dont je viens de parler, et 
que je n'ai rencontrée jusqu'ici nulle part, ce qui ne prouve pas 
qu'elle soit nouvelle. Elle me semble avoir en soi un certain inté- 
rêt philosophique. 

Cette notion est ce qu'on pourrait appeler \a position du nombre. 
C'est la définition de Grassmann. rappelée plus haut, qui me l'a 
suggérée. Primitivement, on a étudié les nombres, entiers d'abord, 
puis rationnels, et enfin incommensurables; puis se sont imposés 
les nombres négatifs ; la théorie des imaginaires a amené à la 
considération des nombres dirigés, dans le plan. Les découvertes 
de Grassmann et de llamilton ont permis de sortir du plan et 
d'arriver aux nombres dirigés dans l'espace. 

Dans toutes ces généralisations successives, le nombre conserve 
toujours, au moins implicitement, une origine constante, qui est 
zéro. N'y aurait-il pas lieu de distinguer aussi les nombres sui- 
vant l'origine à partir de laquelle on les compte ? Même en 
arithmétique pure, il est permis de ne pas identifier le nombre 3 
compté de à 3, avec le même nombre compté de 1000 à 1003. 
Dans cet ordre d'idées, un nombre fixé en grandeur, direction et 
position se trouvei-ait caractérisé par un système de deux vecteurs 
a, a, et pourrait s'écrire par exemple aa, ces deux vecteurs ayant 
zéro, par convention, pour origine commune. 

Il ne semblerait pas impossible d'instituer un système de défi- 
nitions des opérations élémentaires sur ces nombres, évidemment 
représentables par des segments. Pour les nombres coplanaires, par 
exemple, c'est-à-dire tous situés dans un même plan, on peut croire 
<ju'avec le secours du calcul des imaginaires de l'algèbre, cela 
serait relativement facile. Poui- des nombres quelcoïKjues, il fau- 
drait sans doute recourir à l'analyse des quaternions et s'attendre 
à des conséquences analogues à celles que nous connaissons déjà. 



LE CONGRES DE C A M B R 1 1) (i E 365 

Du même coup, un calcul de cette nature, à cause de la repré- 
sentation indiquée, serait le calcul des segments géométriques. 
Je nai et n'aurai sans doute' pas le loisir de poursuivre cette 
étude, ni même de l'aborder. Je souhaiterais qu'elle attirât l'atten- 
tion de quelqu'un de nos jeunes confi'ères, et c'est dans cet 
espoir que je me suis décidé à donner les indications rapides qui 
précèdent. 

C.-A. Laisant. 



LE 5""^ CONGRES 
INTERNATIONAL DES MATHÉMATICIENS 

Cambridge, août 191 J. 



Le 5""' Congrès international des Mathématiciens a été tenu à 
Cambridge, du 21 au 28 août, conformément au programme général 
reproduit dans notre précédent numéro. Kst-il besoin d'ajouter 
qu'il s'est déroulé sous un ciel uniformément gris, déversant par- 
fois des pluies abondantes ? On l'aura deviné, car le temps a été 
également très pluvieux presque sur tout le centre et le N.-O. du 
Continent. Mais chacun sait que seuls les bons souvenirs restent 
gravés profondément, aussi les Congressistes n'oublieront pas leur 
séjour si agréable dans la vieille cité universitaire, où ils ont eu 
le privilège d'apprécier l'hospitalité anglaise toujours si large et 
depuis longtemps traditionnelle. Les grands Collèges de Cam- 
bridge ont rivalisé de zèle pour héberger les Congressistes et leur 
offrir de brillantes réceptions. 

Réceptions. — Ce fut dadord la Réception au St. John Collège 
par Sir Ceorge Dakwix, PrésidtMit de la Cambridge Philosophical 
Sociel//, et M. R. F. Scott, Vice-Chancelier de l'University, le 
mercredi soir 21 août; puis la Réception au Fitz William Muséum 
par Lord Rayleigh, Chancelier de l'University, le vendredi 23 
août ; la Réception dans les jardins du Ckrisl's Collège, par le 
Président du Congrès, le dimanche après-midi, 2.^ août, suivie, 
le soir, d'un be;i.u Récital d'Orgue dans la (>hapelle du King's 
Collège ; et enfin la Réception au Ttinilij Collège, par le Master et 
les Fellows. Mentionnons aussi la visite à la Cambridge Scientific 
Instrument Company et à V Observatoire, ainsi que la promenade, 
sous une pluie torrentielle, à la Cathédrale d'Ely et les excursions 
au lendemain du Congrès, à llatfield lloiise et à Oxford. 



366 //. FKlin 

PAimc:ii'Arit»N. — I^cs de r)00 congressistes représentant 27 pays 
ont suivi les seaiues ; à ce chiffre il faut aj()uter plus de cent per- 
sonnes accoinpai^iianl les C.ongrcssisles. Le cliiUVe' des inscrip- 
tions est en réalité de 572; il comprend les nialluMiialiciens pré- 
sents à Cambiidge et les souscripteuis du volume des travaux du 
Congrès. Le nombre des participants anglais (Iles Britanniques) 
est d'environ 250. 

Lks TiiAVAix. — Ils comprennent huit conférences générales 
réparties sur ([uatre rf'unions i)lénières; on en Irolivera plus loin 
un r(^sumé succinct. Les communications spéciales, au nombre 
d'une centaine, ont été présentées dans les séances des (juatre 
(mais en réalité six) sections ci-après : 
L — Arithmétique, Algèbre, Analyse. 

11. — Géométrie. 

IlL {aj — Mécani<[ue, Physique math('Mnati([ue, Astronomie. 

III. (h) — Sciences économi(jues, Assurances, Slatisti(pie. 

IV. (a) — Piiilosophie et Histoire des mathématiques. 
IV» ih) — Knseignement mathématique. 

Nous reproduirons la liste complète des communications des 
Sections 1 à W la). Les travaux de la Section IV (b) se rattachant 
plus particulièrement au but de cette Revue, il convient d'en 
donner un compte rendu queUjue peu d('veloppé. Toutefois, faute 
de temps, nous devons renvoyer au prochain numéro le compte 
rendu détaillé des travaux concernant la Commission internatio- 
nale de renseignement mathématifjue. 

Kn j)arcourant la liste très longue des travaux, le lecteur cons- 
tatera (pi'ils touchent aux domaines les plus divers des sciences 
mathématiques pures et appliquées. On pourra renouveler encore 
cette fois les critiques et remarques faites au sujet des précédents 
Congrès et (pie nous avons rt'sumées dans une petite Note publiée 
dans le numéro de juillet, (^u'il nous sullise donc d'ex|)rimer une 
fois de plus le voni ((ue le Comité d organisation du j^rocliain Con- 
grès parvienne à limiter les communications eu précisant le champ 
et la nature des travaux et en réservant une plus giande place à des 
discussions d'un int('rèt général. Les Actes du Congrès ne doivent 
pas jouer simplement le i-ôle d'un périoili(|ue malhématiipic 

lIo.M.MAi.K A Cavi.I'V. — Sur riiiitiativc tie M. le Piof. Dickstein 
(Varsoviej, un groupe de congressistes a dépos<'^ une couronne 
sur la tombe de lilluslre géomètre anglais. Une souscription, ra- 
pidement couverte, permettra de commémoier cette cérémonie 
par une couronne en argent (pii sera icmise à l'Université de 
Cambridge. 



* L<! chirTre correspondiuit pour le Conjçn'S de Itomc il!)(t8l est de 5:t5; voir lii statistique 
pul)lii-c dans l'AVi.t. math, du 1.^ juillc-l lilTi, p. ;to:t-:ut>. 



LE CO2SGRES DE CAMBRIDGE 36; 



SEANCES GENERALES 

Séance doivertire: jeudi inaiin. 2J. août. 

Louverture oflicielle du Congrès a eu lieu le jeudi 22 août, à 
10 heures du luatin, dans TExamination Hall. Dans son discours 
de bienvenue Sir George Dabwix. Président de la Cambridge 
Philosophical Society, a dabord parlé de la place que prend 
Cambridge dans les mathématiques pui-es et appliquées : il sullit 
de mentionner ici les noms de Newton. .\iry. Adams. Maxwell. 
Cayley. Stokes et Kelvin. En termes émus il a ensuite rappelé la 
mort si inattendue du plus grand des mathématiciens contempo- 
rains. H. Poincaré. Puis il a tracé à grands traits quelques-uns 
des problèmes de la Science actuelle. 

Le Vice-Chancelier de IT'nivei^ité. M. F. R. Scott, a ensuite 
souhaité une chaleureuse bienvenue aux Congressistes au nom de 
l L niversitë de Cambridge. 

1** Sêaxce générale; jeudi après-midi. 22 août. 

Formation dt Bireai". — Dans la première séance générale le 
Congrès a dabord été appelé à constituer son Bui-eau. Le Bui^au 
du (^oniitè local, formé par la Cornhridi^e P/n'/osoph/cal Societt/, a 
été contirmé à l'unanimité comme Bureau du Congrès, en y ad- 
joignant un certain nombre de vice-présidents pour représenter 
les principaux pays.- Sur la pi^oposition du président, le savant 
physicien Lord Rayleigh. Chancelier de ILniversite.a été nommé 
président d'honneur. 

Voici la composition du Bureau du Congrès : 

Président d'honneur : Lord Ravleigh. 

Président : Sir G,. H. Darwin. 

Vice-prèsidenfs : W. v. Dvck. L. Féjer. R. Fuisawa. J. Hada- 
MARo. J. L. W. V. Jensen. p. .\. MacMahon. g. Mittag-Leffleb. 
E. IL MooRE, F. RiDio. p. IL ScHoiTE. M. s. Smolichowski. V. 

\. StEKLOV. V. VoLTERRA. 

Secrétaires: E. \V. Hobson. A. K. H. Lo\f. 
Trésorier : Sir J. Labiuor. 

C0.MMISSION INTERNATIONALE de IEnSEIGNEMENT .MATHÉMATKJIE. — 

Sir G. Greenhii.l. vice-président de la Commission, rappelle que 
la commission a été instituée à la suite d'une resolution du précé- 
dent Congrès, puis il indique très brièvement les résultats obte- 
nus. La Commission rapportera devant la section 1\ b. enseigne- 



368 //. F EUR 

ment mathématique. Dans sa séance de clôture, le congrès sera 
appelé à se prononcer sur la prolongation du mandat de la Com- 
mission. 

Conférence de M. F. Enriques (Bologne) : Il si^i^nifuato délia 
critica dei principii nello sviliippo délie matematiche (La critique 
des principes et son rôle dans le déi>eloppement des mathéma- 
tiques. — La critique des principes est à l'ordre du joui- au- 
près des mathématiciens contemporains. I/analyse approfondie 
des concepts de limite et de fonction, les recherches ayant pour 
point de départ la théorie des parallèles et la géométrie non- 
euclidienne, celles plus récentes qui se rattachent à la fondation 
de la géométrie projective et à !'« Analysis situs », les développe- 
ments sur les variétés à plusieurs dimensions, sur les transforma- 
tions et sur leurs groupes ; enfin la théorie des ensembles et les 
spéculations sur l'infini et linfînitésimal actuel, auxquelles se 
rattachent les géométries non-archimédiennes, ont soulevé une 
foule de problèmes qui touchent aux racines les plus profondes de 
l'édifice mathématique et attirent, pour des raisons diverses, les 
esprits philosophiques. 

Dans le domaine dune science éminemment conservatrice qui 
offre, depuis deux mille ans, le spectacle d'une continuité ininter- 
rompue de construction progressive, sans démolitions, les criti- 
ques innovatrices à caractère révolutionnaire, éveillent peut-être 
un intérêt émotif plus fort que dans tout autre champ de la con- 
naissance où les crises se succèdent visiblement dune façon pé- 
riodique. C est cet intérêt émotif qui explique non seulement la 
résistance que les nouvelles idées ont rencontrée auprès du public 
non préparé à les comprendre, mais encore et surtout la séduc- 
tion qu'elles exercent sur tant d'esprits prompts à 'passer, par 
une réaction psychologique naturelle, de l'émerveillement et de 
l'étonnement, à la foi et à l'enthousiasme pour le nouveau monde 
(jui s'ouvre à leurs yeux. 

Or, les discussions les plus vives suscitées par les nouveaux 
ordres de recherches et surtout les nouvelles attitudes de l'esprit 
critique posent naturellement un problème d'ordre philosophique 
et historique: celui de savoir quelle est la valeur p-iopre de la cri- 
tique des principes et (juelle place lui appartient dans les progrès 
de notre science. 

C'est à ce point de vue que le Conférencier examine les objets 
suivants': Le continu et les procédés infinitésimaux chez les 
Grecs. — La fondation du calcul infinitésimal. — La critique des 
concepts infinitésimaux et les nouveaux développements du calcul 
des variations. — Les fonctions arbitraires et la moderne élabo- 



La coiiférence vient d'être publiée d;ins la Revue Scienlia. 6' année, Bologne, 1912. 



LE CONGRES DE CAMBRIDGE 369 

ration du (.'oncept du continu. — Lo développement intensif des 
Mathétnati(ines : les écjuations rt les nombres ima<)^inaires. — La 
théorie des (onctions al<.;é])ri(iues d'après lliemann et la critique 
des principes de la Géométrie. — Quelques nouveaux développe- 
ments de raljrèbre. — Conclusions : le pragmatisme et le natu- 
ralisme mathématiques. — Les Mathématiques envisagées comme 
instrument ou comme modèle de la science. 

CoxrÉiiENCE de M. Ern. W. Brown (Yale University, New Haven) : 
Periodicity in the Solar System. — Après avoir indiqué les diffé- 
rentes branches suivant lesquelles la mécanique céleste a été 
divisée durant ces trente dernières années, le conférencier sarrèta 
assez longuement sur les périodes des oscillations par lesquelles 
les astronomes ont généialement représenté les mouvements du 
système solaire. Ces oscillations sont à courte période, à longue 
période, séculaire ou sont enfin des librations. 11 nous fut alors 
montré, par des considérations sur ces périodes, comment nous 
pouvons être certains que les théories actuelles sur la lune et les 
planètes sulTisent pleinement à représenter le mouvement de ces 
corps dans les limites du temps pendant lequel les observations 
ont lieu. 

Les théories concernant les astéroïdes sont beaucoup plus diffi- 
ciles. La commensurabilité approximative ou exacte entre la pé- 
riode moyenne de révolution des astéroïdes autour du soleil et 
celle de Jupiter y joue un rôle important. La commensurabilité 
exacte, si elle existe, produit des oscillations généralement con- 
nues sous le nom de librations, et leur théorie mathématique est 
encore très incomplète. Actuellement nous ne voyons pas de rai- 
sons ({ui empècheiaient l'existence d'astéroïdes ayant des mouve- 
ments de libiation. Mais il y a de notables impeifections dans 
les régions de libration. Il en est de même en ce qui concerne 
l'anneau de Saturne. D'autre part, nous rencontrons des librations 
dans les systèmes de satellites de Jupiter et de Saturne. On sup- 
posa ([ue la présence d'une région de libration, dans le problème 
des trois corps, limite la série des orbites stables et c|u une limi- 
tation encore plus considérable de la série est j)roduite par la 
présence d'un ((uali'ième corps, par exemple de Saturne, s'il 
s'agit des astéroïdes. 

Les déviations périodi(|ues de la lune relativement ii son oi-bite 
théorique furent examinées brièvement et l'on mentionna les 
méthodes en vigueur pour en rechercher les causes. Le professeur 
Brown termina sa conférence par un témoignage de respect à la 
mémoire d'Henri Poincaré. 



370 //. FEIIR 



2* Séance gknéhai.e ; vendredi après-midi, 23 août. 

CoNFÉKENCE de M. E. I>AXDAU (Gœttiiigue : Gelôste itnd iingeliiste 
Problème ans der Théorie der Primzahlenverteilung iind der 
Hiemannschen Zetafitnktion Problèmes résolus ou à résoudre dans 
la théorie de la répartition des nombres premiers et de la fonc- 
tion Zêta de Riemann . — l.es propriétés de la théorie des nom- 
bres sont peu connues et cela tient spécialement aux difficultés 
que présentent les méthodes de la théoiie analytique des nombres. 
C'est donc avec un véritable intérêt que Ion a suivi lexposé dans 
lequel M. Landai examine, en partant de notions familières à 
chacun, les principaux problèmes concernant la répartition des 
nombres premiers. 11 ne manque pas de signaler en passant, bon 
nombre de questions qui se rattachent étroitement à la théorie 
analytique des nombres. Par ses nombreuses et importantes con- 
tributions dans ce domaine M. Landau était tout particulièrement 
désigné pour faire une conférence de cette nature. 

Conférence du Prince B. Galitzine (St-Pétersbourg : The 
Principles of instrumental sismology. — Les progrès rapides de 
la sigmologie datent de 10 à 20 ans et sont dus principalement à 
l'adoption de méthodes de recherche purement physique, basées 
sui l'observation d'instruments. La sismologie instrumentale ou 
sismométrie est liée étroitement à la mécanique théorique et par 
suite aux mathématicjues pures. La propagation des perturbations 
sismiques issues du foyer d'un tremblement de terre n'est autre 
chose qu'un problème d'élasticité. On distingue deux sortes de 
vagues sismiques, les longitudinales et les transverses ou vagues 
de torsion dont la vitesse de propagation à la surface externe de la 
croûte terrestre atteint respectivement 7,17 et 4,01 kilomètres à la 
seconde. De cette différence de vitesse on pourra déduiie la dis- 
tance de l'épicentre à l'observatoire. 

Les équations générales de la théorie de l'élasticité permettent 
de coulure, ainsi que l'ont montré Loid Rayleigh et Sir K. Lamb, 
à l'existence d'une auti'e sorte de vagues, les vagues de gravitation 
ou longues vagues qui se propagent à la vitesse constante de .3,5 
kil. à la seconde. L'arrivée de ces vagues constitue le commence- 
ment de la phase maximum d'un sismogramme. Ces résultats 
théoriques sont confirmés dans leurs grandes lignes par l'obser- 
vation directe. 

Au lieu d'étudier les vagues sismiques, il est plus commode de 
considérer les rayons sismiques correspondants. Ces derniers se 
transmettent selon des brachistochrones. Si la loi qui donne la 



I.E CONGRÈS DE C A M li R 1 1) ('. E 371 

relation enti-e la vitesse et la profondeur était connue, il serait 
facile d'exprimer le temps nécessaire à un rayon sismiijue pour 
se propager du foyer au lieu d'observation ainsi que la distance 
ëpicentrale correspondante, comme fonction de la profondeur du 
foyer et de l'angle d'émergence des rayons sismiques. Cela don- 
nerait la forme de l'hodographe théorique. Kn renversant le pro- 
blème, c'est-à-dire en construisant l'hodographe à l'aide d'obser- 
vations directes il sera possible d'arriver à ceitaines conclusions 
concernant la constitution intérieure de la terre. C'est la méthode 
suivie par Wiechert et ses disciples. 

Alors que dans les limites de la région éjîicentrale presque tous 
les tremblements de terre sont caractérisés par plusieurs chocs 
plus ou moins intenses, séparés par des intervalles de calme, le 
tout d'une durée dépassant rarement {iuel({ues minutes, les appa- 
reils sismi(|ues des stations éloignées accusent un mouvement 
continu et prolongé du sol. On peut attribuer cela à des réflexions 
et réfractions intérieures des rayons, <à de véritables vibrations de 
l'écorce terrestre et à la dispersion sismique. Jusqu'à présent, 
le problème de la dispersion sismique n'a pas été traité d'une 
façon complète. 

La meilleure méthode pour examiner les différents problèmes 
de propagation des vagues sismiques serait de considérer les 
différentes couches de la terre non pas comme un milieu isotrope, 
mais seulement transversalement isotrope. C'est le procédé de 
Rubski qui l'a conduit à d'intéressants résultats, mais le j)roblème 
est très compliqué. 

Comme il existe six mouvements dift'érents possibles, trois dé- 
placements et trois rotations, la résolution du problème fonda- 
mental de sismométrie, c'est-à-dire la détermination du vrai mou- 
vement du sol en fonction du temps, exige six sismographes 
difféients. Les types variés de sismographes sont tous basés sur 
le principe d'inertie (princij)e du point hxe . Pour l'étude des 
déplacements horizontaux, on utilise principalement des pendules 
horizontaux dont il existe différents types; car il est nécessaire 
que la période d'oscillation du sismographe soit longue, afin 
d'obtenir une amplification sullisante. L'étude de la composante 
verticale se fait au moyen de sismographes verticaux spéciaux. 

Les mouvements du sismographe sont eniegistrés soit méca- 
niquement sur du papier noirci, soit optiquement à l'aide d'un 
rayon de lumière réfléchi. Pour obtenir une forte amplification 
et éviter tout frottement, cette méthode galvanométrique est très 
avantageuse. Llle permet en outre d'enregistrer à distance. 

Pour assurer le bon fonctionnement des ajiparcils il est néces- 
saire d'humecter convenablement chaque sismographe. Juscju'à 
présent cela se faisait par l'air et l'huile, mais le procédé le plus 
simple, le plus pratique et qui présente aussi théori(piement le 



372 //. FEIIR 

plus de garantie, c'est la méthode magnétique qui sera adoptée 
dans tous les observatoires sismiques russes. 

I^e problèmo fondamental de sismologie, c'est-à-dire la déter- 
mination du vrai mouvenient du sol dans nn intervalle de temps 
donné, ollVc de grandes dilTicultés ; ici, comme dans bien d'autres 
questions de sismologie moderne, il faut avoir lecours aux mathé- 
matiques pures. 

I^a lecture de sismogrammes obtenus à l'aide de sismographes 
apériodiques nous permet d'aborder dillerents problèmes dont 
quelques-uns présentent une grande importance pratique déter- 
mination de l'azimuth de l'épicentre; fixation de la position de 
lépicentre déduite d'observations faites à une seule station; cal- 
cul de l'angle d'émergence des' rayons sismiques, ce qui est^un 
élément impoitant pour l'étude de la route suivie par les rayons 
sismiques dans l'intérieur de la terre;. On peut encore citer d'in- 
téressantes questions qui se présentent en sismologie, comme par 
exemple les oscillations régulières (pulsations) de l'écorce ter- 
restre, la prédiction des tremblements de terre, les déplacements 
des masses intérieures, etc. 

L'Angleterre a contribué pour une large part aux progrès de 
la sismologie. Il sullit \àe se lappeler tous les travaux de ÎNIilxe 
ainsi que les admirables recherches théoriques de nombreux sa- 
vants anglais tels que Lord Kelvin, H. Lamb, G. Darwin, Larmor. 
Love, Sciiuster, Knott et bien d'autres encore. 

3'" Skaxci-; (;KXKiiALi;; samedi après-midi. 1\ août. 

CoxFÉHEXcK DE M. E. BoiJEL Paris : DèfiniLion et domaine d' exis- 
tence des fonctions monogènes uniformes. — Après avoir rappelé 
les oiigines de l'idée de fonction le conféiencier expose avec beau- 
coup de clarté les différents points de vue analytiques et géo- 
métriques auxquels les auteurs se sont placés pour l'étude des 
fonctions analytiques: la théorie de Cauchy; les limites de la 
théorie de Gauchy-Weierstrass ; la théorie de Cauchy-Riemann ; les 
domaines de Cauchy ; le prolongement parles séries divergentes, 
théorie de Mittag-Lefller ; les intégrales doubles analogues à l'in- 
tégiale de (^luchy: les propriétés de fonctions monogènes. — M. 
Bore! insiste sur la distinction qu'il y a lieu de faire entre les ex- 
pressions fonction monogène et fonction analjj tique et i! définit 
les fonctions monogènes qui ne sont pas analytiques. Il termine 
en appelant l'attention sur des analogies entie la thé<»rie des fonc- 
tions d'une variable complexe et la théorie du potentiel. 

CoNFÉREXCE de SiR WiixiAM IL White, K. C. B.: The Place of 
Mnthematics in engineering practice (La place des mathéma- 



r. E CO X G H !■: s D K C A M BRU) G K 373 

tiques dans la prati((iie de riiiofiiieur . — Il est universellement 
reconnu, aetuellenient, (|u«' rinj^cnieur doit avoir une connais- 
sance approfondie des diverses branches qui touchent à sa voca- 
tion, cond)inée à une expérience et un entraînement pratiques 
appropriés. De toutes ces branches, ce sont évidemment les ma- 
thématiques qui occupent le premier rang. Avec le temps', le 
mathématicien et l'ingénieur sont arrivés à mieux se comprendre 
et à être plus utiles l'un à l'autie dans leurs travaux. Cependant il 
faut faire une distinction sensible entre les deux. Les mathéma- 
ticiens considèrent spécialement les travaux d'ingénieurs en se 
plaçant au point de vue scientifique ; ils cherchent avant tout à 
rendre les mathématiques utiles à l'ingénieur en élaborant des 
théories et en recherchant des formules. Le principal objet de 
l'ingénieur, par contre, sera la conduite effective de travaux d'un 
ordre pratique en cherchant à réaliser autant que possible les 
conditions l'equises de solidité, d'économie et de succès commer- 
cial. 

Examinons maintenant quelle est la nature de l'attribution du 
mathématicien aux travaux d'ingénieurs. Tout d'abord il faut citer 
le développement de théories mathématiques basées sur des hypo- 
thèses que confirment les observations et la pratique du passé. 
Autrefois, les hommes de science pensaient que les mathématiques 
pures suffisaient à elles seules à guider la pratique de l'ingénieur. 
Aujourd'hui, on a reconnu que cela ne suffisait pas^et l'on pense 
que les meilleurs services que les mathématiciens peuvent rendre 
à l'ingénieur consistent à lui suggérer les meilleures méthodes 
de recherche expérimentale, à établir des principes généraux 
basés sur l'analyse et l'expérience et à élaborer des règles pratiques 
s'appuyant sur ces principes scientifiques. 

On peut illustrer ce contraste entre les méthodes du passé et 
celles d'aujourd'hui en comparant les travaux faits au dix-hui- 
tième siècle sur la marche des vaisseaux parmi les vagues pai- 
Daniel BernouUi, qui remporta en 1757 le prix ollert par l'Aca- 
démie des Sciences en France, et ceux de \\'illiam Fronde, un 
siècle plus tard sur le même sujet. Bernouilli était plus fort 
mathématicien, mais n'avait qu'une faible connaissance de la mer 
et des vaisseaux. Son mémoire était un traite malhémati([ue, mais 
ses règles piatiques étaient basi'es sur des hypothèses qui ne 
correspondaient pas à la réalité. Il se rendait compte lui-même 
que les observations et l'expérience lui niancjuaient. 11 en résulta 
que ses règles pratiques con<'ernant les constructions navales 
étaient incorrectes. William P' ronde était un ingénieur expéi'imenté 
possédant également de bonnes connaissances mathématiques et 
un esprit mathématique ; en outre, il avait une granile habitude 
de la mer et des vaisseaux et de grandes qualités d"ex|)erimenta- 
teur. Il reprit le problème en basant ses investigations mathé- 



374 //. FEHR 

matiques sur l'expérience et Tobservalion et réussit à faire 
œuvre utile en ce qui concerne la pratique de la construction 
navale. 

Nous avons un autre exemple de ce contraste entre les méthodes 
anciennes et modernes dans Tétude de la résistance que présente 
Teau à la marche des navires. Les mathématiciens se sont occu- 
pés depuis fort longtemps de ce sujet et ont tenté d'établir des 
théories sur cette question. Les premières théories mathématiques 
sur la résistance ne purent guère trouver d'utilité dans la pratique, 
car elles étaient basées sur des hyphothèses erronées et incom- 
plètes. Plus tard, William Fronde entreprit des recherches spé- 
ciales à ce sujet, en ayant soin d'appuyer cette étude sur l'obser- 
vation directe. Pour cela il introduisit des réservoirs d'expérience, 
qu'on a adopté aujourd' hui dans tous les pays maritimes, destinés 
à faire des essais sur différents modèles de bateaux. Les résul- 
tats obtenus par ces procédés ont une valeur pratique considé- 
rable. Actuellement on a des renseignements très précis sur la 
forme la plus avantageuse à donner aux vaisseaux ; mais on nest 
pas encors fixé définitivement sur la forme de l'hélice, et à cet 
égard les résultats fournis par de nombreuses expériences exécu- 
tées à des vitesses variées sont d'une grande utilité. Ce problème 
de l'hélice est en fait très complexe, car un grand nombre de 
facteurs doivent être pris en considération et l'on ne peut songer 
à résoudre des questions de cette nature que par une heureuse 
combinaison de la recherche expérimentale et de l'analyse mathé- 
matique. 

Il existe d'autres domaines où la méthode expérimentale joue 
un rôle prépondérant, par exemple dans l'évaluation de la pres- 
sion du vent sur certaines constructions compliquées, dans l'aéro- 
nautique et le problème du vol. 

Citons encore la construction de ces gigantesques vaisseaux 
modernes, qui sont appelés à transporter d'énormes charges, à 
supporter toutes les intempéries et à satisfaire en un mot toutes 
les exigences de la civilisation niodeiiie; on conçoit bien qu'en 
pareil cas l'investigation mathématique pure serait impuissante : 
l'interprétation scientifique des expériences passées et les mé- 
thodes comparatives pourront seules conduire à de bons ré- 
sultats. 

De grands progiès ont été déjà réalisés grâce à la collaboration 
active du mathématicien et de l'ingénieur; et il est à prévoir que 
ces progrès ne feront que s'accentuer maintenant que l'on com- 
prend mieux le rôle des mathématiques dans la pratique de l'in- 
génieur. 



LE CONGRES DE CAMBRIDGE 375 



4* Séance générale; mardi après-midi, 27 août. 

CoNFÉitENCE de M. Maxime Bôcheh (Harvard University) ; Bonn- 
dary Prohleins in one Dimension. — Dans cette étude générale des 
problèmes de limites à une dimension, M. Bôcher examina systé- 
matiquement les progrès récents les plus importants, en ce qui 
concerne les méthodes et les résultats ; il fut ainsi possible, en 
quelque sorte, d'unifier et de systématiser le sujet plus complète- 
ment ((u'on ne l'avait fait jusqu'à présent dans la littérature. 

I>a conférence s'est bornée presque uniquement à des problèmes 
de limites linéaires, c'est-à-dire à la question de la résolution 
d'une équation différentielle linéaire assujettie à des conditions 
de limites linéaires. 

CoxFÉiiENCE de Sir Joseph F^armoii iCambridge : Dynamics of 
radiation. — La série des conférences s'est terminée par une étude 
de la question si importante, mais encore si obscure, des radia- 
tions électriques. Sir J. Laiîmor a montré quels sont les problèmes 
fondamentaux que l'on rencontre actuellement dans l'étude des 
radiations et a signalé en particulier les théories thermo-dynami- 
ques de Boltzmann et de Flanck. 



Séance de Clôture ; mardi soir, 27 août. 

Sir George Darwin, président, passe d'abord en revue les ques- 
tions transmises au présent (>ongrès par le Congrès de Rome. 

On sait que le Comité du 4'"*" Congiès avait été chargé de cons- 
tituer une Commission internationale pour l' unification des nota- 
tions vectorielles. Les pourparlers préliminaires n'ayant pas encore 
abouti, la Commission n'est pas prête à rapporter ; mais elle es- 
père pouvoir le faire au prochain (>ongrès. 

Quant à la création d'une Association internationale, proposée 
par l'un des membres du Congrès de Home, le Comité de Cam- 
bridge n'a pas reçu de nouvelles propositions, il estime d'ailleurs 
qu'une pareille oiganisation ne correspond pas à un besoin. (Ap- 
probation générale.) 

Co.M.MISSION INTERNATIONALE DE LEXSEIGNEWENT MATHÉ.MATIQUE. — 

M. C. GoDi RKY rond compte des séances que la Commission a 
tenues avec la Section IV la) du Congrès. Les travaux îles Sous- 
commissions nationales ne sont pas entièrement terminés et il 
conviendra ensuite de faire une série d'études comparées et de 



376 n. F Eli H 

mettre en discussion des questions d'une importance générale. 
Dans ces conditions, la Section IV la) estime qu'il y a lieu de 
proloniï^er le mandat de la Commission. 

M. W. V. Dyck Munich appuie cette proposition, il insiste sur 
le travail considérable accompli par la Commission avec le con- 
cours des Sous-commissions nationales. Pi'ès de 150 fascicules ou 
volumes, comprenant un ensemble de 280 rapports, ont été pré- 
sentés vendredi à la Section IV la). Ils renferment des documents 
qui sont appelés à jouer un rôle très utile dans l'étude des pro- 
strés à réaliser dans l'enseignement mathématiq'ue. M. v. Dyck 
pense être linterprète de toute rassemblée en exprimant ses plus 
vifs remerciements non seulement au Comité central et aux mem- 
bres de la Commission, mais aussi aux membres et aux collabora- 
teurs des Sous-commissions nationales. 

Voici le texte complet de la résolution proposée par la Section 
IV, et votée ensuite à l'unanimité des Congressistes présents : 

Le cinquième Congres international des Mathématiciens adresse 
ses remerciements aux gouvernements, aux institutions et aux per- 
sonnes qui ont accordé leur aide à la Commission internationale 
de l'Enseignement mathématique. ; 

Décide de prolonger les pouvoirs du Comité central composé de 
MM. F. Klein iCoettinguei, Sir G. Giîeexhili. ^Lo/?c?/'es; é?M1. Fehh 
( Genève I et, suivant la requête qui lui est adressée, d'adjoindre ii 
ce Comité M. David-Eugène Smith iNew-Yorkj. 

Prie les délégués de bien vouloir continuer leurs offices en s'as- 
surant la coopération de leurs gouvernements respectifs et en pour- 
suivant leurs travaux; 

Et invite la Commission à présente)- un rapport ultérieur au 6'"" 
Congrès international et à organiser dans l'intervalle telles réu- 
nions que les circonstances lui dicteront. 

Texte anglais : The following resolution is transmilted to ihe Congress 
witti the unaniraotis support of its Inlei national Commission on the Teaching 
of Matliemalics, and of Seclion IV, and wilh ttie requesl ttiat it be adopled. 

Resolved : That the Congress expresses its appréciation of the support 
giveu to its Commission on the Teaching of Mathematics by varions govern- 
ments, institutions, and individuals ; 

That the Central Comittee composed of F. Klein (Gottingen), Sir G. Gkeen- 
HiLi. (Londonl and H. Fehr iGeneva) be continued in power and that, at its 
request, David Eugène Smith (New- York) be added lo its number; 

That tlie Deiegates be requesled lo continue iheir good offices in securing 
the coopération of their respective governments and in carrying on the 
work ; and tliat the Commission be requesled lo make such further report 
at the Sixlh International Congress, and to hold such conférences in the 
meantime, as the circumsiances warrant. 

Texlc allemand : Der fiinfte International Matliematiker Kongvesn zu 
Cambridge hringi allen liegierungen, Kùrperschaften und Personen, die die 



I.E CONGRES DE CAMBRIDGE 377 

Arbeiten der in Rom eingesetzten Internationaleii Mathemalischen Untei- 
richtskomniission iinterstittzt liaben. den n'drni.sleii Daiik ziim Ausdrack tind 
heschliesst; 

Dass der Zentralkomilee (Klein, (iREEMiiLi,, FkhkI neiter hestehe iiiid 
diirc/i Ilorvn D. E. Smith (New-York) en^'pitert werde : 

Dass die Dele^ierten gebeten werden. die Unterstutzitns: ihrer Re^ieritn»en 
weiler zii sichern and dos Unlemehmen zii furdern : 

l'nd dass die Koinniission dem nâchsten Internationalen Mathematiker- 
Koiigress erneiit berichte iind irizn-ischen ihin nutig scheinende Zitsaininen- 
kiinflc \-oranstatte. 

Texte italien : La Commissione inlernazionale dell insegnamonto matema- 
tico e la Sezione IV hanuo approvato allunanimità il seguenle voto, che 
nieve trasmesso al Congresso, colla preghiera di volerlo accogliere : 

Si délibéra che il Congresso espriina la sua riconoscenza per il contributo 
dato alla Commissione deiriusegnamento malematico dai vari Governi. 
Istilnti e persone ; 

Che il comitato Centrale (Klei.n, Greenhill, Fehk) resti in carica e che. 
sopra la sua proposta, David Eugène Smith (Xew-York| venga aggiunto agli 
altri tre menibri: 

Che i Delegati siano invilati a continuare i loro buoni uff'ici nell assicurare 
la cooperazione dei rispettivi governi e nel prestare la loro opéra ; 

E che la Commissione sia invilata a presentare al sesto Congresso inlerna- 
zionale le nuove relazioni che essa riterrà utili e a leiiere nell inlervallo di 
tempo quelle riunioni che giudicherà opportune. 

Œuvres d'Euler. — Le précédent Congrès avait voté wne réso- 
lution saluant avec reconnaissance l'initiative de la Société helvé- 
tique des sciences naturelles de publier les œuvres dKuler. Grâce 
à l'activité de la Commission Euler, M. le Prof. Ridio, président 
du Comité de rédaction, a pu présenter cinq volumes à la section 
IV (a) du Congrès. Sur la proposition de M. le Prof. A. Gutz.mer, 
cette section a décidé de proposer au Congrès une adresse 
destinée :i être transmise à la Société helvétique des sciences 
naturelles à l'occasion de sa prochaine réunion annuelle Altorf. 
10-12 sept. 1<)12 . 

Voici le te.xte présenté par JNl. le Prof. A. Gi izmeiî (llallei et 
adopté à l'unanimité par le Congrès : 

Ini An.schli/.ss an die Verhandliingen der fiiïheren Internatio- 
nalen Mdthenidtiker Knngresse, insbcsnndere an den Bcschliiss des 
U. Kongrcsses in Honi, beire/fend die Ilerausgahe der sanitlichen 
Werke Leonhard Enlers hringt der 5. Internationale kongress zu 
Cambridge der Schweizerischen xWitnrfo/schenden Gesellschaft 
seinen wârmsten Dank fiir die tatkraf'tige Inangrijfnahnie des gros- 
sen Unternehniens ziini Ansdrnck und verbindet daniit zngleich 
seine hohe Anerkennang fur die monumentale Aasgestaltung, die 
sie dem Ile/Ae in den bereits \>o/liegenden f'iinf liiinden hat ange- 
deihen lassen. Der Kongress spricht die lù-^yartang ans, dass der 
Euler-Ansgabe aiich fernerhin die Unlerslii.tznng niclit fehlen 

L'Eii.'<ei"iii;ineiu iiialhéiii., l'i= année; l'.U2 "-6 



378 //. FEIIR 

werde, die ihn bisher schon in so dankenswerter Weise von der 
ganzen wissenschaftlichen Welt, insbesondere von den grossen 
Akademien, zu teil geworden ist. 

En d'autres termes : 

Comme suite aux vœux exprimés par les deux précédents 
Congrès au sujet de la publication des œuvres d'Euler, et tout 
particulièrement par le 4""^ Congrès (Rome), le 5'"" Congrès inter- 
national des Mathématiciens adresse ses plus chaleureux remer- 
ciements à la Société helvétique des sciences naturelles d'avoir 
entrepris cette grande publication et lui exprime 'sa reconnais- 
sance pour la forme magistrale qu'elle a donnée aux cinq volumes 
déjà parus. Le Congrès espère que le monde scientifique et tout 
particulièrement les grandes Académies continueront à donner à 
la Commission Euler l'appui dont elle pourra avoir besoin. 

Fixation du Lieu du pkochaix Congrès. — Au Congrès de Rome, 
M. Mittag-Leirier avait exprimé le désir des mathématiciens suédois 
de réunir le Congrès à Stockhobn, en 1916. Le savant mathémati- 
cien suédois reprend cette invitation et fait savoir que S. M. le 
roi Gustave a accepté le patronage du Congrès. Cette proposition 
est adoptée par acclamations. 

M. Becke Budapest annonce qu'au prochain Congrès les ma- 
thématiciens hongrois présenteront une invitation pour le Con- 
grès de 1920. M. Stephanos exprime le vœu que lundes prochains 
Congrès vienne siéger à Athènes. 

Puis viennent les paroles de remerciements. Le Président tient 
à remercier tous ses collaborateurs, tandis que MM.MiTTA(;-LEriLE« 
(Stockholm) et Websteh (Etats-Unis) se font les interprètes des 
congressistes étrangers pour exprimer leur reconnaissance au 
Comité local, aux professeurs et au personnel des Collèges et à 
tous ceux qui ont contribué à la réussite du Congrès. Le Prési- 
dent déclare ensuite clos les travaux du .ô'"" Congrès international 
des mathématiciens. 



LE CONGRES DE CAMniilDGE 379 



SÉANCES DES SECTIONS 



Section I : Arithmétique, Algèbre, Analyse. 

Les séances ont été présidées successivement par MM. E. B. 

Elliot Oxford , E. Laxdac Gœttinguei, E. Bohel Paris , Helge v. 

KocH iStockholm . Secrétaire : D"^ T. J. l'A. Bro.mwich fCam- 

brido;e . Secrétaires adjoints : I. Bendixon (Stockholm , J. C. Fields 

Toronto^ et M. Riesz Stockholm . 

Batemax, 11. : Some équations of mixed différences occurringin 
the theory of probability and the related expansions in séries 
of Bessels functions. 

BECKH-^VIDMAxsTETTE:i, H. A. vou : Eine neue Randwertaufgabe 
fiir das logarithmische Potential. 

Berxsteix, S. : Sur les recherches récentes relatives à la meilleure 
approximation des fonctions continues par les polynômes de 
degré donné. — Discussion. 

CuxxixGHAM, A. : On Meusexnes numbers. 

Drach, j. : Sur Tintégration logique des équations dilférentielles. 
— Discussion. 

Elliott, e. B. : Some uses in the theory of forms of the funda- 
mental partial fractions identity. 

EvÂxs, G. (1. : Some gênerai types of functional équations. 

Fields, J. C: Direct dérivation ot the Cojnplementary Theoreni 
froni elementary properties of rational functions. 

Frizell, a. B. : Axioms of ordinal magnitudes. 

Hadamard, j. : Sur la série de Stirlix(;. 

Hardy, G. H. and Ln ii.ewood, .1. E. : Some probleins of diophan- 
tine aj)pr()ximation. — Piemaicpies de M. E. Landau. 

lliLi., M. .1. M.: The continuation of the hypcrgeomctric séries. 

JoiRDAix, P. E. B. : The vahies that certain analytic functions can 
take. — En l'absence de Tauteur le mémoire a été déposé par 
M. G. H. Hardy. 

KocH, II. vo\ : On regular and siiigular solutions of certain infi- 
nité Systems of lincar cfjuations. — Remar(|ue de M. E. Burei,. 

KïRsciiAK, J.: Limesbildung und aligemeine Korperfhcorie. 

Macfarlane, a. : On vector analysis as generalized algebra. 

MooRE, E. IL : On the fundamental functional opération of a gê- 
nerai theory of intégral équations. — Kemaripies île M. J. Ha- 
damard. 

Padoa, a. : l ne (juestion de maximum ou de minimum. 

Peddik, ^^ . : A mcchanism for tiie sohition ofpolynominals. 



380 //. FEhR 

Petrovi icH, M. : Fonctions implicites oscillantes. 

Rabinomtsch g. : Rindeutiiii^keit der Zerlegiiny in Priinzahlfac- 
toren in qnadratischen Zahlkdrpern. 

Rémoindos, g. : Sur les singularités des équations dilleren- 
tielles. 

Saltikow, \. : Sur l'intégration des équations aux dérivées par- 
tielles. 

ScHLEsixGER, L. : Ucber cinc Anfgabe von Mermite aus der Théorie 
der Modulfunktionen. 

SiLBERSTEix, L. : Souic applications of quaternions. — Rn l'ab- 
sence de l'auteur le mémoire a été déposé par le président. 

Sterneck, R. von : Neue empirische Daten iiber die zahlentheo- 
retische Funktion o" {n). — Reinarcjnes de M. Laxdau. 

Volterra, V. : Sopra equazioni di tipo Intégrale. — En l'absence 
de l'auteur le mémoire est présenté par M. Somigliana. 

Whittakeb, E. t. : On the functions associated with tlie elliptic 
cylinder in harmonie analysis. 

WiLKixsox, M. M. U. : Elliptic and allied functions; suggestions 
for reform in notation and didactical method. — Remarques de 
MM. MoRLEY et Dixox. 

Zervos p. : Sur les équations aux dérivées partielles du premier 
ordre à quatre variables. 

Section II : Géométrie. 

Les séances ont été présidées successivement par M.M.H.F.Ra- 
KER (Cambridge), F. Severi (Padoue), F. Morley (Raltimorej, 
J. Drach Toulouse). Secrétaire : P. L. Dixox (Oxford) ; secrétaires 
adjoints: \V Blaschke (Pommern) et E. Bompiani (Rome). 

BoMi'iAxi, E. : Récent progress in projectivc difïerential geome- 

try. 
Brouwer, \j. r. .1. : Sur la notion de (liasse de transformations 

d'une multiplicité. 
Brïjckxer, m. : Ueber Raumteilung durch (i Ebenen und die 

Sechsdache. 
Drach, J. : Résumé de recherches géométriques. 
Eisexhart, L. P. : Continuons déformation of surfaces applicable 

to quadrics. 
Essox, W. : On the caracters of plane curves. 
FixsTERurscH, J. : Geometrische Maxinia und Minima mit Anwen- 

dung auf die Optik. — Rernar(|ues de M. Schoute. 
Grossmaxx, M. : Die Zentralprojpction in derabsoluten Géométrie. 
IIatzidakis, X. : Sur les paires de trièdres de P'renet. 
HosTixsKY, B. : Sur les Hessiennes successives d'une courbe du 

troisième degré. 



LE CONGIiKS DE CAMBRIDGE 381 

lIuDsoN, Miss II. p. : Intersections of surfaces; on binocles and 
double curves. — Remarques de M. Berhy. 

.Iaxiszewski, Z. : l'eber die Begrifle Linie und Flache. 

Kasxer, E. : Conformai geometry. 

KôNic, D. : Zur Analysis situs der Doppelmanigfaltigkeiten und 
der projectiven Raume. 

Martin, A. : On rational right-angled triangles. — En l'absence 
de l'auteur, le mémoire a été déposé par le président. 

MoRLEY, F. : On the extension of a theoiem of \V. Stahl. 

Neville, E. h. : On generalized moving axes. 

ScHouTE, P. H. : On the characteristic numbers of the polytopes 
e,f.^...e„_i Sn-i-i and e^e.-,... e,,_i M,i of space S. 

Sixzov, D. : Sur la théorie des connexes. 

Sommerville, d. m. y. : The pedal line of the triangle in non- 
Euclidean geometry. — Remarques de MM. Coolidce et Schoute. 

Stéphaxos, C. : Sur l'équivalent analytique du problème des prin- 
cipes de la géométrie. 

Study, E. : Conformai mapping of complex domains. 

Tzitzeica, g. : Sur les surfaces isothermiques. 

Weitzexbock, R. : Ueber das sechs-Ebenen Problem in R4. 

Yaxcizewski, Z. : Ueber die Beoriffe Linie und Flache. 



Section III (a) : Mécanique, physique mathématique, astronomie. 

Présidence : MM. H. I.amb Manchester; ; prince B. Galitzin 
(St-Pétersbourg) ; Levi-Civita ^Padoue) ; P. St.eckel (Carlsruhe). 
Secrétaire : F. J. M. Strattox 'Cambridge] ; secrétaire-adjoint : 
G. AxDREOLi (Naples et L. Fôppl Gottingue . 

Abraham, M. : The gravitational field. — Remarques de M. L. 

SlLIlERSTEIX. 

Bexxett, g. t. : The Ijalancing of the four-crank enginc. — Re- 
marques de M. F- MoRLEY et Sir W. II. Wihte. 

Blaschke, W. : Reziproke Kraftepliine zu den Spannungen in 
einer biegsamen Haut. 

Bmmexthal, O. : Ueber asymptotische Intégration von DifTeren- 
tialgleichungen mit Anwendung auf die Berechnung von Span- 
nungen in Kugelschaleii. 

BouLAD, F. : Extension de la notion des valeurs critiques aux 
équations à 4 variables d'ordre nomographique supérieur, 

Brodestsky, s. : The solution of dynamical problems. 

Bro.mwich, t. .1. l'A. : Some theorems relating to the résistance of 
compound conductors. — Remai(iue de M. Macdoxai.d. 

Dexizot, a. : Theorclisches iiber ilen freien Fall eines Kiirper's 
bei rotierenden Erde. 



382 H. FEIIR 

Essox, \V. : On a law of connection between two phenomena 

which influence one another. 
EwALU, P. P. : Dispersion and double refraction of électrons in 

rectangular groupiny-. — Remarque de MM. Havelock et Peddie. 
FoppL, L. : Stabile Anordnungen von Elektronen im Atoin. ^- Re- 
marques de MM. Abkaham, v. Karman et Lamb. 
Hagen, J. g. : How thc Atwood machine proves the rotation of 

the earth, even quantitatively. 
Karmax, Th. von : Luftwiderstand und Hydrodynamik. — Remar- 
ques de MM. Lamb, Ruxge et Smoluchowski. 
Lamb, H. : On wawe-trains due to a single impulse. 
Leuschxer, a. y. : On the Laplacian orbit methods. — (Mémoire 

déposé par le président . 
Love, A. E. H. : The application of the method of \V. Ritz to the 

theory of the tides. — Remarques de MM. Tuuxer, Sampsox et 

Lamb. 
Me [jAREx, s. B. : Aether niatter and gravity. — Remarques de 

MM. Abraham et Webster. 
Miller, D. C. : The graphical recording of sound waves; effect of 

free periods of the recording apparatus. — Remarques de 

M. Webster. 
Mot:LTox, F. R. : Relations of families of periodic orbits in the 

restricted problem of three bodies. — Remarques de MM. Levi- 

CiviTA, Sir George Darwix et E. W. Browx. 
Sampsox, R. A. : Some points in the theory of errors. 
Silberstein, \j. : Self-contained electromagnetic vibrations of a 

sphère as a possible model of thc atomic store of latent energy. 
SoMiGLiAXA, C. : Sopra un criterio di classificazione dei massimi 

e dei minimi délie funzioni di più variabili. 
Smoluchowski, M. S. : On the practical applicability of Stokes's 

law of résistance and the modifications of it required in certain 

cases. — Remarques de Lamb, Sampsox, Webster et Cuxxixcham. 
Terradas, E. : On the motion of a chain. 

Thomson, Sir J, .1. : Multiply charged atomes (with experiments). 
TiRXER, H. H. : On double lines in periodograms. — Remarques 

de MM. R. A. Sampsox et Sir Jos. Larmor. 



Section III ihr. Sciences économiques, Assurances, Statistique. 

Présidence: MM. F. Y. Ed(;eworth (Oxford), W. F. Sheppard 
(Sulton, Surrey ; F. A. F. Steitexsex (Copenhague). Secrétaire : 
A. L. BowLEv Reading . 

Amoroso, L. : 1 caratteri matematici délia scienza economica. — 
(Présenté par le président . 



I.E CONGRES DE C A M li I{ I D G E 383 

AitANY, D. : Eiii F3eiti'ay zur Laplace-schen Théorie der erzeugen- 

deu Funktion. — Remarques de M. Steiï'ensen. 
BnoDiE, R. R. : Curves of certain fiinctions relatingto mortality and 

conipoiind interest. — Le mémoire a été présenté par M. Eixîk- 

^volr[■H. 
Edcjewouth, F. Y. : A method of representing frequency groups 

by analytic geometry. — Remarques de MM. Stott et Sheppard. 
GÉiiAnDix, A. : Statistique des vingt séries parues du Répertoire 

Bibliographique des Sciences Mathématiques. 
I.EHi-Ei.DT. R.A. : Equilibrium and disturbance in the distrilîution 

of wealth. 
Peek, J. h. : Application of the Calculus of Probabilities in ta- 

rifling seeurities. — (Mémoire déposé par le président). 
QuiQUET, A. : Sur une méthode d'interpolation exposée par Henri 

Poincaré et sur une application possible aux fonctions de survie 

d'ordre n. — Remarques de MM. Sus et Goldzieher. 
Sheppard, W. F. : 1. Réduction of errors by means of negligible 

différences. — 2. The calculation of moments of an abrupt fre- 
quency distribution. Remarques de MM. Boavley et H. L. Rietz. 
Steffensen. J. F. A. F. : On the fitting of Makeham's curve to 

mortality tables. — Remarques MM. Sheppard, Goldzieher, 

Edceworth, Bowley et Sus. 



Section IV lai : Philosophie et histoire des mathématiques. 

Présidence : MM. B. A. M. Russell (Cambridge), A. Gutzmer 
(Halle), A. Padoa (Gènes), F. Rudio (Zurich) ; secrétaires : MM. E. 
V. HuNTIXGTOX et M. Fréchet. 

Bl'rai.i Forti, P]. : Sur les lois générales pour l'algorithme des 
symboles de ibnction et d'opération. — En l'absence de l'auteur 
le mémoire est déposé par le président. 

Blimrerg, h. : Ueber ein Axiomen-System fiir die Arithmetik. — ■ 
Remarques de MM. Padoa, Whitehead et Robr. 

Boreril, r. du : Buffon on the Newtonian law of attraction. — 
Mémoire présenté par M. Rouse Bai-t.. 

Dyck, W. von : Ueber den Mechanikcr u. Ingénieur Georg von 
Reichexbach. 

Gérardix, a. : Note historique sur la théorie des nombres. 

Hardix(;, p. j. : 1. The geometiy of Thaïes. — 2. Ilislory et évo- 
lution of arithmetic division. 

Huxtinctox, e. \'. : A set of postulâtes for abstract geometry 
expressed in ternis of the simple relation of inclusion. — Re- 
marques de M. Peaxo, Fréchet, Padoa, Risseli. et Whitheead. 

Itei.sox, g. : 1. Bemerkungeu uber das W'eson der Mathcmatik. 



38'. //. FEIIR 

— Remarques de MM. Dickstein et Russell. — 2. Thomas Solly 
of" Cambridge als Logistiker. 

JoiiJDAiN, P. E. B. : 1. Isoid relations and the modem theory of 
irrational nnmbers. — 2. Foiirier's influence on pure mathe- 
matics. — 3. The ideas of the « fonctions analytiques » in La- 
(;raxge's early work. — En l'absence de l'auteur, ces mémoires 
sont déposés par le président. 

LoiîiA, G. : Intorno ai metodi usati dagli antichi greci per estrarre 
le radioi quadrate. — Id.). 

MiiKHEAD, R. F. : Superposition as a basis for geometry; its logic 
and its relation to the doctrine of continuons quantity. — Re- 
marques de M. HuxTixGTOx. 

Padoa, a. : La valeur et les rôles du principe d'induction mathé- 
matique. — Discussion. 

Peano, g. : Proposizioni esîstenziale. — Discussion. 

RuDio, F. : Mitteilungen ûber die Eulerausgabe. — Sur la propo- 
sition de M. le prof. A. GuTZMEn, la section adopte une résolu- 
tion destinée à la Société helvétique des Sciences naturelles 
(voir séances générales!. 

Vacca, g. : 1, Sul valoie délia ideogralia nella espressione del 
pensiero ; differenze caratteristische tra ideographia e linguag- 
gio ordinario. — 2. On some points in the history of the infini- 
tésimal calculas; relations between English and Italian mathe- 
maticians. — Déposés par le président. 

Zermelo, e. : 1. Ueber die Grundlagen der Mengenlehre. — 2. 
Ueber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Théorie des 
Schachspiels. — 3. Ueber axiomatische und genetische Metho- 

den bei der Grundlegung mathematischer Disciplinen. 



Section IV {bj: Enseignement mathématique. 

La section a tenu cinq séances présidées successivement par 
MM. C. GoDFREY (Osborne), D.-E. Smith (New-York), E. Czuber 
(Vienne), C. Bouhlet Paris), J.-W.-A. Youxg (Chicago), Sir 
.L-.I. Thomsox .Cambridge), R. Fu.usaava (Tokio). — Secrétaires : 
y\. G. -A. GiBsox (Edingbourg), assisté de MM. Fhaxklix et PiticE 
OsborneJ. 

Trois séances furent réservées aux travaux de la Commission 
internationale de l'Flnseignement mathématique et furent organi- 
sées pai' son Comité central, tandis ([ue les deux autres étaient 
destinées aux communications diverses. Nous donnerons un aperçu 
très sommaire de ces trois séances et nous le ferons suivre dun 
résumé des communications spéciales. Les séances consacrées à 
la Commission feront l'objet d'un compte rendu détaillé conte- 



r.K COJVdJiLS DE CAMBRIDGE :i85 

nant le texte complet des trois rapports [Fehr, Smith et Kiinge) 
et un résumé des discussions auxquelles ils ont donné lieu. 



I. Commission internationale, i'"^ séance, vendredi 23 août, à 
9'/., h. du malin; Présidence de MM. C. Godfrey et D.-K. S.mitii. 

1. Discours d'ouverture de M. D.-E. Smith, parlant au nom de 
M. F. Klein, président de la Commission, empêché d'assister à la 
réunion pour raison de santé. A la suite de ce discours, la Com- 
mission et la section IV décident de télégraphier à M. le Prof. 
Klein que l'assemblée regrette vivement son absence et qu'elle lui 
adresse ses meilleurs vœux pour le rétablissement de sa santé. 

2. La Commission internationale de l'Enseignement mathéma- 
tique de 1908 à 1912, Compte rendu sommaire présenté par M. 
H. Fehr, Secrétaire-général de la Commission. 

3. Présentation des publications du Comité central et des Sous- 
commissions nationales. — Les délégués déposent plus de 280 
rapports répartis sur plus de 150 fascicules formant un ensemble 
de plus de 9000 pages in-8°. On en trouvera la liste complète dans 
le rapport du secrétaire-général qui a été distribué à l'ouverture 
de la séance et que nous reproduirons dans notre prochain nu- 
méro. 

Pour chaque pays un délégué a présenté un court rapport sur 
l'ensemble des travaux de la Sous-Commission nationale. Ont 
pris la parole : 

Al/emoiJ/ie, M. A. Gutzmeh. — Autriche, M. E. Czlber. — Bel- 
gique, M. E. Cleveus. — Brésil, M. E. de Gabaglia. — Danemark, 
M. H. FEHn, au nom de M. P. Heegaard. — Espagne, M. Toledo. 
— Etats-Unis, M. .I.-W.-A. Younc. — France, M. C. Bourlet. — 
Grèce, M. H. Fehh, au nom de M. Stéphaxos. — Hollande, M. 
J. Cardixaai.. — Hongrie, M. E. Beke. — lies Britanniques, M. 
C. .Iacksox. — Italie, M. G. Castelxuovo. — Japon, M. R. Fu.ii- 
SAWA. — Norvège, M. Alesen. — Portugal, M. G. Teixeira. — 
Roumanie, M. G. Tzitzeica. — Hussie, M. IL Feur, au nom de 
M. V. Soxix. — Serbie, M. Petrovitch. — Suisse, M. II. Fehr. 



2""" séance; lundi 2() août, à 3 h. de laprès-midi; j)résidence de 
Sir J.-J. Tjio.msox. 

The mathematical Training of the Phijsicist in the Universitij 
(la préparation mathématique des physiciens à l'université), rap- 
port de la Sous-commission B, présenté par M. C. Rux(;e (Gœt- 
tinguei. — Le rapport avait été distribué le jour précédent ; il a 
donné lieu à une intéi-essante discussion à laquelle ont pi-is part 
MM. P. Stackel, c. Boini.ET, F. Enriqles, Sii- G. Greenhii.i., 
A. -G. Webster, E.Borei., Sir J. Lau.moiî, C. Biociii:, A.-E.-M. L(»ve, 



386 //. FF H H 

E.-W. HoBsoN, G. -A. GiBsoN, Sir J.-J. Thomsox et C. Rlxge. En 
outre, des remarques ont nous encore été adressées après la séance 
dans une lettre de M. Laxchester. 

H'"^ séance; mardi 27 août, à 9 h. '/._, du matin; présidence de 
MM. R. FujisAWA et C. Godfrey. 

1. GoLDziEHER, C. : Beiuerkiingen iïher eine Bibliographie des 
mathematischen UiHerrichts. — ÏNI. D.-E. Smith résume et com- 
plète cette communication. 11 s'ai)it d'une publication fournissant 
la bibliographie concernant l'enseignement mathématique, à partir 
de 1900. M. Goldzieher espère que la Commission voudra bien 
lui donner son appui. La publication sei-ait faite sous les auspices 
du « Bureau of Education » de Washington. Sur la proposition de 
M. Smith la section IV adopte à l'unanimité une résolution ])ar 
laquelle elle exprime sa reconnaissance au Bureau of Education 
pour l'intérêt qu'elle témoigne à cette publication. 

2. Intuition and e.vperiment in matheinaticai Teaching in the 
Seconda ry Schools l'intuition et l'expérience dans l'enseignement 
mathématique des écoles moyennes , rapport de la Sous-commis- 
sion A, présenté par M. D.-E. Smith (Xew-York . — La conférence 
ayant été imprimée à l'avance par les soins du Comité central, 
■NI. Smith peut se borner à exposer les principaux points, afin de 
laisser le plus de temps possible à la discussion. — Ont pris part 
à la discussion MM. Laisaxt, Th.eh, Dixtzl, Siddoxs, Bioche. 
LiETZMAxx, V. DvcK, Carsox et Goldzieheh. 

3. Résolution. Sur la proposition de Sir G. Greenhill, vice- 
président de la Commission, l'assemblée adopte une proposition 
tendant à prolonger le mandat de la Commission ; elle sera sou- 
mise au Congrès dans sa séance de clôture voir p. 370;. 

4. M. H. Fehr parle ensuite des travaux que le Comité central 
compte pouvoir entreprendre pendant la nouvelle période. Le 
Comité tiendra compte dans la mesure du possible des vœux qui 
lui seront transmis. A ce sujet MM. Gaustaxg et Carsox signalent 
queiciues sujets spéciaux sur lesquels il paraît utile de faire une 
enquête. 

IL Communications spéciales. 1'" séance ; samedi 24 août, à 9 h-'/s 
du matin; présidence de M. A. Gutzmer. 

La première partie de la séance était commune aux sections 1V\ 
a, Philosophie et Histoire) et IV, b, (Enseignement). 'Elle était 
consacrée aux communications de MM. Whitchead et Suppan- 
tschitsch. 

1. Whitehead, a. N. (Cambridge) : The princip/cs of niathenia- 
ties in relation ta elenientary teaching. Le conférencier examine 
dans quelle mesure on peut tenir compte dans l'enseignement 



LE CONG/i/:s DE CAMBRIDGE 387 

des mathématiques, élémentaire, des principes de matiiématiques 
envisagés au point de vue logique. Nous aurons sans doute l'occa- 
sion de revenir sur cette étude. 

2. Supi'ANTscHiTSCH, K. (V ieiHie : Le raisonnement lo<^iqiie dans 
l'enseignement iini^'ersitaire et secondaire. — INl. Suppanfschitsch 
rappelle d'abt)rd la dillerence entre les méthodes soi-disant logi- 
<[ues antérieures à la réforme française de 1902 et les méthodes 
actuelles. Mais il croit qu'on a dépassé dans certains pays les 
justes limites dans le désir de suivre le chemin tracé parla France 
et de délivrer renseignement de toute abstraction. 11 admet que 
la logique nécessaire aujourd'hui pour bien comprendre une dé- 
monstration vraiment correcte n'est pas à la portée de tous les 
jeunes gens; cependant il exige le maintien de la logique des mé- 
thodes. Son raisonnement par des difficultés grandissantes de la 
vie qui ne peuvent être vaincues que par une formation solide 
d'esprit par l'assimilation de méthodes générales, il fait allusion, 
ensuite, à la vivacité de l'esprit chez les jeunes gens qui ne trou- 
veront nullement amusantes ces récréations mathématiques en 
vigueur aujourd'hui. Ce sont surtout les expériences mathémati- 
cjues, destinées à mettre en évidence des théorèmes extrêmement 
simples, qui, selon lui, ne feront qu'ennuyer les élèves. Après en 
avoir cité un exemple, M. Suppantschistch insiste sur la néces- 
sité de quelques démonstrations rigoureuses bien choisies pour 
la formation d'esprit. 11 explique ensuite son opinion sur l'ensei- 
gnement universitaire à donner aux futurs professeurs de lycées. 
Malgré la large place qu'y prendront les applications techniques 
il sera toujours nécessaire de développer, chez les étudiants, le 
ofoùt de la rioueur. 11 voit dans l'intérêt grandissant attribué aux 
études des principes une gai-antie pour l'enseignement universi- 
taire que menacent encore des idées pédagogiques mal conçues. 
M. Suppantschitsch finit sa communication en citant les difficul- 
tés particulières de l'enseignement mathémati{iue clans les éta- 
blissements techniques. 

Suit une discussion à laquelle prennent part MM. BouitLEr et 
Padoa. 

I^a deuxième partie de la séance comprend les communications 
de MM. HiLL et Hatzidakis. 

3. HiLL, M. J. M. (Londres) : The teac/iinij;- of the theori/ of pro- 
portion. — Dans cette conférence sur renseignement de la théorie 
des proportions, M. Hill, professeur à ri'niversité de Londres, 
s'est pioposé voii- The Mathem. Gazette, juillet 11)12) : 

1" D'expli([uer d'une façon simple et directe la théorie dos j)ro- 
portions lorsque les grandeurs considérées n'ont pas de commune 
mesure. 

2° De discuter la place du sujet cLins les plans d'étude. 

fi'espace restreint dont nous disposons no nous p(M'met pas de 



388 //. FKHR 

lepiodiiiie ici les propositions de l'auteur ; disons simplement 
que, selon M, Hill, les procédés employés permettent trexposer 
le sujet à quiconque possède une connaissance sufTisaiite de l'al- 
gèbre élémentaire, et rendent ainsi l'élève capable de comprendre 
la théorie des figures semblables lorsqu'il en commence l'étude 
pour la pi'emière fois; on voit donc la place qu'il faut attribuer à 
ce sujet dans les programmes lorsqu'on s'adresse à des élèves de 
force moyenne. 

En même temps, l'auteur pense que l'on devrait définir et uti- 
liser de bonne heure les rapports commensurablès dans le pro- 
gramme de géométrie, par exemple dès qu'on aura démontré que 
des triangles ayant mêmes bases et mêmes hauteurs sont équiva- 
lents, ou que dans des cercles égaux des angles au centre égaux 
comprennent des arcs égaux. 

Les démonstrations dont se sert l'auteur dans sa méthode font 
souvent usage de l'axiome d'Archimède et de la théorie de la 
« Schnitt » ou « section » dans le système des nombres irration- 
nels ; elles constituent donc une excellente préparation à la théo- 
rie des nombres irrationnels et au calcul infinitésimal. 

Cet exposé donne lieu à une discussion dans laquelle on fait va- 
loir des points de vue différents quant à la méthode; ont pris la 
parole MM. Godfhey, Caiison, Gahstaxc et Bell. 

4. Hatzidakis, N. (Athènes) : Sijstematische Hecrealioiis-Mathe- 
inatik in niittleren Schiilen (Introduction systématique des mathé- 
matiques récréatives dans les écoles moyennes). — L'auteur estime 
que tout en développant le côté purement scientifique des mathé- 
matiques dans les écoles moyennes, nous devons nous intéresser 
davantage à lame de l'enfant. 11 y a lieu d'étudier d'une façon 
plus complète la puissance d'adaptation. Dans ce but il est dési- 
rable d'introduire les mathématiques récréatives d'une manière 
systématique partout où cela est possible. Ce serait un excellent 
moyen déveiller sans peine l'intérêt des élèves. — Remarques de 

M. (]. B()URl.ET. 



2™" séance ; lundi 26 août, à 9 h. '/.> tl" matin; présideuce de 
MM. C. BouRLET et J.-W.-A. Young. 

5. GÉRARDiN, A. (Xancy) : Sur fiuehjnes nouvelles machines algé- 
briques. — Il s'agit d'un procédé élémentaire et rapide destiné à 
montrer aux jeunes gens à décomposer les nombres en regardant 
seulement un tableau formé de cases noires et blanches. La solu- 
tion est donnée par une ligne entièrement blanche. — liemarques 
de M. Cuxni\(;ham, L'-coL 

6. Carsox, g. St. L. (Tonbridge) : TJie place of dcduciion in 
elenientary mechanics. — Une science consiste en une ou plu- 
sieurs classes d'entités, en un ou plusieurs groupes de postulats 



LE CONÇUES DE C A M II R l D C. E 380 

relatifs ;i ces entités, et en un système de déductions basées sur 
ces postulats. Durant la période de formation d'une science, les 
postulats sont oénéralement surabondants ; ce n'est que lorsque 
leur relation réciproque a élé étudiée et qu'on en a déterminé le 
nombre minimum, que cette science peut être qualitiée de com- 
plète. L'élude de la mécanique nous fournit une illustration de ce 
processus. 

On a coutume de commencer l'étude de la mécanique par un 
système suraljondant de postulats, basés sur l'évidence expéri- 
mentale. On devrait insister dès le début sur le fait que cette évi- 
dence n'est pas illimitée et que bien des facteurs (variations de la 
température, du corps considéré, du type de force, etc.) ont été 
ignorés. 11 faudrait ensuite justifier l'admission provisoire de 
ces faits, malgré leur manque d'évidence ; cette justification nous 
est fournie par l'histoire, spécialement par la vérification de Fa- 
raday des lois de (loulomb sur l'attraction éle<'tr()statique. On 
passerait enfin aux déductions sans perdre de vue le peu de soli- 
dité des bases. Trois de ces bases sont généralement constituées 
par le triangle de force, le principe du levier et le principe des 
moments pour des forces ayant des lignes d'action concourantes. 
Chacun de ces principes expérimentaux peut être vrai ou faux ; 
il existe donc huit possibilités parmi lesquelles la vérité doit se 
trouver. Mais on peut montrer que deux quelconques de ces prin- 
cipes sont une conséquence logique du troisième; par suite ces 
huit possibilités se réduisent cà deux. Ainsi des procédés déduc- 
tifs sont venus renforcer l'évidence. On pourrait traiter d'une 
façon analogue d'autres groupes de principes, de sorte que la mé- 
canique ainsi considérée consisterait en un corps logique, s ap- 
puyant sur certaines- bases, chacune de ces bases étant formée 
d'hypothèses liées les unes aux autres d'une façon analogue à celle 
qui a été décrite. 

Un cours de ce genre différerait essentiellement des deux mé- 
thodes actuellement en usage. L'une de ces méthodes consiste à 
admettre trois postulats sur le mouvement, sans évidence ou in- 
vestigation, puis à en déduire le sujet. Dans l'autre on établit tout 
d'abord un système surabondant de postulats de nature expéri- 
mentale et on les applique à des problèmes variés, sans se pi"éoc- 
cujîcr beaucoup de leur d(''pendance logique. La première méthode 
est un exercice de déduction appli(juée, la seconde, un exercice 
de calcul apjiliqué. La méthode proposée, où l'on recherche la 
dépendance mutuelle des postulats, pourrait être envisagée comme 
un exercice de mathématiques appliquées, car elle rend possible 
l'application des méthodes mathématiques à une branche des 
sciences physiques. 

7. XcNN. T. P. Londres ; The pn^pcr scope (ind mctlHxl of ins- 
truction in thc cn/cii/ifs in sc/iool.s Le calcul dillércnticl et intégral 



390 H. FEIIR 

comme sujet d'enseignement scolaire . — Les principales tliflîcul- 
tés que l'on rencontre dans l'enseignement du calcul infinitésimal 
il l'école, sont relatives à la notion de limite et à l'usage de la no- 
tation -7^. Ces difTicultés n'en forment en réalité ([u'une, car la 
ax 

notation ^ maintient les erreurs de la doctrine de Leibniz sur les 
dx 

infiniment petits, doctrine incompatible avec la théorie moderne 
des limites. 11 est donc nécessaire d'abandonner l'usage de cette 
notation pour les commençants. Au fait le mieux -serait de ne se 
servir d'aucune notation au début et de suivre les méthodes sim- 
ples de Wallis Arithmetica Infinitorum, 1()53;. Celles-ci condui- 
sent en effet à Fidée que lorsque les ordonnées d'une courbe 
suivent une loi déterminée (ordonnée-fonction], l'aire limitée par 
la courbe suit une autre loi déterminée (aire-fonction). Par cette 
façon de procéder, l'idée d'intégration précède celle de différen- 
tiation. Cette dernière idée ne s'intioduira que dans la seconde 
période, une fois ([ue la logique du premier point de vue aura été 
amélioré et généralisé à l'aide de la notion de limite. On pourra 
alors introduire les symboles dfi.v) = y Ix), dp{x\ = *P {x], etc., 
pour indiquer la relation entre une fonction et ses différentielles, 
et rf-' (f (.V) =. fi.il d-'^ '^ f.xl ■=^ ffx), etc., pour exprimer la rela- 
tion inverse d'intégration. Ces recommandations peuvent être ré- 
sumées en disant que le calcul infinitésimal ne devraient pas, 
généralement, être enseigné dans les écoles comme sujet séparé, 
mais simplement comme un chapitre spécial d'algèbre. 



EXPOSITION 

Sur l'initiative de \a. Malliematical Associatio?i un Comité spé- 
cial, dirigé par Mr. C. S. Jackson iWoolwichi et Mr. P. Abbott 
(Londres), avait organisé une exposition de livres, de dessins et 
d'instruments mathématiques. Une place spécialement importante 
avait été accordée à l'enseignement des mathématiques dans les 
écoles anglaises. 

L'exposition comprenait les sections suivantes : 

A. — Modèles et appareils exécutés par les maîtres ou les élèves 
destinés à l'enseignement des mathématiques et de la mécanique. 
(17 exposants. 

B. —Manuels, cahiers d'élèves, épreuves d'examens, etc., des- 
tinés à donner une idée de l'enseignement mathématique dans 
les écoles anglaises, élémentaires et secondaires. 20 écoles des 
diff(Mcnts types. 1 . 

(>. — Machines à calculer et appareils divers. 'lO n'".) 



CHRONIQUE 391 

D. — 1. r>ivres et II. Appareils destinés à rensei<^nenient des 
inathématiciues, de la mécanique et de la physique. 

I. La section de librairie avait un caractère international. A côté' 
des éditeurs anijlais les principaux éditeurs allemands, améri- 
cains et français avaient envoyé une série complète de leurs der- 
nières publications. Total : l.j exposants. i 

II. La section des instruments et appareils comptait 7 expo- 
sants anglais. 

L'exposition organisée par la « Mathematical Association « a été 
très fréquentée et on ne saurait trop féliciter et remercier le Co- 
mité d'organisation de son initiative et du soin quil a apporté à 
son organisation. Il faut espérer que dans les prochains congrès 
des expositions du même genre pourront être organisées. Toute- 
fois la tâche du Comité serait plus facile s'il était rattaché, comme 
sous-commission, au Comité même du Congrès, c est-à-dire si 
l'organisation était patronnée par le Congrès lui-même, comme 
cela avait été le cas au Congrès de Heidelberg ^1904). 

H. Fehi!. 



CHRONIQUE 



Henri Poincaré. 

Nous n'apprendrons rien à personne en signalant ici la mort de 
Henri Poincaré. Ce deuil immense pour la France et pour la 
Science a été immédiatement connu dans le monde entier. 11 y a 
causé la surprise la plus terriblement douloureuse qui se puisse 
imaginer, cette peite étant impn'vue pour chacun, sauf peut-être 
pour l'illustre défunt qui semble l'avoir pressentie et avoir laissé 
transparaître, dans ses derniers travaux, le regret de ne pouvoir 
les achever. Car Henri Poincaré a travaillé jusqu'à la dernière mi- 
nute; il doit même rester, si nous ne nous trompons, des mémoires 
actuellement confiés à différents recueils mathémati(iues et (|ui ne 
sont point encore sortis des presses. Il y a (piatre ans, au Congrès 
de Rome où il était parti plein d'entrain, sa santé donna brusque- 
ment une vive inquiétude à son entourage.il se releva vaillamment 
mais garda sans doute quelque trace d'un mal qui devait saggia- 
ver, nécessiter une opération dont l'issue apparaissait heureuse, 



392 CHRONIQUE 

lorsqu'il succomba subitement le 17 juillet dernier. Il n'avait que 
58 ans. Au Congrès de Cambridge, où bien des géomètres comp- 
taient sans doute le revoir, le deuil de cette grande figure n'a cessé 
de planer. Le Président Sir G. -H. Darwin, dans son discours 
douverture, s'est fait l'interprète de la tristesse de tous et a parlé 
de la beauté et de la grandeur des matiiématiques en empruntant 
au grand savant disparu ses idées philosophiques les plus chères. 
Nous ne pouvons ici, en quelques lignes, nous livrer à une ana- 
lyse des travaux de l'illustre géomètre. Un de nos collaborateurs 
s'en chargera de manière plus dé